LAPORAN MINGGUAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II PERSEBARAN PANAS MENGGUNAKAN METODE FTCS

(1)

LAPORAN MINGGUAN

PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

PERSEBARAN PANAS MENGGUNAKAN METODE FTCS

Disusun Oleh :

Nama : Aprilia Jatiningtiyas Ragil Putri

NIM : 2007046003

Kelompok/Kelas : 1/Fisika A

LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI DAN PEMODELAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MULAWARMAN SAMARINDA

2023

(2)

LEMBAR PENGESAHAN

PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

PERSEBARAN PANAS MENGGUNAKAN METODE FTCS

Nama : Aprilia Jatiningtiyas Ragil Putri

NIM : 2007046003

Kelompok/Kelas : 1/Fisika A

Anggota Kelompok : 1. Aprillia Diyah Ayu Astuti 2. Febriananda Arianty 3. Muhammad Kasful Anwar

Samarinda, 05 Oktober 2023 Mengetahui,

Asisten

Adisty

NIM. 2007076002

Praktikan

Aprilia Jatiningtiyas R.P NIM. 2007046003

(3)

A. PENDAHULUAN

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya yang tidak diketahui. Jika terdapat satu variabel bebas dan turunannya merupakan turunan biasa maka disebut dengan persamaan diferensial biasa, dan jika terdapat dua atau lebih variabel bebas dan turunannya adalah turunan parsial maka persamaannya disebut dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial menurut nilai koefisiennya dibedakan atas tiga persamaan, yaitu persamaan parabolik, persamaan eliptik, dan persamaan hiperbolik. Adapun persamaan persamaan parsial orde 2 yaitu:

𝑎^𝜕²^𝜑

𝜕²𝑥 + 𝑏 ^𝜕²^𝜑

𝜕𝑦𝜕𝑥+ 𝑐^𝜕²^𝜑

𝜕²𝑦+ 𝑑^𝜕𝜑

𝜕𝑥 + 𝑒^𝜕𝜑

𝜕𝑦+ 𝑓𝜑 + 𝑔 = 0 (1) (Triatmodjo, 2002).

Persamaan parabolik biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu. Penyelesaian persamaan tersebut memerlukan kondisi awal dan batas.

Persamaan eliptik yang biasanya berhubungan dengan masalah-masalah keseimbangan atau kondisi tetap (tidak tergantung waktu), dan penyelesaiannya memerlukan kondisi batas di sekeliling daerah tinjauan. Persamaan hiperbolik biasanya berhubungan dengan getaran, atau permasalahan di mana terjadi ketidak‐kontinyuan dalam waktu, seperti gelombang kejut yang terjadi ketidak‐kontinyuan dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa. Penyelesaian dari persamaan hiperbolik mirip dengan penyelesaian persamaan parabolik (Triatmodjo, 2002).

Fenomena Konveksi-Difusi merupakan fenomena perpindahan secara konveksi dan difusi secara bersamaan. Perpindahan panas konveksi terjadi pada saat sejumlah fluida (gas ataupun cair) mengalir dengan membawa panas yang ikut dengan aliran fluida tersebut. Sedangkan difusi adalah peristiwa mengalirnya suatu zat dari bagian yang berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah (Huda, 2014).

Orde kedua parabolik yang khas adalah persamaan konduksi panas yang tidak stabil, yang dianggap pertama dalam dimensi satu ruang, dan kemudian dalam dimensi ruang yang lebih tinggi. Persamaan dapat dilihat di bawah:

^𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 𝛼^𝜕²^𝑢

𝜕𝑥² (2)

(4)

PRAKTIKUM - I

FISIKA-FMIPA KELOMPOK 1A

dimana 𝛼 adalah konstan. Persamaan diatas dikenal dengan persamaan Konveksi- Difusi. Adapun dalam persamaan pada FTCS (Forward Time Central Space) merupakan metode yang menggunakan pendekatan beda maju untuk turunan waktu dan diferensial pusat untuk turunan ruang dalam persamaan (2), sehingga diperoleh persamaan berikut:

𝑢_𝑖^𝑛+1= 𝑢_𝑖^𝑛+ 𝛼 ^∆𝑡

(∆𝑥)²(𝑢_𝑖+𝑛^𝑛 − 2𝑢_𝑖^𝑛+ 𝑢_𝑖−1^𝑛 ) (3) (Hoffman, 2000).

