PEMANGKATAN DAN PENARIKAN AKAR BILANGAN CACAH

PEMANGKATAN DAN PENARIKAN AKAR BILANGAN CACAH

BAB 1

 Melakukan Pemangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Dua Bilangan Cacah

 Melakukan Pemangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga Bilangan Cacah

 Melakukan Operasi Pnejumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Bilangan Berpangkat Dua

 Melakukan Operasi Pnejumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Bilangan Berpangkat Tiga



Melakukan Pemangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Dua Bilangan Cacah

1. Mengenal Pangkat Dua dari Suatu Bilangan

Perhatikan soal berikut ini.

Kemampuan apa saja yang diperlukan untuk menyelesaikan soal tersebut?

Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam pengalaman matematis. Kecuali itu juga diperlukan

kemampuan mengoperasikan bilangan. Operasi hitung yang digunakan dalam menyelesaikan soal tersebut adalah perpangkatan. Perpangkatan adalah perkalian berganda atau berulang dari suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak jumlah pangkatnya. Penyebutan pangkat dua disebut kuadrat. Sedangkan pangkat tiga disebut kubik.

Contoh a. 4 × 4 = 4² b. 5 × 5 × 5 = 5³ c. 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴

Perhatikan persegi di bawah ini. Berapa banyak satuan persegi ?

A

Banyak persegi di atas dapat ditulis ke dalam tabel berikut ini

Banyak persegi satuan dapat dhitung menggunakan perpangkatan seperti pada contoh di bawah ini !

Mari kita lihat tabel di bawah ini untuk menghitung kuadrat 10 bilangan asli pertama

Bilangan 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... disebut bilangan kuadrat sempurna. Berikut ini merupakan cara cepat untuk menghitung kuadrat suatu bilangan.

a. Menggunakan kuadrat jumlah dari dua bilangan a) Jika bilangannya terdiri dari dua angka

78²= ....

Penyelesaian:

78² = (70 + 8)²

= (70 + 8)(70 + 8)

= 70² + 2(70 × 8) + 8²

= 4900 + 1120 + 64

` = 6084

b) Jika bilangannya terdiri dari tiga angka 212² = ....

Penyelesaian:

212² = (200 + 10 + 2)²

= (200 + 10 + 2) (200 + 10 + 2)

= 200² + 2(200 × 10) + 2(200 × 2) + 2(10 × 2) + 10² + 22

= 40.000 + 4.000 + 800 + 40 + 100 + 4

` = 44.944

b. Menggunakan selisih kuadrat bilangan 98² = (98 + 2) × (98 – 2) + 2²

= 100 × 96 + 2² = 9600 + 4

= 9604

c. Melakukan perpangkatan suatu bilangan yang bilangan akhirnya 5 35² = ....

Langkah-langkahnya sebagai berikut.

a. Pisahkan satuannya.

3² + 3 = 12.

c. Tambahkan di belakang jawaban dengan 25 (karena 5² = 25), sehingga menjadi 1225.

Jadi 35² = 1225..

d. Menghafalkan bilangan kuadratnya

Berikut ini contoh pangkat dua sampai bilangan 40

2. Mengenal Penarikan Pangkat Dua Suatu Bilangan

Jawaban dari soal tersebut dapat diketahui jika menggunakan akar pangkat dua. Simbol dari akar pangkat dua adalah “√”. Misal √16 dibaca “ akar pangkat dua dari enam belas” atau “akar kuadrat 16”. Agar dapat menghitung akar pangkat dua dari suatu bilangan, perlu diingat kembali mengenai pangkat dua atau kuadrat suatu bilangan.

4 × 4 = 16, maka √16 = 4.

5 × 5 = 25, maka √25 = 5

Berikut ini merupakan tabel hasil penarikan akar pangkat dua dari bilangan kuadrat dengan bilangan pokok 1 sampai 10

Dari tabel di atas dapat disimpulkan, ternyata akar pangkat dua adalah operasi kebalikan dari pangkat dua. Dalam melakukan penarikan akar pangkat dua suatu bilangan dapat dilakukan dengan berbagai cara antara lain sebagai berikut.

a. Faktorisasi Prima

Perhatikan permasalahan pada Gambar 1.10, yaitu: menghitung banyak ubin pada tiap sisi apabila banyak ubin yang menutupi permukaan meja

diketahui. Untuk mengetahui banyak ubin pada tiap sisi meja persegi, akan dihitung akar pangkat dua dari 144 atau √144.

