BILANGAN BERPANGKAT DAN LOGARITMA

BILANGAN BERPANGKAT DAN LOGARITMA

MODUL 9

KELOMPOK 1

1. Wira Lestari (856793856)

2. Yesi Eka Vertiwi (856792317)

3. Sutria Ramadhani (856606604)

4. Sri Muliandani (856605444)

5. Selvy Afny Putri (856798017)

6. Reski Oktaviani (856796575)

3. SRI MULIANDANI

9.5 – 9.8

KB. 1

BILANGAN

BERPANGKAT

Bilangan Berpangkat

Bentuk Umum :

yang memiliki arti yaitu perkalian antar bilangan sebanyak n kali

Atau dapat dituliskan :

= x x x

dengan = sebanyak n kali

Contoh Bilangan Berpangkat

5 2 ( − 3 ) 7 ( 1 4 ) 9

Dimana : Lambang bilangan 2, 7, 9 dinamakan pangkat

Angka-angka 5, -3, dan dinamakan bilangan pokok

Bentuk Bilangan Berpangkat

Bentuk Bilangan

Berpangkat Dibaca Faktor Nilai

pangkat satu

1 faktor

pangkat dua

x

2 faktor

pangkat tiga

x x

3 faktor

…. … …

Bentuk Bilangan

Berpangkat Dibaca Faktor Nilai

…. … …

Bilangan Pangkat Dua (Kuadrat)

 Bilangan yang memiliki angka dua di atas bilangannya.

 Secara umum bentuknya = x dibaca

pangkat dua atau kuadrat

 Contoh : ,

 Cara menyelesaikan soal adalah cukup dengan mengalikan bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan itu sendiri

sebanyak pangkatnya.

 Contoh Soal Bilangan Pangkat Dua 1. = 4 x 4 = 16

2. = 7 x 7 = 49

3. = 10 x 10

 Contoh Soal Operasi Hitung Yang Menggunakan Kuadrat

1. Penjumlahan + = (4x4) + (2x2) = 16 + 4 = 20

2. Pengurangan - = (4x4) – (2x2) = 16 - 4 = 12 3. Perkalian x = (4x4) x (2x2) = 16 x 4 = 64

4. Pembagian : = (4x4) : (2x2) = 16 : 4 = 4 5. Operasi Hitung Campuran

+ : = (3x3) + (6x6) : (2x2) = 9 + 36 : 4 = 9 + 9 = 18

Untuk operasi hitung campuran, dahulukan pembagian baru penjumlahan

Contoh Soal Cerita :

Sebidang tanah berbentuk persegi dengan panjang sisi 20 m. Berapa m² luas tanah tersebut?

Diketahui : Panjang sisi = 20 m Ditanya : Luas tanah :

Jawab :

Luas tanah =

= 400

 

20

Bilangan Pangkat Tiga (Kubik)

 Bilangan yang memiliki angka dua di atas bilangannya.

 Secara umum bentuknya = x x dibaca pangkat tiga atau kubik

 Contoh : ,

 Cara menyelesaikan soal adalah cukup dengan mengalikan bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan

itu sendiri sebanyak pangkatnya.

 Contoh Soal Bilangan Pangkat Tiga

1. = 3 x 3 x 3 = 21

2. = 7 x 7 x 7 = 343

3. = 10 x 10 x 10 = 1000

 Contoh Soal Operasi Hitung Yang Menggunakan Kuadrat

1. Penjumlahan + = (4x4x4) + (2x2x2) = 64 + 8 = 72 2. Pengurangan - = (4x4x4) – (2x2x2) = 64 - 8 = 56 3. Perkalian x = 64 x 8 = 512

4. Pembagian : = 64 : 8 = 8 5. Operasi Hitung Campuran

+ x = (2x2x2) + (5x5x5) x (3x3x3)

= 8 + 125 x 27 = 8 + 3375 = 3383

Untuk operasi hitung campuran, dahulukan perkalian baru penjumlahan

Contoh Soal Cerita :

Sebuah bak mandi berbetuk kubus dengan sisi 10 . Maka volume bak mandi tersebut adalah ?

