Media Pembelajaran MATEMATIKA Kelompok Wajib Untuk SMA/MA Kelas XII

(1)

Media Pembelajaran

MATEMATIKA

Kelompok Wajib

Untuk SMA/MA Kelas XII

(2)

Ruang Dimensi Tiga

Bab 1

Sumber gambar: www.shutterstock.com

(3)

Tujuan Pembelajaran Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik diharapkan dapat:

 Mengamati dan mendeskripsikan masalah jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang pada ruang.

 Mengamati dan menerapkan konsep jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang untuk menyelesaikan masalah pada dimensi tiga.

 Mengonstruksi rumus jarak dua titik dan jarak titik ke garis.

(4)

Menentukan Jarak dalam Ruang 1.2

Menentukan Sudut dalam Ruang 1.3

Kedudukan Titik, Garis dan Bidang pada Ruang 1.1

DAFTAR ISI

(5)

Kedudukan Titik, Garis dan Bidang pada Ruang 1.1

Titik, garis, dan bidang merupakan bagian yang membentuk suatu bangun ruang. Ketiga bagian ini dinamakan unsur-unsur bangun ruang.

A. Pengertian Titik, Garis dan Bidang 1. Titik

A

B R

• Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran. Sebuah titik digambarkan

dengan menggunakan tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik yang biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q, atau R.

P

(6)

2. Garis

A

R

P AP

AR

g

• Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar.

• Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan menuliskan nama wakil garis itu menggunakan huruf kecil g, h, k, atau menuliskan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung.

• Sebuah garis (lurus) dapat diperpanjang sekehendak kita. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuah garis

hanya dilukiskan sebagian saja.

(7)

3. Bidang

Sebuah bidang (datar) dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut wakil bidang. Wakil berbentuk persegi, persegi panjang, atau jajargenjang.

Nama dari wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan menggunakan huruf atau H, U, V, W atau dengan menuliskan titik- titik sudut dari wakil bidang itu.

A B

D C

ABCD

α β

(8)

4. Aksioma Garis dan Bidang Aksioma 1

Aksioma 2

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Aksioma 3

Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.

Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Dari tiga buah aksioma diturunkan 4 buah dalil untuk menentukan sebuah bidang.

(9)

2. Kedudukan Titik terhadap Bidang

a. Titik terletak pada garis

1. Kedudukan Titik terhadap Garis

b. Titik di luar garis b. Titik di luar bidang

a. Titik terletak pada bidang

B. Kedudukan Titik terhadap Garis dan Titik terhadap Bidang

(10)

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

dengan mengerjakan soal

Latihan 1 Halaman 10

(11)

Contoh Contoh

Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.

Segmen (ruas garis) AB

a) Titik-titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah titik A dan titik B b) Titik-titik sudut kubus yang terletak

pada garis g adalah titik C, D, E, F, G, dan H

(12)

C. Kedudukan Garis terhadap Garis dan Garis terhadap Bidang 1. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain

a. Dua garis berpotongan

b. Dua garis berimpit

c. Dua garis sejajar

d. Dua garis bersilangan

(13)

e. Aksioma dua garis sejajar Aksioma 4

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.

(14)

Garis AB sebagai wakil garis

a) Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan b) dengan garis g adalah AD, AE, BC, dan BF.

c) Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis g adalah DC, EF, dan HG.

d) Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) dengan garis g adalah CG, DH, EH, dan FG.

Adakah rusuk kubus yang berimpit dengan garis g?

(15)

2. Kedudukan Garis terhadap Bidang

a. Garis terletak pada bidang

b. Garis sejajar bidang

c. Garis memotong atau menembus bidang

(16)

Garis ABCD sebagai wakil bidang.

a) Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang U adalah rusuk-rusuk AB, AD, BC, dan CD.

b) Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan

bidang U adalah rusuk-rusuk EF, EH, FG, dan GH.

c) Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang U adalah rusuk-rusuk EA, FB, GC, dan HD.

