Metode Statistika Multivariat

(1)

Metode Statistika Multivariat

Dr. Moch. Fandi Ansori

Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Diponegoro

August 25, 2023

(2)

Daftar Isi

1 Aspek Analisis Multivariat Aspek Analisis Multivariat

2 Distribusi Normal Multivariat Aljabar Matriks

Distribusi Normal Univariat Distribusi Normal Bivariat Distribusi Normal Multivariat

3 Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat

Matriks Definit Positif dan Elips Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Bivariat

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat

Sifat Distribusi Normal Multivariat

4 Uji Hipotesis Vektor rata-rata dan Matriks Covariance

Uji Hipotesis Vektor rata-rata untuk Satu Populasi

Uji Hipotesis Vektor rata-rata untuk Dua Populasi

Uji Hipotesis terhadap Kesamaan Dua Matriks Covariance

(3)

Kenapa Harus Belajar Metode Statistika Multivariat?

Sebagai seorang matematikawan yang akan bekerja di berbagai bidang, mengapa kita perlu belajar Metode Statistika Multivariat?

1) Di kehidupan nyata, sebagian besar berbagai hal dipengaruhi oleh lebih dari satu variabel.

2) Analisis multivariat adalah sekumpulan metode untuk menginvestigasi data dengan banyak variabel (≥2).

Pengetahuan dasar yang harus dikuasai sebelum kuliah ini:

• Statistik univariat maupun bivariat, dan dasar-dasar multidimensi linier

(Y =β₁X₁+β₂X₂+· · ·+β_nX_n), serta fungsi taklinier seperti kuadrat, eksponensial, dan logaritma natural.

• Vektor, matriks dan operasinya, serta dasar-dasar aljabar linier lainnya.

(4)

Objektif dari Investigasi Data

Objektif dari investigasi sains yang melibatkan analisis multivariat biasanya memuat hal-hal berikut:

(1) Reduksi data dan penyederhanaan struktur. Fenomena yang dikaji direpresentasikan sesederhana mungkin tanpa membuang informasi yang berharga.

(2) Menyortir dan mengelompokkan. Menggolongkan objek atau variabel yang ”serupa”

berdasarkan karakteristik terukur.

(3) Investigasi ketergantungan antar variabel. Kita tertarik untuk mengetahui hubungan antar variabel.

(4) Prediksi. Hubungan antar variabel ditentukan dengan tujuan untuk memprediksi nilai satu atau lebih variabel.

(5) Konstruksi dan uji hipotesis. Untuk validasi asumsi atau menguatkan keyakinan awal.

(5)

Aspek Analisis Multivariat

Metode Statistika Multivariat Minggu ke-1

Aspek Analisis Multivariat

Dr. Moch. Fandi Ansori Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Diponegoro 2023

(6)

Aspek Analisis Multivariat Aspek Analisis Multivariat

Data Multivariat

Data multivariat muncul manakala seorang peneliti memilih sejumlahpvariabel, dan nilai dari semua variabel dicatat sebanyaknitem, individu, atau unit percobaan yang berbeda.

Misalx_jk menyatakan pengukuran variabel ke-k pada item ke-j. Maka, secara keseluruhan, data multivariat tersebut dapat ditulis sebagai:

Atau dalam bentuk matriks:

X =







x11 x12 · · · x1p

x21 x22 · · · x2p

... ... . .. ... x_n1 x_n2 · · · x_np







(7)

Contoh

Example 1

Sebanyak empat kuitansi dari toko buku universitas dipilih untuk menyelidiki tren penjualan buku. Setiap kuitansi yang diberikan antara lain jumlah buku yang terjual dan jumlah total setiap penjualan. Misalkan variabel pertama adalah total penjualan (dolar) dan variabel kedua adalah jumlah buku yang terjual. Kemudian kita dapat menganggap angka yang sesuai pada kuitansi sebagai empat pengukuran pada dua variabel. Misalkan datanya, dalam bentuk tabel, adalah:

Matriks datanya adalah X=





 42 4 52 5 48 4 58 3





 .

