Pengertian Dasar

(1)

ELLYSA

KALKULUS 3

(2)

VEKTOR PADA BIDANG

(3)

PENGERTIAN DASAR

 Vektor adalah kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah.

 Suatu vektor dapat dinyatakan oleh segmen garis berarah PQ, ditulis:

→ dengan a adalah vektor.

 Pada umumnya vektor akan ditulis dengan huruf kecil yang dicetak tebal, contoh: a, b, ..., atau dengan

huruf besar.

Contoh:

(4)

PENGERTIAN DASAR

 Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama, akibatnya setiap vektor tidak berubah jika bergerak ke posisi baru dengan tidak mengubah besar dan arah.

 Suatu vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besaran nol.

 Vektor nol dapat dilukiskan oleh segmen garis terurai yaitu suatu titik tunggal yang arahnya tak tentu atau memiliki semua arah.

(5)

PENDEKATAN SECARA GEOMETRIS

OPERASI PADA VEKTOR

 Cara Jajaran Genjang

• Penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan mengimpitkan kedua pangkal vektor tersebut, kemudian buat garis yang panjangnya masing- masing sama dengan panjang vektor semula sehingga membentuk jajaran genjang.

• Hasil dari penjumlahan kedua vektor tersebut

adalah vektor yang pangkalnya pada titik pangkal kedua vektor tersebut dan ujungnya adalah pada perpotongan kedua garis tersebut.

(6)

PENDEKATAN SECARA GEOMETRIS OPERASI PADA VEKTOR

 Cara Jajaran Genjang

(7)

OPERASI PADA VEKTOR

 Cara Segitiga

• Impitkan titik ujung vektor a dengan titik pangkal vektor b, maka vektor hasil penjumlahannya adalah vektor yang bertitik pangkal di a dan titik ujungnya di b.

(8)

OPERASI PADA VEKTOR

 Lawan dari vektor a adalah vektor –a, yang mempunyai besar yang sama dengan a tetapi berlawanan arah.

 Pengurangan vektor adalah dengan menjumlahkan dengan lawan vektor kedua, yaitu:

(9)

Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan 1) a + b = b + a

2) a + (b + c) = (a + b) + c

3) a + b = c jika dan hanya jika b = c – a 4) a + 0 = a, a – a = 0

5) k(sb) = (ks)b = b(ks) 6) k(a + b) = ka + kb 7) (k + s)a = ka + sa 8) 1a = a

(10)

PENDEKATAN SECARA GEOMETRIS Bukti nomor 2

(11)

PENDEKATAN SECARA ALJABAR

A. BESAR SEBUAH VEKTOR

 Besar atau panjang dari sebuah vektor a ditulis | a | atau a.

 Panjang dari setiap vektor a dan b mempunyai sifat sebagai berikut:

1. | a | ≥ 0 ; | a | = 0 jika dan hanya jika a = 0.

2. |a + b| ≤ | a | + | b |

(12)

B. VEKTOR BASIS

 Pada sistem koordinat tegak lurus OXY dalam bidang dan P dan Q titik-titik dengan koordinat P(x, 0) dan Q(0, y)

 Vektor basis i dan j didefinisikan sebagai berikut:

Vektor i panjangnya satu searah sumbu x positif, Vektor j panjangnya satu searah sumbu y positif.

 Maka vektor = xi dan vektor = yj

 Untuk setiap sembarang titik P(x,y) pada sistem koordinat, maka vektor = xi + yj

(13)

B. VEKTOR BASIS

 Untuk setiap vektor a = a₁i + a₂j dan b = b₁i + b₂j , maka penjumlahan dan pengurangan didefinisikan sebagai berikut:

1. a + b = (a₁ + b₁)i + (a₂ + b₂)j 2. a - b = (a₁ - b₁)i + (a₂ - b₂)j

 Dengan menggunakan dalil Phytagoras panjang vektor a adalah:

(14)

C. PERKALIAN TITIK/SKALAR DARI DUA VEKTOR

 Sudut  antara dua vektor yang tak nol, a dan b didefinisikan sebagai berikut:

dengan O sebarang titik di bidang dan A, B dipilih sehingga OA = a dan OB = b.