Diketahui : Panjang sisi kubus (s) = 10 Ditanya : Volume bak mandi?

Jawab :

Volume persegi = =

= 1000

Bila diketahui 1000 adalah sama dengan 1 liter, maka Volume bak mandi adalah 1 liter

 

10

PANGKAT NOL DAN NEGATIF

 Pangkat Nol dan Negatif merupakan salah satu dari Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat (Eksponen)

 Pangkat Nol

= 1

Syarat : nilai 0, jika = 0 maka hasilnya tidak terdefinisi Contoh :

= 1 = 1

 Pangkat Negatif

Contoh : =

1) = = =

2) = = =

6. Sutria Ramadhani

Hal. 9.9- 9.12

Formulasi Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah bilangan perkalian yang dikalikan dengan dirinya sendiri secara berulang agar mendapatkan jumlah hasil akhir.

Nota pangkat merupakan tanda dimana

akan terjadi suatu bilangan di kali berulang

kali dalam bentuk sederahana

Contoh pangkat dalam kehidupan sehari-hari

Pada gambar di samping adalah buah jeruk yang akan di bagikan

Buah jeruk akan di bagikan secara berulang kali sebanyak 5 kali

Berarti di tuliskan sebagai berikut : 2 x 2 x 2 x 2 maka di perlukan adalah pangkat

Agar bisa memudahkan yaitu :

Jeruk dari 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2

⁵

Penjumlahan pangkat

Penjumlahan pangkat adalah bilangan yang memiliki angka yang sama maka hanya perlu melakukan penjumlahan. Jadi, penjumlahan pangkat ini hanya berlaku jika nilai angkat memiliki basis yang sama. Jika angka nya berbeda maka tidak bisa melakukan penjumlahan pangkat.

Rumus Penjumlahan

a

^m

x a

ⁿ

= a

^{m + n}

Contoh Soal Penjumlahan Pangkat

Soal Penjabaran Pengelompokan Nilai

4

⁴

x4

¹

(4x4x4x4x4) x (4) (4x4x4x4x4) 4

⁵

4

⁵

x 4

²

(4x4x4x4x4)x(4x4) (4x4x4x4x4x4x4) 4

⁶

4

^a

x 4

^b

(4x4x4….)x(4x4…) 4x4x4x4x4….. 4

^a+b

PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT DENGAN BILANGAN POKOK TETAP DAN PERPANGKATAN BLANGAN BERPANGKAT

Pembagian bilangan berpangkat dengan nilai pangkat yang sama maka berlaku untuk pengurangan

Jadi ketika ada soal yang pembagian nilai nya sama maka bisa langsung di kurangi

Rumus Pembagian

a

^{m :}

a

ⁿ

= = a

^m-n

Contoh soal

Masalah Penulisan Nilai

6 9 :6 2 6

⁹

.6

²

= 6

^9-2

= 6

⁷

6 7 :6 3 6

⁷

.6

³

= 6

^7-3

= 6

⁴

6 m : 6

ⁿ

6

^m

.6

ⁿ

= 6

^m-n

Masalah Penulisan Nilai

6 9 :6 2 6

⁹

.6

²

= 6

^9-2

= 6

⁷

6 7 :6 3 6

⁷

.6

³

= 6

^7-3

= 6

⁴

6 m : 6

ⁿ

6

^m

.6

ⁿ

= 6

^m-n

Perkalian pangkat

Penerapan perkalian pangkat jika bilangan pangkat di pangkatkan lagi Jadi, jika nilai nya sama maka Perkalian antar bilangan berpangkat bisa dilakukan,

Rumus Perkalian

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m.n

=a

^mn

Masalah Nilai

(6 5 ) 2 6

¹

.6

²

.6

³

.6

⁴

.6

⁵

.6

⁶

.6

⁷

.6

⁸

.6

⁹

.6

¹⁰

=

6

^5.2

= 6

¹⁰

(6 2 ) 3 6

¹

.6

²

.6

³

.6

⁴

.6

⁵

.6

⁶

= 6

^2.3

= 6

⁶

(6 m ) n 6 m .6 n = 6 m.n

Contoh Soal

1. Jika a

a. =

^{= = = a 2}

b.