(8)

Statistik Deskriptif

Rata-rata sampel(xk) danvariansi sampel (skk) untuk variabel ke-kdihitung sebagai

xk= 1 n

n

X

j=1

xjk, skk= 1 n

n

X

j=1

(xjk−xk)². Nilai √

skk disebut simpangan baku.

Covariance sampel(s_ik) antara variabel ke-idan ke-k dihitung sebagai

sik= 1 n

n

X

j=1

(xji−xi) (xjk−xk).

Sifatcovariance: sik=ski.

Koefisien korelasi sampel (rik) untuk variabel ke-idan ke-kdihitung sebagai rik= sik

√sii

√skk

. Sifatkoefisien korelasi: |rik| ≤1.

(9)

Matriks Statistik Deskriptif

Statistik deskriptif yang dihitung darinpengukuran terhadap pvariabel dapat dituliskan dalam bentuk vektor/matriks.

Matriks rata-rata sampel x=





 x1

x2

... xp







, Matriks variansi sampel V=





 s11

s22

... spp







Matriks covariancesampel Sn =







s11 s12 · · · s1p

s21 s22 · · · s2p

... ... . .. ... s_p1 s_p2 · · · s_pp





 ,

Matriks korelasi sampel R=







1 r₁₂ · · · r_1p r₂₁ 1 · · · r_2p ... ... . .. ... rp1 rp2 · · · 1







(10)

Contoh

Example 2

Pandang Example 1. Diperoleh rata-rata sampel:

x1= 1 4

4

X

j=1

xj1=1

4(42 + 52 + 48 + 58) = 50, x2=1 4

4

X

j=1

xj2=1

4(4 + 5 + 4 + 3) = 4, x= x1

x2

= 50

4

.

Sedangkan untuk variansi dan covariance sampel:

s11= 1 4

4

X

j=1

(xj1−x1)²=1 4

(42−50)²+ (52−50)²+ (48−50)²+ (58−50)²

= 34

s22= 1 4

4

X

j=1

(xj2−x2)²=1 4

(4−4)²+ (5−4)²+ (4−4)²+ (3−4)²

= 0.5

s12= 1 4

4

X

j=1

(xj1−x1)(xj2−x2) = 1

4[(42−50)(4−4) +· · ·+ (58−50)(3−4)] =−1.5, s21=s12=−1.5.

(11)

Contoh (cont.)

Sehingga, matriks covariance-nya adalah;

S=

34 −1.5

−1.5 0.5

Untuk korelasi, kita peroleh r₁₂= s12

√s₁₁√

s₂₂ = −1.5

√34√

0.5 =−0.36, r₂₁=r₁₂=−0.36, R=

1 −0.36

−0.36 1

.

(12)

Jarak Statistik

Kita ingin menghitung jarak dari titikP= (x1, x2)ke titik pusatQ= (0,0). Variabelx1

danx2mungkin saja memiliki rentang yang berbeda, agar mereka ”setara”, keduanya harus dibagi dengansimpangan baku-nya. Sehingga, kita bisa mendefinisikanjarak statistikdariP keQsebagai

d(P, Q) = s

x1

√s11

2

+ x2

√s22

2

.

Secara khusus, ketikad(P, Q) =ckonstan, maka kita punyai persamaan elips

x²₁ s11

+ x²₂ s22

=c².

Secara umum,jarak statistikantara titikP = (x1, x2, . . . , xp)dengan suatu titik tetap Q= (y1, y2, . . . , yp)didefinisikan sebagai

d(P, Q) = s

(x1−y1)² s11

+(x2−y2)² s22

+· · ·+(xp−yp)² spp

.

Fig. 1. Diagram pencar (scatter plot).

Fig. 2. Elips.

(13)

Contoh

Sejumlah pengukuran dalam variabel(x1, x2)memiliki statistik deskriptif: x1=x2= 0,s11= 4, dan s₂₂= 1. Misalkan pengukuran x₁ tidak berkorelasi denganx₂. Maka, jarak statistik dari sembarang titik P(x₁, x₂)ke pusatO(0,0)adalah

d(O, P) = rx²₁

4 +x²₂ 1 .

Semua titik(x1, x2)yang memiliki jarak statistik konstan 1 dari pusat memenuhi persamaan elips

x²₁

4 +^x₁²² = 1.

