1
PENGANTAR KONTROL MAJU
Program Studi Teknik Elektro
disusun oleh:
Erwin Susanto, Ph.D
Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T.
Agung Surya Wibowo, M.T.
Cahyantari Ekaputri, M.T.
FAKULTAS TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS TELKOM
2015
2
REFERENSI
1) Optimal Control : Linear Quadratic Methods, Brian D.O. Anderson, Prentice-Hall, 1991 2) Robust Control Design with MATLAB, D.-W.Gu, Springer, 2005
3) Design Methods for Control Systems, Dutch Institute of Systems and Control, 2008 4) Advance Control Engineering, Roland S Burn, Butterworth Heinemann
5) Kemin Zhou, John C. Doyle, and Keith Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996.
6) Open Course Ware-MIT. Optimal Control of Dynamics System.
3
Kata Pengantar
Bismillahirrohmaanirrohiim,
Segala puji hanya bagi Alloh subhanalloh wa ta’ala, karena berkat kemudahan dari-Nya, sehingga kami dapat menyusun buku “Pengantar Kendali Maju” ini. Buku ini, terkhusus ditujukan bagi para mahasiswa yang berkeinginan untuk mempelajari teori maupun aplikasi kendali optimal dan kendali kokoh (robust). Tentu saja, pengetahuan dasar matematika, fisika dan dasar-dasar teknik kendali diperlukan untuk memahami materi pada buku ini. Buku pengantar kendali maju ini disusun berdasarkan pengalaman mengajar tim penulis dalam mata kuliah Kontrol Lanjut di Prodi Teknik Elektro, Universitas Telkom Bandung.
Secara garis besar, materi buku ini terdiri atas pengenalan sistem kendali, kendali kalang terbuka (open-loop) dan kalang tertutup (closed-loop), kendali analog dan diskrit, konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern difokuskan pada kendali optimal dan kendali kokoh (robust) seperti permasalahan optimasi nonlinier unconstrained dan constrained dengan pemrograman dinamik, variasi kalkulus dan solusi numerik. Beberapa metode kendali optimal dan kokoh yang disajikan dalam buku ini, diantaranya kendali LQR, LQE, LQG, H2, H~, dan gabungan H2/H~.
Berikutnya, kami ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak, salah satunya Bagian Pembelajaran Universitas Telkom yang telah memfasilitasi penyusunan buku ajar ini. Besar harapan kami, buku ini bermanfaat bari pembaca sekalian terutama para mahasiswa yang belajar sistem kendali. Akhir kata, komentar dan masukan yang membangun sangat diharapkan bagi penyempurnaan buku ini.
Bandung, 2015
Penyusun
1
DAFTAR ISI
REFERENSI ... 2
Kata Pengantar ... 3
DAFTAR ISI ... 1
BAB 1 Review Sistem Kendali ... 4
1.1. Pengenalan Sistem Kendali ... 4
1.2. Perkembangan Sistem Kontrol ... 5
1.3. Beberapa Istilah Penting dalam Sistem Kontrol ... 8
1.4. Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup ... 9
1.5. Aplikasi Sistem Kontrol lup terbuka dan lup tertutup ... 10
1.6. Tahapan Perancangan Sistem Kendali ... 16
1.7. Kontrol Analog dan Diskrit ... 16
1.8. Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern ... 21
1.9. Latihan Soal ... 30
BAB 2 Pemodelan Sistem ... 34
2.1. Sistem Dasar Elektrik ... 34
2.2. Sistem Mekanik ... 35
2.3. Sistem Thermal ... 36
2.4. Model Ruang Keadaan ... 36
2.5. Latihan Soal ... 37
BAB 3 Kontrol Optimal Dasar... 39
3.1. Pengenalan ... 39
3.2. Formulasi Masalah Kontrol Optimal ... 43
3.3. Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal ... 50
3.3.1. Fungsi dan Fungsional ... 50
3.4. Latihan Soal ... 58
BAB 4 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator) ... 60
4.1. Formulasi Masalah... 60
4.2. LQR untuk waktu-terbatas (finite-time) ... 61
4.3. Contoh LQR waktu-kontinyu ... 65
4.4. Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit... 70
4.5. Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka ... 72
2
4.6. Permasalahan tracking pada LQR ... 75
4.7. Latihan Soal ... 77
BAB 5 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)... 80
5.1. Review: Proses Random ... 80
5.2. Observer/ Estimator ... 82
5.3. Kalman Filter ... 83
5.4. Model LQE/kalman Filter ... 87
5.5. Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator) ... 88
5.6. Latihan Soal ... 89
BAB 6 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian) ... 92
6.1. Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian) ... 92
6.2. Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG ... 93
6.3. Latihan Soal ... 98
BAB 7 Kontrol Robust ... 101
7.1. Pengenalan Kendali Kokoh ... 101
7.2. Kontrol Optimal dan ... 103
7.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust ... 110
7.3.1.Ketidakpastian (uncertainty) ... 110
7.3.2. Kestabilan Robust ... 114
7.3.3. Linear Transformation Fractional (LFT) ... 116
7.4. Contoh Kasus ... 117
3
BAB 1
REVIEW SISTEM KENDALI
4
BAB 1 Review Sistem Kendali
Tujuan dari BAB 1 ini adalah untuk mengenalkan kepada mahasiswa tentang istilah-istilah yang digunakan pada sistem kontrol dan mengenalkan kembali beberapa aplikasi sistem kendali yang digunakan pada kehidupan nyata.
1.1.
Pengenalan Sistem Kendali
Sejarah manusia tidak lepas dari upaya mengendalikan dan mengatur lingkungan dimana mereka tinggal, dalam rangka memenuhi kebutuhan hidupnya secara nyaman. Pada awalnya mereka menggunakan peralatan dari batu sebagai alat berburu, yang lambat laun berkembang dan diganti dengan logam. Memanfaatkan kecerdasan dan pengalaman yang diperoleh, maka berkembanglah teknologi berburu dan mencari sumber pangan.
Memanfaatkan hewan sebagai peralatan transportasi dan berburu telah berlangsung lama sampai kemudian digantikan dengan mesin. Prinsip utama kerja mesin adalah dengan memanfaatkan proses pengaturan. Suatu pengaturan sendiri merupakan kemampuan mengukur keluaran dan mengkoreksinya jika tidak sesuai dengan masukan yang diinginkan.
Sebuah sistem kontrol dapat diartikan sebagai susunan beberapa komponen yang membentuk konfigurasi sistem untuk menghasilkan tanggapan yang diinginkan. Suatu komponen atau proses yang dikendalikan dapat digambarkan sebagai kotak dengan masukan dan keluaran (Gambar.1.1)
Proses yang dikendalikan Gambar 1.1.
Relasi masukan-keluaran menyajikan relasi sebab dan efek suatu proses yang lebih pada pemrosesan sinyal masukan untuk mendapatkan peubah sinyal keluaran, yang seringkali masih memerlukan penguatan daya. Sistem kontrollup terbuka (open loop) menggunakan pengendali dan aktuator untuk menghasilkan tanggapan yang diinginkan (lihat Gambar 1.2)
Kontrol lup terbuka Gambar 1.2.
Berbeda dengan kontrollup terbuka, sistem kontrollup tertutup menggunakan tambahan pengukuran keluaran untuk dibandingkan dengan tanggapan yang diinginkan. Selisih dari
Proses
masukan keluaran
Proses Aktuator
Pengendali Tanggapan
yang diinginkan Keluaran
5 perbandingan kedua sinyal merupakan sinyal galat yang akan menentukan aksi control (lihat Gambar 1.3). Pengukuran keluaran tersebut merupakan sinyal umpan balik
Kontrollup tertutup dengan umpan balik Gambar 1.3.
