Operasi Matriks dan Hubungannya dengan Persamaan Aljabar Linear

Nama : Eko Prasetyo Wijiyanto NIM : 5111420039

Rombel : 1 (Satu)

Mata Kuliah : Persamaan Differensial dengan Aljabar

HUBUNGAN OPERASI MATRIKS DENGAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

A. Pengertian Matriks

Menurut Rusdian Rifa’i (2016), matriks merupakan sekelompok bilangan dalam dua tanda kurung yang disusun berbaris dan berkolom dengan bentuk persegi dan persegi panjang.

Selain itu ada juga bentuk-bentuk umum dari matriks, yaitu Amxn. Dimana untuk mini diartikan sebagai baris sedangkan untuk nini dapat diartikan sebagai kolom. Suatu matriks dikatakan sebagai vektor baris apabila hanya terdiri dari satu baris saja. Sedangkan apabila dikatakan vektor kolom, maka matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom saja.

Contoh : Vektor baris : [2 2 2]

Vektor kolom : [ 1 2 3 ]

Lalu matriks sendiri juga mempunyai elemen, yaitu aij. Elemen tersebut menunjukkan bahwa i merupakan baris dan jmerupakan kolom.

Contoh : A2x2= [𝑎₁₁ 𝑎₂₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₂]

Contoh di atas merupakan bentuk matriks dengan ukuran 2x2, yang berarti matriks terdiri dari 2 baris dan 2 kolom. Sedangkan untuk 𝑎₁₁ merupakan suatu elemen aij

dalam sebuah matriks. i adalah baris dan j adalah kolom.

B. Jenis-jenis Matriks

Selain pengertian, ternyata matriks sendiri juga mempunyai beberapa jenis.

Berikut merupakan beberapa jenis dari matriks menurut Resti (n.d.), diantaranya : 1. Matriks Bujur Sangkar

Merupakan jenis matriks yang diagonal utamanya mempunyai nomor baris yang sama dengan nomor kolomnya.

Contoh : A = [ 𝒂_𝟏𝟏 𝑎₂₁ 𝑎₃₁

𝑎₁₂ 𝒂_𝟐𝟐 𝑎₃₂

𝑎₁₃ 𝑎₂₃ 𝒂_𝟑𝟑]

Matriks di atas mempunyai ordo 3 dan ditulis A3

2. Matriks Diagonal

Merupakan jenis matriks yang semua anggota elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh : A = [ 𝟏𝟐

0 0

0 𝟏/𝟐

0

0 0 𝟗

]

3. Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Merupakan jenis matriks bujursangkar yang semua anggota elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh : A = [ 1 𝟎 𝟎

2 4 𝟎

4 5 6

] B = [ 1 2 3

𝟎 3 4

𝟎 𝟎 4 ]

4. Matriks Skalar

Merupakan jenis matriks yang elemen di diagonal utamanya bernilai sama tetapi tidak nol.

Contoh : P = [ 𝟐 0 0

0 𝟐 0

0 0 𝟐

]

5. Matriks Nol

Merupakan jenis matriks yang semua anggota elemennya adalah bilangan nol.

Matriks ini dilambangkan dengan 0.

Contoh : 03x3 = [ 0 0 0

0 0 0

0 0 0

]

6. Matriks Invers

Merupakan matriks bujursangkar A dikatakan mempunyai invers jika terdapat matriks B sehingga memenuhi AB = BA = I. Invers matriks A dinyatakan sebagai A^-1. Rumus invers matriks berordo 2 x 2 adalah :

Jika A = [𝑎 𝑐 𝑏

𝑑], Maka A^-1 = ¹

ad-bc[𝑑

−𝑐 −𝑏 𝑎 ]

7. Matriks Satuan

Merupakan jenis matriks diagonal yang anggota elemen pada diagonal utamanya adalah bilangan satu, sedangkan anggota elemen lainnya adalah nol. Matriks ini dilambangkan dengan In, dimana n adalah ordo dari matriks tersebut.

Contoh : I2 = [1 0 0

1], I3 = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 1 ]

8. Matriks Simetri

Merupakan jenis matriks simetri jika A = Aᵀ . Contoh : Z = [

5 2 9

2 7 0

9 0 1 ]

B. Operasi Matriks

Berikut merupakan beberapa operasi matriks, yaitu : 1. Penjumlahan Matriks

Contoh : Diberikan matriks A = [ 2 1 2

4 0 4

7 3 7

], B = [ 3 2 3

6 8 7

7 0 2

]. Hitung A + B !