(17)

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Kedudukan Garis terhadap garis dan garis terhadap bidang

(18)

D. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain 1. Dua bidang berimpit

2. Dua bidang sejajar

3. Dua bidang berpotongan

(19)

Garis ABCD sebagai wakil bidang.

a) Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang U adalah rusuk-rusuk AB, BC, CD, dan AD.

b) Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan

bidang U adalah rusuk-rusuk EH, EF, FG, dan GH.

c) Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang U adalah rusuk-rusuk EA, FB, GC, dan HD.

(20)

4. Tiga bidang berpotongan

Garis

persekutuan berimpit

Garis

persekutuan sejajar

Garis

persekutuan berpotongan

(21)

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Kedudukan bidang terhadap bidang lain

(22)

Menentukan Jarak dalam Ruang 1.2

Konsep jarak yang pernah kita pelajari dalam geometri analitis (geometri bidang) adalah sebagai berikut.

Jarak titik A ke titik B dapat digambarkan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB sebagaimana diperlihatkan pada Gambar

(23)

Jika d adalah jarak titik ke titik , maka jarak d dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan:

(24)

A. Jarak Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang 1. Jarak titik ke titik

Jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang dapat digambarkan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Jarak titik A ke titik B ditentukan oleh panjang ruas garis AB sebagaimana diperlihatkan pada Gambar (a) di bawah ini.

(25)

2. Jarak titik ke garis

Jika sebuah titik berada di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis itu. Jarak titik A ke garis g (titik A berada di luar garis g) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Buatlah bidang α yang melalui titik A dan garis g (ingat Dalil 2).

Langkah 2

Pada bidang α tersebut, buatlah garis AP yang tegak lurus terhadap garis g.

Langkah 3

Ruas garis AP merupakan jarak titik A ke garis g yang diminta.

(26)

3. Jarak titik ke bidang

Jika sebuah titik berada di luar bidang, maka ada jarak antara titik ke bidang itu. Jarak titik A ke bidang α (titik A berada di luar bidang α) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Buatlah garis g yang melalui titik A dan tegak lurus bidang α

Langkah 2

Garis g menembus bidang α di titik Q.

Langkah 3

Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang α yang diminta.

(27)

Contoh

1

Contoh

1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan rusuk DH.

Hitungah jarak:

a. Titik A ke titik B b. Titik A ke titik C c. Titik A ke titik D d. Titik A ke titik G e. Titik A ke titik P f. Titik B ke titik P

(28)

Contoh

1

Contoh

1

Alternatif Penyelesaian

a. Jarak titik A ke titik B = panjang ruas garis AB = 5 cm b. Jarak titik A ke titik C = panjang diagonal sisi AC = cm c. Jarak titik A ke titik D = panjang ruas garis AD = 5 cm

d. Jarak titik A ke titik G = panjang diagonal ruang AG = cm

(29)

Contoh

1

Contoh

1

e. Jarak titik A ke titik P = panjang ruas garis AP

Jadi, jarak titik A ke titik P adalah cm.

(30)

Contoh

1

Contoh

1

f. Jarak titik B ke titik P = panjang ruas garis BP.

Jadi, jarak titik B ke titik P adalah cm.

(31)

Anda dapat menguji pemahaman tentang Jarak titik ke titik, titik ke

garis dan titik ke bidang dengan mengerjakan soal

(32)

1. Jarak dua garis sejajar

Misalkan diketahui garis g dan garis h sejajar. Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar itu dapat digambarkan dengan cara sebagai berikut.

• Buatlah bidang α yang melalui garis g dan h (ingat Dalil 4).

• Buatlah garis k yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h, misalnya titik- titik potong itu berturut-turut adalah titik A dan titik B.

• Panjang ruas garis AB ditetakan sebagai jarak antara garis g dan garis h yang sejajar.