(14)

Transformasi Jarak Statistik

Definisi jarak statistik di atas mengasumsikan semua variabel saling independen. Terkadang, kita temui keadaan dimana ada beberapa variabel yang berkorelasi. Untuk itu, definisi jarak statistik sebelumnya perlu ditransformasi menjadi

d(P, Q) = v u u t

p

X

j=1

ajj(xj−yj)²+

p

X

i=1

X

j̸=i

aij(xi−yi)(xj−yj).

Koefisien-koefisiena_ij di atas dapat dirangkum dalam bentuk matriks







a₁₁ a₁₂ · · · a_1p a₁₂ a₂₂ · · · a_2p ... ... . .. ... a1p a2p · · · app





 .

Fig. 3. Diagram pencar hasil transformasi

x˜₁

˜ x₂

=

cosθ sinθ

−sinθ cosθ x₁ x₂

.

(15)

Soal Latihan

Misalkan tujuh sampel acakdiambil dengan variabel x₁ danx₂. Datanya disajikan sebagai berikut

x1 3 4 2 6 8 2 5

x2 5 5.5 4 7 10 5 7.5 (1) Tentukan vektor rata-rata sampel.

(2) Tentukan vektor variansi sampel.

(3) Tentukan matrikscovariance sampel.

(4) Tentukan matriks koefisien korelasi sampel.

(5) Tentukan jarak statistik ke titik O(0,0).

(6) Tentukan jarak statistik ke titik rata-rataQ(x₁, x₂).

(16)

Distribusi Normal Multivariat

Metode Statistika Multivariat Minggu ke-2

Distribusi Normal Multivariat

(17)

Distribusi Normal Multivariat Aljabar Matriks

Aljabar Matriks

• Transpose,determinan, daninverse dari matriks A berturut-turut dinotasikan dengan A^′,|A|, danA⁻¹.

Example 3 A=

2 1 3 7 −4 6

⇒A^′=



 2 7 1 −4 3 6



, B = 1 3

6 4

⇒ |B|=−14, B⁻¹=

−₁₄⁴ ₁₄³

6

14 −₁₄¹

.

• Matrikssimetriadalah matriks yang memenuhi A^′ =A. Matriks simetri dikatakan definit positif jika∀x̸=0 berlakux^′Ax>0.

Example 4 A=

1 −1

−1 1

⇒A^′ =A dan x1 x2

1 −1

−1 1 x1

x₂

=x²₁−2x₁x₂+x²₂= (x₁−x₂)².

(18)

Aljabar Matriks (cont.)

• Nilai eigendan vektor eigen. Nilai eigen λpada persamaan Ax=λxdicari dengan cara

|A−λI|= 0 atau|λI−A|= 0. Nilai eigen yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan awalAx=λx untuk mendapatkan vektor eigenx. Bentuk normalisasi dari vektorx adalah e= _∥x∥¹ x.

Example 5 A=

1 −5

−5 1

memiliki nilai eigenλ1 = 6dan λ2 =−4. Vektor eigen normalisasi yang bersesuaian e₁ =

" ₁

√ 2

−^√¹

2

#

dane₂=

" ₁

√ 12

√2

# .

(19)

Aljabar Matriks (cont.)

• Matriks definit positifA dapat didekomposisimenjadi A=PΛP^′, dengan Λ =diag(λ1, λ2, . . . , λn) adalah matriks diagonal nilai eigen danP =

e1 e2 · · · en

adalah matriks vektor eigen yang dinormalisasi dan bersifat P P^′=P^′P =I.

Example 6

Berdasarkan Example 5, diperoleh PΛP^′ =

" ₁

√2

√1 2

−^√¹

2

√1 2

# 6 0 0 −4

" ₁

√2 −^√¹

1 2

√ 2

√1 2

#

=

1 −5

−5 1

=A.

(20)

Distribusi Normal Multivariat Distribusi Normal Univariat

Distribusi Normal Univariat

Peubah acak X berdistribusi normaldengan parameter rata-rata µdan variansiσ² (ditulisX ∼N(µ, σ²)) memilikifungsi

kepadatan peluang f(x) = 1

√

2πσ²e⁻¹²(^x−µσ )², −∞< x <∞.