Kemampuan mengatasi gangguan terhadap sistem merupakan salah satu kelebihan sistem kontrollup tertutup. Gangguan dan noise pengukuran biasanya muncul pada aplikasi dinamika sistem kontrol seperti pada gambar 1.4 dibawah ini.
Kontrol lup tertutup dengan umpan balik dan gangguan Gambar 1.4.
1.2.
Perkembangan Sistem Kontrol
Sebelum memasuki pembahasan tentang kontroloptimal dan kontrolkokoh, ada baiknya kita mengetahui sejarah perkembangan sistem kontrolsecara garis besar.
Tahapan perkembangan teknologi manusia yang fenomenal adalah dikembangkannya mesin uap yang menjadi tonggak kemunculan era revolusi industri. Persoalan yang muncul, bagaimana mengendalikan kecepatan rotasi mesin tanpa intervensi manusia secara berulang-ulang. Disinilah kemudian dikembangkan, salah satunya oleh James Watt (1769), pendulum kanonik yang mempunyai sudut inklinasi sebagai fungsi kecepatan anguler poros mesin. Pendulum ini diaplikasikan pada desain mesin generator kecepatan sentrifugal, atau disebut juga dengan flyball. Pengembangan ini merupakan langkah awal control otomatis pada mesin.
Proses Aktuator
Pengenda li Tanggapan
yang diinginkan Keluaran
-
Sensor
Umpan balik uaran Sinyal galat
balik uaran
Proses Aktuator
Pengendali Tanggapan
yang diinginkan Keluaran
-
Sensor
Umpan balik uaran Sinyal galat
balik uaran
- -
Gangguan
Noise pengukuran
6 Secara ringkas sejarah perkembangan teknik kendali, berikut ini:
1769
• Mesin uap James Watt dan alat pengontrol yang dikembangkan. Mesin uap Watt dalam sejarahnya menandakan awal dari Revolusi industri di Inggris.
Selama Revolusi Industri, lompatan besar dibuat dalam perkembangan mekanisasi, merupakan awal teknologi otomasi.
1800
• Konsep Eli Whitney tentang manufaktur per bagian yang dapat saling ditukar, yang diperlihatkan pada produksi senapan. Perkembangan ini sering disebut sebagai awal dari produksi massal.
1868 • J. C. Maxwell memformulasikan model matematis untuk kontrol pengatur mesin uap.
1913 • Mesin perakitan mekanik Henry Ford diperkenalkan untuk produksi otomobil.
1927 • H. W. Bode menganalisis penguatan umpan balik.
1932 • H. Nyquist mengembangkan metode untuk menganalisis kestabilan sistem.
1952 • Kontrol Numerik dikembangkan di MIT untuk kontrol sumbu alat-mesin.
1954
• George Devol mengembangkan "programmed article transfer", dianggap sebagai desain robot industri yang pertama.
1960
• Robot Unimate pertama diperkenalkan, berbasis desain Devol. Unimate mulai dirakit pada tahun 1961 untuk mesin tending-die casting (pencetakan hasil peleburan metal)
1970 • Mulai dikembangkan model variabel keadaan dan kendali optimal
1980 • Sistem kendali kokoh/robust mulai dipelajari secara luas
1990 • Perusahaan manufaktur berorientasi-eskpor menggunakan otomasi.
1994
• Kontrol umpan balik secara luas digunakan pada otomobil. Karena keterandalannya, sistem robust banyak dipakai di manufaktur.
7 Ilustrasi Pengatur Mesin Uap “Watt Flyball”1
Gambar 1.5.
(a) (b)
(a) Lift pada awal mula dikontrol dengan tali dan operator Gambar 1.6.
tangan. Di sana diperlihatkan inovasi safety brake (rem keamanan) saat tali dipotong. (b) Lift modern duo di Grande Arche Paris, digerakkan oleh satu motor, dengan tiap lift saling menyeimbangkan satu sama lain.
1 Gambar diambil dari Advanced Control Engineering, Roland S Burn
8 Sekarang, lift sudah otomatis secara penuh, menggunakan sistem kontrol untuk mengatur posisi dan kecepatan.
Ruang perakitan programmable robot yang dapat merakit 17 Gambar 1.7.
bagian dari alternator otomobil (alternator = generator listrik yang mengubah energi mekanik menjadi energi listrik dalam bentuk arus bolak- balik/AC) dalam waktu 2 menit 42 detik.
1.3.
Beberapa Istilah Penting dalam Sistem Kontrol
Untuk memudahkan pembaca dalam memahami buku ini, perlu dijelaskan beberapa istilah yang sering dipakai, diantaranya:
o Sistem : merupakan kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama- sama dan membentuk suatu tujuan tertentu.
o Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu perkembangan yang dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.
o Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang terdiri dari beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan pada suatu hasil atau akhir.
o Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.
9 o Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-sama untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan:
reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)
o Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai output suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.
o Kontrolumpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan akan cenderung akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.
Sistem Kontrol
Masukan: stimulus Keluaran: respons Respon yang
diinginkan Respon aktual
Sistem Kontrol Sederhana Gambar 1.8.
1.4.
Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup
Pada dasarnya, sistem kontroldikategorikan menjadi 2, yakni sistem kontrollup terbuka dan sistem kontrollup tertutup. Masing-masing sistem kontroltersebut dijelaskan berikut ini:
1. Sistem Kontrol Lup Terbuka
Sistem kontrol lup terbuka menggunakan actuating device (alat penggerak/ aktuator) untuk mengontrol proses secara langsung tanpa menggunakan feedback/ umpan balik.
Sistem
Kontrol Keluaran Sinyal aktuator
Aktuator
Respon yang diinginkan
Sistem Kontrol Lup Terbuka Gambar 1.9.
2. Sistem Kontrol Lup Tertutup
Berbeda dengan sistem kontrollup terbuka, sistem kontrol lup tertutup menggunakan pengukuran dari sinyal keluaran dan mengumpan-balikkan sinyal tersebut untuk dikomparasi/dibandingkan dengan masukan yang diinginkan/masukan referensi/masukan perintah.
Sistem Kontrol
Keluaran
Pengendali
Pengukuran Komparator
Respon yang diinginkan
Sistem Kontrol Lup Tertutup Gambar 1.10.
10
Sistem Kontrol
Keluaran Sinyal aktuator
Aktuator
Sinyal kendali
Sensor
Respon yang diinginkan
Sinyal Umpan Balik Sinyal output
Pengukuran
Pengendali +
-
Sinyal galat/eror
Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Umpan Balik Negatif Gambar 1.11.
Plant/
proses
Keluaran/variabel yang dikendalikan Sinyal Gangguan
Masukan
Masukan/
referensi
Pengendali Tranduser
masukan
Sinyal Gangguan keluaran
+
+ +
+
Sistem Kontrol Lup Terbuka dengan Gangguan Gambar 1.12.
Plant/
proses
Keluaran/variabel yang dikendalikan Sinyal Gangguan
Masukan
Tranduser keluaran/
Sensor
Masukan/
referensi
Sinyal Umpan Balik Sinyal output
Pengukuran
Pengendali +
-
Sinyal galat/eror
Tranduser masukan
Sinyal Gangguan keluaran
+
+ +
+
Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Gangguan Gambar 1.13.
Proses
Variabel keluaran
Pengukuran Pengendali
Respon keluaran yang diinginkan
Sistem Kontrol Multivariabel (Multi-Input Multi-Output/ MIMO) Gambar 1.14.
1.5.