Sama halnya dengan persamaan (3), namun jika dalam skema Eksplisit terdapat waktu 𝑛 + 1 dan 𝑛 yang sudah diketahui, dengan fungsi variabel temperatur 𝑇(𝑥, 𝑡) dan turunannya dalam ruang dan waktu yang mendekati, sehingga didapatkan persamaan di bawah:

𝑇_𝑖^𝑛+1= 𝑇_𝑖^𝑛+ 𝛼 ^∆𝑡

(∆𝑥)²(𝑇_𝑖+𝑛^𝑛 − 2𝑇_𝑖^𝑛+ 𝑇_𝑖−1^𝑛 ) (4) Dimana T merupakan variabel terhadap temperatur (Triatmodjo, 2002).

Oleh karena itu, pada praktikum persebaran panas dengan metode FTCS ini memiliki tujuan untuk mengetahui hasil dari titik persebaran panas yang terjadi dan perubahan suhu pada plat.

B. METODOLOGI PRAKTIKUM B.1 Kasus

Selesaikan persamaan berikut dengan menggunakan metode FTCS!

35^𝑜𝐶 80^𝑜𝐶 8 m

Apabila sebuah plat baja dengan panjang 8 𝑚 dengan langkah ruang (∆𝑥) sebesar 0,05 dipanaskan selama 10 detik dengan langkah waktu (∆𝑡) sebesar 0,01 dan nilai 𝑎 = 0,1 yang memiliki nilai awal yaitu, 𝑇(𝑥, 0) =

1

2𝑥 + 2 dengan kondisi batas 𝑇(0, 𝑡) = 35^𝑜𝐶 sampai dengan 𝑇(8, 𝑡) = 80^𝑜𝐶.

(5)

B.2 Algoritma 1. Dimulai program;

2. Dimasukkan nilai kondisi batas, nilai awal, waktu (𝑡), interval waktu (∆𝑡), interval ruang (∆𝑥), serta konstanta persebaran panas (𝑎);

3. Dihitung nilai sebaran panas pada konveksi-difusi dengan menggunakan metode FTCS, dengan menggunakan persamaan:

𝑇_𝑖^𝑛+1= 𝑘(𝑇_𝑖−1^𝑛 + 𝑇_𝑖+1^𝑛 ) + (1 − 2𝑘 + 𝑇_𝑖^𝑛)

Dengan:

𝑘 = 𝑎 ^∆𝑡

∆𝑥²

4. Ditampilkan hasil;

5. Diakhiri program.

B.3 Flowchart

Mulai

Dimasukkan nilai kondisi batas t nilai awal, waktu (𝑡), interval waktu (∆𝑡), interval panjang (∆𝑥), serta konstanta

persebaran panas (𝑎);

Dihitung nilai perambatan panas pada konveksi-difusi dengan menggunakan

metode FTCS

Ditampilkan hasil

Selesai

(6)

PRAKTIKUM - I

B.4 Script

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd

from matplotlib import ticker

# Parameter L = 8.0

T_end = 10.0 dx = 0.05 dt = 0.01 alpha = 0.1

# Hitung jumlah titik grid spasial dan waktu Nx = int(L / dx)

Nt = int(T_end / dt)

# Inisialisasi grid

x = np.linspace(0, L, Nx+1) t = np.linspace(0, T_end, Nt+1)

# Inisialisasi matriks suhu T = np.zeros((Nx+1, Nt+1))

# Kondisi awal T[:, 0] = 1/2*x+2

# Kondisi batas T[0, :] = 35.0 T[Nx, :] = 80.0

# Iterasi metode eksplisit (FTCS) for n in range(0,Nt-1):

(7)

for i in range(1,Nx):

T[i, n+1] = T[i,

n]+((alpha*(dt/dx**2))*(T[i-1, n]- (2*T[i,n])+T[i+1,n]))

df = pd.DataFrame(T, columns=t, index=x)

pd.options.display.float_format = '{:.3f}'.format

#df_transposed=df.T print(df)

# Membuat grid untuk plotting X, T_plot = np.meshgrid(x, t) colorinterpolation = 50

colourMap = plt.cm.viridis

# Plot hasil

plt.figure(figsize=(10, 5))

plt.xlabel('Panjang baja (m)', fontname='Times New Roman', size=12)

plt.ylabel('Waktu (s)', fontname='Times New Roman' , size=12)

plt.xticks(np.arange(0, 9, 2)) plt.yticks(np.arange(0, 11, 2)) plt.tight_layout()

# Mengatur colorbar dan contour

contour = plt.contourf(X, T_plot, T.T, colorinterpolation, cmap=colourMap) colorbar = plt.colorbar(contour) tick=ticker.MaxNLocator(nbins=9) colorbar.locator=tick

colorbar.ax.set_title(label='Suhu (°C)', fontname='Times New Roman', size=12) plt.show()

