Modul 3: Integral Numerik
Widhy Rafi Imani Dr. Lailatul Qomariyah, S.T.
Departemen Teknik Kimia Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember
14 Oktober 2023
1.0 Tujuan
Mempelajari dan membandingan metode-metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan dengan metode integral numerik yaitu metode Trapezoidal, Simpson 1/3, Simpson 3/8.
2.0 Metode
2.1 Metode Trapezoidal
Metode Trapesium merupakan metode Newton-Cotes order pertama. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) digantikan oleh garis lurus. Luasan bidang yang terleta di bawah fungsi f(x) yang dibatasi oleh x = a dan x = b didekati dengan luas trapesium dibawah garis lurus yang menghubungkan f(a) dan f(b), dimana luas trapesium adalah lebar kali tinggi rerata.
Algoritma untuk Metode Trapezoidal adalah sebagai berikut.
1. Definisikan y = f(x)
2. Tentukan batas bawah (a) dan batas integrasi (b) 3. Tentukan jumlah pembagi n
4. Hitung ℎ = ( )
5. Hitung 𝐿 = (𝑓+2∑ 𝑓+𝑓 . ) 2.2 Metode 1/3 Simpson
Dalam metode Simpson 1/3 digunakan untuk polinomial order dua yang berbentuk parabola, metode Newton-Cotes sebuah persamaan kuadrat melewati dia interva; dengan lebar yang sama, yang disebut panel interval.
Algoritma untuk Metode Simpson 1/3 adalah sebagai berikut.
1. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) integrasi 2. Tentukan jumlah segmen N
3. Hitung lebar segmen ℎ = ( ) ( )
4. Inisialisasi 𝑠𝑢𝑚 = 𝑠𝑢𝑚 + [𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + 4 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)+ 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖) 5. Hitung untuk i = 1 hingga i = n
2.3 Metode 3/8 Simpson
Pada aturan Simpson 3/8 memiliki kesamaan seperti aturan simpson 1/3 untuk menyelesaikan polinomial Langrange order tiga melalui empat titik untuk integrasi.
Algoritma untuk Metode Simpson 3/8 adalah sebagai berikut.
1. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) integrasi 2. Tentukan jumlah segmen N
3. Hitung lebar segmen ℎ = ( ) ( )
4. Inisialisasi 𝑠𝑢𝑚 = 𝑠𝑢𝑚 + [𝑓(𝑥)+3𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)]
5. Hitung untuk i = 1 hingga i = n
3.0 Literatur Review
Matlab (Matrix Labolatory) adalah suatu program yang digunakan untuk analisis dan komputasi numerik dan merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan menggunakan dasar pemkiran sifat dan bentuk matriks. Saat ini matriks telah berkembang menjadi sebuah environment pemrograman yang canggih yang berisi fungsi fungsi untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linear, dan kalkulasi matematis lainnya. Matlab merupakan merk software yang dikembangkan oleh Mathworks.Inc danmerupakan software yang paling efisien untuk perhitungan numerik berbasis matriks.
Dengan demikian jika di dalam perhitungan kita dapat menformulasikan masalah ke dalam format matriks, maka Matlab merupakan software terbaik untuk penyelesaian numeriknya.
Matlab yang merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks sering digunakan untuk teknik komputasi numerik, untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matriks, optimasi, aproksimasi dan lain-lain. Sehingga Matlab banyak digunakan pada :
1. Matematika dan Komputansi 2. Pengembangan dan Algoritma
3. Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototype 4. Analisa data, eksplorasi dan visualisasi
5. Analisis numerik dan statistik 6. Pengembangan aplikasi Teknik
Persamaan non linier merupakan salah satu masalah yang nantinya dapat diselesaikan dengan metode numerik. Metode numerik ini hanya dapat memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi , sehingga solusi dari hasil perhitungan numerik disebut solusi hampiran. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa suatu permasalahan dapat diselesaikan dengan cara pendekatan pendekatan (Pandia & Sitepu, 2021). Apabila dalam metode analitik tidak bisa diterapkan, maka solusi dari persoalan masih dapat dicari dengan menggunakan metode Numerik. Metode Numerik adalah Metode dengan Teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat ditemukan solusinya dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (Sutrisno, 2023).