Sifat:

1) Ekspektasi E(X) =µ.

2) VariansiV ar(X) =σ².

Distribusi normal juga biasa disebut sebagai distribusi Gauss

Karl Fiedrich Gauss (1777-1855)

Fig. 4. Grafikf(x) (kurva lonceng/kurva Gauss).

(21)

Distribusi Normal Multivariat Distribusi Normal Bivariat

Distribusi Normal Bivariat

Peubah acak-peubah acakX₁∼N(µ₁, σ²₁)danX₂∼N(µ₂, σ²₂) berdistribusi normal bivariatmemiliki fungsi kepadatan peluang

f(x) = 1 (√

2π)²|Σ|^1/2e⁻¹²^(x−µ)^′^Σ⁻¹^(x−µ), dengan

x= x1

x2

, µ=

µ1

µ2

, −∞< x1<∞, −∞< x2<∞,

Σ =

σ11 σ12

σ₁₂ σ₂₂

, |Σ|=σ11σ22−σ²₁₂, Σ⁻¹= 1

|Σ|

σ22 −σ12

−σ12 σ₁₁

. Fig. 5. Grafikf(x₁, x₂).

(22)

Distribusi Normal Multivariat Distribusi Normal Multivariat

Distribusi Normal Multivariat

Peubah acak-peubah acak X₁∼N(µ₁, σ₁²),X₂ ∼N(µ₂, σ²₂),. . .,X_p ∼N(µ_p, σ_p²) berdistribusi normal multivariat memiliki fungsi kepadatan peluang

f(x) = 1

(√

2π)^p|Σ|^1/2e⁻¹²^(x−µ)^′^Σ⁻¹^(x−µ), dengan

x=





 x₁ x2

... x_p







, µ=





 µ₁ µ2

... µ_p







, −∞< xi<∞, Σ =







σ₁₁ σ₁₂ · · · σ_1p σ12 σ22 · · · σ2p

... ... . .. ... σ_1p σ_2p · · · σ_pp





 ,

|Σ|=determinan, Σ⁻¹ =inverse.

(23)

Distribusi Normal Multivariat Distribusi Normal Multivariat

Soal Latihan

Misalkan peubah acak X₁∼N(µ₁, σ²₁) danX₂ ∼N(µ₂, σ²₂), denganµ₁=µ₂= 0 dan matriks covariance Σdenganσ11=σ22.

1. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriksΣ.

2. Misalkan σ₁₁=σ₂₂= 0.25dan σ₁₂=−0.1. Uraikan ekspresi berikut

−¹₂(x−µ)^′Σ⁻¹(x−µ).

3. Tuliskan fungsi kepadatan peluang dari X₁ danX₂, yaitu f(x₁, x₂).

0123456789

(24)

Metode Statistika Multivariat Minggu ke-3

(25)

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat Matriks Definit Positif dan Elips

Matriks Definit Positif dan Elips

Misalkan matriks definit positif A2×2 memiliki nilai eigenλ1 dan λ2 dengan0< λ1 < λ2 serta vektor eigen dalam bentuk normalisasi e₁ dane₂. Misalkan matriks Adapat didekomposisi menjadi A=PΛP^′, denganΛ =

λ₁ 0 0 λ₂

, danP =

e₁ e₂

. Perhatikan bahwa A=λ₁e₁e^′₁+λ₂e₂e^′₂.

Ambil sembarang x∈R². Maka

x^′Ax=λ1(x^′e1)²+λ2(x^′e2)².

Jika x^′Ax=c² (ckonstan) dan dimisalkany1 =x^′e1 dany2 =x^′e2, maka diperoleh persamaan elips (dengan pusat di (0,0))

c²=λ₁y₁²+λ₂y²₂.

(26)

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat Matriks Definit Positif dan Elips

Matriks Definit Positif dan Elips (cont.)

