LAPORAN MINGGUAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II PERSEBARAN PANAS MENGGUNAKAN METODE BTCS

(1)

LAPORAN MINGGUAN

PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

PERSEBARAN PANAS MENGGUNAKAN METODE BTCS

Disusun Oleh :

Nama : Aprilia Jatiningtiyas Ragil Putri

NIM : 2007046003

Kelompok/Kelas : 1/Fisika A

LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI DAN PEMODELAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MULAWARMAN SAMARINDA

2023

(2)

LEMBAR PENGESAHAN

PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

PERSEBARAN PANAS MENGGUNAKAN METODE BTCS

Nama : Aprilia Jatiningtiyas Ragil Putri

NIM : 2007046003

Kelompok/Kelas : 1/Fisika A

Anggota Kelompok : 1 Aprillia Diyah Ayu Astuti 2. Febriananda Arianty 3. Muhammad Kasful Anwar

Samarinda, 18 Oktober 2023 Mengetahui,

Asisten

Sahra Sabira Putri NIM. 2007046001

Praktikan

Aprilia Jatiningtiyas R.P NIM. 2007046003

(3)

A. PENDAHULUAN

Dalam berbagai konteks ilmiah, metode ini digunakan untuk mengatasi berbagai permasalahan, termasuk pemodelan perambatan panas dalam bahan, transportasi zat kimia dalam medium, dan bahkan dinamika harga dalam pasar keuangan. Sebagai contoh, suatu material memanas saat terkena panas eksternal, metode Backward Time Central Space (BTCS) dapat membantu untuk menganalisis proses ini secara komputasional (Huda, 2014).

Orde kedua parabolik yang khas adalah persamaan konduksi panas yang tidak stabil, yang dianggap pertama dalam dimensi satu ruang, dan kemudian dalam dimensi ruang yang lebih tinggi. Persamaan dapat dilihat di bawah:

^𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 𝛼^𝜕²^𝑢

𝜕𝑥² (1)

dimana 𝛼 adalah konstan. Persamaan diatas dikenal dengan persamaan diferensial parsial 1 dimensi. Adapun dalam persamaan pada BTCS merupakan metode yang menggunakan pendekatan beda mundur untuk turunan waktu dan diferensial pusat untuk turunan ruang. Dalam BTCS menggunakan skema implisit yang dapat dilihat pada gambar di bawah:

Gambar 1. Skema Implisit (Hoffman, 2000).

Metode BTCS adalah sebuah teknik numerik yang memiliki peran penting dalam komputasi ilmiah untuk memahami perubahan dalam sistem fisik seiring berjalannya waktu dan ruang. Pendekatan ini mencakup dua komponen utama yaitu: pertama, langkah mundur dalam waktu, yang berarti kita melihat bagaimana sistem berubah dari masa depan ke masa sekarang, kedua perbedaan pusat dalam ruang, yang memungkinkan untuk memodelkan perubahan di berbagai titik dalam domain yang sedang diamati (Triatmodjo, 2002).

Ketika aproksimasi beda mundur orde pertama untuk turunan waktu dan aproksimasi beda pusat orde kedua untuk turunan parsial digunakan, persamaan diskritisasi menjadi bentuk:

(4)

𝑈_𝑖^𝑛+1−𝑈_𝑖^𝑛

∆𝑡 = 𝛼^𝑢^𝑖+𝑛^𝑛+1^−2𝑢^𝑖^𝑛+1^+𝑢^𝑖−1^𝑛+1

(∆𝑥)² (2) Pada skema Implisit diketahui nilai “𝑛” sehingga dicari untuk nilai “𝑛 + 1”.

Perhitungan yang tidak diketahui akan membutuhkan pasangan persamaan beda hingga yang digabungkan pada Gambar 1, diaplikasikan pada persamaan 3.

Sehingga diperoleh persamaan berikut:

− ^𝛼∆𝑡

(∆𝑥)² 𝑢_𝑖−1^𝑛+1 + [1 + 2 ^𝛼∆𝑡

(∆𝑥)²] 𝑢_𝑖^𝑛+1−_(∆𝑥)^𝛼∆𝑡₂ 𝑢_𝑖+1^𝑛+1= 𝑢_𝑖^𝑛+1 (3) (Hoffman, 2000).