A. Jarak Garis ke Garis, Garis ke Bidang dan Bidang ke Bidang

(33)

2. Jarak dua garis bersilangan

Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilangan. Jarak antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat digambarkan dengan cara sebagai berikut.

• Buatlah garis g’ sejajar garis g sehingga

memotong garis h. Garis g’ dan h membentuk bidang α

• Buatlah garis k yang tegak lurus terhadap g’ dan garis h. Garis k dan h membentuk bidang β dan bidang β ditembus oleh garis g di titik P.

• Buatlah garis melalui P dan sejajar garis k sehingga memotong garis h di titik Q

• PQ tegak lurus terhadap garis g dan juga

terhadap garis h, sehingga panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak garis g dan garis h yang bersilangan

(34)

3. Jarak garis dan bidang yang sejajar

Misalkan garis g dan bidang α sejajar. Jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar itu dapat digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

• Ambil sembarang titik P pada garis g.

• Buatlah garis k yang melalui titik P dan tegak lurus bidang α.

• Garik k memotong atau menembus bidang α di titik Q.

• Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar.

(35)

4. Jarak dua bidang sejajar

Misalkan bidang α sejajar dengan bidang β. Jarak antara bidang α dan bidang β yang sejajar itu dapat digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

• Ambil sembarang titik P pada bidang α.

• Buatlah garis k yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang β.

• Garis k memotong atau menembus bidang β di titik Q.

• Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara bidang α dan bidang β yang sejajar.

(36)

Contoh

6

Contoh

6

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 10 cm, BC = 8 cm, dan AE = 3 cm.

a. Hitunglah jarak antara garis AE dan bidang BCGF.

b. Hitung jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH.

a. Garis AE dan bidang BCGF merupakan garis dan bidang yang sejajar. Jarak antara garis AE dan bidang BCGF

ditentukan oleh panjang ruas garis AB, sebab AB tegak lurus garis AE dan juga tegak lurus bidang BCGF.

Jadi, jarak antara garis AE dan bidang BCGF yang sejajar sama dengan panjang rusuk AB = 10 cm.

Alternatif Penyelesaian

(37)

b. Bidang ABCD dan bidang EFGH merupakan dua bidang yang sejajar. Jarak antara

bidang ABCD dan bidang EFGH ditentukan oleh panjang ruas garis AE atau BF atau CG atau DH, sebab AE tegak lurus pada bidang ABCD dan juga pada bidang EFGH.

Perhatikan gambar (b).

Jadi, jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH sama dengan panjang rusuk AE = 3 cm.

(38)

Anda dapat menguji pemahaman tentang Jarak garis ke garis, garis ke bdang dan bidang ke bidang

(39)

Menentukan Sudut dalam Ruang

1.3

Sudut-sudut dalam ruang dapat dibentuk oleh dua unsur ruang, yaitu:

• Garis dan garis

• Garis dan bidang

• Bidang dan bidang

A. Sudut antara Garis dan Garis

1. Dalam hal garis g berimpit atau sejajar dengan garis h, maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis itu sama dengan nol.

2. Dalam hal garis g bepotongan atau bersilangan dengan garis h, maka terdapat sudut yang dibentuk oleh kedua garis itu.

(40)

1. Sudut antara dua garis berpotongan

Misalkan garis g dan garis h berpotongan di titik P sehingga kedua garis itu terletak pada sebuah bidang α. Sudut antara garis g dan garis h yang

berpotongan dapat digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Ambil sembarang titik A pada garis g dan

sembarang titik B pada garis h, dengan garis g dan garis h berpotongan di P.

Langkah 2

Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan

(41)

2. Sudut antara dua garis bersilangan

Besar sudut antara dua garis yang bersilangan dapat ditentukan dengan sifat sudut dalam geometri bidang datar, yaitu:

Dua buah sudut dikatakan sama besar, jika kaki-kaki kedua sudut itu sejajar dan searah.