Aplikasi Sistem Kontrol lup terbuka dan lup tertutup
Beberapa aplikasi sistem kendali, diantaranya adalah kontrolposisi dan kecepatan motor dc, kontrolgula darah otomatis, kontrollintasan kendaraan, kontrolposisi azimuth antena dan sebagainya.
11 (a)
(b)
(a) Sistem lup terbuka pengaturan kecepatan meja putar. (b) Gambar 1.15.
Model blok diagram
(a)
(b)
(c)
(a) Grafik kadar gula darah dan insulin setelah waktu makan. (b) Gambar 1.16.
Sistem lup terbuka. (c) Sistem lup tertutup
12 (a)
(b)
(a) Pengemudi menggunakan selisih antara arah aktual dan arah Gambar 1.17.
mobil yang diinginkan untuk untuk menghasilkan pengaturan setir. (b) Model diagram blok sistem kontrol setir otomobil.
(a)
13 (b)
(c)
(a) Sistem kontrol posisi azimuth antena. (b) Rangkaian Gambar 1.18.
skematik. (c) Diagram blok fungsional
Sistem kontrol koordinasi pada boiler-generator Gambar 1.19.
14 Sistem kontrol temperatur pada ruang penumpang (mobil) Gambar 1.20.
Sistem kontrol posisi sumbu-tiga pada keping semikonduktor Gambar 1.21.
dengan kamera super sensitif
15 Sistem kontrol lengan robot dengan proses rekognisi-pola
Gambar 1.22.
Sistem kontrol dengan umpan balik pada model ekonomi Gambar 1.23.
16 1.6.
Tahapan Perancangan Sistem Kendali
Perancangan suatu sistem kontrolsecara umum membutuhkan beberapa langkah yang dapat digambarkan dalam diagram alir dibawah ini.
. Diagram alir perancangan suatu sistem kontrol Gambar 1.24.
1.7.
Kontrol Analog dan Diskrit
Pemanfaatan teknologi digital pada banyak aplikasi dan rekayasa teknik ikut berpengaruh pada perkembangan teknik kendali. Kemajuan teknologi komputer dan prosesor saat ini sangat menguntungkan bagi desain sistem kendali. Dari sini, tren desain kontrol digital perlahan menggantikan desain kontrol analog. Dapat dipahami bahwa umumnya plant maupun proses yang ingin dikendalikan merupakan besaran analog yang kontinyu, sedangkan pengendali (controller) yang digunakan dengan adanya teknologi prosesor
Mulai
Definisikan spesifikasi kinerja sistem
Identifikasi komponen sistem yang dibutuhkan
Pemodelan sistem dan periksa tanggapan sistem
Sesuai kriteria
Tetapkan kendali yang digunakan
Pilih komponen yang lain
A
A
Simulasikan tanggapan sistem spesifikasi kinerja
Sesuai spesifikasi kinerja?
Atur strategi kendali yang digunakan
Aplikasikan pada sistem fisik
Lakukan pengukuran pada sistem fisik
Sesuai spesifikasi kinerja?
Selesai
Atur strategi kendali yang digunakan
17 adalah control digital sehingga diperlukan perancangan control diskrit. Untuk itu, perlu adanya pengubahan besaran fisis analog-digital dan digital ke analog.
Sistem kontrol dengan mikroprosesor Gambar 1.25.
Untuk proses konversi analog- digital digunakan proses penyuplikan (sampling), dimana sinyal analog yang dicuplik menghasilkan
∑ (1.4)
Penyuplik (sampler) Gambar 1.1.
Hasil proses sampling/pencuplikan Gambar 1.26.
Sementara metode paling umum dipakai untuk konversi digital-analog (D/A conversion) adalah dengan zero-order-hold (ZOH), dimana mengkonversi sinyal-sinyal impuls menjadi deretan pulsa dengan lebar . Fungsi alih ZOH adalah sebagai berikut:
[ ] (1.6)
18 Zero Order Hold (ZOH)
Gambar 1.27.
Transformasi-
Merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit.
Tabel 1.1. Transformasi- dan Transformasi Laplace
19 Contoh 1:
[ ] ∑
Diperoleh
NB: cara sederhana yaitu dengan deret geometri
_
Sehingga
Untuk diperoleh
Contoh 2:
Diberikan sistem data sampling orde-1 berikut
Cari fungsi alih dalam domain- , diketahui waktu sampling . (
) Dengan transformasi- diperoleh:
20 .
/
Dengan inversi transformasi- diperoleh:
NB: Bandingkan dengan sistem sama untuk waktu-kontinyu dengan masukan unit step (tanpa ZOH) diperoleh . Jika diberikan masukan unit ramp (tanpa ZOH) diperoleh .
Kaitan transformasi- dan transformasi Laplace:
Contoh 3:
Cari fungsi alih dari sistem lup tertutup berikut:
(a).
Jawab:
(b).
21 Jawab:
1.8.
Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern
Teori kontrol yang sering digunakan saat ini adalah teori kontrolklasik atau disebut teori kontrol konvensional, teori kontrol modern, dan teori kontrol robust (Ogata, 2014).
1. Kontrol klasik
Dimulai dari pengatur sentrifugal James Watt untuk kontrol kecepatan dari mesin uap pada abad ke-18. Metode respons frekuensi dan metode root locus adalah inti dari teori kontrol klasik, dimana mengacu kepada kestabilan sistem dan memenuhi beberapa kriteria performa tertentu (dari respons transien dan tunak sistem). Sistem tersebut dapat diterima secara umum, namun tidak optimal untuk suatu kriteria tertentu dari desain sistem kontrol. Pada akhir tahun 1950, fokus masalah desain kontrol bergeser dari konsep mendesain satu/banyak sistem kontrol (kuantitas) menjadi desain untuk satu sistem kontrol yang optimal sesuai performa tertentu yang diinginkan (kualitas).
Adapun dalam perkembangan sistem kontrol, sistem kontrol klasik yang berkaitan dengan sistem SISO (single-input single-output) menjadi kurang cocok dan powerful untuk diterapkan pada sistem MIMO (multiple-input multiple-output). Pada tahun 1960, dimulai era komputer digital, memungkinkan dilakukan analisis sistem kompleks dalam domain waktu dan sintesis menggunakan variabel state. Hal tersebut mendorong kompleksitas dari plant modern dan kriteria akurasi yang tinggi, bobot, dan cost yang diimplementasikan di bidang militer, antariksa, dan aplikasi industri.
a. Analisis respons domain waktu
Analisis ini dapat dilakukan jika diketahui:
- Sifat alami/natural dari masukan/input, sebagai fungsi waktu - Model matematis dari sistem
Respons domain waktu terdiri dari 2 komponen yaitu:
a) Respons transien: komponen ini biasanya berbentuk eksponensial, perubahannya akan semakin kecil seiring waktu dan menuju nol pada sistem stabil (BIBO). Respons transien merupakan respon natural dari sistem dinamik, dan tidak bergantung pada masukan/input. Cara sederhana untuk
22 menentukan respon alamiah/natural yaitu dengan memberikan input impuls pada sistem dan dilihat respons keluarannya.
Contoh 1 (MATLAB):
Sistem dengan masukan unit step dan plant dimodelkan dengan persamaan dinamik berikut:
Dengan transformasi Laplace diperoleh keluarannya:
(
) ( )
Keluaran dalam domain-waktu yaitu:
, untuk
Syntax MATLAB:
Dengan Laplace:
Atau hasil yang sama dapat diperoleh dalam domain waktu, :
0 1 2 3 4 5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1.4 Step Response
Waktu (t) (seconds)
c(t)
num = [0 1 5]; % Pembilang G den = [1 2 5]; % Penyebut G step(num,den) % Plot grafik xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');
t = linspace(0,5);
C = 1 - exp(-t).*cos(2*t);
plot(t,C);
xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');
23 Spesifikasi respons transien orde-2:
Contoh respons unit step sistem orde-2, ( Gambar 1.2.