^{(a 3) 5 = =}

2. Jika x ; y ;z maka

a. x ^-7 .x ^-6 = x ^(-7)+(-6) = x ^-13 =

b. = =

Contoh Soal

Soal yang menyatakan bahwa 0n sebagai nilai bilangan bulan positif n sehingga nilai 0n tidak dapat di definisikan karena :

n = -3, definisikan akan menghasilan 0-3 =

=

tetapi tidak dapat difinisikan Maka bisa definisikan dengan cara :

a = a^m-m

, a 0; m 0 = = 1 maka 0 = 0

^m-m

, m 0; = =

Sedangkan

adalah bentuk tak tentu

Jadi 0

juga tidak di definisikan

28. SELVY AFNY PUTRI

HAL 9.12 – 9.17

PANGKAT DARI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN SUATU BILANGAN

1. Sifat pangkat dari perkalian bilangan

Untuk a, b R dan n bilangan positif, berlaku

= x

2. Sifat pangkat dari pembagian bilangan.

Untuk a, b R, 0 dan n bilangan positif, berlaku

( a

b )

n

= a n

b n

Problem (

Faktor x

Pengelompokkan

2 � 2 5 � 5

Nilai 2

2

5

²

Intensitas bunyi percakapan manusia kali intensitas bunyi

Sedangkan Intensitas bunyi pesawat lepas landas kali intensitas suara bisikan manusia.

Berapa kali intensitas bunyi pesawat lepas landas

dibandingkan dengan bunyi percakapan manusia?

Perbandingan intensitas bunyi takeoff pesawat dengan intensitas percakapan manusia

=

=

BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN

Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian bilangan-bilangan yang sama atau perkalian berulang, pangkat pada bilangan tersebut bisa berupa pangkat bulat positif dan juga pangkat bulat negatif.

Notasi bilangan berpangkat adalah a

ⁿ 

yang berarti perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n.

Misalnya 8

² 

= 8 x 8. Tapi bagaimana dengan bentuk

 

yang

merupakan bilangan pangkat pecahan?

bentuk bilangan berpangkat pecahan secara umum ditulis sebagai dengan a ∈ bilangan real dan a ≠ 0.

 

Terdapat persamaan 25

^a

 = 5 , maka nilai a?

Jawab:

= = 2a = 1 a =

Maka = 5

Karena = 5 bisa disimpulkan bahwa =

Dari contoh tersebut, definisi pangkat pecahan

dapat ditulis sebagai berikut:

a^m/n  = ⁿ√a^m dengan n > 2 dan ⁿ√a ≠ 0

Menentukan Hasil Bilangan Berpangkat Pecahan

Ada 2 cara yang bisa digunakan untuk menghitung hasil bilangan berpangkat pecahan dengan mudah.

1. Mengubah Pangkat Pecahan Menjadi

Operasi Akar

2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan

yang Berpangkat Sama dengan Penyebut Pangkat Pecahan

1. Mengubah Pangkat Pecahan Menjadi Operasi

Untuk mengubah bilangan berpangkat pecahan menjadi operasi Akar

bentuk akar, maka bisa menggunakan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat yaitu dengan rumus berikut ini:

= = = (

^�

√ � )

^�

Contoh:

=

=

=

= = 25

125 (¿ ¿ 1

3 )

2

¿

2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan yang Berpangkat Sama dengan Penyebut Pangkat Pecahan

Dengan cara ini, bilangan berpangkat pecahan tidak perlu diubah menjadi operasi bentuk akar. Hasil pangkat pecahan bisa diperoleh dengan operasi pangkat bilangan bulat biasa.