(8)

PRAKTIKUM - I

C. HASIL DAN PEMBAHASAN C.1 Hasil

Waktu (s)

Panjang

baja (m) T0 T1 T2 … T998 T999 T1000

0 0.05 35 15.225 2.050 ... 5.950 35.575 80 0.01 0.10 35 17.865 7.330 … 17.790 41.495 80 0.02 0.15 35 20.505 9.442 … 22.526 47.415 80 0.03 0.20 35 21.878 11.765 … 27.736 50.493 80 0.04 0.25 35 23.082 13.286 … 31.146 53.193 80 0.05 0.30 35 23.931 14.680 … 34.271 55.097 80 0.06 0.35 35 24.658 15.771 … 36.719 56.728 80 0.07 0.40 35 25.240 16.739 … 38.888 58.033 80 0.08 0.45 35 25.744 25.744 … 40.723 59.162 80

… … … …

9.96 7.80 35 34.093 33.187 ... 75.771 77.884 80 9.97 7.85 35 34.094 33.188 ... 75.774 77.885 80 9.98 7.90 35 34.094 33.188 ... 75.776 77.887 80 9.99 7.95 35 34.095 33.189 ... 75.778 77.888 80 10.0 8.00 35 0.000 0.000 ... 0.000 0.000 80

(9)

C.2 Grafik

Gambar 1. Grafik Persebaran Panas Dengan Metode FTCS

C.3 Pembahasan

Berdasarkan hasil perhitungan dari persamaan Konveksi-Difusi dengan menggunakan metode FTCS (Forward Time Central Space) dbahwa adanya perubahan suhu seiring berjalannya waktu, dimana pada plat baja dengan panjang 8 𝑚, nilai awal 80°𝐶 dan nilai akhir sebesar 35°𝐶 menghasilkan nilai sebesar 17.865°𝐶, 7.330°𝐶, 17.790°𝐶, 41. 495°𝐶 dengan waktu 0.01 detik.

Sedangkan, pada waktu 0.08 detik menghasilkan nilai sebesar 25.744°𝐶, 25.744°𝐶, 40.723°𝐶, dan 40.723°𝐶. Kemudian pada waktu ke 9.96 detik menghasilkan nilai sebesar 34.093°𝐶, 33.187°𝐶, 75.771°𝐶, 77.884°𝐶 dan akan terus meningkat hingga mencapai suhu 77.888°𝐶. Pada perubahan panas mengakibatkan terjadinya perubahan temperatur. Ditunjukkan saat waktu pertama temperatur telah mengalami peningkatan secara perlahan dengan jarak setiap 0,05 𝑚 hingga ke 8 𝑚 mencapai temperatur 80°𝐶. Hal ini membuktikan bahwa adanya terjadi proses perubahan suhu terhadap waktu yang kemudian diperkuat dengan gambar grafik.

Grafik yang dihasilkan berupa grafik dengan tampilan 2D dengan skala 0°𝐶 sampai dengan 80°𝐶. Dalam gambar grafik dapat terlihat hasil pesebaran panas pada plat sepanjang 8𝑚. Maka diperoleh, nilai temperatur saat suhu

(10)

PRAKTIKUM - I

konstan dibbagian kanan sebesar 80°𝐶 kemudian terjadi persebaran panas yang menyebar setelah itu terjadi proses penurunan suhu pada bagian tengah grafik, seperti pada panjang baja ke 4 m dan waktu ke 6 detik terlihat bahwa baja berada pada suhu 0°𝐶. Lalu, semakin ke kiri grafik akan menunjukkan jika terjadi kenaikan suhu hingga menjadi 35°𝐶. Proses penurunan suhu dapat dilihat dari grafik yang berwarna biru gelap dan proses kenakan suhu ditandai dengan warna kuning. Dari hasil grafik tersebut dapat disimpulkan terjadi bahwa ketika suatu benda dipanaskan pada salah satu ujungnya, panas akan merambat melalui benda tersebut hingga mencapai kondisi seimbang termal di seluruh plat baja. Proses ini menghasikan perubahan suhu yang dapat diamati melalui waktu.

(11)

DAFTAR PUSTAKA

Hoffman, Klaus A., dan Steve T. Chiang. 2000. Computational Fluid Dynamics Volume 1 Fourth Edition. Wichita: A Publication of Engineering Education System.

Huda, C., Harja, A., Dharmawan. 2014. Simulasi Konveksi-Difusi Dalam Media Berpori. Jurnal Ilmu-ilmu Hayati dan Fisik, Vol.16(2):68-71.

Triatmodjo, Bambang. 2002. Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.