Waktu delay, : waktu yang diperlukan respons untuk mencapai setengah dari nilai akhir saat kali pertama.
Waktu naik (rise time), : waktu yang diperlukan respons dari 10% ke 90%, atau 5% ke 95%, atau 0% ke 100% dari nilai akhir.
Waktu puncak (peak time), : waktu yang diperlukan respons untuk mencapai puncak pertama pada kondisi overshoot.
Overshoot maksimum ( ): persentase nilai puncak maksimum terhadap respons keadaan tunaknya.
( )
(1.7)
Waktu menetap (settling time), : waktu yang diperlukan respons untuk mencapai range nilai akhir mutlak (2% atau 5%).
0 1 2 3 4 5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Waktu (t)
c(t)
24 Contoh 2 MATLAB:
Mencari waktu naik, waktu puncak, overshoot maksimum, dan waktu menetap dari sistem orde-dua dan sistem orde-tinggi:
Diperoleh hasil:
b) Respons steady state/keadaan tunak: merupakan respons dari sistem setelah komponen transien.
% Contoh 2:
% 25 1
% G(s)= --- ; R(s)= -
% s^2+6s+25 s
num = [25]; % Asumsi zeta = 0.6 dan wn = 5 den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
[y,x,t] = step(num,den,t);
r = 1; while y(r) < 1.0001; r = r + 1; end;
% Rise Time (tr)
rise_time = (r - 1)*0.005
% Peak Time (tp) [ymax,tp] = max(y);
peak_time = (tp - 1)*0.005
% Maximum Overshoot (%Mp) max_overshoot = ymax-1
% Settling Time (ts)
s = 1001; while y(s) > 0.98 & y(s) < 1.02; s = s - 1; end;
settling_time = (s - 1)*0.005
rise_time = 0.5550 peak_time = 0.7850 max_overshoot = 0.0948 settling_time = 1.1850
25 Klasifikasi sistem kontrol:
∏
∏ (1.8)
Dengan nilai
adalah jumlah pole pada titik origin tipe sistem (tipe- ) G(s) C(s)
R(s) +
-
E(s)
Fungsi alih lup tertutup:
(1.9)
Sinyal galat:
Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh:
(1.10)
Galat keadaan tunak (steady-state error):
(1.11)
Contoh galat keadaan tunak untuk masukan sinyal unit step, sinyal unit ramp, dan sinyal parabolik/akselerasi:
Masukan Sistem
Input Step
Input Ramp
Input Parabolik Tipe-
Tipe-
Tipe-
Dimana adalah penguatan proporsional sistem.
b. Analisis domain respons frekuensi
Penguatan proporsional
Magnitudo:
Fasa:
Faktor integral dan derivatif
o Integral
Magnitudo:
26 |
|
Slope/gradien garis: atau Fasa:
o Derivatif Magnitudo:
Slope/gradien garis: atau Fasa:
Faktor orde-1
Magnitudo:
|
| √ Pendekatan dengan 2 garis asimtot:
27 - √
- √ , jadi ketika (titik potong kedua asimtot) (frekuensi sudut/).
Selanjutnya dibuat garis dengan gradien .
Fasa: pada , sudut fasanya . Pada frekuensi sudut , sudut fasanya . Pada , sudut fasanya .
Faktor kuadratik/orde-2
. ( ) ( ) /
Magnitudo:
|
( ) ( )
|
(√ . / ( ) ) Pendekatan dengan 2 garis asimtot:
-
- , jadi ketika (titik potong kedua asimtot) (frekuensi sudut/).
Selanjutnya dibuat garis dengan gradien .
- Koefisien redaman , pengaruhnya terhadap magnitudo dan sudut fasa yaitu sbb:
28 Fasa:
[ ( )
]
Pada , sudut fasanya . Pada frekuensi sudut , sudut fasanya . Pada , sudut fasanya .
2. Kontrol modern
Pada kurun waktu dari tahun 1960 sampai 1980, mulai dipelajari kontrol optimal, baik sistem deterministik maupun stokastik, begitu juga kontrol adaptif dan kontrol learning dari sistem kompleks. Sementara pada tahun 1980 sampai 1990 perkembangan teori kontrol modern dipusatkan pada kontrol robust/kokoh dan aplikasinya. Teori kontrol modern untuk sistem persamaan diferensial berbasis pada analisis domain waktu.
Dengan teori kontrol modern membuat desain sistem kontrol menjadi lebih simpel karena teori berbasis pada sistem kontrol aktual dan model. Akan tetapi, kestabilan sistem akan sangat sensitif terhadap perubahan eror antara sistem aktual dan model, sehingga didesain sistem kontrol dengan pertama menentukan setting awal dari range eror tertentu yang diperbolehkan dan lalu mendesain kontroler sedemikian sehingga jika eror dari sistem berada pada range eror yang telah dirancang, maka sistem kontrol yang didesain akan tetap stabil. Metode desain demikian merupakan prinsip dari teori kontrol robust/kokoh. Teori tersebut menggabungkan antara pendekatan respons frekuensi dan pendekatan domain-waktu. Secara matematis, relatif cukup rumit/kompleks.
29 C
P
Masukan referensi
Output y(t)
r(t)
x(t) u(t)
Sinyal masukan kontrol
Pengendali
State
Konfigurasi Kontrol Modern Gambar 1.28.
Sistem Kontrol Modern
Fungsi H Pontraygin
(1956) Fungsi V
Lyapunov (1892) Sistem Dinamik
(pemodelan)
Sistem Analisis (performa)
Sistem Sintesis (desain)
Fungsi state Lagrange
(1788)
Taksonomi Sistem Kontrol Modern Gambar 1.29.
Tahap pertama dari teori sistem kontrol yaitu mencari/memformulasikan dinamika atau pemodelan dalam bentuk persamaan dinamik, sebagai contoh persamaan diferensial. Dinamika sistem pada umumnya berdasarkan pada fungsi Lagrangian.
Selanjutnya sistem dianalisis sesuai kinerjanya untuk mencari kestabilan sistem, adapun teori kestabilan yang cukup terkenal yaitu kestabilan Lyapunov. Terakhir, jika kinerja sistem tidak sesuai dengan spesifikasi yang diinginkan, maka dilakukan perancangan/desain. Fungsi Lagrangian dan fungsi Lyapunov sudah lama
30 diperkenalkan, namun konsep tersebut baru digunakan pada kontrol modern. Istilah
“modern” sendiri adalah relatif terhadap waktu, jadi apa yang dianggap modern saat ini, dalam beberapa tahun lagi dapat dianggap kuno. Jadi yang lebih cocok digunakan dalam memberi label teori kontrol yaitu sesuai klasifikasi tertentu (sesuai sistem/fungsinya), misalkan kontrol optimal, kontrol nonlinier, kontrol adaptif, kontrol robust, dst.
1.9.
Latihan Soal
1. Cari aplikasi sistem kontrol SISO dan MIMO pada kehidupan nyata ? 2. Bagaimana cara memodelkan sistem pada sistem SISO dan MIMO ?
