Media Pembelajaran MATEMATIKA Kelompok Wajib Untuk SMA/MA Kelas XII

Media Pembelajaran

MATEMATIKA

Kelompok Wajib

Untuk SMA/MA Kelas XII

Kaidah Pencacahan

Bab 3

Sumber gambar: www.shutterstock.com

Tujuan Pembelajaran Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik diharapkan dapat:

 Mengamati dan menemukan konsep aturan penjumlahan dan perkalian melalui masalah kontekstual,

 Mengamati dan menemukan konsep permutasi dan kombinasi melalui masalah kontekstual,

 Menerapkan konsep aturan penjumlahan, perkalian,

permutasi, dan kombinasi dalam menyelesaikan masalah

sehari-hari.

Aturan Perkalian

3.2

Permutasi

3.3

Pengantar Kaidah Pencacahan

3.1

DAFTAR ISI

Kombinasi

3.4

Pengantar Kaidah Pencacahan

3.1

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada masalah seperti berikut.

Berapa banyak pilihan pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun dari dua buah celana masing-masing ber-warna biru dan hitam, serta tiga buah baju masing-masing berwarna kuning, merah, dan putih?

Berapa banyak susunan 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf (A, B, dan C), jika urutan pembentukan susunan hurufnya diperhatikan?

Masalah-masalah tersebut dapat dipecahkan dengan menggunakan kaidah pencacahan (counting rules).

Berapa banyak campuran warna yang dapat dibentuk dari empat warna dasar jika campuran warna tersebut hanya menggunakan dua warna saja?

Aturan Perkalian

3.2

Untuk memahami aturan perkalian, simaklah contoh berikut.

Contoh 1 Contoh

1 Chandra hendak bepergian dari kota A ke kota C melalui kota B. Dari kota A ke kota B terdapat dua jalan dan dari kota B ke kota C terdapat 3 jalan, seperti terlihat pada gambar berikut.

Berapa banyak cara yang dapat ditempuh untuk bepergian dari kota A menuju kota C?

Alternatif Penyelesaian:

Banyak cara bepergian dari kota A ke kota B ada 2 cara.

Banyak cara bepergian dari kota B ke kota C ada 3 cara.

Banyak cara bepergian dari kota A ke kota C ada 2 × 3 = 6 cara.

Berdasarkan deskripsi pada contoh di atas, dapat diambil kesimpulan berikut.

Jika terdapat n buah tempat tersedia dengan k₁ cara berbeda untuk mengisi tempat pertama, k₂ cara berbeda untuk mengisi tempat kedua,

dan seterusnya hingga k_n cara berbeda untuk mengisi tempat ke-n, maka banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah

k₁ × k₂ × . . . × k_n

Pasangan terurut

Misalnya himpunan P = {1, 2} menyatakan banyak jalan dari ⇒ A ke B Q = {3, 4, 5} menyatakan banyak jalan dari ⇒ B ke C

Himpunan pasangan terurut dari P ke Q adalah:

P × Q = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

Masalah pada contoh di atas dapat juga diselesaikan dengan mendaftar semua cara yang mungkin terjadi. Ada tiga metode yang dapat digunakan untuk mendaftar semua cara yang mungkin, yaitu:

Contoh

2

Contoh

2

Seseorang hendak bepergian dari kota A menuju kota C melalui kota P atau kota Q.

Dari kota A ke kota P ada 3 jalan dan dari kota P ke kota C ada 4 jalan.

Dari kota A ke kota Q ada 2 jalan dan dari kota Q ke kota C ada 5 jalan.

Dari kota P ke kota Q atau sebaliknya tidak ada jalan.

a. Gambarlah jaringan jalan yang menunjukkan hubungan antara kota-kota A, P, Q, dan C.

b. Berapa banyak cara yang dapat ditempuh untuk bepergian dari kota A menuju kota C?

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Aturan Perkalian

dengan mengerjakan soal Latihan 1 Halaman 141

Permutasi

3.3

A. Faktorial dari Bilangan Asli

Faktorial dari suatu bilangan asli didefinisikan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:

n! = 1 × 2 × 3 × . . . × (n – 2) × (n – 1) × n dengan 1! = 1 dan 0! = 1.

Contoh

5

Contoh

5

Hitunglah nilai-nilai dari:

a. 4! c. 2! × 4!

b. 3! + 5! d. 6! – 4!

