Mengkonstruksi fungsi green persamaan diferensial linier orde-n

(1)

J\lENGKONSTRtlKSI FUNGSI GREEN PERSAMA,AN DIFERENSIAL LINtER ORDE-n

OLEH;

I\VAN StiGIA.RTO

F.\Kll.TAS MATEMATllU\ [)J\:\ iLlvlt' PENGETAIH.'.\]\; '\: \\1 UNIVERSITAS KATUI IK I'ARAHYA'\(J/\".

r~,\NDl.:N(;

:\(JI.)S']'l'S ~OO 1

(2)

MENGKONSTRUKSIFUNGSIGREEN PERSAMAAN DIFERENSIAL UNIER ORDE-n

OLEH:

IWAN StiGIARTO

F.\!< l.'LT!\S MATEMA TlKA DM') IUviU PENGETAlll,\'\ .\L.'\:\1 lNl VERSl'T'AS KATOUK I' ARAHY :\1\(,,\1\

I3ANDUNC .,\GUSTUS :2001

(3)

MENGKONSTIUH(SI FUNGSI GREEN PERSAMAAJ\ DIFERENSIAL LlNIIm OHDE-11

I. LataI' Belakang

Tinjau persamaan diferensiai linear ordc - ¹¹

dcngan limgsi h kontinu pada daerah deilllisinya.

Fungsi Green untuk persamaan dil'erensial di atas dapat dicari sehingga dapar llluciah l1K:l)Cntukan solusi persamaun diferensiai un1.uk fungsi h ~,,~barang, Dalam skripsi in), akan dipcrkenalkan mengkonstruksi itmgsi Green persamaml difeorensial lincar.

II. Konscp Fungs; r.;recn

Pandang, pC'.fsamaan difcrensial linc<tr tak homogcn orde - 11

)Jnl ll1l (X))(1I I) +""UI/(X))' , Ii(x) (I )

Fungsi CJ(X,/) dikatakanjilllgsi (;recn untuk masalah nilai aW31 pcrsamaan difercnsial eli alas/ilea mcmenuhi kondisi beriku! il1i .

U(",I)

lerdefinisi pada daerah R clari SCI11Uil tilik (1',1) clcngan \' dan ^I terkiak clalam selang 1

- !l iY

meru!Jakan fUllgsi yang. kontll1u pada R

(4)

; Untllk set iap

xo

^daJal11 ^selang ^dan ^fungsi Ii , ('(1) fungsi x

yp(x) ^cc

f

^G(x,r)

Mil

ill adaJah soJllsi persamaan diferncsial 0) yang mCl11cnuhi

xo

III. Konslruksi Fllngsi Green l'crsamaan DiferclIsial Liniel' Ordc ^-II 'j'injau pcrsamaall difercnsial :

Solusi umul11 persamaan difrrcnsial di alas adalah : Y" Yli 'Yp

dcngan Yh I11crupakan solusi 111l1Ulll pcrsamaan ciifercnsiai !Jolllogcnnya dell 1'1) salah _., salu solusi khususnya.

('J' ~)

111aka Yh =~ elY} (x) + :"'2}'2 (x)+· '+C]1Yn(x) dengan c1 ,.c2 ,'" ,en mcrupakan kiH1stallta Seclangkan solusi khususnya aclalah :

(3) dimana "1¹,112 I ) ' " ~ lin; ditentukan dari sistcm pcrsarnaan tcrdirj dac1 n persamaan

111' _•1'1 + 112' I'') _• _i--+ .. " I i "'. _{J1 '}_II=, 0

I I I " ' I 0

111 YI +112 Y2 ^C" '+11/1 .1'/1 -

(5)

Dcngan aturan Cramer, maka .

I _)'1 _)'2 _Yf..

I

_YI'

.)-"2

1

I

Yk-

,

I . (11-])

)/1

In

^(11-1) _J2 _' _Yk

uk ,

)'1 )'2

}'J 1 )'2

dengan k = 1 , 2 , ... , ^/I

1 0

()

I) _h

Yk-II Yk+I'

(II-¹⁾ Yk+1 -,

- .-----, ^.---~--

)'11

Yn ,

V (11 1)

.- Jl

Y/I _,

I

_I

Y,I

I

(I~

^III

.}in '!