3. Berikan contoh sistem kontrol SISO dan MIMO menggunakan software MATLAB !
31
32
33
BAB 2
REVIEW SISTEM KONTROL
34
BAB 2 Pemodelan Sistem
Seringkali, perilaku dinamik suatu sistem fisik ditampilkan dalam bentuk model persamaan matematik. Model ini diperoleh dari karakteristik komponen sistem, seperti masa suatu sistem mekanik, resitansi sistem elektrik dan sebagainya. Atau juga bisa diperoleh dari pengukuran dan eksperimen untuk mengetahui relasi masukan dan tanggapan sebuah sistem misalnya. Di sini disebutkan beberapa model matematik dari sistem elektrik, mekanik, termal sebagai berikut:
2.1. Sistem Dasar Elektrik
Model matematik dari rangkaian RLC, berdasarkan hukum Ohm dan Kirchoff arus dan tegangan digambarkan berikut ini:
Gambar 2.1. Rangkaian RLC, hukum Kirchoff
35 Sebagai contoh, rangkaian RLC yang akan dikontrolkan dengan kontrol umpan balik tertutup berikut ini:
Gambar 2.2. Rangkaian RLC
Pada plant/rangkaian, dari hukum tegangan Kirchhoff:
(2.1)
Untuk komponen kapasitor:
̇ (2.2)
Maka model dinamik rangkaian menjadi:
̇ (2.3)
Gambar 2.3. Contoh Sistem Closed Loop
2.2. Sistem Mekanik
Suatu elemen elastis diasumsikan menghasilkan regangan yang proporsional dengan gaya yang bekerja padanya. Untuk pegas translasi, berlaku:
,
dimana Sedangkan pegas rotasi,
(2.4
36 Kemudian, redaman pada sistem mekanik juga dikategorikan menjadi peredam translasi dan rotasi, dimana gaya dan torsi yang dihasilkan proporsi dengan kecepatan translasi dan rotasi, masing-masing berikut ini
(2.5
(2.6)
Selanjutnya, massa pada sistem mekanik berkaitan dengan gaya dan percepatan, baik translasi maupun rotasi masing-masing berikut ini:
(2.7)
(2.8)
2.3. Sistem Thermal
Sistem thermal dapat dianalogikan dengan sistem elektrik, disini diperkenalkan resistansi thermal dan kapasitansi thermal.
Aliran panas pada konduksi dituliskan dalam hukum Fourier
(2.9) dimana
,
Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk yang sama dengan hukum Ohm
(2.10)
Dengan resistansi thermal
(2.11)
Adapun kapasitansi thermal, berkaitan dengan panas yang tersimpan pada suatu benda yang dirumuskan
(2.12)
Jika persamaan ini dibandingkan dengan elektrostatis , maka kapasitansi
thermalnya (2.13)
2.4. Model Ruang Keadaan
Pendekatan ruang keadaan (state space) merupakan metode domain waktu yang digunakan pada pemodelan, analisa dan berbagai desain sistem kontrol secara luas.
37 Keadaan (state) dari suatu sistem didefinisikan sebagai sekumpulan peubah (state variable) pada beberapa waktu inisial , bersama peubah masukan menentukan perilaku sistem pada . Peubah keadaan ini merupakan jumlah terkecil state yang diperlukan untuk mendeskripsikan dinamika sistem. Pertimbangkan sekumpulan persamaan differensial yang menggambarkan dinamika sistem berikut:
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Persamaan diatas, dapat digabungkan dalam bentuk matrik persamaan keadaan:
̇ (2.16)
Dimana vektor keadaan berukuran [ ], vektor masukan berdimensi [ ], matrik sistem ukuran dan matrik kontrol ukuran
[
], [
] (2.17)
Umumnya, keluaran sistem linier dapat direlasikan dengan peubah keadaan dan peubah masukan:
(2.18)
2.5. Latihan Soal
1. Buatlah pemodelan sistem untuk motor DC dalam bentuk fungsi alih dan state space!
2. Simulasikan lah kedua model yang diperoleh dari soal no.1 !menggunakan software MATLAB!
38
BAB 3
KONTROL OPTIMAL DASAR
39
BAB 3 Kontrol Optimal Dasar
Tujuan dari penjelasan pada bab 3 ini adalah untuk memberi pengenalan awal kepada mahasiswa tentang teori dasar kontrol optimal. Bagaimana prosedur yang dilakukan dalam melakukan perancangan sistem kontrol yang optimal.
3.1. Pengenalan
Optimasi sudah menjadi istilah yang lazim digunakan saat ini. Kita ingin bekerja dan memanfaatkan waktu secara optimal dengan menggunakan sumber daya yang optimal, dst. Batasan sasaran teori kontrol optimal dapat dilihat pada diagram berikut:
OPTIMASI
Pendekatan Geometri Pendekatan Aljabar
Pengali Lagrange dan Kalkulus
Analisis Fungsional
Variasi Kalkulus/Hitungan
Pemrograman Dinamik
Satu Tahap Multi Tahap
Deterministik Stokastik
Pemrograman Linier dan Nonlinier
Teori Game
Satu Peminatan/Tujuan Multi Tujuan
Gambar 3.1. Batasan teori kontrol optimal
40 Beberapa teori kontrol, pendekatan desain kontrol dengan umpan balik keadaan/state feedback dan estimator/observer merupakan dasar fundamental untuk kontrol untuk sistem yang dibangun dari persamaan keadaan/state. Namun, belum tentu berarti metode fundamental ini menghasilkan solusi yang terbaik/optimal.
Metode tersebut memiliki beberapa kesulitan untuk kasus berikut:
1. Implementasi dari spesifikasi desain (overshoot maksimum, settling time, dsb) dimana pole yang diinginkan tidak selalu diperoleh secara langsung, khususnya untuk sistem kompleks. Konfigurasi pole seperti apa yang paling baik sesuai dengan spesifikasi yang ada?
2. Untuk sistem MIMO, penguatan umpan balik keadaan untuk memperoleh konfigurasi pole tertentu tidaklah unik. Jadi penguatan seperti apakah yang paling baik untuk konfigurasi pole yang ada?
3. Nilai eigen dari observer sebaiknya dipilih lebih cepat daripada nilai eigen dari sistem lup tertutupnya. Adakah kriteria lain untuk menentukan konfigurasi manakah yang tepat?
Metode kontrol optimal yang akan dibahas pada bab ini dapat menjawab masalah- masalah di atas. Kita lihat nanti bagaimana state feedback dan gain observer dapat diperoleh sehingga solusinya optimal. Tujuan dari teori kontrol optimal yaitu untuk menentukan sinyal kontrol yang akan menghasilkan proses sesuai dengan batasan spesifikasi fisik sistem dan pada saat yang bersamaan akan meminimumkan/memaksimumkan beberapa kriteria performansi.
Prinsip utama dari teori kontrol berbasis prinsip optimalitas yaitu: Jika solusi optimal untuk masalah kontrol melewati suatu titik transisi , maka solusi optimal untuk masalah kontrol yang sama yang berasal dari titik awal menuju titik akhir adalah merupakan kelanjutan jalur yang sama melewati titik transisi.
41 Gambar 3.2. Ilustrasi trayektori lintasan solusi masalah kontrol optimal dengan
prinsip optimalitas
Trayektori keadaan dimana dapat memenuhi batasan variabel keadaan selama selang [ ] merupakan trayektori yang dapat diterima/admissible trajectory.
Prosedur solusi numerik untuk penyelesaian masalah pengambilan keputusan/decision making multi-tahapan disebut dynamic programming. Hasil teoretis yang dibangun secara sistematis dalam pemecahan masalah tsb akan menghasilkan aturan kontrol/control law.
