Materi Peluang Fase E

(1)

BAHAN AJAR MATERI PELUANG FASE E

Ringkasan Materi

A. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel dan Titik Sampel

 Percobaan atau eksperimen, yaitu suatu kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan.

 Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.

 Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan- kemungkinan yang muncul.

B. Menyusun Anggota Ruang Sampel

1. Menyusun anggota ruang sampel dengan mendaftar

Jika kita melemparkan dua buah koin sekaligus, maka akan ada yang menjadi koin pertama dan koin kedua.

Misalkan koin pertama muncul angka (A) dan koin kedua muncul gambar (G), maka kejadian dari pelemparan tersebut adalah (A, G). Semua hasil yang mungkin terjadi dari percobaan tersebut adalah (A, G), (G, A), (A, A), dan (G, G). Dengan demikian, diperoleh:

Ruang sampel : {(A, G), (G, A), (A, A), (G, G)}

Titik sampel : (A, G), (G, A), (A, A), dan (G, G) Kejadian : {(A, G)}, {(G, A)}, {(A, A)}, atau {(G, G)}

2. Menyusun anggota ruang sampel dengan tabel dan diagram pohon

Berikut ini disajikan beberapa ruang sampel percobaan pengetosan koin dan pengetosan dadu :

a. Pengetosan/pelambungan dua koin

Pengetosan sebuah koin uang logam yang mempunyai dua sisi, yaitu A(Angka) dan B (gambar).

1) Jika kita melambungkan atau mengetos satu koin sebanyak satu kali , kemungkinan hasilnya adalah angka atau gambar ditulis {A,G}

Contoh: Melemparkan dadu, melemparkan koin, dll.

Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu, maka titik sampelnya : (1), (2), (3), (4), (5), dan (6)

Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu, maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6}

(2)

2) Jika kita melambungkan atau mengetos dua koin (Koin merah dan kuning) sebanyak satu kali, maka ada empat kemungkinan hasilnya adalah {AA, AG, GA, GG}

Kita dapat menggunakan dua cara untuk menentukan ruang sampel dari pengetosan koin tersebut.

Cara I : Diagram Pohon

Cara II : Tabel

Maksud dari tabel untuk menentukan ruang sampel adalah sebagai berikut :

 Titik sampel AA artinya bahwa kedua koin menghasilkan kejadian sisi angka

 Titik sampel GA artinya bahwa koin merah menghasilkan kejadian sisi gambar, sedangkan koin kuning menghasilkan kejadian sisi angka

 Titik sampel AG artinya bahwa koin merah menghasilkan kejadian sisi angka, sedangkan koin kuning menghasilkan kejadian sisi gambar

 Titik sampel GG artinya bahwa kedua koin menghasilkan kejadian sisi angka

(3)

Maka banyaknya ruang sampel dapat ditulis sebagai S = {AA, AG, GA, GG), sehingga banyak ruang sampel dari kejadian pengetosan dua uang koin dapat ditulis sebagai n(S) = 4.

b. Pengetosan/pelambungan dadu

Pengetosan sebuah dadu yang mempunyai enam sisi, yaitu terdiri dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1) Pada Pengetosan sebuah dadu maka ruang sampel yang mungkin terjadi bisa dituliskan sebagai S maka S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) Jika kita melemparkan dua dadu sekaligus, maka pada masing-masing dadu akan ada 6 kemungkinan kejadian yang muncul, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jika kita susun dalam sebuah tabel, maka didapatkan hasil berikut:

Ruang sampel:

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5) (1,6), (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6), (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6), (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6), (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 36 c. Pengetosan/pelambungan koin dan dadu

(4)

Jika kita melemparkan sebuah koin dan sebuah dadu bersisi 6, maka kemungkinan kejadiannya adalah munculnya angka (A) atau gambar (G) pada koin dan salah satu mata dadu pada dadu. Misalkan sebuah koin dianggap bagian pertama dan sebuah dadu bersisi 6 bagian kedua, maka diperoleh:

Ruang sampel:

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}

Banyak anggota ruang sampel : n(S) = 12

3. Menentukan banyak ruang sampel suatu kejadian atau n(S)

Untuk menentukan banyak Ruang sampel dari suatu percobaan bisa menggunakan prinsip dasar perhitungan (fundamental counting principle). Missal pada percobaan pengetosan tiga koin uang logam. Pada setiap pengetosan uang logam, banyak hasil yang mungkin hanya dua, yaitu angka dan gambar, maka banyaknya ruang sampel dapat dihitung sebagai berikut:

Jadi banyak ruang sampel dari 3 koin adalah : n(S) = 8 Contoh :

Tentukan banyak ruang sampel dari percobaan pengetosan : a. 4 koin

b. 3 dadu

c. 2 koin dan 1 dadu d. 2 dadu dan 1 koin Penyelesaian

a. Karena ada 4 koin maka, kemungkinan pada masing-masing koin adalah 2, sehingga :

Koin 1 × koin 2 × koin 3 × koin 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 Jadi n(S) = 16

b. Karena ada 3 dadu maka, kemungkinan pada masing-masing koin adalah 6, sehingga :

(5)

Dadu 1 × dadu 2 × dadu 3 = 6 ×6 × 6 = 216 Jadi n(S) = 216

c. Karena koin ada 2 kemungkinan dan dadu ada 6 maka, kemungkinan pada masing-masing benda adalah :

Koin 1 × koin 2 × dadu = 2 ×2×6 = 24 Jadi n(S) = 24

d. Karena koin ada 2 kemungkinan dan dadu ada 6 maka, kemungkinan pada masing-masing benda adalah :

Koin × dadu 1 × dadu 2 = 2 ×6×6 = 72 Jadi n(S) = 72

C. Peluang Suatu Kejadian

Suatu kejadian A dapat terjadi jika memuat titik sampel pada ruang sampel S. Misalkan n(A) menyatakan banyak titik sampel kejadian A dan n(S) adalah semua titik sampel pada ruang sampel S. peluang teoretik kejadian A dapat dirumuskan sebagai :

dengan

P



^A



 Peluang kejadian A

n



^A



 banyaknya anggota kejadian A n



^S



 banyaknya kemungkinan kejadian S Dimana nilai peluang suatu kejadian A memenuhi :

 0 < P (A) < 1

 P (A) = 0, maka peluang kejadian tersebut tidak mungkin terjadi atau suatu kemustahilan

 P (A) = 1, maka peluang kejadian tersebut merupakan suatu kepastian Contoh soal :

Dua buah Dadu berwarna merah dan putih digelindingkan sekali. Berapakah peluang kejadian:

1. Mata dadu kembar 2. Jumlah mata dadu 10 Penyelesaian :

Langkah 1 :

Tentukan ruang sampel dari kejadian pengetosan dua dadu n(S) = 6 x 6 = 36

Atau dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini maka didapatkan n(S) = 36 Langkah 2 :

a. Tentukan mata dadu kembar artinya mata dadu yang angka nya sama

(6)

Tanda yang ditebalkan kuning adalah mata dadu yang kembar, maka : Banyak kejadian munculnya mata dadu kembar adalah n(A) = 6 Langkah 3: Tentukan peluangnya.

𝑃(𝐴) 𝑛(𝐴)

= 𝑃(𝐴)

=

𝑛(𝑆)6 361 6

Jadi peluang kejadian munculnya mata dadu kembar adalah ¹ b. Peluang munculnya mata dadu yang jumlahnya 10 6

Kemungkinan dari Dadu 1 + dadu 2 = 10 adalah :

(4+6), (5+5), (6+4), jika ditampilkan dalam tabel adalah sebagai berikut:

Tentukan peluangnya.

𝑃(𝐴) 𝑛(𝐴)

= 𝑃(𝐴)

=

𝑛(𝑆)3 361 12

Jadi peluang kejadian munculnya mata dadu kembar adalah ¹

12

D. Frekuensi Harapan (Fh)

Frekuensi Harapan (fh) dari suatu kejadian adalah banyaknya kemunculan kejadian yang dimaksud dalam beberapa kali percobaan. Atau dirumuskan dengan

dengan

F_h



^A



^{ n }

P



^A



(7)

F_h



^A



^ frekuensi harapan kejadian A n  banyaknya percobaan

Contoh soal : P



^A





peluang kejadian A

Dadu hitam dan putih digelindingkan secara bersama-sama 36 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 6 adalah ....