Misalkan W[Y] (X),Y2 (x),'" ,YII

(xl]

merupakan determinan Wronsky dengan

I

Wln(X),Y2(X)'''',YII(x)]

=:

)'1 Yll

Y2 Y2

YI1 Yn!

1, (11 1) .' n

i11isalkan pula merupakan del{jrn1inan yang, diperoleh

0'

Wb'l (X),Y2(X)'''',YII(x)] dengan 111cnggantikan kOJ0111 ke-k dengan

o

Yl Y2

)1

^{- l}^, ⁰ Yk ^-i1

Jadi )'k (x) = )'1

.n

⁰ ^{rki I}^,

)'k - 1(1/-1) Yki I (II I)

Yi}

)'1/

V (/I

-/I

,

I)

dcngan

(6)

Dari persamaan (4) dapat ditulis

YA ^J ⁽⁾ ^Ylef]

Yk -1 ,

()

\'

" , :

Yk ] ^(17'1) i Yk,)" I)

. liIII(;};;Dl""lli!\)]

I'k (x), h(l)

II

k '=II;[)~)~~~;i~)':')'11 (~)l

.In

Yll

\' (Ill)

" 11 .. ,-.-.---.. ~--- .--.

. }.Jk(I)./i(r) ..•...

"k '.\:O W[;'l (t),Y2 (r)," ',J'I1(r)] dl dengan k 1 , 2 , " .• 17

Dengan memasukkan (5) ke dalam (3) c!iperoleh .

x

Yp

! e(x,/)

Ii(t) dl -'0

dengan (;(Y, I) = JI](/)IJ(I)"+)'lI(\,)I//.(r) WP'I (r),l2 (T),'" ,.1'11(1)

1

.ladi solusi umUll1 pcrsamaan dilercnsial (2) adalah x

Y Jh +

i

G(x,t) , her) dr YO

·Ii

(5)

(6)

G(x,t) yang didefinisikan oleh (6) merupakanfimgsi (frcm un(uk pCr(,1I11aan ciii(ircnsial x

(2) Hal ini disebabkan j G(x,I), h(l) dr solusi pcrsamaan diferensiai 0) dan

C;(I'.I) xo

mcmenuhi hal-hal beriklll

(7)

1.

U(x,l)

tcrdciinisi \/(X,I) karcna 11[.1'1 (1),)'2(1),,,,,)1/(0]/ (), VI

([Xo,x]

tUllmannya Kontinu sampai c!cngan orclc kc (II .... l) .

kontinu lI(x,!).

kontinu \I(x,l).

kontinu \/(X,I)

x

}. Dari konstruksi Yp, terlihat bahwa ypix) =

JG(x,I),hli)

dt adalall solus;

X()

persamaan diferensial (2)

xo

JcJas bahwa

yp(xo)

⁼

I

G(I',l)h(!)

ill

⁼^(I

x()

Yp ,(x) .

Akan dibuktikan

C;(x,x)-

0. III'

(7)

".

(8)

0 Y2

() Y2'

YI

)I') (II

Yl

! V ^I

j I

l' I

,"j

I

(II I) IYI

I) Y2

Untuk n ganjil maka

YII

Yn

^,

Yn (n'

\ I'::; ,

, \ ') I

1) ~I , (nJ) II I

01 o

o o

YI VI + Y2 V2 +" '+Ynf.'n

I

.I'll

-lJ

^YI

}in ,

YI , (". 2)

"-I

^(1/·2)

),,, IYI

= YI

)'2 Y3

)'2 Y3'

)'1 .. "'2 _J" 1

'vI ^, ^)'2 ,\

'"

-i-"'+.hl

I (n· 2) iYI

(II' 2)

)'2

(,,2 )

)'" I

)'J .Y2 Y,}

Yl Y2 Yn

YI ,

.1'2 Yn ,

- ,

(n .. 2)

YI ^)'2^(n-2) (11-2)

Yn

.. II I'

(n· I)

)'" ^'

• • F') 1

Y3 ,

(II 2)

v ....

, .)

J'fi )-'11

ill 2)

II

Menul1lt sifat determinan. karena ada dua baris yang terd;ri dari clemcn·clemen yang

Untuk Jl genap, maka

(9)

l'll'] + \,"(/"", ,,-\'"j '/1

. I ~ .'.t.- __ .- "

I

^Y2

J y') ^I

-),]1 '

~

1,(ri-2)

\' ^'

,2

I

^y)

I V)'

"'''' \' i

.-v-, ^.)