Contoh 1: (masalah rute dengan waktu tempuh terpendek)
• Tujuan utama yaitu mencari rute dengan waktu terpendek dari ke
• Waktu tempuh setiap jalur ditunjukkan pada gambar
• Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari ke , namun akan sangat membosankan. Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari ke (dicoba satu per satu), memakan waktu yg lama.
• Total alternatif rute = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 rute,
• Dari melewati ada 1 jalur
• Dari melewati ada 3 jalur
• Dari melewati ada 6 jalur
• Dari melewati ada 10 jalur
dimana adalah jumlah segmen.
42 Perbandingan jika menggunakan dynamic programming (DP):
• Bandingkan dengan alternatif pendekatan arah mundur/backward.
• Dimulai dari titik bekerja dgn arah mundur, dengan menerapkan prinsip optimalitas di sepanjang jalur.
• Tentukan titik , dari titik dihitung total waktu dari ke . Ada 2 rute yaitu 10 + 6 dan 11 + 7, pilih yang waktu tempuh paling kecil = 10 + 6 = 16.
• Beri tanda panah di 6 untuk menandakan jalur yang dipilih.
• Ulangi seluruh proses di semua titik, dari titik hingga titik .
• Dari gambar di kanan terlihat bahwa jumlah komputasi/perhitungan hanya 15 kali.
• Jumlah komputasi DP =
A
0B
1 3 6 10 A
1A
2A
3A
43
• Manakah yang lebih baik? Jika semakin besar, selisih jumlah komputasi akan semakin besar pula.
• Jadi, DP lebih baik dibandingkan dengan mencoba setiap kemungkinan/brute force, waktu komputasi lebih cepat, memori yang diperlukan lebih kecil.
Contoh 2: Routing problem (dengan batasan/constraint arah ditentukan di awal)
Cari rute terpendek dari ke !
• Mulai dari dan bekerja ke arah mundur/backward.
• Dari ke hanya ada 1 jalur dan dari ke
• Dari ke ada 2 jalur yaitu dan :
• Rute optimal: { } {[ ] } { }
• Diperoleh rute optimal ke yaitu
• Dari ke (karena rute optimal dari ke sudah diketahui, kita tidak perlu lagi mencari opsi dari saat mulai dari gunakan solusi terbaik sebelumnya.
• Dari ke { } {[ ] [ ]}
{[ ] [ ]}
• Diperoleh rute optimal ke yaitu 3.2. Formulasi Masalah Kontrol Optimal
Untuk masalah kontrol optimal, pada umumnya kita ingin mencari sinyal kontrol optimal , dimana lambang menyatakan kondisi optimal, yang akan menggerakkan plant dari kondisi awal menuju kondisi akhir dengan beberapa batasan kontrol dan
44 keadaan/state, dimana pada waktu yang bersamaan akan mengoptimalkan indeks performa . Formulasi masalah kontrol optimal terdiri dari:
1. Deskripsi/model matematis dari sistem yang akan dikontrolkan (secara umum dalam bentuk variabel keadaan)
2. Deskripsi dari tugas/proses yang harus dikerjakan 3. Spesifikasi dari indeks performa, dan
4. Persyaratan dari kondisi batas (boundary condition) dan batasan spesifikasi fisik dari state dan/atau kontrol.
Indeks performa/kinerja
Teknik desain kontrol klasik telah berhasil diterapkan pada sistem SISO linier invarian-waktu. Kriteria performa tersebut antara lain respons waktu sistem (untuk masukan tangga, masukan landai, dsb.) yang ditentukan oleh waktu naik, waktu menetap, waktu overshoot, dan akurasi keadaan tunak; dan juga respons frekuensi sistem yang ditentukan oleh margin penguatan dan margin fasa, dan juga bandwidth.
Sementara untuk teori kontrol modern, masalah kontrol optimal yaitu mencari sinyal kontrol yang akan menghasilkan sistem dinamik mencapai sasaran atau mengikuti suatu trayektori variabel keadaan tertentu, pada waktu yang sama mengoptimalkan indek performa. Optimal berarti melakukan proses (pekerjaan) dengan cara/solusi yang terbaik.
Selama kriteria/batasan/constraints tersebut belum jelas dan konsisten, kita tidak dapat mengklaim bahwa sistem kita sudah optimal. Secara kasar, kita dapat klaim untuk sistem yang tidak akurat pun dapat dikatakan optimal dengan constraints misal biaya produksi murah (cost), mudah dirancang-bangun (design), performanya cukup baik sesuai yang diinginkan (performance), dsb. Namun sebaliknya, suatu sistem yang presisi dan elegan bisa dibilang tidak optimal karena terlalu mahal biaya produksinya dan pengembangannya memakan waktu sangat lama (time).
Dinamika sistem yang dikontrol dideskripsikan dalam bentuk variabel keadaan/state, misal dalam waktu-kontinyu sebagai berikut:
(3.1) atau dalam waktu-diskrit menjadi :
45
(3.2) Berikutnya, sistem kita asumsikan semua state-nya ada, misal pada pengukuran.
Atau selain itu, sistem diasumsikan dapat diamati/observable, sehingga observer dapat dikonstruksi/dibangun sedemikian sehingga dapat di estimasi state-nya.
Kriteria kinerja/performa, dilambangkan , adalah ukuran kualitas dari perilaku sistem. Biasanya, kita mencoba meminimumkan atau memaksimumkan kriteria kinerja dengan mengatur sinyal kontrol masukannya.
Untuk setiap sinyal kontrol dalam range yang bisa dihasilkan/feasible (yaitu, untuk setiap masukan yang mungkin), sistem dapat bekerja sesuai fungsinya dimana batasan/constraints sistem terpenuhi dan bersesuaian dengan trayektori sistem .
Masukan menghasilkan trayektori . Variasi pada menghasilkan trayektori yang berbeda,
Batasan/constraints
Vektor kontrol atau vektor keadaan dapat memiliki batasan (constrained) atau tidak memiliki batasan (unconstrained) tergantung kondisi spesifikasi fisiknya.
Untuk masalah unconstrained, pada sistem di real life jarang digunakan, walaupun menghasilkan solusi yang elegan/bagus. Untuk batasan sistem fisik (constrained), dapat dijumpai misalkan arus dan tegangan pada rangkaian elektrik, kecepatan motor, bahan bakar dorong roket, yang dimodelkan:
, dan ,
46 dimana + dan – menyatakan nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai oleh variabel (kontrol dan keadaan) yang bersesuaian.
(1). Masalah Kontrol Optimal 1: (sistem kontrol untuk fuel-optimal)
Batasan/constraints sistem terkadang ada dengan nilai yang dibolehkan oleh variabel keadaan, atau sinyal kontrol masukan (control input). Sebagai contoh, himpunan dari sinyal kontrol yang bisa dihasilkan dapat berupa set/kumpulan dari potongan vektor kontinyu/piecewise, ( )∈ , sedemikian sehingga:
{ ‖ ‖ }
Batasan/constraints model ini sangat umum digunakan, serta dapat merepresentasikan keadaan saturasi pada aktuator, untuk batas sinyal inputan.
‖
‖ +
Contoh: Misalkan pada masalah pesawat ruang angkasa (spacecraft), penggerak pesawat adalah mesin dorong (thrust) roket dengan besar besarnya proporsional dengan laju pemakaian bahan bakar/fuel. Untuk meminimumkan total pemakaian bahan bakar tersebut, indeks performa dimodelkan:
∫ (3.3)
Untuk beberapa sistem kontrol, dapat dituliskan:
∫ ∑ (3.4)
dimana adalah matriks definit positif (PD).