Alternatif Penyelesaian:

a. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

b. 3! + 5! = (3 × 2 × 1) + (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 6 + 120 = 126 c. 2! × 4! = (2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1) = 2 × 24 = 48

d. 6! – 4! = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) – (4 × 3 × 2 × 1) = 720 - 24 = 696

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Aturan Permutasi

dengan mengerjakan soal

Latihan 2 Halaman 143

Definisi : Permutasi

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r ≤ n).

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi:

Jika r = n, maka banyak permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (biasa disingkat: permutasi n unsur) dilambangkan dengan notasi:

B. Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

�

^�_�

❑

�

_�^�

❑

Contoh

6

Contoh

6

Berapakah banyak permutasi 4 huruf yang diambil dari A, B, C, dan D?

Alternatif Penyelesaian:

Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf yang diambil dari A, B, C, dan D adalah

huruf pertama huruf kedua huruf ketiga huruf keempat

B A D C

• Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D.

• Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara. Misalnya huruf pertama

dipilih B, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah A, atau C, atau D.

Contoh

6

Contoh

6

• Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara. Misalnya huruf kedua dipilih A, maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah C atau D.

• Huruf keempat dapat dipilih dengan 1 cara. Misalnya jika huruf pertama dipilih B, huruf kedua dipilih A, dan huruf ketiga dipilih D, maka huruf keempat tinggal 1 pilihan, yaitu huruf C.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan seluruhnya adalah

4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24.

Berdasarkan uraian pada Contoh 6, dapat ditetapkan bahwa banyak permutasi 4 unsur adalah

P₄⁴ = 4 × 3 × 2 × 1 = 4!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan:

P_nⁿ = n × (n – 1) × (n – 2) × . . . × 3 × 1 × 1 = n!

Contoh

7

Contoh

7

Berapa banyak permutasi dua huruf yang diambil dari A, B, C, dan D?

Alternatif Penyelesaian:

Sebuah contoh permutasi atau susunan 2 huruf yang diambil dari A, B, C, D, dan E adalah

huruf pertama huruf kedua D E

• Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 5 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D, atau E.

• Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya huruf pertama dipilih D, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah A, atau B, atau C, atau E.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah 5 × 4 = = 20.

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Banyak permutasi r unsur diambil dari n unsur ditentukan dengan aturan:

P_rⁿ=

Berdasarkan uraian pada Contoh 7, dapat ditetapkan bahwa banyak permutasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur adalah

P₂⁵=

Contoh

8

Contoh

8

Hitunglah permutasi-permutasi berikut.

a. P⁴₂ b. P⁵₅

Alternatif Penyelesaian:

Contoh

9

Contoh

9

Berapa banyak cara untuk memilih ketua dan wakil ketua dari 10 orang yang tersedia?

Alternatif Penyelesaian:

Memilih ketua dan wakil ketua (2 unsur) dari 10 orang (10 unsur) yang ada, adalah permutasi 2 unsur yang diambil dari 10 unsur yang tersedia.

P₂¹⁰ =

Jadi, banyak cara memilih ketua dan wakil ketua dari 10 orang yang tersedia ada 90 cara.

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Aturan Permutasi dari unsur- unsur yang berbeda

dengan mengerjakan soal

Latihan 3 Halaman 146

C. Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama

Pada subbab ini, akan dibahas bagaimana cara menentukan permutasi, jika dari n unsur yang tersedia itu terdapat beberapa unsur yang sama

Contoh

10

Contoh

10

Tentukan banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf- huruf A, A, dan B.

Alternatif Penyelesaian:

Unsur yang tersedia adalah A, A, dan B (ada 3). Dari 3 unsur yang tersedia ini terdapat 2 unsur yang sama, yaitu huruf A.

Contoh

10

Contoh

10

Banyak permutasi 3 unsur yang terdapat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari dengan menggunakan pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Untuk itu, huruf yang sama (huruf A) dibubuhi indeks 1 dan 2.

Dengan demikian, diperoleh 3 unsur yang berbeda, yaitu A₁, A₂, dan B.

Banyak permutasi 3 unsur yang berbeda (A₁, A₂, dan B) adalah 3! = 6, yaitu susunan-susunan:

A₁A₂B, A₂A₁B, A₁BA₂, A₂BA₁, BA₁A₂, BA₂A₁,

Contoh

10

Contoh

10

Apa yang terjadi jika indeks 1 dan 2 dihapuskan?

• dalam susunan A₁A₂B dan A₂A₁B, jika indeks dihapuskan menjadi AAB.

