MAKALAH
MEMAHAMI DAN MENGENAL KONSEP LOGIKA DAN APLIKASINYA
Untuk memenuhi tugas mata kuliah matematika Dosen : Vivi Andrianingsih, M.Pd
TIM PENYUSUN
1 . MUHAMMAD RIDO (2024592010090) 2 . YUSRON HADI ZIKRAN (2024592010100) 3 . NIA ARINA (2024592010105)
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI SEMESTER 1
INSTITUT TEKNOLOGI & KESEHATAN ASPIRASI TAHUN AJARAN 2024/2025
Kata Pengantar
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul "Mengenal dan Memahami Konsep Logika dan Aplikasinya." Makalah ini disusun sebagai upaya untuk memahami dan mengenal lebih dalam tentang logika, serta aplikasinya dalam berbagai bidang, termasuk pemrograman, matematika, dan filsafat.
Logika adalah alat penting dalam penalaran dan pengambilan keputusan, yang membantu kita membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid. Dengan memahami konsep dasar logika, diharapkan teman-teman dapat meningkatkan kemampuan berpikir kritis dan analitis.
Tidak lupa saya mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan, baik secara langsung maupun tidak langsung, dalam penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat dan dapat menjadi referensi bagi teman-teman.
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR………..ii
DAFTAR ISI……….iii
BAB I PENDAHULUAN……….1
A. PENGERTIAN LOGIKA MATEMATIKA……….1
JENIS LOGIKA MATEMATIKA………1
· PERNYATAAN……….1-2 a. PERNYATAAN TUNGGAL………..2
· INGKARAN………..2-3 b. PERNYATAAN MAJEMUK………3
· KONJUNGSI……….………3-4 · DISJUNGSI………..4-5 · IMPLIKASI………..5-6 · BIIMPLIKASI……….6-7 BAB II PENUTUP………8
· KESIMPULAN………...8
DAFTAR PUSTAKA………9
BAB I
PENDAHULUAN A. Pengertian Logika Matematika
Logika matematika adalah acuan berpikir tentang bagaimana mengambil suatu kesimpulan dari kondisi tertentu. Melalui logika semacam ini, kamu akan dilatih untuk selalu logis dan teliti dalam mengambil setiap kesimpulan. Misalnya saja, kamu harus bisa membedakan suatu kalimat termasuk pernyataan, bukan pernyataan, atau kalimat terbuka. Logika matematika hanya akan berlaku pada pernyataan. Lantas, bagaimana dengan kalimat terbuka? Tentu tidak berlaku, ya. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum memiliki nilai kebenaran pasti, contoh “2x + 3 = 7”, “Hari ini akan berpotensi hujan”, “Besok telur ayam akan menetas”, dan sebagainya.
1. Jenis Logika Matematika
Secara umum, logika matematika dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan dan penarikan kesimpulan.
· Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bisa dibuktikan kebenarannya. Artinya, pernyataan hanya memuat satu nilai kebenaran, benar saja atau salah saja. Kedua nilai kebenaran itu tidak bisa melekat secara bersamaan pada suatu pernyataan. Adapun contoh pernyataan adalah sebagai berikut.
1.Ibukota Indonesia adalah Jakarta. (benar)
2. Lamanya Bumi berotasi adalah 24 jam (benar)
3. Teori gravitasi dikemukakan oleh Albert Einstein. (salah)
4. Hasil penjumlahan 3 + 5 = 7. (salah)
Secara umum, pernyataan dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan tunggal dan majemuk. Apa perbedaan antara keduanya?
a. Pernyataan Tunggal
Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang bisa berdiri sendiri, sehingga tidak dibutuhkan tanda hubung. Secara matematis, pernyataan bisa dinyatakan sebagai p atau q. Contoh
pernyataan tunggal “Ayah pergi ke kantor (p)”, “Ibu masak rendang (q)”, “Adik berangkat sekolah (r)”, dan sebagainya.
· Ingkaran
Selain pernyataan, ternyata juga ada ingkaran pernyataan lho. Apakah itu? Ingkaran adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran berlawanan dengan pernyataan semula.
Contoh ingkaran adalah ~p. Contohnya kalimat ingkaran adalah sebagai berikut.
1. Pernyataan: Ayah pergi ke kantor (p)
2. Ingkaran: Ayah tidak pergi ke kantor (~p)
3. Pernyataan: Ibu masak rendang (q)
4. Ingkaran: Ibu tidak masak rendang (~q)
5. Pernyataan: tomat bukan sayur (r)
6. Ingkaran: tomat adalah sayur (~r)
Berikut ini tabel kebenaran untuk ingkaran.
p ~ p
B S S B
Dengan: B = benar dan S = salah
b. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal melalui tanda hubung. Contoh pernyataan majemuk adalah “Jika ayah ke kantor, ibu masak rendang”, “Adik bermain sepak bola dan kasti”, dan sebagainya. Pernyataan majemuk dibagi menjadi empat jenis, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Apa perbedaan antara keempatnya?