(2). Masalah Kontrol Optimal 2: (sistem kontrol untuk waktu-optimal)
Tugas/proses yang akan dikerjakan biasanya dalam bentuk persamaan tambahan dengan kondisi batas/boundary tertentu dari sistem persamaan keadaan. Sebagai
47 contoh, kita mau memindahkan/transfer dari keadaan ( ) dari kondisi keadaan awal menuju keadaan akhir tertentu di pada waktu tertentu , atau pada kemungkinan minimum .
NB: Seringkali, tugas/proses yang dikerjakan secara implisit/tak langsung dapat diukur berdasarkan kriteria kinerjanya.
Pemodelan matematis indeks performa waktu minimum untuk selang dari waktu awal dan waktu akhir dapat dituliskan:
∫ (3.5)
Contoh:
Kriteria kinerja lain yang lazim digunakan yaitu waktu minimum, dimana kita mencari sinyal kontrol yang menghasilkan trayektori tercepat untuk mencapai keadaan/state akhir yang diinginkan:
Untuk kasus ini, kriteria kinerjanya yang akan meminimumkan dapat diekpresikan secara sederhana dalam bentuk matematis yakni:
(3.6)
(3). Masalah Kontrol Optimal 3: (sistem kontrol kondisi akhir/terminal)
Untuk masalah sasaran kondisi akhir, kita tertarik untuk meminimumkan error antara posisi target yang diinginkan dengan target aktual,
48 Kriteria kinerja lainnya adalah final error (selisih akhir) pencapaian keadaan/ state akhir yang diinginkan dalam waktu yang telah ditentukan atau yaitu :
( ) (3.7)
merupakan fungsi cost terminal, dimana adalah matrik semi-definit positif (PSD).
(4). Masalah Kontrol Optimal 4: (sistem kontrol untuk energi minimum)
(a). Kriteria kinerja lainnya yaitu meminimumkan luasan/area di bawah ‖ ‖ sebagai cara menentukan sinyal-sinyal kontrol yang akan menghasilkan transien keseluruhan yang kecil dalam trayektori yang dihasilkan mulai dari state awal, hingga mencapai state akhir, .
Contoh:
Untuk meminimumkan error kuadratik pada sistem tracking, indeks performa dapat dimodelkan:
∫ (3.8)
atau
∫ ∑ (3.9)
Dimana adalah matriks bobot, dengan nilai semi-definit positif.
49 (b). Bisa juga kemungkinan kriteria kinerjanya yaitu untuk meminimumkan luasan di bawah ‖ ‖ , sebagai cara memilih sinyal kontrol dengan usaha pengendalian/control effort yang minimum. Untuk kasus ini sama dengan sistem kontrol fuel-optimal.
(5). Masalah Kontrol Optimal 5: (bentuk umum sistem kontrol optimal)
Dengan mengkombinasikan formulasi di atas, bentuk general/umum dari indeks performa untuk sistem linier dapat dimodelkan berikut:
( ) ( ) ∫ [ ] (3.10) atau secara umum untuk sistem nonlinier dan linier, ̇ , indeks
performanya menjadi:
( ( ) ) ∫ (3.11)
dimana matriks definit positif, dan adalah matriks semi-definit positif.
Bentuk indeks performa tersebut disebut bentuk kuadratik (dinyatakan dalam variabel keadaan dan sinyal kontrol).
50
Plant/proses Batasan/constraints
Sistem Kontrol Optimal
Fungsi cost/indeks perfoma
(a) Minimum (b) Maksimum
Gambar 2.1. Masalah Kontrol Optimal
3.3. Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal
Variasi kalkulus berkaitan dengan mencari nilai optimum (maksimum/ minimum) dari suatu fungsional. Teori ini diawali tahun 1696, setelah penemuan fundamental oleh L. Euler (1709-1783) dikenal dengan bapak penemu variasi kalkulus, teori ini digunakan umum di bidang disiplin ilmu matematika.
3.3.1. Fungsi dan Fungsional
Fungsi: Variabel terikat merupakan suatu fungsi dari variabel bebas , ditulis , jika setiap nilai pada selang tertentu mempengaruhi nilai . Contoh: ;
Fungsional: Suatu variabel merupakan suatu fungsional yang tergantung pada fungsi , ditulis ( ), jika setiap fungsi , berkaitan dengan nilai . Dengan kata lain, fungsional terdiri dari beberapa fungsi terkait, yaitu “fungsi dari suatu fungsi”.
Contoh: Diberikan fungsi . Lalu
( ) ∫ ∫ ]
adalah luasan di bawah kurva . Jika adalah kecepatan suatu kendaraan, lalu
( ) ∫
51 adalah jalur yang dilewati oleh kendaraan tsb. Jadi, disini dan fungsi dari , dan adalah fungsional dari dan .
Perubahan naik/increment fungsi:
Contoh: Misalkan cari perubahan naik dari fungsi tsb.
Perubahan naik fungsional: ( ) ( ) ( ) Dimana adalah variasi dari fungsi .
Contoh: Misalkan diberikan suatu fungsional ∫ [ ] cari perubahan naik dari fungsi tsb.
( ) ( )
∫ * ( ) + ∫ [ ]
∫ * ( ) + Kondisi Optimum dari Fungsi:
Suatu fungsi dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik jika ada parameter dengan nilai positif sehingga untuk seluruh titik pada domain yang memenuhi , penambahan nilai memiliki tanda yang sama (positif atau negatif).
(a) dimana adalah lokal minimum relatif (b) dimana adalah lokal maksimum relatif
52
Gambar 2.2. (a) Kondisi Minimum Fungsi (b) Kondisi Maksimum Fungsi
Syarat kondisi perlu di titik optimum relatif: ̇ Syarat kondisi cukup di titik optimum relatif:
1. Untuk minimum, turunan kedua dari fungsi ̈ 2. Untuk maksimum, turunan kedua dari fungsi ̈ 3. Jika ̈ , disebut titik stasioner
Kondisi Optimum dari Fungsional:
Suatu fungsional dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik jika ada parameter dengan nilai positif sehingga untuk seluruh fungsi pada domain dimana memenuhi , penambahan nilai memiliki tanda yang sama (positif atau negatif).
53 (a) dimana adalah lokal minimum relatif
(b) dimana adalah lokal maksimum relatif Untuk , nilai adalah nilai optimum absolut global.