Penyelesaian

Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 6 adalah : (1,5), (2,4), (3,3), (3,5), (4,2), (5,1) n(A) = 6

n(S) = 36

tentukan peluangnya terlebih dahulu : 𝑃(𝐴)

=

𝑛(𝐴) 6 1

= = 𝑛(𝑆) 36 6

Maka frekuensi harapannya adalah 𝑓ℎ = 𝑃(𝐴)𝑥 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘

𝑃𝑒𝑟𝑐𝑜𝑏𝑎𝑎𝑛 1 𝑓ℎ = × 36 = 6

6

Jadi frekuensi harapnaya adalah 6 E. Gabungan Dua Kejadian

Apabila ada kejadian atau percobaan yang terjadi lebih dari satu kali sehingga menghasilkan kejadian baru, maka kejadian baru itu disebut kejadian majemuk. Atau juga dapat dikatakan kejadian majemuk adalah gabungan dari beberapa kejadian. Operasi pada kejadian majemuk adalah:

 Irisan  yang identik dengan kata “dan”

 Gabungan yang identik dengan kata “atau”

Contoh :

Dalam sebuah ruangan telah berkumpul 40 siswa, di antaranya 20 siswa menyukai drama, 18 siswa menyukai puisi dan 10 siswa menyukai kedua-duanya. Jika dipilih

(8)

seorang siswa, maka tentukan peluang akan terpilih siswa yang menyukai drama atau puisi!

Jawab Misalnya:

A  himpunan siswa yang menyukai drama B  himpunan siswa yang menyukai puisi n



^S



^{ 40} ⁿ



^A



^{ 20}

n



^B



^¹⁸ ⁿ



^A^^B



^

10 P



^{A  B}



^{ P}



^A



^{ P}



^B



^{ P}



^{A  B}



P



^{A  B}



^²⁰^¹⁸^¹⁰^²⁸

40 40 40 40

F. Peluang Kejadian yang Saling Lepas G. Peluang kejadian saling bebas

Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan himpunan kosong. Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, sebab A  B = . B erdasarkan teori himpunan :

P (A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Karena P(A  B) = 0, maka :

Contoh :

1) Sebuah dadu bermata enam dilantunkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil atau mata dadu genap?

Jawab Misalnya:

S = ruang sampel dadu bermata 6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(S) = 6

A = kejadian munculnya mata dadu ganjil A = {1, 3, 5}  n(A) = 3

P (A) = ^𝑛^(𝐴)= ³= ¹

𝑛(𝑆) 6 2

B = kejadian munculnya mata dadu genap B = {2, 4, 6}  n(B) = 3

P (B) = ^𝑛^(𝐵)= ³= ¹

𝑛(𝑆) 6 2

A  B = 

P (A  B) = P(A) + P(B) = 1 +

2

1 = 1 2

2) Sasya melakukan percobaan mengambil sebuah kartu dalam kardus yang bernomor 1 sampai 10. Peluang Sasya mendapatkan kartu bernomor ganjil atau kelipatan 4 adalah...

Jawab

P



^{A  B}



^{ P}



^A



^

P



^B



(9)

Ruang sampel kartu tersebut = n



^S



^¹⁰

Misal: A  Kejadian terambil kartu bernomor ganjil A 



^{1,3,5, 7,9}



n



^A



^⁵

B  Kejadian terambil kartu kelipatan 4 B 



^4,8



n



^B



^{ 2}

Jadi, Peluang Sasya mendapatkan kartu bernomor ganjil atau kelipatan 4 adalah P



^{A  B}



^^P



^A



^{ P}



^B



P



^A^^B



^ⁿ



^A



_ⁿ



^B



n



^S



ⁿ



^S



P



^{A  B}





5  2

 7 10 10 10

(10)