Logika Proposisi
Proposisi
Dalam matematika, kita selalu berasumsi bahwa setiap pernyataan yang disebut proposisi adalah jelas dan tidak ambigu, sehingga hanya dapat ditarik dua kesimpulan mengenai pernyataan tersebut, yaitu benar atau salah, dan tidak ada pilihan lain selain kedua-duanya. Berbeda dengan pernyataan-pernyataan dalam kehidupan sehari-hari yang tidak selalu dapat dibuktikan kebenarannya dan mempunyai banyak makna, terutama pernyataan-pernyataan politik. Yang ketiga mempunyai nilai kebenaran relatif; sebagian orang akan menilainya BENAR, namun sebagian lainnya mungkin menganggap nilainya SALAH.
Ingkaran dan Penghubung Logika
Berdasarkan Tabel 1.2 di atas, kita dapat mengatakan bahwa suatu konjungsi BENAR hanya jika proposisi-proposisi yang menyusunnya semuanya BENAR. Kita definisikan bahwa pernyataan “P dari Q” adalah BENAR jika P adalah BENAR atau Q adalah BENAR dan pernyataan “P dari Q” adalah SALAH jika P adalah SALAH dan Q adalah SALAH. Jadi kita juga dapat mengatakan bahwa suatu implikasi BENAR jika antesedennya SALAH atau konsekuensinya BENAR.
Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi
Di bagian selanjutnya kita akan melakukannya mengetahui istilah pernyataan yang nilai kebenarannya tetap, yaitu. Tautologi adalah pernyataan yang selalu BENAR untuk semua kombinasi nilai kebenaran komponen-komponennya. Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu SALAH untuk semua kombinasi nilai kebenaran komponennya.
Aturan Ekivalensi dan Inferensi
Jika P => (Q) => R) adalah SALAH, maka P adalah BENAR dan (Q => R) adalah SALAH jadi Q adalah BENAR dan R adalah SALAH.
Latihan
Validasi argumen berikut dengan simbol yang disediakan. a) Jika program efisien, maka program akan berjalan dengan cepat. Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang berupa rangkaian 2 pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan konjungsi “..jika dan hanya jika. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika terdapat tiga anggota himpunan A , (a, b,c ∈A) sehingga (a,b) ∈ R , dan (b,c) ∈ R dan (a,c) ∉ R (ada tiga anggota a,b,c dari A sehingga a berhubungan dengan b dan b berhubungan dengan c dan a tidak berhubungan dengan c).
Argumen dan Kevalidannya
Pengertian Argumen
Gunakan bukti bersyarat untuk membuktikan validitas argumen berikut. a) Logika itu sulit atau tidak banyak siswa yang menyukainya. Maksudnya agar masyarakat dapat menentukan apakah suatu benda termasuk anggota koleksi yang dimaksud atau tidak. Kumpulan hewan berkaki empat adalah himpunan, karena jika terdapat sekelompok hewan (misalnya anjing, kucing, monyet, sapi, laba-laba, ayam), maka dengan mudah kita dapat menyebutkan nama hewan yang berkaki 4 yaitu anjing. . kucing, sapi yang tergabung dalam kelompok hewan berkaki empat.
Keragu-raguan kita untuk menunjuk suatu hewan sebagai anggota kelompok hewan berkaki empat atau tidak menunjukkan sekumpulan hewan berkaki empat yang terdefinisi dengan jelas. Himpunan bilangan bulat positif merupakan contoh himpunan karena jelas bahwa anggota himpunan tersebut hanyalah bilangan positif. Cara ini mengharuskan kita memberi nama/mendaftarkan anggota himpunan satu per satu, dan setiap anggota secara tertulis dipisahkan dengan koma.
Dengan cara ini, anggota himpunan yang ingin kita tulis dideklarasikan dengan variabel (substitusi, variabel), diikuti dengan tanda hubung, dan kemudian dilanjutkan dengan menyatakan sifat atau karakteristik elemen. Jadi relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang menghubungkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Relasi (relasi) himpunan yang satu dengan himpunan yang lain adalah asosiasi antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan.