Perhatikan bahwa,x= ^√^c_λ

1e1 memenuhi persamaan x^′Ax= ( c

√λ₁e1)^′(λ1)( c

√λ₁e1) =λ1(c² λ₁)e^′₁e1

=λ1(c² λ1

)∥e₁∥² =c².

Hal ini dikarenakane1 adalah vektor normalisasi. Hal diatas berlaku juga untukx= ^√^c_λ

2e2.

Jadi, titik-titik(x1, x2) yang memiliki jarakc akan berada di elips yang axis-nya diberikan oleh vektor eigen edengan panjang yang proporsional terhadap ^√¹

λ. Ilustrasinya diberikan pada Fig. 1.

Fig. 1. Grafik elips berdasarkan matriks definit

positif.

(27)

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Bivariat

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Bivariat

Perhatikan kembali fungsi kepadatan peluang dari distribusi normal bivariat f(x₁, x₂) = 1

(√

2π)²|Σ|^1/2e⁻¹²^(x−µ)^′^Σ⁻¹^(x−µ), x= x1

x₂

.

Kontur dari f(x₁, x₂) diperoleh dengan membuat f(x₁, x₂) =konstan. Karena ¹

(√

2π)²|Σ|^1/2

konstan, maka untuk mendapatkan kontur dari f haruslah (x−µ)^′Σ⁻¹(x−µ) =konstan.

Misalkan ditulis

(x−µ)^′Σ⁻¹(x−µ) =c². (1) Lemma 7

Misal Σadalah matriks definit positif. Jika Σ⁻¹ ada dan λadalah nilai eigen dari Σ, maka _λ¹ adalah nilai eigen dari Σ⁻¹.

Buktikan!

(28)

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Bivariat (cont.)

Misal λ1 danλ2 adalah nilai eigen dari matriksΣ dan vektor eigen normalisasi yang bersesuaian e1 dane2.

Karena Σ⁻¹ memiliki nilai eigen _λ¹, maka perhatikan bahwa Pers. (1) merupakan persamaan elips dengan pusat (µ1, µ2) dan memiliki axis dengan arahe1 (dengan panjang _1/^√^c_λ

1 =c√ λ1) dan e2 (dengan panjang _1/^√^c_λ

2 =c√ λ2).

Pers. (1) disebut kontur densitas elipsdari distribusi normal bivariat.

(29)

Contoh Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Bivariat

Example 8

Perhatikan kembali soal latihan pada bab 2. Misalkan peubah acak X₁∼N(µ₁, σ₁₁)danX₂∼N(µ₂, σ₂₂)berdistribusi normal bivariat dengan matrikscovariance Σ =

σ11 σ12

σ12 σ22

dengan σ₁₁=σ₂₂.

Nilai eigennya adalah

λ1=σ11+σ12 danλ2=σ11−σ12,

dengan vektor eigen normalisasie^′₁=

" ₁

√ 12

√2

#

dane^′₂=

" ₁

√ 2

−^√¹₂

# . Panjang dan lebar dari kontur densitas elips-nya adalah c√

σ11+σ12danc√

σ11−σ12.

Fig. 2. Kontur densitas elips pada distribusi normal bivariat.

(30)

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat

Dengan cara serupa, untuk distribusi normal multivariat dengan

f(x) = 1 (√

2π)^p|Σ|^1/2e⁻¹²^(x−µ)^′^Σ⁻¹^(x−µ), x=





 x₁

... x_p





,

diperoleh kontur densitas elipsdalam bentuk persamaan (x−µ)^′Σ⁻¹(x−µ) =c², dengan pusat elips µ= (µ₁, . . . , µ_p)dan ukuran elips c√

λ_i, dengan λ_i adalah nilai eigen matriksΣ dengan vektor eigen normalisasie_i.

(31)

Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat Kontur Densitas Elips pada Distribusi Normal Multivariat

Soal Latihan

Misal suatu distribusi normal bivariat dengan µ1 = 1,µ2 = 3,σ11= 2,σ22= 1,ρ12=−0.8.

1) Tuliskan matriks covariance Σ.

2) Hitung |Σ|dan Σ⁻¹. 3) Cari nilai eigen dari Σ.

4) Cari vektor eigen normalisasi dari Σ.