Oleh karena itu, pada praktikum persebaran panas dengan metode BTCS ini memiliki tujuan untuk mengetahui hasil persebaran panas dan perubahan suhu pada plat baja.

B. METODOLOGI PRAKTIKUM B.1 Kasus

Selesaikan persamaan berikut dengan menggunakan metode BTCS!

40^𝑜𝐶 48^𝑜𝐶 100^𝑜𝐶 18 cm

Apabila sebuah plat baja dengan panjang 18 𝑐𝑚 dengan langkah ruang (∆𝑥) sebesar 0,04 dipanaskan selama 40 detik dengan langkah waktu (∆𝑡) sebesar 0,025 dan nilai 𝑎 = 0,1 yang memiliki nilai awal yaitu 𝑇(𝑥, 0) = 48^𝑜𝐶 dengan kondisi batas 𝑇(0, 𝑡) = 40^𝑜𝐶 sampai dengan 𝑇(18, 𝑡) = 100^𝑜𝐶.

B.2 Algoritma 1. Dimulai program;

2. Dimasukkan nilai kondisi batas, nilai awal suhu (T) dan waktu (𝑡), interval waktu (∆𝑡), interval panjang (∆𝑥), serta koefisien difusi termal (𝑎);

3. Dilakukan perulangan untuk menghitung nilai sebaran panas ke bentuk matriks Hamiltonian dari metode BTCS, dengan rumus:

−𝜆𝑇_𝑖−1^𝑗+1+ (1 + 2)𝑇_𝑖^𝑗+1− 𝜆𝑇_𝑖+1^𝑗+1= 𝑇_𝑖^𝑗

Dengan:

(5)

𝜆 = 𝛼 ∆𝑡

∆𝑥²

4. Dihitung nilai persebaran panas menggunakan algoritma Thomas dengan rumus:

[

1 0 0 𝑎 𝑏 𝑐 0

0 0

𝑎 0 0

𝑏 𝑎 0

0 0 0 0 𝑐 𝑏 0

0 𝑐 1]

𝑥 [

𝑢₁^𝑛+1 𝑢₂^𝑛+1 𝑢₃^𝑛+1 𝑢₄^𝑛+1]

= [

𝑢₁^𝑛 𝑢₂^𝑛 𝑢₃^𝑛 𝑢₄^𝑛] Dengan matriks Hamiltonian:

𝑎_i𝑢_i−₁+ b_i𝑢_i+ c_i𝑢_i+₁= 𝑑_i 5. Ditampilkan hasil;

6. Diakhiri program.

B.3 Flowchart

Masukkan nilai kondisi batas T nilai awal dan 𝑡, ∆𝑡, ∆𝑥, serta 𝑎

Hitung nilai sebaran panas ke bentuk matriks Hamiltonian dengan menggunakan metode

BTCS

Tampilkan hasil

Selesai Mulai

Hitung nilai persebaran panas dengan algoritma Thomas

(6)

B.4 Script

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import ticker

# Parameter

L = 18.0 #Panjang baja time = 40.0 #Waktu awal dx = 0.4 #Langkah ruang dt = 0.025 #Langkah waktu

alpha = 0.1 #Koefisien difusi termal

# Step sizes

Nx = int(L/dx) Nt = int(time/dt)

x = np.linspace(0, L, Nx+1) t = np.linspace(0, time, Nt+1)

lambdae = alpha * dt / dx**2

boundaryConditions = [40, 100]

initialCondition = 48.0

# Array r = len(x) s = len(t)

T = np.zeros((r,s))

T[0,:] = boundaryConditions[0]

T[-1,:] = boundaryConditions[1]

# Input initialCondition T[1:-1,0] = initialCondition

(7)

# Create Tridiagonal Matrix (Left-Hand-Side) A = np.diag([1 + 2*lambdae]*(r-2)) + np.diag([- lambdae]*(r-3), 1) + np.diag([-lambdae]*(r-3), - 1)

# Right-Hand-Side for j in range(1,s):

B = T[1:-1, j-1].copy()

B[0] = B[0] + lambdae*T[0,j]

B[-1] = B[-1] + lambdae*T[-1,j]

# Solve the equation with TDMA C = A.copy()

C[0,:] = C[0,:] / A[0,0]