)-'1 ,

(n 2) v ....

.- J

,1'2 Y2¹

, II,

I

⁽¹¹²⁾ ^(11-2)

! v) ,\7

)')

y)

Yl!

I'"

(11-2)

y]

)'2

Y2 Y2' (11-2) J'2 .

J'II

Yn ,

i Y?

(11-2) Y/7

.' J1 \' )

YII ⁾

\' (11- 2)

)'11

YII

YIlI , 11-- )

(n-2) Yn

y] _.'^)I'"_-) }'II

y] ^, Y3 ^, ^\'n

(II 2) (11-2) (II 2)

)/1 V~ rll

" , ^.- ^.J

Menurut sifat Jeterminan, karena ada dlla baris yang tenliri dari elemen-,,jemen yang

~

I

(10)

Contoh

Ja\\'ab

yo , ..

_, _{( '}^2(._}

J ~ h(l) dli (J ()

yo (x

^~

\ (II l)(x) .' l'

., .. ,11 2 (.'

c )

1/1 + ~ (x,x)/,(x)

""', Jl --.:.. - . Cy

Konstruksilah Cungsi Green dari pcrsamaan difcrcnsial 3)" "+5y"·2/ r(x), kCl1ludian tenlllkan solusi 11I1lUl11nya I

Pcrsamaan diferensi3! homogen: 3.)/111+5.1"'1 -2y'~: (j

° ?

Persamaan karakterislik: 311(' + Sm- 2m 0

m( 3m2 + 5m .. --

2) ::-: 0

111(3111 J)(lIli 2)

;\kar-akar karakterisuk . 1111 c. 0 , 1112 ... 2 ,lIIe

I Solusi homogen : Yli •. ^cCI -:-C2e ·2x ^{1- (}^.^--.e·)_.} ^oX

dengan

)'1 (x)- I ' · 7 ,

Y2(X) ~ e -.

I ) ^~x

)'0 (x e·)

,

.'

)'I'(x)."O ,(.) ,-1 ..

Y2 x ^::=---,.:...C

I ; I x

\,0 ,(x) .c c,-e') . .) ,)

,

.)

(11)

11 I W[Yl(I),n(I),1'3(1)] •.•. 10

10

_<' '21 1'1(1), 0

II

⁰

1'2(1) ...

10 ()

!

1'3 (I) 10 I

\1

=\~

2e

e 21

I I ' I

.---- e·) )

21

~ .. ? I _C -

il ) ... 21

' , (

Jadi hmgsi Green ⁱ

\0

!

°1

I

I()

I

,

II

i

d

III

.-

2e 21

I , I

e ^.1

4(' 21

I "I I '---e .)

')

(' 2f 2e 21

I ., I I

,,--(' . ., C)

.2e 2r 4(' ^2f

(,,' ,j i Ii

, -^,.---2e

G(x,1) .... \

I(x)1 '](1); Y2(x

)12

(1)+1,(1')1', (/)

.... ,il;'I(1 ),)'2(;

)d~-)

1 ... ,

7 ' 5 0 I ::::: '-=;--e

.>

21

(12)

COl1toh

Penyefesaian

7 5 ' I

1· c·)

:,

(;(x,l)

--;- c' 2x

14 ~ 'i !

e ^,)

9

() !(Y I)

2( x!) ,

(' + C'.)

'2 14 ⁷

h(l)

Solusi khususnya '

I _

," (

-j L") . 2e

x 3 " _7( " I) ^')

~

^(x-I) ^,(I)

j ^,) <il

YI) ^.-

yo

x Yp::

J

"0

e _.

2 14

1 1 .. 2(x.l)

--.---- -j----'e

:2 l'~

.ladi solusi Ui1lumnya •

x

-~

J

^-j-^-'~e^1·2(x ^t)^.

') 1'1

yo

--- e·)

7

.,

"

,('(I)dl

2r)

: KOJ1struksilah nll1gsi Grfen dari persamaan diferensial

.\ '> () . kemudian tentuk2il1 solusi

UmU111I1Va !

i'ersam<1an peillhanlu: /11(111 111m ,,), 2111(m - 11 - 2111,')

10

(13)

11/((11/ 1)( ^11/ 2), 2(m - ])

Ill( JJ,2

^3111-f-2^--j-^2m

2 2)

m(m

² ^/II

"

^~)

,

⁰

11/(111 + I)(m 2) 0

1111 '" () , 1112 ^I

, Ill"

^-=²

Solusi homogcl1 - YII .- ('1 ,(', x

Ii (x) ^J YI '(xl ^--- ⁽⁾ ^{)'1' '(x)}

)'2 (x) I _)'2_,(x) ⁾

dengan ^- x ^y ^" )2"(1') ^--- n(y) x ^? _"V" _.)