· Konjungsi
Konjungsi adalah gabungan antara dua atau lebih pernyataan tunggal melalui tanda hubung “dan”. Secara matematis, konjungsi dilambangkan sebagai (p ∧ q). Perhatikan contoh konjungsi berikut.
1. p = Feri makan nasi
2. q = Feri makan bakso
3. p ∧ q = Feri makan nasi dan bakso
Konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan benar. Jika penasaran, berikut ini adalah tabel kebenaran konjungsi.
p q p ^ q
B B B B S S S B S S S S
Lalu, bagaimana bentuk ingkaran konjungsi? Bentuk ingkaran konjungsi bisa dinyatakan sebagai berikut.
Jika hasil konjungsi “Feri makan nasi dan bakso” dibuat ingkarannya, akan menjadi seperti berikut.
p ∧ q = Feri makan nasi dan bakso. (konjungsi)
~(p ∧ q) ≡ ~p ~q = Feri tidak makan nasi dan bakso. (ingkaran konjungsi)
· Disjungsi
Disjungsi adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan tunggal melalui tanda hubung
“atau”. Secara matematis, disjungsi dinyatakan sebagai (p v q). Perhatikan contoh disjungsi berikut.
1. p = Julia bekerja di Pasar Baru.
2. q = Julia hobi bermain basket.
3. p vq = Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket. 🡪 contoh kalimat disjungsi
Disjungsi akan bernilai benar jika salah satu atau kedua pernyataan benar. Adapun tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut.
p q pV q
B B B B S B S B B S S S
Lalu, bagaimana bentuk ingkaran disjungsi?
Dengan demikian, ingkaran disjungsi “Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket” adalah sebagai berikut.
p vq = Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket. (disjungsi)
~(p v q) ≡ ~p ∧ ~q = Julia tidak bekerja di pasar dan tidak hobi bermain basket.
(ingkaran disjungsi)
· Implikasi
Implikasi adalah gabungan dari dua pernyataan sebagai hubungan sebab akibat. Implikasi ditandai dengan “jika …, maka …” dan biasa dinyatakan sebagai p =>q. Perhatikan contoh implikasi berikut.
1.p = Ani makan bakso.
2. q = Jeni akan datang ke rumah.
3. p => q = Jika Ani makan bakso, maka Jeni akan datang ke rumah. 🡪 contoh kalimat implikasi
p q p =>
q
B B B B S S S B B S S B
Adapun ingkaran dari implikasi adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, ingkaran dari hasil implikasi “Jika Ani makan bakso, maka Ani tidak makan di rumah” adalah sebagai berikut.
p => q = Jika Ani makan bakso, maka Jeni akan datang ke rumah. (implikasi)
~(p => q) ≡ p ∧ ~q = Ani makan bakso dan Jeni tidak datang ke rumah. (ingkaran implikasi)
· Biimplikasi
Biimplikasi adalah gabungan antara dua pernyataan yang dihubungkan dengan “… jika dan hanya jika …”. Biimplikasi biasa dinyatakan sebagai (p ⬄ q). Untuk lebih jelasnya, simak contoh biimplikasi berikut.
1. p = Gilang akan mendapatkan hadiah.
2. q = Gilang menjadi juara kelas
3. p ⬄ q = Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas. 🡪
Biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan sama-sama benar atau sama- sama salah. Perhatikan tabel kebenaran berikut.
p q p <=>
q
B B B B S S S B S S S B
Adapun bentuk ingkaran dari biimplikasi adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, ingkaran dari biimplikasi “Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas” adalah sebagai berikut.
p ⬄ q = Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas.
~(p <=> q) ≡ (p ∧ ~q) v (q ∧ ~p) = Gilang akan mendapatkan hadiah dan tidak menjadi juara kelas atau Gilang menjadi juara kelas dan tidak akan mendapatkan hadiah.
BAB II
PENUTUP
· Kesimpulan
Konsep logika matematika mencakup studi tentang struktur argumen dan validitas inferensi menggunakan simbol dan aturan formal. Ia menjadi dasar bagi disiplin lain seperti matematika, ilmu komputer, dan filsafat, dengan fokus pada pengembangan sistem formal dan pemahaman tentang kebenaran. Dengan mendelok lebih dalam, logika matematika membantu kita memahami batasan dan kemampuan pemikiran manusia dalam merumuskan argumen dan menyelesaikan masalah.
DAFTAR PUSTAKA
· Mendelson, E. (2015). Introduction to Mathematical Logic. CRC Press.
· Kleene, S. C. (1995). Mathematical Logic. Wiley.
· Suppes, P. (2009). A Concise Introduction to Logic. Stanford University Press.
· Priest, G. (2000). Logic: A Very Short Introduction. Oxford University Press.
· Enderton, H. B. (2001). A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press.
· Huth, M., & Ryan, M. (2004). Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems.
Cambridge University Press.
· Boolos, G., Burgess, J. P., & Jeffrey, R. C. (2002). Computability and Logic. Cambridge University Press.
· van Dalen, D. (2013). Logic and Structure. Springer.