5) Tuliskan persamaan kontur densitas elips, serta tentukan panjang dan lebar ukuran elips tersebut. Gambarkan elipsnya juga.

0123456789

(32)

Uji Hipotesis Vektor Rata-rata untuk Satu Populasi

Metode Statistika Multivariat Minggu ke-5

(33)

Uji Hipotesis µ

0

sebagai Nilai dari rata-rata Distribusi Normal

Teori univariat untuk menentukan apakah suatu nilai µ0 adalah nilai yang masuk akal untuk rata-rata populasi µ. Dari sudut pandang uji hipotesis,

H₀:µ=µ₀ vs H₁ :µ̸=µ₀

Disini H0 disebuthipotesis nol, danH1 disebuthipotesis alternatif.

Jika X₁, X₂, . . . , X_nadalah sampel acak dari suatu populasi yang berdistribusi normal,uji statistik yang sesuai adalah

t= X−µ₀ s/√

n , dengan X= 1 n

n

X

j=1

X_j and s² = 1 n−1

n

X

j=1

(X_j−X)²

Uji statistik ini memiliki distribusi Student’st(William Sealy Gosset, pen name Student, 1876-1937) dengan derajat kebebasant−1. Kita tolakH0 jika nilai pengamatan |t|melebihi persentase tertentu dari distribusi t.

(34)

Hubungannya dengan Distribusi t

Menolak H0 ketika|t|nilainya besar ekuivalen dengan menolakH0 jika t²= (X−µ₀)²

s²/n =n(X−µ0)(s²)⁻¹(X−µ0) nilainya besar.

Ketika X dans² nilainya diketahui, uji di atas menjadi:

TolakH₀ jikan(x−µ₀)(s²)⁻¹(x−µ₀)> t²_n−1(α/2) (2) dengan tn−1(α/2)menyatakan persentil atas ke-100(α/2)dari distribusi t, dan α disebut tingkat siginikan.

Dari (2), diperoleh

Terima H₀ jika

x−µ₀ s/√

n

≤tn−1(α/2) yang memberikan selang kepercayaan

x−tn−1(α/2) s

√n ≤µ₀≤x+tn−1(α/2) s

√n

(35)

Generalisasi

T²=n(X−µ₀)^′S⁻¹(X−µ₀)

dengan X= _n¹P_n

j=1X_j, S= _n−1¹ P_n

j=1(X−X)(X−X)^′, danµ₀=





 µ10

... µ_p0





. StatistikT² disebut Hotelling’s T² (Harold Hotelling, 1895-1973).

DistribusiT² ekuivalen dengan

distribusi (n−1)p

(n−p) Fp,n−p,

dengan Fp,n−p menyatakan distribusiF dengan derajat kebebasanp dann−p(Dist.

Fisher-Snedecor; Robert Fisher 1890-1962, George W. Snedecor 1881-1974)

(36)

Rangkuman

Uji hipotesis µ0 sebagai nilai dari rata-rata distribusi normal:

H0:µ=µ₀ vs H1:µ̸=µ₀. Pada tingkat signifikan α, kitatolakH0 jika nilai observasi

T² =n(x−µ₀)^′S⁻¹(x−µ₀)> (n−1)p

(n−p) Fp,n−p(α),

dengan nadalah banyaknya pengamatan dan padalah banyaknya variabel yang diamati.

Selang kepercayaan untukµadalah x_j −tn−1(α/2)

rsjj

n ≤µ_j ≤x_j+tn−1(α/2) rsjj

n

Catatan: Untuk menghitungtn−1(α/2)danFp,n−p(α) kita membutuhkan tabel distribusit dan F yang bersesuaian dengan tingkat signifikan α.

(37)

Contoh

Misal sampel acak berukurann= 3dari distribusi bivariatX=



 6 9 10 6 8 3



. Uji hipotesisH0:µ=µ₀ vs

H1:µ̸=µ₀ untukµ₀= 9

5

dengan tingkat signifikanα= 5%. Dan tentukan selang kepercayaannya.