Cd

^,.^2,X ^n"(x)

f J ^')

II

^r ^r~

W[n (I),Y2 (f), V} (I)

1

^c ^!(J ^{-- 1} ²_, ²¹

10 21 ^,) ^')

!

--2 211 ____ 2

" ()/

:l ^{i --}

21 2i

10

1'1 (t)

-10 ,

---2 __ -J _. 3 11 21 .3

II

^{0 ,2}

1'') (I) =

10

^{0 21}

- 10

₂

[I

~l() ^')

1~ (t) ^-

10 21 3

I

Jadi tllIlgsi Green _

~

10 II

0

¹

01 ~

q

2

.

1 2r ~ .. .3

21

I

0'

I

II

"

!

2} u

. . U

() ,

2x ^-)

' )

11

(14)

(i(X,I)

(;(x,l)

II(x)I'\(1)112(X)I' (i); (,)1':1(1) 11;GI(I),12(1)-Y3(IJ]"

1 ( 21) ^~ I,] + X i ^y~

.... ~

- 61

J ? _:~ ^- J I ⁰

I- _I -I

,

^-- ^y-

2 ^,)⁰ ⁽⁾

Dengan ll1cI11ilih xo' I, ll1aka salusi khuslIsnya :

~/ \

, I J ') I ^j -J 1 '):

y p =

f, '- -;;

^{I -} ^I-^-~^{I -}x + - x" !' ' - + ---- dl

1 \. _~ -, 6 / 13 14

:(

¹ _{1 1} ₂ I \ -I ,- 1 1 2

J 1- --I - - I

Yp ^--- ^+:;x ^I ^-j-^-x^I

1\ 2 2 _-' 3 6

-' 0 .)

\ \ 1 1 -- 1 \ In!11 ¹ ^? ^-,,-2 Yl) ^- -'--'Inlll + 'j , ? ^{-- I} + ^{- x}⁰ ^I^-"- , ^x ^{- -- x-}^I

12

_J _J

Inh-i ^! I

.1'1' ₎ , --·x ₀ _-+ , -i" Y I x

:) I ⁰ I 8

-

,

_-

J _ -1 , 5 ,2

Y l'

---9 -\'.16

^-I ^--In:I'I:2 ^{J "}^.,~)^{i -}^x ^J^Inlx:--., 4 ^"

Jacli soillsi 11ll111mnya :

')

I- 6 y-r

-, .~'

i

" , -J , ? I J

y- C] '-i2x (F-L--x

9

1 I I' ___ niX! + , ^{,1- --}i 111"', ,\-',

2 .)

I ,') 1 J

Y .,' A+ HI' -, -;-(x - - --I

nix!

-+- -x -- I

nlxi

2 " 3

4

't

_dl

j

I ^?

" y

I ^~ I , ^~

12

(15)

IV.I'ENUTlJP

lkrdasarkan hasil pcmbahasan. maka dipcrolch kcsimJ1ulan bahwa I11cialui mctoclc variasi parameter kita dapat lllcngkonstfuksi iimgsi Green suatll PCI samaan difcrcnsial linier orde -no Tlljllannya kita dapal menentllkan solusi pcrS3maan ciifcrensialnya llntllk filllgsi 11 sebarang.

(16)

))AFTAR PUSTAKA

I. Brauer. F, Nohel, lA, Problems and Solutions in Ordinary DifTcrcntial Equation, W.A. Benjamin, New York, 1968, ]]1-136

2. Martono, K, Kalkulus, !TB, 1992.

3. Ostberg, DR, Perkins, F.W., An Introduction to Linear Analysis, ;'Iddison- Wesley, Donn Mills, 19()6, 126-154

4 Roach, G. F., Green's Functions, 2, Cambridge University Press, London,. J 982, 141-148

5. Carrier, Gr, Pearson, C.L., Ordinary DdTcrcntial Equdions, SIA.!'vl, 1991,64-68