• dalam susunan A₁BA₂ dan A₂BA₁, jika indeks dihapuskan menjadi ABA.

• dalam susunan BA₁A₂ dan BA₂A₁, jika indeks dihapuskan menjadi BAA.

Untuk tiap susunan di atas ada 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan

banyak permutasi dari unsur A₁ dan A₂. Sementara itu, A₁ dan A₂ menjadi unsur yang sama ketika indeks dihapuskan.

Contoh

10

Contoh

10

Jadi, banyak permutasi dari huruf-huruf A, A, dan B ada 3 macam. Ketiga permutasi itu adalah AAB, ABA, dan BAA.

Dengan demikian, banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama ditentukan sebagai berikut.

Contoh

12

Contoh

12

Diberikan 9 buah bola, 2 buah bola berwarna merah, 4 buah bola berwarna kuning, dan 3 buah bola berwarna hitam.

Berapa banyak cara untuk menyusun bola-bola itu secara berdampingan?

Alternatif Penyelesaian:

Banyak unsur n = 9, banyak unsur yang sama k = 2 (untuk bola berwarna merah), l = 4 (untuk bola berwarna kuning), dan m = 3 (untuk bola berwarna hitam). Banyak permutasi 9 unsur yang memuat 2 unsur yang sama, 4 unsur yang sama, dan 3 unsur yang sama, ditentukan oleh:

Jadi, banyak cara untuk menyusun 9 buah bola secara berdampingan ada 1.260 macam.

4

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi uraian pada Contoh di atas mengarah pada kesimpulan secara umum sebagai berikut.

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Aturan Permutasi yang memuat unsur-unsur yang sama

dengan mengerjakan soal

Latihan 4 Halaman 150

D. Permutasi Siklis

Misalkan tiga orang, yaitu A (Asti), B (Beni), dan C (Chandra) menempati tiga buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Susunan

penempatan tiga orang itu diperlihatkan pada Gambar berikut.

susunan ABC, susunan BCA, dan susunan CAB adalah sebuah susunan yang sama dengan susunan (a)

susunan ACB, susunan CBA, dan susunan BAC adalah sebuah

susunan yang sama dengan susunan (b)

Jadi, banyak susunan dari tiga huruf A, B, dan C yang ditempatkan pada sebuah kurva tertutup yang berbentuk lingkaran seluruhnya ada

2! = 2 macam

Penempatan unsur-unsur dengan cara seperti pada Gambar sebelumnya disebut permutasi siklis atau permutasi sirkular (circular permutation).

Berdasarkan uraian di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut.

Contoh

13

Contoh

13

Misalkan ada 4 orang, yaitu A (Asti), B (Beni), C (Chandra), dan D (Doni) menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan yang dapat terjadi?

Banyak unsur n = 4, maka banyak permutasi siklis dari 4 unsur itu seluruhnya ada

P_siklis = (4 – 1)! = 3! = 6

Jadi, banyak susunan yang dapat terjadi ada 6 macam.

E. Permutasi Berulang

Permutasi berulang (repeated permutation)

adalah permutasi dimana susunan unsur-unsur yang tersedia boleh berulang dalam suatu susunan

Misal:

AAA, AAB, AAC, ..., BBA, BBB, BBC, ..., CCA, CCB, CCC, ..., dan seterusnya.

Banyak permutasi berulang dari tiga huruf A, B, dan C dapat ditentukan dengan memakai aturan perkalian sebagai berikut.

• Huruf pertama dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu huruf A, B, atau C.

• Huruf kedua dan ketiga dapat dipilih dengan 3 cara.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan seluruhnya ada 3 × 3 × 3 = 3³ = 27

Berdasarkan deskripsi tentang permutasi berulang, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut.

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (r ≤ n) ditentukan dengan aturan:

P

_berulang

= n

^r

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Aturan Permutasi Siklis dan Berulang

dengan mengerjakan soal

Latihan 5 Halaman 154

Kombinasi 3.4

A. Pengertian Kombinasi

Misalkan tersedia 3 huruf A, B, dan C. Dari tiga huruf tersebut akan diambil 2 huruf tanpa memperhatikan urutannya.

Atau AB = BA, AC = CA, begitu pula BC = CB.

Dengan demikian, hanya ada 3 susunan, yaitu susunan-susunan AB, AC, dan BC.

Susunan yang dibentuk dengan cara seperti itu disebut kombinasi 2 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia.