Penyelesaian:

b. Perkiraan

Cara perkiraan ini hanya dapat digunakan untuk akar bilangan kuadrat sempurna. Oleh karena itu, apabila menggunakan cara perkiraan, maka siswa harus terampil menghitung bilangan kuadrat sempurna dari 1 sampai dengan 10.

c. Pendekatan Luas

Berapakah panjang sisi persegi apabila luas persegi tersebut adalah 1296 cm²? Secara terperinci langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Melakukan Pemangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga Bilangan Cacah

1. Mengenal Pangkat Tiga dari Suatu Bilangan

B

N

Masalah tersebut terkait dengan konsep operasi ”pangkat tiga” dalam

matematika. Operasi ini sangat membantu dalam penulisan operasi perkalian yang berulang-ulang. Contoh

3³ artinya ada faktor 3 sebanyak tiga kali atau 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 4³ artinya ada faktor 4 sebanyak tiga kali atau 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 5³ artinya ada faktor 5 sebanyak tiga kali atau 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 6³ artinya ada faktor 6 sebanyak tiga kali atau 6³ = 6 × 6 × 6 = 216

Arti dari 3³ = 27, dan dibaca ”pangkat tiga dari 3 sama dengan 27”. Dua puluh tujuh (27) adalah hasil dari perpangkatan tiga yang disebut juga bilangan kubik.

Selain dengan cara tersebut di atas, siswa dapat belajar pangkat tiga dengan menggunakan pendekatan volume. Perhatikan gambar di bawah ini.

a. Berapakah banyak kubus satuan suatu kubus yang panjang rusuknya 1?

b. Berapakah banyak kubus satuan suatu kubus yang panjang rusuknya 2?

c. Berapakah banyak kubus satuan suatu kubus yang panjang rusuknya 3?

Gunakan pola yang sama untuk kubus yang panjangnya 5 satuan. Kalian akan mudah melakukan jika menggunakan bantuan alat peraga kubus satuan. Kemudian bisa diisi pada tabel di bawah ini !

Jadi untuk menentukan hasil perpangkatan tiga dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut sampai berulang tiga kali.

Misal, 5³ = 5 × 5 × 5, 5³ = 125. Bilangan yang dipangkatkan tiga menghasilkan bilangan kubik.

Berikut ini merupakan cara mudah untuk mengerjakan pangkat tiga Contoh 1:

15³ = ....

Penyelesaian:

15³ = (10 + 5)³

= 10³ + 3 (10² × 5) + 3(10 × 5²) + 5³

= 1000 + 1500 + 750 + 125

= 3375 Contoh 2:

Penyelesaian:

27³ = (20 + 7)³

= 20³ + 3(20² × 7) + 3(20 × 7²) + 7³

= 8000 + 8400 + 2940 + 343

= 19683

2. Mengenal Penarikan Pangkat Tiga Suatu Bilangan

Masalah di atas terkait erat dengan operasi penarikan akar pangkat tiga atau konsep akar pangkat tiga. Sama seperti halnya penarikan akar pangkat dua (akar kuadrat) merupakan operasi kebalikan dari pangkat dua (kuadrat). Simbol dari akar pangkat tiga adalah “ ∛” . Hubungan antara pangkat tiga dengan penarikan akar pangkat tiga suatu bilangan adalah sebagai berikut.

Berikut ini merupakan tabel penarikan akar pangkat tiga

Penarikan akar pangkat tiga dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa cara antara lain sebagai berikut.

a. Faktorisasi Prima Langkah 1

Menentukan faktorisasi prima dari bilangan pangkat tiga (bilangan kubik) dengan menggunakan pohon faktor

Faktor prima dari 8 adalah 2 Langkah 2

Mengelompokkan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama menjadi faktorisasi prima berpangkat tiga.

8 = 2 × 2 × 2 Jadi:

b. Pendekatan Tabel

Cara pendekatan ini hanya dapat digunakan untuk akar pangkat tiga sempurna dan di bawah 1.000.000. Sebelum menggunakan cara pendekatan tabel untuk menarik akar pangkat tiga suatu bilangan, maka siswa dapat membuat tabel pangkat tiga dari bilangan 1 s.d 9.