Metode trapezoidal merupakan metode integrasi numerik pada llintasan kritis. Lintasan kritis sendiri merupakan himpunan titik xk dengan k=0 hingga m+1. Maka metode trapezoidal akan menghubungkan titik titik tersebut. Pengaplikasian dari metode trapezoidal yaitu dapat digunakan untuk perhitungan luas dan volume badan kapal,kemudian dapat menyelesaikan masalah integral dan juga untuk pengolahan data baik dalam kimia,fisika,dan matematika (Sari, et al., 2019).
Simpson 1/3 rule merupakan metode yang digunakan untuk menghampiri suatu integral menggunakan konsep persamaan polinominal berderajat 2. Pada metode ini terdapat ketentuan yang digunakan, yaitu hanya dengan batasan segmen3,5,7,9 dan seterusnya, atau setiap kelipatan ganjil, karena menggunakan pola 1,4,2,4,2,4,2,4,2,4,1. Metode ini dapat diaplikasikan untuk menghitung konduksi panas dalam silinder, kemudian diguanakan untuk menghitung luas dan volume kapal, serta dapat juga digunakan untuk memperkirakan integral tertentu (Warsito & Haning, 2018).
Simpson 3/8 rule merupakan metode yang digunakan untuk menghampiri suatu integral menggunakan konsep persamaan polinominal orde ketiga melalui 4 titik. Pada metode 3/8 rule terdapat beberapa ketentuan yaitu, digunakan hanya dengan batasan segmen 4,7,10,13 (kenaikan 3), dikarenakan metode ini menggunakan pola 1,3,3,2,3,3,2,3,3,2,3,3,1. Metode Simpson 3/8 rule juga diaplikasikan untuk memperkirakan integral tertentu, kemudian untuk menghitung konduksi panas dalam silinder (Ondara & Rahmawan, 2020).
4.0 Hasil Praktikum
clc;
clear;
disp('Widhy Rafi Imani');
disp('2041221128');
disp('Kelas C');
disp('Trapezoidal');
GM=7.74;
Kya=12.6;
H=GM/Kya;
n=input('Masukkan nilai n = ');
x(1)=input('Masukkan nilai x(1) = ');
x(n)=input('Masukkan nilai x(n) =');
b = [0.008, 0.012, 0.018, 0.027, 0.039, 0.046, 0.059, 0.075, 0.089, 0.103, 0.128, 0.149, 0.170, 0.194, 0.220, 0.248, 0.277, 0.308, 0.340, 0.374, 0.410];
h=(x(n)-x(1))/(n-1);
for i=2:n-1
x(i)=x(i-1)+h;
end
for i = 1:n
y(i)=1/((1-x(i))*(x(i)-b(i)));
end jum=0;
for i = 1:n-1
jum=jum+y(i)+y(i+1);
end
hasil=(h/2)*jum;
emax=(x(1)-x(n))*h^2*y(n)/12;
emin=(x(1)-x(n))*h^2*y(1)/12;
Z=hasil*H;
disp(['Nilai hasil adalah ',num2str(hasil)]) disp(['Nilai emax adalah ',num2str(emax)]) disp(['Nilai emin adalah ',num2str(emin)]) disp(['Nilai Z adalah ',num2str(Z)])
clc;
clear;
disp('Widhy Rafi Imani');