B[0] = B[0] / A[0,0]

for i in range(1, r-2):

C[i,:] = C[i,:] - C[i-1,:] * (-lambdae) B[i] = (B[i] - B[i-1] * (-lambdae)) / C[i,i]

C[i,:] = C[i,:] / C[i,i]

# Get the solution sol = B.copy()

for i in range(r-4, -1, -1):

sol[i] = B[i] - C[i,i+1] * sol[i+1]

# Assign the solutions to T array T[1:-1, j] = sol

(8)

print(T.round(3))

# Membuat grid untuk plotting X, T_plot = np.meshgrid(x, t) colorinterpolation=20

# Plot hasil

plt.figure(figsize=(10, 5))

plt.xlabel('Panjang baja (m)', fontname='Times New Roman', size=12)

plt.ylabel('Waktu (s)', fontname='Times New Roman', size=12)

# Mengatur colorbar dan contour

contour = plt.contourf(X, T_plot, T.T, colorinterpolation, cmap='viridis') colorbar = plt.colorbar(contour) tick=ticker.MaxNLocator(nbins=7) colorbar.locator=tick

colorbar.ax.set_title(label='Suhu (°C)', fontname='Times New Roman', size=12)

plt.show()

(9)

C. HASIL DAN PEMBAHASAN C.1 Hasil

Waktu (s)

Titik hitungan / Jarak (m)

0 0.4 0.8 ... 9.2 9.6 10.0 ... 17.2 17.6 18.0

0 40 48 48 ... 48 48 48 ... 48 48 100

0.025 40 47.878 47.998 ... 48 48 48 ... 48.011 48.788 100 0.050 40 47.761 47.994 ... 48 48 48 ... 48.035 49.552 100 0.075 40 47.647 47.989 ... 48 48 48 ... 48.068 50.294 100 0.100 40 47.536 47.982 ... 48 48 48 ... 48.112 51.014 100 0.125 40 47.428 47.974 ... 48 48 48 ... 48.165 51.713 100 0.150 40 47.324 47.965 ... 48 48 48 ... 48.227 52.392 100 0.175 40 47.222 47.954 ... 48 48 48 ... 48.296 53.051 100 0.200 40 47.124 47.942 ... 48 48 48 ... 48.374 53.692 100 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

20.0 40 41.271 42.492 ... 48 48 48.002 ... 83.798 91.734 100 20.025 40 41.270 42.491 ... 48 48 48.002 ... 83.807 91.740 100 20.050 40 41.269 42.489 ... 48 48 48.002 ... 83.817 91.745 100 20.075 40 41.269 42.488 ... 48 48 48.002 ... 83.826 91.750 100 20.100 40 41.268 42.486 ... 48 48 48.002 ... 83.836 91.755 100 20.125 40 41.267 42.485 ... 48 48 48.002 ... 83.846 91.760 100 20.150 40 41.266 42.483 ... 48 48 48.002 ... 83.855 91.765 100 20.175 40 41.266 42.482 ... 48 48 48.002 ... 83.865 91.770 100 20.200 40 41.265 42.480 ... 48 48 48.002 ... 83.884 91.775 100 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

39.87 40 40.902 41.786 ... 48.048 48.093 48.156 ... 88.390 94.136 100 39.90 40 40.901 41.785 ... 48.048 48.093 48.157 ... 88.394 94.138 100 39.92 40 40.901 41.784 ... 48.048 48.093 48.157 ... 88.394 94.140 100 39.95 40 40.901 41.784 ... 48.048 48.094 48.158 ... 88.401 94.142 100 39.97 40 40.900 41.783 ... 48.048 48.094 48.158 ... 88.404 94.143 100 40.0 40 40.900 41.783 ... 48.049 48.094 48.159 ... 88.408 94.145 100

(10)

C.2 Grafik

Gambar 1. Grafik Persebaran Panas Menggunakan Metode BTCS

C.3 Pembahasan

Berdasarkan hasil perhitungan dari persamaan Konveksi-Difusi dengan menggunakan metode BTCS (Backward Time Central Space) bahwa adanya perubahan suhu seiring berjalannya waktu, dimana pada plat baja dengan posisi 0 𝑐𝑚, memiliki suhu 40°𝐶 di setiap waktu hingga mencapai waktu 40 sekon.