Rumus yang digunakan dalam cara ini yaitu:

= = dengan = a

Contoh:

=

=

= 25

Sifat Operasi Hitung pada Bilangan Berpangkat Pecahan

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pada operasi perkalian bilangan berpangkat pecahan

berlaku sifat sebagai berikut:

x =

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Pecahan

: =

3. Sifat

Perpangkatan

Bilangan Berpangkat Pecahan

� (¿¿ �

� )= ( �

�

�

)

^�

= � (

^{� �}q

)

¿

4. Sifat

Perpangkatan pada Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

= x

5. Sifat Perpangkatan pada Pembagian Bilangan

Berpangkat Pecahan

= :

Niai dari

^{adalah ….}

Pembahasan:

Ingat!!

Maka:

=

=

=

= 144

Contoh:

KB 2

Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku

(Scientific Notation)

15. Yesi Eka vertiwi 856792317

Hal. (9.23-9.27)

Pada kegiatan belajar ini kita mempelajaari notasi

yang lain, khususnya yang berkaitan dengan

pekerjaan, dan bermanfaat sekali untuk pemecahan

masalah. Notasi tersebut adalah notasi bilangan

berpangkat yang penulisannya dinyatakan dalam

bentuk baku. Notasi ini sering digunakan pada

disiplin ilmu seperti kimia, fisika dan anatomi.

Setiap bilangan positif dapat dinyatakan dalam notasi baku : a x dengan 1 a < 10 dan n bilangan bulat

Contoh

Ubah 3560 ke dalam notasi baku : 3560 = x 1000 = 3,560 x

Amati bahwa pembagian dengan 1000 atau adalah

suatu kenyataan yang terjadi oleh bergeraknya tiga

tempat komake arah kiri (menghasilkan 3,56) dikalikan

Tuliskan dengan cepat 0,00073 ke dalam notasi baku :

0,00073 = 0,00073 x 10.000 10.000

= = 7,3 x

Pembagian dengan 10.000 atau ini terjadi karena

tanda koma dari 0,00073 bergerak ke arah kanan

melewati empat angka atau empat digit,

menghasilkan 7,3 x .

6,4 x artinya 6.400.000 0,3 x artinya 30.000.000 3,75 x artinya 0,000.0375 2,0 x artinya 0,000.000.002

Contoh notasi baku

Notasi Biasa Notasi Baku

7 7 x

100 1 x

7.500 7,5 x

7.500.000 7,5 x

3.750.000.000.000 3,75 x

0,000.000.063 6,3 x

5 x 0,000.001 5 x

3 x 0,000.000.000.000.000.1 3 x

Notasi Biasa Notasi Baku

7 100 7.500 7.500.000

3.750.000.000.000 0,000.000.063 5 x 0,000.001

3 x 0,000.000.000.000.000.1

Contoh

Kecepatan cahaya 186.000 mil/detik jarak dan jarak matahari ke bumi 93.000.000 mil maka tentukanlah waktu yang diperlukan sinar matahari mencapai bumi !

Penyelesaian :

Jika : d = jarak matahari ke bumi r = kecepatan cahaya t = waktu yang diperlukan

Maka : d = r . t t = t = =

t = 5 x detik atau t = 500 detik

Setiap bilangan positif dapat dinyatakan dalam notasi baku : a x dengan -10 a -1 dan n bilangan bulat

Selesaikan

.

dalam notasi baku Penyelesaian :

. =

= .

= .

= 9 x

Sejenis kawat akan digunakan membuat 350 km transmisi. Diameter kawat 1,2 cm. Berapakah volume kawat yang diperlukan, untuk satu kawat panjangnya 350 km ?