disp('2041221128');
disp('Kelas C');
disp('Simpson 1/3 rule');
GM=7.74;
Kya=12.6;
H=GM/Kya;
n=input('Masukkan nilai n = ');
x(1)=input('Masukkan nilai x(1) = ');
x(n)=input('Masukkan nilai x(n) =');
b = [0.008, 0.012, 0.018, 0.027, 0.039, 0.046, 0.059, 0.075, 0.089, 0.103, 0.128, 0.149, 0.170, 0.194, 0.220, 0,248, 0.277, 0.308, 0.340, 0.374, 0.410];
while mod(n,2)==0
disp('Tidak dapat diselesaikan') n=input('n =');
end
h=(x(n)-x(1))/(n-1);
for i=2:n-1
x(i)=x(i-1)+h;
end
for i = 1:n
y(i)=1/((1-x(i))*(x(i)-b(i)));
end jum=0;
for i = 1:2:n-2
jum=jum+y(i)+4*y(i+1)+y(i+2);
end
hasil=(h/3)*jum;
emax=(x(1)-x(n))*h^(4)*y(n)/180;
emin=(x(1)-x(n))*h^(4)*y(1)/180;
Z=hasil*H;
disp(['Nilai hasil adalah ',num2str(hasil)]) disp(['Nilai emax adalah ',num2str(emax)]) disp(['Nilai emin adalah ',num2str(emin)]) disp(['Nilai Z adalah ',num2str(Z)])
4.1 TA Lampiran
4.2 Hasil Percobaan
Metode n Nt z E max E min
Trapezoidal 21 15,389 9,459 1,0549e-05 -0,000841
Simpson 1/3 21 10,802 6,635 8,576e-11 -5,6117e-09
Simpson 3/8 19 3,112 0,3112 1,426e-10 2,2727e-09
clc;
clear;
disp('Widhy Rafi Imani');
disp('2041221128');
disp('Kelas C');
disp('Simpson 3/8 rule');
GM=7.74;
Kya=12.6;
n=input('masukkan nilai n=');
x(1)=input('masukkan nilai x(1)=');
x(n)=input('masukkan nilai x(n)=');
b = [0.008, 0.012, 0.018, 0.027, 0.039, 0.046, 0.059, 0.075, 0.089, 0.103, 0.128, 0.149, 0.170, 0.194, 0.220, 0.248, 0.277, 0.308, 0.340, 0.374, 0.410];
while mod(n-1,3)~=0
disp('tidak dapat diselesaikan') n=input('n =');
end
h=(x(n)-x(1))/(n-1);
for i=2:n-1
x(i)=x(i-1)+h;
end
for i=1:n
y(i)=1/((1-x(i))*(x(i)));
end jum=0;
for i=1:3n-3
jum=jum+y(i)+3*y(i+1)+3*y(i+2)+y(i+3);
end
hasil=(3*h/8)*jum;
emax=(x(1)-x(n))*h^(4)*y(n)/80;
emin=(x(1)-x(n))*h^(4)*y(1)/80;
Z=hasil*h
disp(['Nilai Hasil adalah',num2str(hasil)]) disp(['Nilai emax adalah',num2str(emax)]) disp(['Nilai emin adalah',num2str(emin)]) disp(['Nilai Z adalah',num2str(Z)])
4.3 Pembahasan
Pada praktikum ini, terdapat tiga metode yang digunakan, yaitu trapezoidal, simpson1/3, dan Simpson 3/8 yang digunakan dalam mencari akar dari persamaan non linear. Percobaan kali ini merupakan percobaan integral numerik yang memiliki tujuan untuk mempelajari dan membandingkan metode-metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan dengan metode integral numerik yaitu Metode Trapezoidal, Simpson 1/3, dan Simpson 3/8.