Sedangkan pada posisi 18 𝑐𝑚, memiliki suhu 100°𝐶 di setiap waktu hingga mencapai waktu 40 sekon. Kemudian, pada posisi 0.4 𝑐𝑚 terjadi penurunan suhu sebesar 47.878°𝐶 pada waktu 0.025 sekon, 41.271°𝐶 pada waktu 20 sekon, 40.902°𝐶 pada waktu 39.87 sekon dan akan terus menurun hingga mencapai 40.900°𝐶. Sedangkan, pada posisi 10 𝑐𝑚 menghasilkan kenaikan suhu sebesar 48°𝐶 pada waktu 0.025 sekon, 48.002°𝐶 pada waktu 20 sekon, 48.157°𝐶 pada waktu 39.87 sekon dan akan terus meningkat hingga 48.159°𝐶. Kemudian pada posisi ke 17.6 𝑐𝑚 menghasilkan kenaikan suhu sebesar 48.788°𝐶 pada waktu 0.025 sekon, 91.734°𝐶 pada waktu 20 sekon, 94.143°𝐶 pada waktu 39.87 sekon dan akan terus meningkat hingga mencapai suhu 94.145°𝐶. Pada perubahan panas mengakibatkan terjadinya perubahan temperatur. Ditunjukkan saat waktu 0.025 detik temperatur telah mengalami peningkatan secara perlahan dengan jarak setiap

(11)

0 𝑐𝑚 hingga ke 18 𝑐𝑚 maka temperatur yang awalnya 40°𝐶 akan meningkat hingga mencapai temperatur 100°𝐶. Hal ini membuktikan bahwa adanya terjadi proses perubahan suhu terhadap waktu yang kemudian diperkuat dengan gambar grafik.

Grafik yang dihasilkan berupa grafik dengan tampilan 2D dengan skala 40°𝐶 sampai dengan 100°𝐶. Dalam gambar grafik terlihat hasil pesebaran panas pada plat baja sepanjang 18 𝑐𝑚 dengan suhu paling rendah sebesar 40°𝐶 dan suhu paling besar mencapai 100°𝐶. Dalam hasil grafik terlihat adanya hasil persebaran panas pada batang baja sepanjang 18 𝑐𝑚. Batang baja pada waktu 0.025 sekon dan posisi 0 𝑐𝑚 mula-mula memiliki suhu 40°𝐶 yang ditandai dengan warna biru gelap, kemudian suhu meningkat perlahan hingga mencapai 45°𝐶-50°𝐶 pada posisi ke 8 𝑐𝑚 dan waktu ke 7 sekon yang ditandai dengan warna biru. Setelah itu terjadi persebaran suhu hingga mencapai 55°𝐶 pada posisi ke 10 𝑐𝑚 dengan waktu 15 sekon yang ditandai dengan warna biru muda. Dari hasil grafik tersebut dapat diketahui suhu terendah 40°𝐶 ditandai dengan warna biru gelap dan suhu tertinggi 100°𝐶 ditandai dengan warna kuning cerah.

Maka dari itu dapat disimpulkan bahwa ketika suatu benda dipanaskan pada salah satu ujungnya, panas akan merambat melalui benda tersebut hingga mencapai kondisi seimbang termal di seluruh plat baja. Hal ini berarti bahwa ketika panas merambat dari kondisi awal plat baja yaitu 48°𝐶, suhu pada posisi 0.4 𝑐𝑚 hingga 17.6 𝑐𝑚 akan meningkat sedikit demi sedikit hingga mencapai suhu 94.145°𝐶 sehingga semakin lama waktu penyebaran yang diperlukan maka akan semakin meningkat pula suhu yang menyebar di setiap posisi plat baja.

(12)

DAFTAR PUSTAKA

Hoffman, Klaus A., dan Steve T. Chiang. 2000. Computational Fluid Dynamics Volume 1 Fourth Edition. Wichita: A Publication of Engineering Education System.

Huda, C., Harja, A., Dharmawan. 2014. Simulasi Konveksi-Difusi Dalam Media Berpori. Jurnal Ilmu-ilmu Hayati dan Fisik, Vol.16(2): 68-71.

Triatmodjo, Bambang. 2002. Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.