Penyelesaian : Volume kawat V h

V = 3,14 (0,5 x 1,2)² . 35.000.000

= 3,14 x 0,6 ² x 3,50 x

= 3,14 x 0,36 x 3,5 x

= 3,9564 x cm³

1,2 cm

350 km

1. Jarak dari planet Pluto ke Matahari = 3,664 x mil 2. Massa elektron = 9,11 x gram

3. Populasi manusia di Amerika Serikat = 2,04 x 4. Panjang gelombang sinar merah = 6,6 x cm

5. Pendapatan bersih Amerika Serikat 1 tahun = U$ 9,32 x 6. Harga sebuah elektron = 4,8 x electrostic units.

Beberapa notasi penggunaan notasi baku

Bilangan negatif juga boleh ditulis dalam notasi baku. Sekarang amati, pikirkan atau diskusikan untuk melengkapi tabel berikut :

Problem Faktor Nilai Notasi Beku

-0,0701 -7,01 x

-0,000 0037 -3,7 x

-0,000 000 105 ….. ..… -1,05 x

-0,9814 ….. -9,814 x

-0,00432 ….. …..

-0,08000 00059 ..… ….. -8,000 00059 x

Problem Faktor Nilai Notasi Beku

-0,0701 -0,000 0037

-0,000 000 105 ….. ..…

-0,9814 …..

-0,00432 ….. …..

-0,08000 00059 ..… …..

Nama Standar Bilangan Besar

Seratus = 100

Seribu = 1.000

Satu juta = 1.000.000

Bellion/satu milyar = 1.000.000.000

Trillion = 1.000.000.000.000

Qudrillion = 1.000.000.000.000.000

Quintillion = 1.000.000.000.000.000.000

Sextillion = 1.000.000.000.000.000.000.000

Septillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000

Octillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Nonillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Decillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Googol

=

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Seratus = 100

Seribu = 1.000

Satu juta = 1.000.000

Bellion/satu milyar = 1.000.000.000

Trillion = 1.000.000.000.000

Qudrillion = 1.000.000.000.000.000

Quintillion = 1.000.000.000.000.000.000

Sextillion = 1.000.000.000.000.000.000.000

Septillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000

Octillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Nonillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Decillion = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Googol

=

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

21. WIRA LESTARI

Halaman 9.32 – 9.37

LOGARITMA DAN

TERAPANNYA

Logaritma

adalah operasi matematika yang

merupakan kebalikan (atau invers) dari e ksponen 

atau pemangkatan

Misalnya suatu perpangkatan dengan bentuk ac = b, maka kebalikan dari eksponen itu dapat ditulis logaritmanya

dengan bentuk a log b = c, syaratnya

adalah a ≠ 0 dan a > 1.

Penerapan Logaritma dalam Kehidupan Sehari-Hari

Meskipun pada prakteknya terkesan rumit, tetapi ternyata logaritma ini bisa diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Seperti misalnya untuk: 

1. Menghitung laju pertumbuhan penduduk 2. Menghitung kondisi keuangan

3. Menghitung bunga bank 

4. Membantu kerja alat pengukur kekuatan gempa atau seismograf. 

5. Mengukur tingkat keterangan bintang.

Bentuk logaritma dinyatakan dengan 

^a

log b = c.

Simbol a menyatakan bilangan pokok logaritma atau basis, b menyatakan range atau hasil dari logaritma, dan c merupakan domain logaritma.

Contoh:

artinya, bahwa logaritma itu untuk menentukan besar pangkat suatu bilangan.

 

Sifat Operasi

Logaritma Logaritma bisa dioperasikan seperti halnya bilangan, seperti

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pembahasan masing-masing operasi logaritma adalah seperti berikut

1. Sifat Penjumlahan Logaritma

Sifat penjumlahan logaritma adalah dua numerus logaritma yang dijumlahkan akan berubah menjadi perkalian antarnumerus asalkan basisnya sama. Artinya, logaritma bisa dijumlahkan dengan logaritma lain menghasilkan bentuk logaritma perkalian. Perhatikan contoh

berikut.