Jawab: Kita hitung

x= x1

x2

=

6+10+8 9+6+33

3

= 8

6

, s12= (6−8)(9−6) + (10−8)(6−6) + (8−8)(3−6)

3−1 =−3

s₁₁=(6−8)²+ (10−8)²+ (8−8)²

3−1 = 4, s₂₂= (9−6)²+ (6−6)²+ (3−6)²

3−1 = 9.

SehinggaS=

4 −3

−3 9

danS⁻¹=

1/3 1/9 1/9 4/27

. Kemudian dihitung

T²=n(x−µ₀)^′S⁻¹(x−µ₀) = 3

8−9 6−5

1/3 1/9 1/9 4/27

8−9 6−5

= 7/9 = 0.78.

(38)

Contoh (lanjutan)

Di sisi lain, dari tabel distribusi F diperoleh

(3−1)2

(3−2)F2,3−2(0.05) = 4F_2,1(0.05) = 4·199.5 = 798.

Karena T²= 0.78<798, maka kesimpulannya kita terima H₀ :µ=µ₀. Jadiµ= 9

5

. Selanjutnya, selang kepercayaannya diberikan oleh

• x1−t3−1(0.05/2) rs11

3 ≤µ1 ≤x1+t3−1(0.05/2) rs11

3

⇔8−4.303p

4/3≤µ1≤8 + 4.303p

4/3 ⇔ 3.03≤µ1≤12.97

• x2−t3−1(0.05/2) rs22

3 ≤µ2 ≤x2+t3−1(0.05/2) rs22

3

⇔6−4.303p

9/3≤µ2≤6 + 4.303p

9/3 ⇔ −1.45≤µ2 ≤13.45

(39)

Uji Hipotesis Vektor Rata-rata untuk Dua Populasi

(40)

Rangkuman Statistik Dua Populasi

Misal sampel acak berukuran n₁ dari populasi 1 dan sampel acak berukurann₂ dari populasi 2. Keduanya memiliki observasi p variabel.

Sampel Statistik

Pop. 1 x11,x12, . . . ,x1n1 x1 = _n¹

1

Pn1

j=1x1j S1 = _n¹

1−1

Pn1

j=1(x1j −x1)(x1j−x1)^′ Pop. 2 x21,x22, . . . ,x2n2 x2 = _n¹

2

Pn2

j=1x2j S2 = _n¹

2−1

Pn2

j=1(x2j −x2)(x2j−x2)^′ Hipotesis yang ingin diajukan adalah:

H0 :µ₁−µ₂ =0 vs H1 :µ₁−µ₂ ̸=0

(41)

Asumsi Terkait Struktur Data

Asumsi terkait struktur data:

1. Sampel X₁₁,X₁₂, . . . ,X_1n₁ adalah sampel acak dari suatu populasi p-variat dengan vektor rata-rataµ₁ dan matrikscovariance Σ1.

2. Sampel X21,X22, . . . ,X2n2 adalah sampel acak dari suatu populasi p-variat dengan vektor rata-rataµ₂ dan matrikscovariance Σ₂.

3. Sampel X₁₁,X₁₂, . . . ,X_1n₁ independen terhadapX₂₁,X₂₂, . . . ,X_2n₂. Asumsi tambahan, ketika n₁ dan n₂ keduanya kecil:

1. Kedua populasi berdistribusi normal multivariat.

2. Σ1=Σ2.

Ketika Σ1 =Σ2=Σ, maka untuk mengestimasi Σdilakukan pembobotan S_pooled= (n1−1)S1+ (n2−1)S2

n₁+n₂−2

(42)

Statistik dari Selisih rata-rata Dua Populasi

Untuk menguji hipotesis H0 :µ₁−µ₂ =δ0, pertama-tama dilakukan E(X1−X2) =E(X1)−E(X2) =µ₁−µ₂.

Dari asumsi keindependenan, diperoleh X₁ danX₂ saling bebas, danCov(X₁,X₂) =0.

Sehingga,

Cov(X₁−X₂) =Cov(X₁)−Cov(X₂) = 1 n1

Σ+ 1 n2

Σ= 1

n1

+ 1 n2

Σ

Karena S_pooled mengestimasi Σ, maka 1

n1 +_n¹

2

S_pooled adalah estimator untuk Cov(X1−X2).