Melakukan Operasi Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Bilangan Berpangkat Dua

1. Operasi Penjumlahan

a. 3² + 4² = (3 × 3 ) + (4 × 4)

= 9 + 16 = 25

b. (7 + 3)² + 4² = 10² + (4 × 4) = (10 × 10) + 16 = 100 + 16 = 116

2. Operasi Pengurangan

a. 5² - 4² = (5 × 5 ) - (4 × 4) = 25 - 16

= 9

b. (9 - 3)² - 4² = 6² - (4 × 4)

C

N

= (6 × 6) – 16

= 36 – 16 = 20

3. Operasi Perkalian

a. 5² × 3² = (5 × 5 ) × (3 × 3) = 25 ×9

= 225

b. (3 ×4)² × 3² = 12² × (3 × 3)

= (12 × 12) ×9

= 144 × 9 = 1296

4. Operasi Pembagian

a. 6² ÷ 2² = (6 × 6 ) ÷ (2 × 2) = 36 ÷ 4

= 9

b. (20 ÷ 2)² ÷ 5² = 10² ÷ (5 × 5) = (10 × 10) ÷ 25 = 100 ÷ 25 = 4

Melakukan Operasi Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Bilangan Berpangkat Tiga

1. Operasi Penjumlahan

a. 3³ + 4³ = (3 × 3 × 3) + (4 × 4 × 4) = 27 + 64

= 91

b. (7 + 3)³ + 4³ = 10³ + (4 × 4 × 4) = (10 × 10 × 10) + 64 = 1000 + 64 = 1064

D

N

2. Operasi Pengurangan

a. 5³ – 4³ = (5 × 5 × 5 ) - (4 × 4 × 4) = 125 - 64

= 61

b. (9 - 3)³ – 4³ = 6³ - (4 × 4 × 4)

= (6 × 6 ×6) – 64

=216 – 64 = 152

3. Operasi Perkalian

a. 5³ × 3³ = (5 × 5 × 5 ) × (3 × 3 × 3) = 125 × 27

= 3375

b. (3 ×4)³ × 3³ = 12³ × (3 × 3 × 3)

= (12 × 12 × 12) × 27

= 1728 × 27 = 46656

4. Operasi Pembagian

a. 6³ ÷ 2³ = (6 × 6 × 6 ) ÷ (2 × 2 × 2) = 216 ÷ 8

= 27

b. (20 ÷ 2)³ ÷ 5³ = 10³ ÷ (5 × 5 × 5) = (10 × 10 × 10) ÷ 125 = 1000 ÷ 125 = 8

OPERASI BILANGAN PECAHAN BAB 2

 Pengertian Bilangan Pecahan

 Jenis Pecahan

 Operasi Bilangan Pecahan

Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang berbentuk^𝑎

𝑏 dimana a dan b merupakan bilangan bulat, dan b tidak boleh 0. Dalam bilangan pecahan^𝑎

𝑏 , a disebut dengan pembilang, sedangkan b disebut dengan penyebut.

Jenis Pecahan

1. Pecahan Biasa

Pecahan ini adalah bentuk umum dari pecahan, yaitu berbentuk ^𝑎

𝑏

2. Pecahan Campuran

Pecahan ini memiliki bentuk campuran antara bilangan bulat dan bilangan pecahan, contoh : 𝑎^𝑏

𝑐

3. Pecahan Desimal

Bilangan desimal merupakan hasil pembagian dari pecahan, misal ¹

2 = 0,5

Operasi Bilangan Pecahan

1. Penyederhanaan Pecahan

Penyederhanaan pecahan dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB dari kedua bilangan tersebut.

contoh : ⁷⁵

125 = ³

5 karena 75 dan 125 dibagi dengan 25 yang merupakan FPB dari kedua bilangan tersebut.

2. Penjumlahan Pecahan

Saat melakukan operasi penjumlahan pada bilangan pecahan, perlu

diperhatikan apakah penyebut dari kedua bilangan tersebut sama atau tidak, jika sama maka yang dijumlahkan adalah pembilang dari kedua bilangan tersebut,

A

B

C

sedangkan penyebutnya tetap.

contoh: ²

3 + ⁴

3 = ⁶

3 = 2

Tetapi jika penyebutnya tidak sama, maka harus disamakan terlebih dahulu.

Dengan cara mencari KPK dari kedua penyebut tersebut, kemudian bagi dengan penyebut bilangan tersebut, hasil pembagian tersebut kalikan dengan pembilang dari bilangan tersebut. Hal itu dilakukan pada kedua bilangan tersebut.

contoh :

2 5 + ²

3 = ^{2 ×3}

15 + ^2×5

15 = ⁶

15 + ¹⁰

15 = ¹⁶

15

3. Pengurangan Pecahan

Sama seperti pada penjumalah pecahan untuk melakukan operasi pengurangan pada bilangan pecahan, perlu diperhatikan apakah penyebut dari kedua bilangan tersebut sama atau tidak, jika sama maka yang dikurangkan adalah pembilang dari kedua bilangan tersebut, sedangkan penyebutnya tetap.

contoh:

8 3 - ²

3 = ⁶

3 = 2

Tetapi jika penyebutnya tidak sama, maka harus disamakan terlebih dahulu.