2 log

³ 

+ 2 log4 = 

²

log(3×4)        = 

²

 log 12

Dari contoh di atas, diketahui bahwa sifat logaritma perkalian

merupakan bentuk ringkas dari penjumlahan dua atau lebih logaritma

yang basisnya sama.

2. Sifat Pengurangan Logaritma

Sifat pengurangan logaritma hampir sama dengan penjumlahan. Hanya saja, dua numerus pada pengurangan akan berubah menjadi pembagian antarnumerus. Artinya, pengurangan dua logaritma dengan basis yang sama akan menghasilkan logaritma pembagian.

Perhatikan contoh berikut.

2log 8 – ²log4 =

2log (8/4)   = ²log2 = 1

Jika diuraikan satu persatu, apakah hasilnya sama??

2log8 – ²log4  =

2log2³ – ²log2² = 3 ² log 2 – 2 ² log2 = 3-2 = 1

3. Sifat Perkalian Logaritma

Sifat perkalian logaritma mengacu pada salah satu dari 11 sifat umum logaritma, yaitu sifat berikut.

alogb.^blog c = ^a log cJika dua logaritma yang berbeda basis dikalikan, akan dihasilkan logaritma baru yang basisnya sama dengan logaritma pertama dan numerusnya sama dengan logaritma kedua. Perhatikan contoh berikut.

3log 2. ²log 4 = ³ log 4,

Ingat, perkalian logaritma itu berbeda dengan logaritma perkalian.

Perkalian logaritma merupakan operasi perkalian antara dua log atau lebih. Sementara log perkalian merupakan bentuk log yang numerusnya berupa perkalian. Perhatikan perbedaan berikut ini.

Perkalian log = ³ log 2 x ² log 4 Log Perkalian = ³log(2×4)

4. Sifat pembagian logaritma

Sifat perkalian logaritma mengacu pada salah satu dari 11 sifat umum logaritma, yaitu sifat berikut.

x log a / ^x log b = ^b log a

Pembagian dua logaritma akan menghasilkan log baru di mana numerus penyebutnya akan menjadi basis dari log yang baru. Sementara itu, numerus pembagi akan tetap menjadi numerus pada log yang baru. Perhatikan contoh berikut.

2 log 4 / ² log 6 =¹⁶ log 4

5. Sifat Logaritma Akar dan Kuadrat

Sifat logaritma akar dan kuadrat mengacu pada salah satu dari 11 sifat umum logaritma, yaitu sifat 

^a

 log c

^m

 = m

^a

 log c

Sifat tersebut menunjukkan bahwa pangkat dari numerus bisa dijadikan konstanta di depan logaritmanya. Adapun contoh sifat logaritma bentuk kuadrat berikut.

4

log5

²

 = 2

⁴

 log 5 -> sifat logaritma kuadrat

Untuk logaritma akar, hanya perlu mengubah akar numerusnya dalam bentuk bilangan berpangkat. Selanjutnya, gunakan sifat logaritma seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Adapun contoh sifat logaritma akar adalah sebagai berikut.

=

Fungsi Logaritma

Fungsi Logaritma adalah fungsi invers (kebalikan) dari fungsi eksponen.

Jadi, jika fungsi eksponen dinyatakan dengan f(x) = ax, a > 0, a ≠ 1, maka invers dari f(x0 ditulis dengan f-1(x) = alog x atau f(x) = alog x, a > 0, a ≠ 1.

Secara umum bila y = ax, maka x = alog y.

Bila f(x) = alog x, dengan a > 1, x > 0 , x e R, maka f(x) dikatakan fungsi Bila f(x) = alog x, dengan 0 0 , x e R, maka f(x) dikatakan fungsi naik.