Dalam matematika, relasi atau relasi menyatakan hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Relasi tersebut disebut refleksif jika dan hanya jika x untuk setiap anggota x dari alam semestanya berhubungan dengan dirinya sendiri. Relasi R pada A disebut tidak refleksif (antirefleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalamnya tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
R disebut koneksi nontransitif di A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈ A) jika (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R maka (a,c ) ∉ R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berhubungan dengan b dan b berhubungan dengan c, maka a tidak berhubungan dengan c). Fungsi dugaan adalah fungsi grup regional yang resultannya adalah grup teman regional, artinya setiap anggota di zona teman mempunyai pasangan dengan anggota grup asal (pasangan grup asal dan zona teman bisa sama).
Logika Predikat
Logika Predikat
Aturan Penyangkalan
Secara sederhana aturan ini dapat diartikan: ketika kita memindahkan tanda negasi ke suatu proposisi, maka pembilangnya akan berubah dari ∀ menjadi ∃ atau sebaliknya, dan predikat pernyataan tersebut akan berubah menjadi negasinya.
Aturan Inferensi
Dalam induksi matematika ini, variabel suatu formulasi dibuktikan sebagai anggota himpunan bilangan asli. Jadi berdasarkan tabel di atas, Biimplikasi dikatakan benar jika P dan Q mempunyai nilai yang sama-sama benar, namun jika ada salah satu nilai P dan Q yang salah maka pernyataan tersebut salah. Relasi R merupakan relasi tidak reflektif, karena tidak ada elemen (x,x), dimana x∈A. Relasi R dengan A dikatakan non-refleksif jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu elemen dalam A yang tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
Relasi R dikatakan simetris di S jika dan hanya jika setiap dua elemen a dan b dari S menyatakan bahwa jika a menghubungkan R dengan b, maka b juga berhubungan dengan a. Relasi R dikatakan asimetris di S jika dan hanya jika ada dua elemen a dan b dari S yang berlaku: jika a berhubungan dengan R dengan b, maka b tidak berhubungan dengan R dengan a. Suatu relasi R dikatakan asimetris di S jika dan hanya jika terdapat dua anggota a dan b dari S sedemikian rupa sehingga: a berhubungan dengan R dan b, tetapi b tidak berhubungan dengan R dengan a. Perhatikan bahwa non-simetri adalah negasi dari simetri.
Suatu relasi R dikatakan antisimetris di S jika dan hanya jika setiap dua elemen a dan b dari S berlaku: jika a menghubungkan R ke b dan b menghubungkan R ke a, maka a = b. Relasi "subset" merupakan relasi antisimetris di A karena untuk dua himpunan x dan y, jika x adalah y dan y adalah x, maka x = y. Jadi relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat antisimetris karena jika a ≤ b dan b ≤ a maka a = b. 3) Relasi “habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat alami N merupakan contoh relasi asimetris karena jika a habis dibagi b, maka b tidak habis dibagi a kecuali a = b.
Jika f dan g merupakan fungsi dan Rf ∩ Dg ≠ O, maka terdapat fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (tulis g ⸰ f dan baca g bundaran f) yang ditentukan dengan h(x) = (g ⸰ f)(x) = g(f(x)).
Latihan Soal
Induksi Matematika
Penalaran Induktif
Prinsip Induksi Matemaika
Prinsip Induksi Kuat
Prinsip induksi kuat berbunyi sebagai berikut: Jika P(1) benar, dan jika benar, maka benar, maka benar untuk setiap bilangan asli Prinsip induksi matematika dan prinsip induksi kuat dapat digeneralisasikan menjadi pernyataan dengan (bukan ) Tepat jika benar, dan jika benar, maka benar, maka benar untuk setiap bilangan asli. Contoh penerapan prinsip induksi kuat adalah pada pembuktian Teorema Dasar Aritmatika yang menyatakan bahwa bilangan asli apa pun dapat dinyatakan secara tunggal sebagai hasil kali bilangan prima. Dalam hal ini ia memiliki bilangan prima, mis. jadi dengan Disini dapat berupa bilangan komposit, tetapi menurut hipotesis dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima.
Latiahan Soal Induksi Matematika
Hubungan himpunan A ke himpunan B berarti pemetaan setiap anggota himpunan A (x ∈ A) dengan anggota himpunan B (y ∈ B).
Pernyataan Matematika dan Strategi Pembuktian
Pernyataan Matematika
Pernyataan matematis yang juga harus dibuktikan melalui penalaran yang valid, tetapi merupakan hasil minor yang tujuan utamanya mendukung pembuktian suatu teorema. Pernyataan matematis yang dapat dibuktikan dan menarik, namun kurang penting dibandingkan teorema. Suatu pernyataan yang dapat ditunjukkan (melalui aksioma dan definisi) dapat bernilai benar atau salah (memiliki kontradiksi).