Dengan cara mencari KPK dari kedua penyebut tersebut, kemudian bagi dengan penyebut bilangan tersebut, hasil pembagian tersebut kalikan dengan pembilang dari bilangan tersebut. Hal itu dilakukan pada kedua bilangan tersebut.

contoh :

2 3 - ²

4 = ^{2 ×4}

12 - ^2×3

12 = ⁸

12 - ⁶

12 = ²

12

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN BAB 3

 Mengenal Perkalian dan Pembagian Pecahan

 Penerapan Rumus

Mengenal Perkalian dan Pembagian Pecahan

Bilangan pecahan di dalam matematika memiliki beragam bentuk, mulai dari pecahan biasa, pecahan campuran, sampai pecahan dalam bentuk desimal.

Setelah sebelumnya dibahas operasi hitung penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan, maka dilanjutkan dengan materi mengenai pecahan dengan membahas materi seputar operasi hitung perkalian dan pembagian untuk bilangan pecahan. Rumus untuk perkalian dan pembagian pecahan :

Penerapan Rumus

1. Perkalian Sesama Bilangan Pecahan Biasa

Ketika mengalikan suatu bilangan pecahan biasa dengan bilangan pecahan biasa lainnya, caranya mudah yaitu hanya mengalikan pembilang dengan pembilang. Lalu mengalikan penyebut dengan penyebut.

Contohnya berikut ini:

2. Perkalian Bilangan Pecahan Biasa dengan Bilangan Bulat

Ketika mengalikan pecahan biasa dengan bilangan bulat, Anda cukup mengalikan pembilang dengan bilangan bulat tersebut, Kemudian dibagi dengan penyebut.

A

B

Seperti contoh berikut ini:

3. Pembagian Bilangan Pecahan Biasa

Ketika melakukan pembagian bilangan pecahan biasa dengan bilangan pecahan biasa, caranya cukup sederhana yaitu dengan membalik pembilang dan penyebut dari salah satu bilangan pecahan biasa yang ada. Kemudian kalikan kedua bilangan pecahan tersebut.

Untuk lebih mudahnya, lihat contoh di bawah ini:

Dari berbagai contoh yang telah diberikan, dapat disimpulkan bahwa cara menghitung perkalian dan pembagian pecahan tidaklah begitu sulit untuk dipahami. Hanya saja dibutuhkan ketelitian dalam mengalikan angka -angka yang digunakan padabilangan pecahan tersebut.

KECEPATAN, JARAK, DAN WAKTU BAB 4

 Pengertian Jarak, Kecepatan, dan Waktu

 Rumus Jarak, Kecepatan, dan Waktu

Pengertian Jarak, Kecepatan dan Waktu

1. Jarak

Jarak itu adalah angka yang menunjukkan seberapa jauh suatu benda berubah posisi. Satuan SI dari Jarak adalah meter (m), tapi satuan bisa berubah tergantung pertanyaannya.

2. Kecepatan

Kecepatan adalah besaran yang menunjukkan seberapa cepat benda berpindah.

Satuan SI dari Kecepatan adalah m/s, tapi satuan bisa berubah tergantung pertanyaannya.

3. Waktu

Waktu adalah interval antara dua buah keadaan/kejadian, atau bisa merupakan lama berlangsungnya suatu kejadian. Satuan dari Waktu adalah sekon atau detik (s), tapi satuan bisa berubah tergantung pertanyaannya.