(42)

Langkah 1 Langkah 2

Langkah 3

Ambil sembarang titik O pada bidang α.

Melalui titik O, buatlah garis g’ sejajar dengan garis g dan garis h’ sejajar dengan garis h

Sudut yang dibentuk oleh garis g’ dan garis h’

ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan.

Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilangan. Garis g menembus bidang α di P dan garis h terletak pada bidang α.

Sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

(43)

Dalam menggambarkan sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan, lebih praktis apabila titik O diambil pada salah satu garis (garis g atau

garis h).

Misalkan titik O diambil pada garis g (titik O diambil tepat berimpit dengan titik P).

• Melalui titik O, buatlah garis h’ yang sejajar dengan garis h.

• Sudut yang dibentuk oleh garis g dan garis h’ merupakan ukuran besar sudut antara garis g dan garis h yang

bersilangan sebagaimana diperlihatkan pada Gambarberikut)

(44)

Berikut ini diberikan contoh aplikasi bagaimana cara menentukan sudut antara dua garis yang bersilangan.

Pada kubus ABCD.EFGH dalam Gambar garis AD dan garis BG merupakan dua garis yang bersilangan.

Sudut antara garis AD dan garis BG yang bersilangan itu ditentukan oleh sudut antara garis AD dan garis AH (yaitu ∠DAH), sebab garis AH sejajar dengan garis BG.

Garis BC dan garis AH juga merupakan dua garis yang bersilangan. Sudut antara garis BC dan garis AH yang bersilangan itu ditentukan oleh sudut antara garis BC dan garis BG (yaitu ∠CBG), sebab garis BG sejajar dengan garis AH.

Perhatikan bahwa besar ∠DAH = besar ∠CBG. Mengapa demikian?

(45)

2. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD dalam Gambar 1.25(b), garis TA dan garis DC merupakan dua garis bersilangan.

Sudut antara garis TA dan garis DC yang bersilangan itu ditentukan oleh sudut

antara garis TA dan garis AB (yaitu ∠TAB), sebab garis AB sejajar dengan garis DC.

(46)

Contoh

7

Contoh

7

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

Hitunglah besar sudut antara:

a. Garis CF dan garis EG b. Garis AH dan garis BF c. Garis DE dan garis BG Alternatif Penyelesaian

a. Garis CF dan garis EG bersilangan,

∠(CF, EG) = (∠ CF, AC) = ∠ACF, sebab AC // EG (perhatikan gambar).

Karena AC = AF = CF = 6 cm (AC, AF, dan CF

merupakan diagonal-diagonal sisi kubus), maka ΔACF merupakan segitiga sama sisi.

Dengan demikian, besar ∠ACF = 60°.

Jadi, besar sudut antara garis CF dan garis EG adalah (∠ CF, AC) = 60°.

(47)

Contoh

7

Contoh

7

b. Garis AH dan garis BF bersilangan, (∠ AH, BF)

= (∠ AH, AE) = ∠EAH, sebab AE // BF (perhatikan gambar (b)). Garis AH adalah

diagonal sisi ADHE (ADHE berbentuk persegi), sehingga besar ∠EAH = 45°.

(48)

c. Garis DE dan garis BG bersilangan, (∠ DE, BG) = (∠ DE, AH) = ∠EOH, sebab AH // BG (perhatikan gambar (c)).

Garis-garis AH dan DE adalah diagonal-diagonal sisi ADHE, sehingga garis AH dan garis DE berpotongan tegak lurus di titik O. Dengan demikian, besar

∠EOH = 90°.

Jadi, besar sudut antara garis DE dan garis BG adalah (∠ DE, BG) = 90°. Dikatakan garis DE dan garis BG bersilangan tegak lurus.

