Definisi dan Persamasn Hiperbola

BAB Vt HIPERBOLA

A. Definisi dan

Persamasn

Hiperbola

_.::

i

I{iperbola didefinisikan

Sgbagai

tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tdap

besarnya. Selisih

jarak itu

harus

lebih kecil

dari

jarak

kedua

titik

tertentu tersebut. Untuk memperoleh persamaan hiperbola, dapat dibuat susunan sumbu sedemikian hingga

suilbu X

rnelalui kedua

titik

tertentu

itu, misainya {

^{dan F2,}

sedangkan sumbu

Y

sebagai gdris

sumb, f,f

_, ^. Perhatikan Gambar

VLl

berikut

ini.

Gumbar VI.l

Jika

koordinat i, d* 4

berturut-turut adalah

F,(c,0) dan Fr(-c,0),

maka

jarak

jarak _kedua

titik

ittr adalah 2c.

"ika I(.x,,y,)adalah

sembarang

titik

pada tempat kedudukan, maka sesuai definisi akan kita pc-roleh persatnaan sebagai berikut.

TFr-TFt='2ct e iG+"f ^+yJ-{r, -r)'+f ^=2a dengan2a<Zc

<+ (c' - ^,r'1xr' -

^{a2 yt2 =}

^{a' (c'} - ^a')

€>

bt

x,' -

^a2

^yt)

=

g'b',

rJengan c2

*

_{az = bz}

Karena hubungan ini berlaku untuk koordinat-koordinat setiap titik dari

tempat kedudtrkarr,

maka

persamsaan

tempat

kedudukannya

adalah

b2x2

-o'y2 =a'b2,

^yang

disederhanakan menjadi sebagai berikut.

GeometriAnalitik Bidang 53

Persamran terakhir

ini kita

sebut sebagai persama an

hiperbola

dengan pusat O(0, 0) ^.

Dalam hal ini,

^{F, (c,}

0)

^darr

₄ ^(-c,

⁰⁾

disebut

sebagai

tilik-titik apl ^(fokus)

^hiperbola.

Sumbu

X

dan sumbu

Y

adalah sumbu-sumbu simetri. Karena

titik

potong sumbu

X

dengan hiperbola

itu

nyata, sedangkan

titik

potong sumbu

Y

dengan hiperbola

itu

imajiner (khayal), maka sumbu

X

disebut sebagai sumbu n),ato dan sumbu

Y

disebut sumbu

imajiner. Titik-

titik potong hiperbola

dengnn

sumbu X kita

sebagai puncak-punc'ak

hiperbola

Pada hiperbola, eksentrisitas numeriknya adalah e

=9>1.

o

Dari

perstunaan hiperbola yang

kita

peroleh, dapat

kita

gambar

grafiknya

sebagai berikut.

Dapat iitunjukkan

bairwa persamaan hiperbola dengan

titik

pusat

(a,fr)

dan sturrbu- sunrbu yang seja.jar dengan sumbu-sumbu koordinat adalah

V _,r' -gl -\y-rt-,

6z

B. Asimtut Hiperbola

12

ivlisal

diketahui

hiperbola \-+=1

^da1

^{garis y =mx.}

^Absis

^titik

potong garis dan Lt' b'

hiperbola itu ditentukan dari pcrsamaan berikut.

\ I \l

i-

I

_- ^\''11-

rl

_{- I}

<= bt.r2

- ^(,tm'x' -a2b' ^=o

AD

<* (b'*ct2m2)x2 _=a)b2 Gambar VI.

²

ab

-* *_!

vl-t.:

1, ) )

t h' - ^u'm-

'

Selanjutnya, persamaan garis-garis berikut disebut asimtut-asirrrtut hiperbola.

t--tr

l'= t;'l

Penielasan mengenai asimtut hiperbola diberikan sebagai

berikut

.lika

titik

7-(.r,,-).'1 ₎

terletak pada hiperbola dan

titik

7,

(x,,!z)

lerletak pacla asimtut hiperbola il.u, nraka akair

Nilai y ^yang

bersesuaian dengan

nilai x

tersebut

adalah x-=-4::. Jadi titik

^lb' - ^a'm'

Perhatikan bahwa:

o Jika

b2

-a2m2 >0,

maka garis dan hiperbola

itu

mempunyai _dua

titik

potong yang berlainan

o Jika h' -

^a2

^m'