Penyelesaian : A + B = [ 5 3 5

10

8 11

14

3 9

]

2. Perkalian Matriks dengan Skalar Contoh : Diberikan matriks Z = [ 2 1 0

5 4 2

7 -3

6

], Carilah kZ dengan k = 2

Penyelesaian : kZ = [ 4 1 0

10 8 4

14

-6 12

]

3. Perkalian Dua Matriks

Contoh : Hitunglah perkalian matriks di bawah ini : A =[-3

2 1 -1 4

-5], B = [ 0 1 -2

3 4 -6

2 1 7 ]

Penyelesaian : AB = [-3

2 1 -1 4

-5] [ 0 1 -2

3 4 -6

2 1 7

] = [-7 9 -29

32 23 -32]

4. Transpos Matriks

Contoh : Tentukan Aᵀ dari A = [2 3 -9

1 8 0]

Penyelesaian : Aᵀ = [

2 -9

8

3 1 0

]

5. Trase Matriks

Contoh : Diketahui matriks Z = [ 2 1 2

4 3 6

6 5 5

], hitunglah trase (Z) !

Penyelesaian : Trase (Z) = 2 + 3 + 5 = 10

C. Sistem Persamaan Aljabar Linear

Persamaan aljabar linear memiliki bentuk umum, yaitu sebagai berikut : 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑥₂ + . . . + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏

Keterangan :

𝑎₁, 𝑎₂, …, 𝑎_n disebut koefisien 𝑥₁, 𝑥₂, …, 𝑥_𝑛 disebut variabel 𝑏 disebut konstanta

Menurut Resti (n.d.), penyelesaian Persamaan Linear adalah sekumpulan bilangan tereurut yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan linear akan menjadi valid.

Sistem persamaan linear memiliki tiga kemungkinan banyaknya penyelesaian yaitu : 1. Penyelesaian tunggal

2. Penyelesaian tak hingga banyaknya 3. Tak ada penyelesaian

D. Metode Penyelesaian SPAL

Dalam menyelesaikan SPAL, ternyata pemanfaatan (matriks dan juga vektor), misalnya dalam mencari solusi Sistem Persamaan Aljabar Linear (SPAL), sering juga disebut SPL (Sistem Persamaan Linear). Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3-dimensi (Bismo, 2016).

Bismo (2016), juga menyatakan bahwa metode penyelesaian SPAL ada 3 metode, diantaranya :

1. Bentuk Eselon-baris : matriks

Susunan/bentuk dari Matriks Eselon-baris, memiliki syarat diantaranya :

• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

Contoh : [ 1 0 0 0

3 -2

0 0

-2

5 -3 -8

4 6 7 9

], baris pertama merupakan leading 1

• Jika ada baris yang bernilai NOL pada semua elemennya,, maka ia harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

Contoh : [ 1 0 0 0

3 -2

0 0

-2

5 -3

0

4 6 7 0

], baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat no. 2

• Jika ada baris yang bereperan sebagai "leading 1", maka posisi angka "1"

dari "leading 1" di bawahnya haruslah lebih kanan dari yang di atasnya.

Contoh : [ 1 0 0 0

3 1 0 0

-2 5 -3

0

4 6 7 0

], baris ke-1 dan ke-2 memnuhi syarat no.3

• Jika kolom yang memiliki "leading 1", sedangkan angka selain 1-nya adalah NOL, maka matriksnya disebut Eselon-baris tereduksi.

Contoh : [ 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

], matriks berikut memenuhi syarat no 4, disebut juga

matriks eselon-baris tereduksi.

2. Eliminasi Gauss : matriks

merupakan suatu cara penyelesaian SPL dengan menggunakan bentuk matriks melalui teknik penyederhanaan matriks menjadi matriks yang lebih sederhana (diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss), yaitu dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris.

Caranya yaitu dengan mengubah persamaan linier tersebut ke dalam matriks imbuhan (matriks yang diperluas atau teraugmentasi) dan mengoperasikannya.