(49)

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Sudut antara garis dengan Garis dengan mengerjakan soal

(50)

B. Sudut antara Garis dan Bidang

Ingat kembali bahwa kedudukan antara garis dan bidang dalam ruang memiliki kemungkinan sebagai berikut:

• garis terletak pada bidang,

• garis sejajar bidang,

• garis memotong atau menembus bidang.

(51)

Langkah 1

Ambil sembarang titik Q pada garis g.

Langkah 2

Melalui titik Q, buatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang α. Garis h ini

menembus bidang α di titik Q′. Langkah 3

Sudut QPQ′ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan.

Sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

(52)

Contoh

8

Contoh

8

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.

a. Hitunglah besar sudut AF ke bidang ABCD.

b. Jika sudut antara diagonal ruang BH dengan bidang alas ABCD adalah α, hitunglah:

(i) sin α, (ii) cos α, (iii) tan α.

∠(AF, bidang ABCD) = ∠BAF, yaitu sudut yang

dibentuk oleh garis AF dan garis AB, sebab AB adalah proyeksi AF pada bidang ABCD (perhatikan gambar).

ΔABF adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga ∠BAF = 45°.

Jadi, besar (∠ AF, bidang ABCD) = 45°.

(53)

Contoh

8

Contoh

8

∠(BH, bidang ABCD) = ∠DBH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis BH dan garis BD, sebab BD adalah proyeksi BH pada

bidang ABCD (perhatikan gambar .

ΔBDH merupakan segitiga siku-siku di D dengan BD = 8 cm, BH = 8 cm, dan DH = 8 cm.

Dengan mengambil sinus, kosinus, dan tangen sudut α pada ΔBDH, diperoleh:

i. Sin α = = ii. Sin α = = iii. Sin α = =

(54)

Contoh

9

Contoh

9

Alternatif Penyelesaian

Bidang alas dari limas T.ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 12 cm, AD = 9 cm, dan TA = TB = TC = TD = 8 cm.

a. Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO.

b. Hitunglah sin (∠ TA, bidang alas ABCD).

Perhatikan gambar di samping.

a. Panjang AC:

AC =

⇔ AC =

= 15

Tinggi limas TO TO =

⇔ TO =

=

Jadi panjang AC = 15 dan tinggi limas TO =

(55)

Contoh

9

Contoh

9

b. Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah ∠TAO, sebab proyeksi TA pada bidang alas ABCD adalah AO. ΔTAO adalah segitiga siku-siku di O, sehingga:

sin ∠TAO =

⇔ sin ∠TAO =

=

Jadi, sin (∠ TA, bidang alas ABCD) =

(56)

Anda dapat menguji pemahaman tentang Sudut antara garis dengan

Bidang

(57)

c. Sudut antara Dua Bidang

Ingat kembali bahwa kedudukan dua bidang dalam ruang kemungkinannya adalah:

• Dua bidang berimpit

• Dua bidang sejajar

• Dua bidang berpotongan

• Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut yang dibentuk sama dengan nol.

• Jika dua bidang berpotongan, maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan tersebut.

(58)

• Misalkan bahwa bidang α dan bidang β berpotongan pada garis potong (α,β). Sudut antara bidang α dan bidang β yang berpotongan dapat

ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 2

Melalui titik P, buatlah garis PQ pada

bidang α dan garis PS pada bidang β yang masing-masing tegak lurus terhadap garis potong (α, β).

Langkah 3

Sudut QPS ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang α dan bidang β yang

berpotongan.

Perhatikan bahwa sudut QPS merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis PQ dengan garis PS.

(59)

Berdasarkan paparan tersebut, sudut antara dua bidang yang berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Sudut antara Dua Bidang Berpotongan

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama

dan sebuah garis lagi pada bidang yang kedua), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.