Metode pertama yang digunakan adalah Metode Trapezoidal. Dari data kesetimbangan dan operasi kolom yang ada, diperoleh data nilai y berturut-turut sebesar 0,01; 0.02; 0,03; 0,04;
0,05; 0,07; 0,08; 0,09; 0,1; 0,11; 0,12; nilai yi berturut-turut sebesar 0,008; 0,012; 0,018; 0.027;
0,039; 0,046; 0,059; 0,075; 0,089; 0,103; 0,128; 0,149. Setelah dilakukan penyelesaian persoalan menggunakan pendekatan Metode Trapezoidal dengan nilai n sebesar 21, maka diperoleh Nt sebesar 15,389 ; Z sebesar 9,459 ; Emax sebesar 1,0549e-05; dan Emin sebesar 0,00841. Metode trapezoidal merupakan metode integrasi numerik pada llintasan kritis (Sari, et al., 2019)
Metode kedua yang digunakan adalah Metode Simpson 1/3. Dari data kesetimbangan dan operasi kolom yang ada, diperoleh data nilai y berturut-turut sebesar 0,01; 0.02; 0,03; 0,04;
0,05; 0,07; 0,08; 0,09; 0,1; 0,11; 0,12; nilai yi berturut-turut sebesar 0,008; 0,012; 0,018; 0.027;
0,039; 0,046; 0,059; 0,075; 0,089; 0,103; 0,128; 0,149. Setelah dilakukan penyelesaian persoalan menggunakan pendekatan Metode Simpson 1/3 rule dengan nilai n sebesar 21, maka diperoleh Nt sebesar 10,802; Z sebesar 6,635 ; Emax sebesar 8,576e-11; dan Emin sebesar - 5,6117e-09.
Metode ketiga yang digunakan adalah Metode Simpson 1/3. Dari data kesetimbangan dan operasi kolom yang ada, diperoleh data nilai y berturut-turut sebesar 0,01; 0.02; 0,03; 0,04;
0,05; 0,07; 0,08; 0,09; 0,1; 0,11; 0,12; nilai yi berturut-turut sebesar 0,008; 0,012; 0,018; 0.027;
0,039; 0,046; 0,059; 0,075; 0,089; 0,103; 0,128; 0,149. Setelah dilakukan penyelesaian persoalan menggunakan pendekatan Metode Simpson 3/8 rule dengan nilai n sebesar 19 dikarenakan ketika menggunakan n sebesar 21 maka jawaban yang dihasilkan adalah looping karena syarat dari metodi ini adalah orde ketelitian pada empat titik,bukan tiga titik (Mawati, 2017).Dengan nilai N sebesar 19, maka diperoleh Nt sebesar 3,112; Z sebesar 0,3112; Emax sebesar 1,462e-10; dan Emin sebesar 2,2727e-09.
5.0 Kesimpulan
Berdasarkan percobaan yang dilakukan dapat disimpulkan yaitu Tinggi packing dari kolom absopsi dengan metode trapezoidal didapatkan hasil 9,459 dengan unit transfer sebesar 15,389, kemudian dengan metode Simpson 1/3 rule didapatkan hasil 6,635 dengan unit transfer sebesar 10,802. Dan yang terakhir metode Simpson 3/8 rule didapatkan hasil 0,3112 dengan unit transfer sebesar 3,112. Dari ketiga metode ini didapatkan hasil yang berbeda beda.
Daftar Pustaka
Mawati, A., 2017. Solusi Integral Numerik Dengan Metode Simpson (Simpson's rule) Pada Tranasformasi Hankel. Journal Massa, 5(1), pp. 81-86.
Ondara, K. & Rahmawan, G. A., 2020. Pemantauan Sedimentasi Menggunakan Data Batimetri High Frecuency Di Perairan Sayung, Demak Jawa Tengah. Journal Geomatika, 26(1), pp. 1-8.
Pandia, W. & Sitepu, I., 2021. Penentuan Akar Persamaan Non Linier Dengan Metode Numerik. Jurnal Mutiara Pendidikan , 6(2), pp. 122-129.
Sari, T. P., Rahmayanti, A., Priyadi, A. & Pamuji, F. A., 2019. Penerapan Metode Critical Trajectory Dalam Peletakan Super Capacitor Energy Storage (SCES) Berbasis Indeks Energi. SinarFE7, 7(2).
Sutrisno, T., 2023. Aplikasi Penyelesaian Numerik Pencarian Akar Persamaan Non- Linier Dan Penerapannya Dalam Menyelesaikan Analisis Break Even Point.
Journal of Computer Science and Information System, 7(1), pp. 37-49.
Warsito, A. & Haning, A. E., 2018. Komparasi Solusi Kasus Fluks Magnetic disekitar Kawat Berarus Listrik Dengan Metode Analitik dan Komputasi. Journal Ilmu Dasar, 19(1), pp. 23-28.
LAMPIRAN