Teorema: Jika merupakan kandidat nilai optimum, variasi pertama akan bernilai nol pada , yaitu ( ) untuk semua nilai yang memenuhi Syarat kondisi perlu. Syarat kondisi cukup di titik optimum:
1. Untuk minimum, variasi kedua dari fungsional 2. Untuk maksimum, variasi kedua dari fungsional Contoh soal:
1. Cari nilai minimum dari indeks performansi berikut:
∫ [ ] Dengan kondisi batas
;
Dengan subjek kondisi (persamaan dinamika sistem/plant):
̇ Solusi:
Tujuan utama yaitu mengeliminasi antara indeks performansi dan plant untuk memperoleh fungsional
∫ * ( ̇ ) + ∫ [ ̇ ̇ ] Dengan menggunakan metode Euler-Lagrange:
( )
( ̇) Dimana ̇ ̇
Diperoleh
̇
( ̇ ) Dengan menyederhanakan persamaan di atas
̈ Solusi persamaan diferensial orde-2 di atas adalah
√ √ dimana konstanta dan diperoleh dari kondisi batas pada soal, diperoleh √ ; √ , diperoleh:
̇ √ √ √ √ √ √
54 Syntax Matlab:
2. Cari nilai optimum dari
∫ [ ̇ ] Yang memenuhi kondisi batas dan Solusi:
Misalkan ̇ , dengan Euler-Lagrange diperoleh persamaan (
)
(
̇)
( ̇ ) ̈ Dengan memecahkan persamaan diferensial di atas diperoleh:
Dimana dan merupakan konstanta integrasi. Dengan kondisi batas pada soal didapatkan
Solusi akhir:
Syntax Matlab:
x = dsolve('D2x-2*x=0','x(0)=1,x(1)=0') x =
exp(2*2^(1/2))/(exp(2^(1/2)*t)*(exp(2*2^(1/2)) - 1)) - exp(2^(1/2)*t)/(exp(2*2^(1/2)) - 1)
u = diff(x) + x u = simplify(u)
-(exp(2^(1/2)*t) - exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t))/(exp(2*2^(1/2)) - 1)
x = dsolve('D2x-t=0','x(0)=1,x(2)=5') x =
t^3/6 + (4*t)/3 + 1
55 Ringkasan prosedur Prinsip Pontryagin:
56 Gambar 2.3. Jenis sistem: (a). Fixed-Final Time and Fixed-Final State System; (b). Free-Final Time and Fixed-Final State; (c). Fixed- Final Time and Free-Final State System; (d). Free-Final Time and Free-Final State System
Contoh 3:
Diberikan sistem orde-dua (dengan double integrator) seperti berikut:
̇ ̇ Dengan indeks performansi berikut:
∫
Cari kontrol optimal dan keadaan/state optimal, diberikan kondisi batas (awal dan akhir) sebagai berikut:
[ ] [ ] (diasumsikan kontrol dan state-nya unconstrained)
Solusi:
Misalkan
57 ( )
[ ] Langkah 1: Fungsi hamiltonian
( ) ( ) ( )
Langkah 2: Cari bentuk sinyal kontrol
Langkah 3: Dengan hasil langkah 1 dan 2, cari nilai optimal dari
( )
Langkah 4: Cari persamaan state dan costate
̇ (
) ̇ (
) ̇ (
)
̇ (
)
Dari persamaan sebelumnya, diperoleh state optimal dan costate optimal sbb.
Dari kondisi awal diperoleh konstanta sehingga:
58
Langkah 5: Cari kontrol optimal
Gambar 2.4. Diagram Blok State Kontroler Optimal
3.4. Latihan Soal
1. Cari contoh permasalahan kontrol yang menggunakan metoda kontrol optimal!
2. SImulasikan permasalahan kontrol pada soal no 1 menggunakan software MATLAB!
59
BAB 4
KONTROL OPTIMAL LQR (Linear Quadratic
Regulator)
60
BAB 4 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)
Tujuan dari penjelasan pada bab 4 ini adalah untuk memberi pengenalan awal kepada mahasiswa tentang teori dasar kontrol optimal. Bagaimana prosedur yang dilakukan dalam melakukan perancangan sistem kontrol yang optimal.
4.1.
Formulasi Masalah
Untuk sistem linier varian-waktu/linear time-varying (LTV):
(4.1) Dimana fungsional cost atau indeks performansi dinyatakan sebagai berikut:
(4.2) Keterangan:
: vektor state/keadaan : vektor output/keluaran
: vektor referensi input atau output yang diinginkan : vektor sinyal kontrol
: matriks bobot error : matriks bobot kontrol : matriks bobot cost akhir Kategori sistem:
a. Jika tujuan pengendalian yaitu agar state, mendekati nol, (saat dan ), disebut sistem regulator state dengan memberikan sinyal kontrol dimana akan membawa plant dari nonzero state /tidak nol menuju zero state.
b. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output, mendekati nol, (saat ), disebut sistem regulator output.
c. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output atau state mendekati output atau state yang diinginkan, disebut sistem tracking. Baik sistem regulator output
61 maupun state, referensi state adalah nol dan pada sistem tracking, error dibuat nol.
4.2.
LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)
Cost fungsional:
(4.3)
Misal untuk sistem regulator state, . Asumsi dari indeks performansi di atas:
a. Sinyal kontrol adalah unconstrained/tidak ada batasan berapapun nilainya (tetapi untuk sistem fisik kondisi nyata, ada limit sinyal kontrol).
b. Diberikan kondisi awal . Waktu akhir spesifik.
c. Matriks bobot dan adalah matriks semidefinit positif ( , , sementara matriks bobot adalah matriks definit positif ( .
d. Nilai pecahan pada indeks performansi untuk menghilangkan faktor 2 dari bentuk kuadratik.
Solusi: (prosedur Pontryagin)
STEP 1: Hamiltonian Hamiltonian formula:
62
(4.4) dimana adalah vektor costate.
STEP 2: Kontrol optimal
Mencari sinyal kontrol optimal, .
(4.5) dimana
Sehingga diperoleh:
(4.6) STEP 3: Sistem State dan Costate
State:
Costate:
(4.7) Sistem kanonik (terdiri dari state dan costate)/sistem Hamiltonian:
(4.8) Dimana .
STEP 4: Kontrol optimal lup tertutup Sinyal kontrol:
(4.9) STEP 5: Matriks Persamaan Diferensial Riccati
Bentuk persamaan diferensial Riccati:
(4.10)
63 Bentuk umum:
(4.11) dimana
Gambar 4.1. Sistem State dan Costate
Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem linier varian-waktu:
64 Gambar 4.2. Implementasi Kontrol Optimal Lup Tertutup (simulasi off-line )
Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem tracking:
65 Gambar 4.3. Implementasi sistem tracking optimal
4.3.
Contoh LQR waktu-kontinyu
Contoh 1: LQR untuk sistem tracking Sistem plant orde-dua:
Sistem dinamik di atas akan dikontrol untuk meminimumkan indeks performansi berikut:
Diketahui waktu akhir adalah 20, state akhir ( ) bebas dan sinyal kontrol dan state- nya tidak ada batasan. Tujuan dari kontrol yaitu untuk menjaga state mendekati nilai 1.
Cari sinyal kontrol umpan baliknya. Gambar grafik dari koefisien Riccati tiap waktu, komponen vektor , dan kontrol dan state optimalnya.
Solusi:
66 Tujuan dari pengendalian sesuai indeks performansi yaitu untuk menjaga state mendekati nilai referensi input , sementara kondisi state tidak diketahui, kita tentukan .
Sekarang, untuk kasus ini, , dimana Matriks yang bersesuaian:
Solusi Riccati:
Dari persamaan di atas diperoleh:
Dengan menyederhanakan persamaan di atas:
Diperoleh solusi matriks Riccati:
Selanjutnya menentukan , yaitu solusi persamaan diferensial nonhomogen:
67 Dengan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:
NB: untuk tuning sistem tracking, dapat dilakukan dengan mengubah matriks sehingga diperoleh tracking state yang lebih baik.
Gambar 4.4. Koefisien Riccati
68 Gambar 4.5. Koefisien dan
Gambar 4.6. State Optimal (kondisi awal [ ], [ ], dan .
69 Gambar 4.7. Sinyal kontrol optimal
Contoh 2:
Diberikan persamaan dinamik sistem sebagai berikut:
Dan indeks performansi sebagai berikut
Tentukan sinyal kontrol umpan baliknya.
Solusi:
Dari persamaan di atas dapat dibangun matriks:
matriks solusi persamaan Riccati adalah berukuran 2x2 matriks simetrik:
70 Sehingga bentuk matriks sinyal kontrol optimal yaitu:
Selanjutnya mencari solusi Riccati, :
Dengan ruas kiri ̇ , diperoleh:
Sehingga didapatkan solusi Riccati sebagai berikut:
4.4.
Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit
Untuk sistem waktu-diskrit, hampir sama dengan waktu-kontinyu, menggunakan variasi kalkulus un