(60)

Dalam menentukan sudut antara bidang α dan bidang β (bidang α dan bidang β berpotongan) yang telah dibicarakan di atas, ada beberapa istilah dan ketentuan yang perlu dipahami. Beberapa istilah dan

ketentuan itu di antaranya adalah:

1. Sudut QPS yang menyatakan ukuran sudut antara bidang α dan bidang β yang berpotongan dinamakan sebagai sudut tumpuan. Bidang PQRS yang memuat sudut tumpuan dinamakan sebagai bidang tumpuan.

2. Jika α mewakili bidang ABC dan β mewakili bidang BCD, maka sudut tumpuan antara kedua bidang itu dituliskan sebagai ∠A(BC)D atau

∠A.BC.D.

(61)

3. Jika besar sudut antara bidang α dan bidang β yang berpotongan itu sama dengan 90°, maka dikatakan bidang α tegak lurus bidang β dan sebaliknya, atau kedua bidang saling tegak lurus sesamanya.

4. Jika sudut antara dua bidang yang berpotongan itu bukan sudut

istimewa, maka yang dihitung cukup nilai perbandingan trigonometrinya (sinus, kosinus, atau tangen).

5. Rumus-rumus perbandingan trigonometri dan hubungan teorema Pythagoras sering digunakan sebagai pertolongan untuk menentukan besar sudut antara dua bidang yang berpotongan itu.

(62)

Contoh

11

Contoh

11

Dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, α adalah sudut yang dibentuk oleh bidang ACG dan bidang alas ABCD.

Hitunglah tan α.

Perhatikan gambar. Sudut antara bidang ACG dan bidang alas ABCD adalah ∠DOG = α, dengan titik O adalah

perpotongan diagonal-diagonal bidang alas. ΔODG siku- siku di D, dengan DG = 6 cm dan OD = = cm, sehingga:

Tan α = = = Jadi, tan α =

(63)

Contoh

12

Contoh

12

b. Perhatikan gambar. Sudut antara bidang TAB dan bidang TCD

adalah β = ∠QTR, dengan Q dan R masing-masing adalah titik tengah rusuk AB dan rusuk CD. Dapat dihitung bahwa QR = BC = 6 cm dan TQ = TR = 3 cm.

Dengan menggunakan aturan kosinus pada ΔQTR, diperoleh:

QR² = TQ² + TR² – 2 · TQ · TR cos β

⇔ cos β =

⇔ cos β = =

Jadi, cos =

(64)

Contoh

12

Contoh

12

Pada limas segi empat T.ABCD, bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Sudut α adalah sudut antara bidang TBC dengan bidang alas ABCD dan sudut β adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang TCD. Hitunglah

a. tan α. b.cos β.

Perhatikan gambar. Sudut antara bidang TBC dengan bidang alas ABCD adalah α = ∠ ∠TPO, dengan P

adalah titik tengah rusuk BC dan O adalah titik potong diagonal AC dengan diagonal BD. Dapat dihitung

bahwa TO = 12 cm dan PO = 4 cm. ΔTPO adalah segitiga siku-siku di O, sehingga:

(65)

Contoh

12

Contoh

12

tan α = tan ∠TPO

= tan ⇔ α = =2 Jadi, tan α = 2.

(66)

Contoh

13

Contoh

13

Bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk-rusuknya 8 cm.

Hitunglah besar sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABC.

Perhatikan gambar di samping. Sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah ∠TPC, dengan titik P adalah titik tengah AB.

ΔTPB siku-siku di P, TB = 8 cm, dan PB = 4 cm, sehingga:

TP =

⇔ TP = = = = 4

ΔPBC siku-siku di P, BC = 8 cm dan PB = 4 cm, sehingga:

PC =

⇔PC = = = = 4

(67)

Contoh

13

Contoh

13

Dari cos ∠TPC = diperoleh ∠TPC = 70,53°

Jadi, besar sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABC sama dengan 70,53°.

TC² = TP² + PC² – 2 · TP · PC cos ∠TPC

⇔ cos ∠TPC =

(68)

Anda dapat menguji pemahaman tentang

Sudut antara bidang dengan Bidang