Strategi Pembuktian
Himpunan
Pengertian Himpunan
Hasil kajian mendalam para ahli matematika terkini menyimpulkan bahwa semua cabang matematika bergantung pada konsep dasar dan teori himpunan. Selain itu, konsep himpunan juga mendukung penjelasan konsep geometri, baik geometri bidang maupun geometri ruang. Konsep himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman yaitu George Cantor (1918), pada akhir abad ke-19.
Secara umum himpunan dapat diartikan sebagai kumpulan benda-benda yang mempunyai batas jelas dan dapat dibedakan. Terdefinisi dengan baik artinya untuk setiap objek x kita selalu dapat menentukan apakah objek X termasuk dalam himpunan tertentu atau tidak. Selain itu, benda-benda yang merupakan bagian dari suatu himpunan disebut elemen atau elemen atau anggota himpunan itu.
Melengkapi pengertian di atas, Julius Hambali dan Siskandar memberikan batasan bahwa himpunan adalah kumpulan benda-benda yang nyata atau tidak nyata. Untuk memperjelas pemahaman Anda, gambaran dan ilustrasi himpunan yang lebih konkrit disajikan di bawah ini.
Notasi Himpunan
Pernyataan a anggota himpunan A dapat ditulis a ∈ A, sedangkan pernyataan m bukan anggota himpunan A ditulis m ∉ A. Jika anak ditanya tentang himpunan A didefinisikan sebagai rangkaian warna pelangi, maka jawaban anak benar jika jawabannya merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu. Sedangkan jika ada anak yang menjawab hitam maka dikatakan hitam ∉ A artinya hitam bukan anggota A, karena warna pelangi tidak ada yang hitam.
Cara Menyatakan Himpunan
Kemudian dibaca bahwa himpunan C adalah himpunan x sehingga x adalah bilangan bulat genap yang terletak antara 0 dan 10. Dengan menyatakan syarat keanggotaan. Dalam mendeklarasikan suatu himpunan, dapat disajikan secara deskriptif, yaitu dengan pernyataan verbal tentang himpunan tersebut; yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaan.
Beberapa Aksioma Himpunan Zermelo-Frankel
Bagi setiap set A terdapat set yang merupakan set semua subset A dan dilambangkan dengan P(A).
Operasi Pada Himpunan
Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan, yaitu himpunan yang memuat pasangan-pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu, misalnya (x,y). Dari dua contoh di atas, himpunan A dan E disebut domain, dan himpunan B dan F disebut kodomain. Pada koordinat Kartesius, titik asal (domain) ditempatkan pada sumbu X (sumbu horizontal) dan daerah ramah (kodomain) ditempatkan pada sumbu Y. D.
Sedangkan relasi “habis dibagi” merupakan relasi antisimetris, karena jika a habis dibagi b dan b habis dibagi a, maka a = b. Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak hubungan, misalnya hubungan "saudara perempuan", "ibu kota", "setengah dari". Fungsi bijektif adalah fungsi dimana setiap anggota di daerah asal hanya mempunyai tepat satu pasangan dengan daerah rekannya, begitu pula sebaliknya.
Relasi
Pasangan Terurut
Pada waktu-waktu tertentu keteraturan sangat penting, misalnya dalam geometri analitik koordinat titik (x, y) digambarkan sebagai pasangan bilangan terurut. Untuk membedakan apakah elemen a dan b pada array merupakan pasangan terurut atau tidak, maka pasangan terurut tersebut dinyatakan dalam tanda kurung (a,b). Karena (a,b) = (c,d) maka {{a}} = {{c}, {c,d}}, maka jelas himpunan di ruas kiri mempunyai satu suku, jadi ruas kanan harus memiliki juga satu artikel.
Hasil Kali Kartesius
Relasi
Operasi dalam Relasi
Fungsi
- Pengertian Fungsi
- Fungsi Injektif, surjektif dan Bijektif
- Komposisi dan Invers
- Peta dan Prapeta
- Latihan Soal
Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x,y) | elemen x pada A dan elemen y pada B}, fungsi inversnya adalah relasi yang memetakan B ke A. Biaya sewa printer yang digunakan untuk mencetak ditentukan dengan g(x) = 10x + 2 (dalam ribuan Rupiah ), dimana x adalah lamanya waktu dalam jam.