Grafik fungsi logaritma selalu melalui titik (1,0) dan selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. Untuk lebih jelasnya, Perhatikan

gambar di bawah ini:

_Y

0 (1,0)

X y =

y = 0 < a < 1

Dari grafik fungsi logaritma di atas, dapat terlihat bahwa:

Untuk a > 1

Bila alog f(x) ³ alog g(x), maka f(x) ³ g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) >

Bila alog f(x) £ alog g(x), maka f(x) £ g(x), dengan

syarat f(x) dan g(x) >

1. Berapa nilai dari 2log 4 + 2log 12 – 2log 6 = ? Pembahasan :

Untuk menjawab soal seperti di atas, Anda perlu mengingat sifat logaritma alog(b.c) = alog b + alog c, dan

alog = alog b – alog c

jadi, untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan kedua sifat logaritma tersebut, sehingga perhitungannya menjadi :

2log 4 + 2log 12 – 2log 6 = 2log

= 2log 8

Kemudian, untuk penyelesaian akhir, kita perlu mengingat sifat berikutnya, yaitu : alog = n . alog b

→ 8 =

sehingga, penyelesaian akhirnya akan menjadi : 2log 8 = 2log

= 3 . 2log 2 → jangan lupa dengan yang ini : alog a = 1

= 3 . 1

= 3

CONTOH SOAL

2. Nilai dari 5 log 25 + 5 log 3 – 5 log 15 adalah ...

Pembahasan

5 log 25 + 5 log 3 – 5 log 15

= 5 log (25x3/14)

= 5 log 5

= 1

3. Jika 2 log 3 = a, maka 27 log 64 =…….

Penyelesaian:

27 log 64 = log

= 6/3 . 3 log 2

= 2/2 log 3

= 2/a

 

26. Reski Oktaviani

9.38-9.42

Sifat 9.4.

log x log y log y log x log y x = y

log log  

P, x, y elemen bilangan real positif , m, n, ϵ Q; p ≠ 1 ; n ≠ 0

Bukti :

log x log y = . = log y jadi log x log y log y

2. Misal Plog x=a => X = ... (i) Plog x Plog y => a log y = a

y =.... (ii) Dari (i) dan (ii) didapat:

x==y

Jadi x = y => terbukti.

 

3. Misalkan: P" log, = q maka (= Xm

= =

Kedua ruas dilogaritma kan dengan bilangan pokok p

log log log

Jadi: = P log log => terbukti.

Contoh 9.12.

log 5 log 3 log 8 = log 5 log 3) log 8 log 3 log 8

log 8 log =3

log 6 log 3 log 16 = log 6 log 3) log log 3 log

log =4.

log 7 log 36 log 4 =

= xx

=xx

= 1x x

= 4.

log 64= log log

log

=

Problem yang terjadi

Kerap kali kita menemui kesulitan ketika

menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan

logaritma. Kesulitan itu terjadi disebabkan kesalahan penulisan, misal:plog x ditulis p log ×, ini adalah

kesalahan yang fatal, sebab plog x artinya p adalah bilangan pokok; dan x bilangan yang ditarik

logaritmanya, sedangkan p log x =log xp; p berarti pangkat dari x dan bilangan pokoknya adalah 10.

Karena itu disarankan Anda berhati-hati dalam

menulis bentuk logaritma.

PENERAPAN LOGARITMA

Sifat-sifat logaritma dapat digunakan dalam penyelesaian masalah-masalah dalam berbagai bidang ilmu yang perhitungannya menggunakan operasi hitung: perkalian, pembagian,

perpangkatan, dan akar. Misalnya dalam mencari luas pada geometri datar, dan mencari volume pada

geometri ruang. Dalam modul ini hanya ditunjukkan terapan sifat-sifat logaritma untuk perhitungan bunga majemuk dan pertumbuhan penduduk. Sedangkan terapan untuk bidang lain Anda dapat mengembangkannya sendiri.

Model Bunga Majemuk

Untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari jumlah sekarang

suatu pinjaman atau tabungan, kita dapat menggunakan model

bunga majemuk:

= ( 1+

 

Dimana :

. = jumlah pinjaman atau tabungan setelah t tahun

= jumlah sekarang (tahun ke-0) I = tingkat bunga per tahun

M = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

t = jumlah tahun

Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun. Jumlah dimasa datang tersebut dapat dirumuskan menjadi

= dengan e= 2,7183

Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung.

Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam seringkali dipraktikkan oleh para pelepas uang atau "'lintah darat" yang kadang-kadang menetapkan atau

memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m=360).

Oleh karenanya model ini dapat pula kita sebut "model lintah

darat"

Contoh 9 13

Seorang ibu rumah tanga meminjam uang sebesar Rp.

10.000.000,00 padaseorang

pelepas uang untuk jangka waktu 2 tahun. Suku bunga sebesar 10%

per tahundiperhitungkan secara harian (dalam bisnis 1 tahun = 360 hari). Hitunglah jumlah yangharus dibayar oleh ibu rumah tanga

tersebut pada saat hutangnya jatuh tempo!

Penyelesaian.

Dengan rumus bunga majemuk biasa = ( 1+

a. tanpa menggunakan logaritma M2 = 10.000.000 (1+

=10.000.000(1,0003

=10.000.000 (1,2411)

=12.411.000

b. dengan menggunakan logaritma

=10.000.000 (1,0003 log = + 7201og 1,0003 = 7 + 0.0938 = 7.0938 = 12.411.000

2. Dengan rumus bunga majemuk sinambung: =

a. tanpa menggunakan logaritma ≈ 10.000.000

≈ 10.000.000 (2,7183 ≈ 10.000.000(1,2214) ≈ 12.214.000

b. dengan menggunakan logaritma ≈ 10.000.000

In = In10.000.000 + 0,2 In e In ≈ 16.1181+0,2

In = 16,3181 ≈ 12.214.000

Jadi, jumlah pelunasan hutang sekitar Rp.12.000.000,00 sampai Rp.12.400.000,00

Contoh 9.14.

Tabungan seorang mahasiswa yang semula Rp.4.000.000,00 menjadi Rp.5.324.000,00 setelah t tahun dengan suku bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Tentukan nilai t!

Penyelesaian:

= (1 +i

5.324.000 = 4.000.000 (1,1

log 5.324,000 = log 4.000.000 + t log 1,1 6.7262 = 6.6021+ 0.0414 t

0.0414t = 0.1241

t = 1,241 ≈ 3

0, 414

Model Pertumbuhan

Perkiraan jumlah penduduk di suatu daerah/negara dapat ditentukan, hal ini seperti yang dinyatakan oleh Malthus, bahwa penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematika dapat dirumuskan sebagai:

: (1+r di mana : Jumlah pada tahun pertama : Jumlah pada tahun ke-t

R : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun ke ..)

Rumus tersebut tidak hanya digunakan untuk memperkirakan pertumbuhan

penduduk, tetapi juga digunakan untuk memperkirakan pertumbuhan lainnya

seperti pertumbuhan hewan atau ekonomi. Berikut adalah contoh penggunaan

rumus tersebut.

Contoh 9.15.

Penduduk suatu kota berjumlah 2 juta jiwa pada tahun 2006, dan tingkat pertumbuhan

penduduknya kemudian?3% per tahun, Hitunglah perkiraan

jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2020. Jika mulai tahun 2020 pertumbuhannya menurun menjadì 1,5%, berapa perkiraan jumlah penduduk 10 tahun kemudian ?

Penyelesaian:

= 2 juta r = 0.03

t = tahun ke-15 = 2.000,000 (1 + 0,03

= 2.000.000 (1,512589725) =3.025.179 jiwa

atau dengan menggunakan logaritma

log =log (2x) (1,03

= log 2 + 6 log 10 + 14 log1, 03

= 6,480751142 =3.025.179 jiwa

b. =3.025.179 r = 0,015 t = 10

=3.025.179(1+0,015 =3.025.179 (1,015

= 3.025.179 (1,143389975) = 3.458.959 jiwa

atau dengan

menggunakan logaritma log = log 3.025.179 + 9 log 1, 015

log = 6,538945457

= 3.458.959 jiwa

THANK

YOU