Definisi: Kombinasi

Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa

memperhatikan urutannya (r ≤ n).

Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan oleh aturan:

C_rⁿ =

Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi C_rⁿ.

Contoh

15

Contoh

15

Hitunglah kombinasi-kombinasi berikut.

a. C₃⁵ b. C₅¹² Alternatif Penyelesaian:

a. C₃⁵

b. C₅¹²

2

Contoh

15

Contoh

15

Tiga buah huruf diambil dari huruf-huruf H, A, R, M, O, N, I, dan S.Berapa banyak cara memilih ketiga huruf itu jika urutan huruf tidak diperhatikan?

Alternatif Penyelesaian:

C₃⁸

Jadi, banyak cara memilih tiga huruf dari huruf-huruf H, A, R, M, O, N, I, dan S jika urutan huruf tidak diperhatikan seluruhnya ada 56 macam.

Contoh

16

Contoh

16

Diketahui 12 orang yang terdiri atas 7 orang wanita dan 5 orang pria. Dari 12 orang itu akan dibentuk sebuah delegasi yang

beranggota-kan 4 orang. Berapa banyak delegasi yang dapat dibentuk jika:

a. setiap orang dari 12 orang itu memilliki hak yang sama untuk dipilih sebagai anggota delegasi?

b. anggota delegasi terdiri atas 2 orang pria dan 2 orang wanita?

Alternatif Penyelesaian:

Jadi, banyak delegasi yang dapat dibentuk jika setiap orang mempunyai hak yang sama untuk dipilih seluruhnya ada 495.

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Aturan Kombinasi dengan mengerjakan soal

Latihan 6 Halaman 158

B. Penerapan Aturan Kombinasi dalam Penjabaran Binom Newton (Pengayaan)

Jika a dan b adalah variabel-variabel real yang tidak nol, maka bentuk aljabar

(a + b) disebut suku dua atau binom dalam a dan b. Binom (a + b)

dipangkatkan dengan n (n adalah bilangan-bilangan asli) dituliskan sebagai:

(a + b)

ⁿ

Berikut ditunjukkan hasil penjabaran binom (a + b)ⁿ untuk n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, dan n = 5 secara berurutan.

koefisien-koefisien dari pen- jabaran binom (a + b)ⁿ untuk

n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, dan n = 5 akan membentuk susunan

bilangan yang unik sebagaimana yang terlihat pada gambar

Segitiga Pascal

Setelah koefisien-koefisien penjabaran binom untuk n = 6, n = 7, n = 8, ..., dan seterusnya ditentukan sesuai dengan pola, maka hasil penjabaran binom (a + b)ⁿ dengan mudah dapat ditentukan pula. Sebagai contoh:

Contoh

17

Contoh

17

Jabarkan binom-binom berpangkat berikut.

a. (2x + 3y)⁴ b. (2x – 3y)⁶

Alternatif Penyelesaian:

a. Dengan menetapkan 2x = a, 3y = b, dan n = 4, penjabarannya adalah:

(2x + 3y)⁴ = (1)(2x)⁴ + (4)(2x)³(3y) + (6)(2x)²(3y)²

= (4)(2x)(3y)³ + (1)(3y)⁴

= 16x⁴ + 96x³y + 216x²y² + 216xy³ + 81y⁴. Jadi, (2x + 3y)⁴ = 16x⁴ + 96x³y + 216x²y² + 216xy³ + 81y⁴.

C. Penjabaran Binom dengan Notasi Kombinasi

Koefisien-koefisien penjabaran binom itu ternyata dapat dituliskan dengan notasi kombinasi. Penulisan dengan notasi kombinasi

dijelaskan pada uraian berikut.

Selanjutnya, hasil penjabaran binom (a + b)ⁿ untuk n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, dan n = 5 dapat ditulis dengan menggunakan notasi kombinasi dan notasi sigma sebagai berikut.

Jadi, penjabaran binom (a + b)ⁿ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan:

Penjabaran binom dengan menggunakan rumus tersebut dikenal sebagai bentuk umum penjabaran binom Newton.

Contoh

18

Contoh

18

Jabarkan binom-binom berpangkat berikut dengan menggunakan rumus.

a. (a + b)⁶ b. (a + b)⁷

Alternatif Penyelesaian:

Contoh

18

Contoh

18

Anda dapat menguji pemahaman tentang Aturan Kombinasi dalam

Penjabaran Binom dengan mengerjakan soal

Latihan 7 Halaman 163