Setelah terbentuk matriks eselon-baris, maka lakukanlah substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh : Diberikan SPL berikut ini : 3x + 4y + 2z = 17 x - 3y + 5z = 10 2x + 5y – 2z = 6 Tentukan harga-harga x,y, dan z !

Jawab :

• Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks (yang diperluas) sebagai berikut : [

3 1 2

4 -3

5

2 5 -2

17 10 6

]

• Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, maka Operasi penyelesaian SPL dari "Matriks Imbuhan" di atas adalah:

1. Bari ke-1 dari matriks [ 3 1 2

4 -3

5

2 5 -2

17 10 6

], B1 x 1/3 untuk mengubah 𝑎₁₁

menjadi 1 2. Didapatkan [

1 0 2

4/3 -13/3

5

2/3 13/3

-2

17/3 13/3

6

], dengan B2 – B1 x 1 untuk mengubah 𝑎₂₁ menjadi 0

3. Didapatkan [ 1 0 0

4/3 -13/3

7/3

2/3 13/3 -10/3

17/3 13/3 -16/3

], dengan B3 – B1 x 2 untuk

mengubah 𝑎₃₁ menjadi 0 4. Kemudian, pada baris ke-2 [

1 0 0

4/3 1 7/3

2/3

-1 -10/3

17/3

-1 -16/3

], B2 x -13/3 untuk

mengubah 𝑎₂₂ menjadi 1 5. Didapatkan [

1 0 0

4/3 1 0

2/3

-1 -1

17/3

-1 -3

], dengan B3 – B2 x 7/3 untuk mengubah 𝑎₃₂ menjadi 0, dan tahap eliminasi hanya sampai di sini.

6. Maka didapatkan SPL baru, yaitu : x + ⁴

3y + ²

3z = ⁷

3

y – z = -1 - z = -3 z = 3 Kemudian disubstitusikan : y – z = -1 x + ⁴

3y + ²

3z = ⁷

3

y – 3 = -1 dan x + ⁴

3. 2 + ²

3. 3 = ⁷

3

y = 2 x = 1

3. Eliminasi Gauss-Jordan : matriks

Metode Eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks diagonal (matriks identitas), yaitu semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan semua elemen lainnya bernilai nol, sehingga bentuk matriksnya adalah:

[ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃

]

Metode Eliminasi Gauss-Jordan “lebih berat” dalam realisasinya, karena memerlukan tahapan “operasi komputasi” yang lebih banyak dibandingkan

Eliminasi Gauss. Oleh karena itu, Eliminasi Gauss-Jordan tidak banyak digunakan dalam Komputasi Numerik dalam Ilmu Teknik.

Contoh : Dari SPL berikut : u + 2v + 3w = 3 2u + 3v + 2w = 3 2u + v + 2w = 5

Menjadi : [ 1 2 2

2 3 1

3 2 2

3 3 5 ]

Tahap OBE dari matriksnya adalah sebagai berikut : 1. [ B2 – 2 x B1] = [

1 0 2

2 -1

1

3 -4

2

3 -3

5 ]

2. [ B3 – 2 x B1] = [ 1 0 2

2 -1 -3

3 -4 -4

3 -3 -1 ]

3. [ B3 – 3 x B2] = [ 1 0 0

2 -1

0

3 -4

8

3 -3

8 ]

4. [ B2 : (-1)] = [ 1 0 0

2 1 0

3 4 8

3 3 8 ]

5. [ B3 : 8] = [ 1 0 0

2 1 0

3 4 1

3 3 1 ]

6. [ B2 – 4 x B3] = [ 1 0 0

2 1 0

3 0 1

3 -1

1 ]

7. [ B1 – 3 x B3] = [ 1 0 0

2 1 0

0 0 1

0 -1

1 ]

8. [ B1 – 2 x B2] = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 -1

1

], Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi 9. Maka, diperoleh : u = 2; v = -1; w = 1

DAFTAR PUSTAKA

Bismo, S. (2016). Materi Kuliah ALJABAR LINIER #01 s/d #03 - Februari 2016 (p. 96).

https://doi.org/10.13140/RG.2.1.5004.5201 Resti, N. C. (n.d.). ALJABAR LINEAR DASAR.

Rifa’i, R. (2016). Aljabar Matriks Dasar. Deepublish.

~~TERIMA KASIH~~