(43)

Uji Hipotesis rata-rata dari Dua Populasi

Pada tingkat signifikan α, hipotesisH₀:µ₁−µ₂=δ₀ kitatolak jika T² = (x₁−x₂−δ₀)^′

1 n₁ + 1

n₂

S_pooled −1

(x₁−x₂−δ₀)

> (n1+n2−2)p

(n₁+n₂−p−1)Fp,n1+n2−p−1(α)

(44)

Contoh

Diketahui dua grup sampel acak dengan ukuran sama-sama 50, dan informasi x1=

8.3 4.1

, S1= 2 1

1 6

, x2= 10.2

3.9

, S2= 2 1

1 4

. Ujilah hipotesisH0:µ₁−µ₂=0untuk tingkat signifikan α= 5%.

Jawab: Diketahuiδ0=0. Pertama, dihitung

x₁−x₂= −1.9

0.2

, S_pooled= 49

2 1 1 6

+ 49 2 1

1 4

98 =

2 1 1 5

Kemudian, dihitung

T²=

−1.9−0 0.2−0 1

50+ 1 50

2 1 1 5

−1

−1.9−0 0.2−0

= 52.47.

Sedangkan, dari tabel distribusiF, kita peroleh (50+50−2−1)^(50+50−2)2 F_2,97(0.05) = ¹⁹⁶₉₇3.09 = 6.24. Karena T²= 52.47>6.24, maka H0 ditolak. Jadiµ₁̸=µ₂.

(45)

Metode Statistika Multivariat Minggu ke-6

(46)

Uji Hipotesis Kesamaan Dua Matriks Covariance

Salah satu asumsi yang dipakai dalam uji membandingkan vektor rata-rata dari dua populasi adalah matriks covariance dari dua populasi tersebut sama.

Sekarang, akan dipelajari uji hipotesis kesamaan dua matriks covariance. Pandang hipotesis berikut

H₀ :Σ₁ =Σ₂ vs H₁ :Σ₁ ̸=Σ₂

Dengan mengasumsikan populasi normal bivariat, statistik rasio likelihood untuk menguji H₀ :Σ₁ =Σ₂ adalah

Λ =

|S₁|

|S_pooled|

ⁿ¹₂⁻¹

|S₂|

|S_pooled| ⁿ²₂⁻¹

(47)

Uji Box’s M

Salah satu uji yang biasanya digunakan untuk menguji kesamaan dua matriks covariance adalah uji Box’s M (George E. P. Box, 1919-2013). Uji Box’sM berdasarkan aproksimasiχ² dari distribusi sampel−2 ln Λ.

Dengan mengambil−2 ln Λ =M, diperoleh

M = (n₁+n₂−2) ln|S_pooled| −[(n₁−1) ln|S₁|+ (n₂−1) ln|S₂|]. Hitung

u=

1

n₁−1 + 1 n₂−1

− 1

n₁+n₂−2

2p²+ 3p−1 6(p+ 1) . Pada tingkat signifikan α, hipotesisH₀:Σ₁ =Σ₂ ditolak jika

(1−u)M > χ²_p(p+1)/2(α)

Catatan: Jadi, untuk uji Box’sM, kita memerlukan tabel distribusi χ².

(48)

Contoh

Diketahui dua grup sampel acak dengan ukuran sama-sama 50, dan informasi S1=

2 1 1 6

, S2= 2 1

1 4

. Ujilah hipotesisH0:Σ1=Σ2 untuk tingkat signifikanα= 5%.

Jawab: Terlebih dahulu dihitung

Spooled= 2 1

1 5

, |S1|= 11, |S2|= 7, |Spooled|= 9.

Selanjutnya, dihitung

M = 98 ln 9−[49 ln 11 + 49 ln 7] = 2.48, u= [(1/49 + 1/49)−1/98]2(2)²+ 3(2)−1

6(2 + 1) = 0.02, (1−u)M = (1−0.02)2.48 = 2.43,

χ²₃(0.05) = 7.81.

Karena(1−u)M = 2.43<7.81, makaH0 diterima. JadiΣ1=Σ2.

(49)

KUIS I