 Hasil kali skalar a dan b adalah bilangan riil yang dinyatakan oleh:

(15)

 Besaran bcos dapat dipandang sebagai komponen dari b dalam arah a, ditulis kompa b = bcos.

(16)

 Hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk:

a . b = a komp_a b atau

a . b = b komp_b a

(17)

 Sifat-sifat perkalian skalar

1. a . b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau  = 90⁰. 2. a . b = b . a

3. a . (b + c) = a . b + a . c

4. a . (kb) = (kb) . a = k (a . b) 5. a . a = a2

6. Apabila a = a₁i + a₂j dan b = b₁i + b₂j, maka a . b = a₁b₁ + a₂b₂.

(18)

CONTOH SOAL

1. Tentukan b sehingga u = (8,6) dan v = (3,b) saling tegak lurus.

(19)

PENYELESAIAN

 Sifat perkalian vektor nomor 1 dan nomor 6 u = 8i + 6j

v = 3i + bj

u.v = (8.3) + (6.b) ; sifat nomor 6

= 24 + 6b

24 + 6b = 0 ; sifat nomor 1 6b = -24

b = -4

(20)

CONTOH SOAL

2. Misalkan sebuah balok diberi gaya seperti pada gambar berikut:

Tentukan besar dan arah resultan gaya yang bekerja pada balok!

(21)

PENYELESAIAN

 Untuk menentukan besar resultan vektor dari dua buah vektor berikut arahnya akan lebih mudah

dipahami dengan menseketsa (panjang vektor tidak perlu diukur) terlebih dahulu membentuk jajaran genjang

(22)

PENYELESAIAN

 Berdasarkan gambar pada soal, sudut apit kedua vektor (α) = 60^o

(23)

PENYELESAIAN

 Arah vektor resultan (θ) dapat ditentukan dengan rumus:

(24)

PENYELESAIAN

 Jadi :

Total gaya (resultan gaya) pada balok adalah 6,08 N memiliki arah 34,75^o terhadap F1.

(25)

LATIHAN SOAL

1. Tiga buah vektor gaya seperti pada gambar berikut:

Lukiskan vektor resultan dari F1 + F2 + F3 dengan metode:

a. Segitiga

b. Jajaran genjang

(26)

LATIHAN SOAL

2. Seseorang berjalan ke arah 37^o dari barat ke utara sejauh 10 meter kemudian berbelok ke timur dan berjalan sejauh 8 m.

a. Lukiskan pergerakan orang tersebut menjadi dua vektor perpindahan (sebelum dan setelah belok)!

b. Lukis resultan dua vektor tersebut dengan metode segitiga. Tanpa melakukan pengukuran, perkirakan apakah nilai resultannya lebih besar dari dua

vektor yang diresultankan?

(27)

LATIHAN SOAL

2. Seseorang berjalan ke arah 37^o dari barat ke utara sejauh 10 meter kemudian berbelok ke timur dan berjalan sejauh 8 m.

c. Berapakah sudut apit dua vektor perpidahan tersebut?

d. Dengan menggunakan rumus cosinus tentukan resultan perpindahan orang tersebut!

e. Dengan rumus sinus tentukan pula arah perpindahannya!

(28)

LATIHAN SOAL

3. Perahu motor bemaksud menyebragi sungai yang aliran airnya memiliki kecepatan 3 m/s. Perahu yang memiliki kecepatan 4 m/s diarahkan tegak lurus

dengan aliran air. Tentukan resultan kecepatan

perahu dan arah gerak perahu terhadap arah aliran air!

4. Sebuah balok ditarik dengan gaya F1 = 8 N dan F2 = 10 N yang membentuk sudut apit 60^o.

Tentukan :

a. Resultan dua vektor tersebut dengan rumus cosinus!

b. Arah resultan gaya terhadap F1.