Rumus Jarak, Kecepatan dan Waktu

1. Jarak

Kalau kita tau berapa kecepatan dan waktu tempuh suatu benda, kita bisa menghitung jarak tempuh benda tersebut dengan rumus:

2. Kecepatan

Kalau kita tau berapa waktu dan jarak tempuh suatu benda, kita bisa menghitung kecepatan benda tersebut dengan rumus:

3. Waktu

Kalau kita tau berapa kecepatan dan jarak tempuh suatu benda, kita bisa menghitung waktu tempuh benda tersebut dengan rumus:

A

B

Jarak = Kecepatan x Waktu

Waktu = Jarak : Kecepatan Kecepatan = Jarak : Waktu

POSISI SUATU BENDA DENGAN MENGGUNAKAN ARAH MATA ANGIN BAB 5

 Posisi Suatu Benda Dengan Menggunakan Arah Mata Angin

 Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Rute dan Denah

Posisi Suatu Benda Dengan Menggunakan Arah Mata Angin

Membaca Denah Berdasarkan Arah Mata Angin

a. Pengertian Denah

Denah adalah suatu gambar yang menunjukkan letak kota, jalan, atau tempat lain. Di dalam kehidupan sehari-hari, denah juga memiliki fungsi untuk menggambarkan keadaan mengenai suatu tempat. Jika akan membaca denah, maka perlu diperhatikan juga arah mata angin sebagai salah satu patokan atau acuan agar kita tidak salah membaca denah.

Arah mata angin dapat digunakan untuk membantu menentukan letak suatu benda. Arah mata angin terdiri atas arah utara, timur laut, timur, tenggara, selatan, barat daya, barat, dan barat laut

b. Cara Membaca Denah

Biasanya untuk lebih lengkap dan mudah dipahami, denah akan

diberikan nama-nama jalan dan juga tempat-tempat yang mudah dikenal sehingga tidak akan salah jalan. Denah lokasi tempat harus jelas dan benar agar tidak menjadikan kita tersesat. Di bawah ini merupakan cara membaca denah yang baik dan benar.

A

a) Perhatikan letak galon pada gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas, misalnya Siti berdiri di kotak merah. Ada pertanyaan sebagai berikut. “Ke mana Siti harus melangkah untuk

mendapatkan air minum di dalam galon yang berada di kelas 2?” Jawabannya adalah “Untuk mendapatkan air minum di dalam galon yang berada di kelas 2, Siti harus melangkah ke timur sebanyak 6 langkah, lalu ke utara sebanyak 1 langkah”.

b) Perhatikan denah di bawah ini

Ani ingin pergi ke Bank Swadaya. Dengan membaca denah ini perlu diperhatikan rumah Ani terlebih dahulu. Rumah Ani terletak di bagian selatan.

Maka Ani harus menyusuri Jalan Semeru ke arah utara. Setelah sampai di

Selanjutnya Ani harus berjalan lurus sampai di pertigaan. Setelah itu, Ani harus belok kiri atau menuju arah utara, dan Bank Swadaya berada di kanan jalan atau sebelah timur.

Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Rute dan Denah

Doni sepulang sekolah diharuskan membeli beberapa kain untuk dijahit oleh Ibunya menjadi beberapa baju. Doni sepulang sekolah dari SD Harapan, dia mampir sebentar ke Toko buku untuk membeli buku bacaan.

Untuk sampai ke Toko Sandang, maka Doni harus berjalan ke utara menuju Jl.Bukit Besar, selanjutnya ia belok ke arah barat menuju Jl Sumatra. Toko Sandang berada di sebelah selatan Jl. Sumatra

B

SKALA DAN DENAH BAB 6

 Pengertian Skala dan Denah

 Rumus Skala dan Denah

Pengertian Skala dan Denah

Skala adalah perbandingan antara jarak pada peta dibanding dengan jarak sebenarnya. Sebuah peta dibuat dengan menggunakan skala 1 : 1.000, artinya setiap jarak 1 cm pada peta mewakili 1.000 cm pada jarak sebenarnya. Satuan jarak untuk skala pada peta biasanya menggunakan centi meter (cm). Denah adalah suatu gambar yang

menunjukkan letak kota, jalan, atau tempat lain.

Rumus Skala dan Denah

Adapun rumus untuk mempermudah mencari skala, jarak sebenarnya ataupun jarak pada peta seperti :

Penjabaran gambar disamping bisa seperti ini : 1. Untuk mencari jarak pada peta

Jp = S (skala) × Jb (jarak sebenarnya) 2. Untuk mencari skala

S = 𝐽𝑝 (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎) 𝐽𝑏 (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎)

3. Untuk mencari jarak sebenarnya Jb = 𝐽𝑝 (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎)

𝐽𝑏 (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎)

A

B

DAFTAR RUJUKAN

Https://tugassekolahinstan.blogspot.com/2014/09/arah-mata-angin-kunci-jawaban- buku.html?m=1. (Online). Diakses pada 10 Juni 2020

Kementerian Pendidikan dan kebudayaan.2014. Buku Tematik Terpadu Kurikulum 2013 Tema 4 Sehat Itu Penting. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan kebudayaan