^< 0 " maka garis dan hiperbola tiriak berpotollgan atau

titik

potongnya ''ha,val (imaiiner).

o Jika

b2

-a2m2 =0,

^{maka dikatakan} garis dan hiperbola

itu

berpotongan di

jauh

tak

hingga. Dapat dikatakan pula, .iika b' _-a'nt'

=

0atau ril=*l. ,luku garis

itu

o menyinggung hiperbola di jauh tak hingga.

dipenuhi

.hh y, =rirlr,' - c' ^dan _/z =t1x,

^{..latak ket'lua}

^titik

^{aclalah scbagai berikut.}

Selanjutnya ditentukan

limitnya

sebagai berikut.

limly, -v"l :

X| +col't J Ll

= H,,l-:g-l

''-*lJx,'-o, ^+*,1

-0

Dari

uraian

di

atas, dapat disimpulkan bahwa semakin

jauh dari

sumbu

Y.

hiperbola

itu

akan semakin mendekati asimtotnya.

Geometri Analitik Bidang 5g

Persamaarasinrtut.asimtutmdapatpu1aditulissebagaix=t=odan

;- t= ^0.

^De,.,rgan

^{kata lain,}

persamaan susunan

asimtot hiperbola

* #= ¹

^adalah

5 ^- #

⁼

, ^Dapat

diturnjukkan persarnaan

asimtut hiperbola k:+L *b:!L

₌ t adalah

y*p=yL1*-o

a

C. Garis l)irektris

^atau

Garis Arah }liperbola

Misal T(x1,.),t)

terletak pada hiperbola.

Jika d,

^dan

titik

T ke

fokus f _,

dan

F,.

maka berlaku persamaan berikut.

T'F.,2 =r/,

r

=(x, -c)l ^+.y,'

TF,) =drt =(x,

^-rc'.)

I+y,-'

d,

berturut-turut adalah jarak

Gambar VI.3

Dari dua persanraan

di

atas dapat kita peroleh

TFr'-7'l'.,2 : dr'*d,t =4"*, a (dz-d,)(dr+cl,):4cx,.

*

^Za

^(d,

⁺

^dr) :

_4cx,

Qdr+d,=TIt

a

(x, _{, -)',} )

t t ,idr

o2

;

t-

I

! I

LI F I I I I!?

ia

rL

I

Dengan

sedikit

memanipulasi secara

aljabar, dapat dt dan d,

dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dari persamaan (1) di atas dapat dituliskaro sebagai berikut.

d1 =9= ^{^} r^- dt

^c

a, a

⁼

^e

^dan

-i

⁼

;= ^e """"""" "..'..'...

⁽²⁾

Ir * --- ^xt ---

CC

Karenaiarak

titik T(x1,!r)

ke garis

*

=

*L

_clan garis bertuntt-turr.rt adalah

,,

+

I cc

u'-c'

r, *a dan x, -' ^.

^maka

^dari

^persamaan

^{(1) dan (2) di}

atas dapat clikatakan bahwa

cc

)

perbandingan

jarak titik T(x.,!r) ^{ke garis} x- !- clan ke fokus F-t sama

dengan c

2

perbandingan

jarak titik r(x,,./,)

ke

garis

x

=-o

^{da:r ke}

fokus Er. Nilai

perbandingan c

tersebut adalah

,=9.

^Fakta

ⁱⁿⁱ

dapat digunakan

untuk

mendefinisikan hiperbola sebagai o

berikut.

Hiperbola adalah

tempat keduduksn

titik-titik yang

perbandingan

j taknya terhadap suatu titik dan dan suatu garis tertcntu tetop

he,sarnya dan perhandingan

ini

lebih be sar

dari l.

1e =

9

_>1

(I

Pada

definisi ini, titik yang dimaksud

adalah

titik opi (fokus) dan garis

tertentu tersebut adalah

gark oroh

atau

direklris. Nilai

perbandingan yang tetap

itr

adalah u =

|

.

a Persamaan garis arah atau direktris tersebut adalah

Dapat ditunjukkan bahwa persamaan garis arah atau direktris

hiperbola

G-i" _a' -0-fl'=1

_bz ^adarah

Geometri Analitik Bidang 57

f:4