TUGAS MATEMATIKA DISKRIT GRAPH PLANAR DAN GRAPH BIDANG
Dosen Pengampu:
Dra. Susda Heleni, M.Pd.
Disusun Oleh:
Kelompok 7
1. Najwa Shalsa Nabilah (2205125028) 2. Afrina Damayanti (2205126122)
3. Dwirianti (2205135880)
4. M.Farhan Alfarizi (2205114133)
KELAS 4C
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU 2024
4.1 Pengertian Graph Planar dan Graph Bidang
Defenisi 4.1.1 = Sebuah graph disebut graph planar jika graph tersebut dapat digambar pada bidang datar sedemikian sehingga sisi sisinya hanya beririsan (berpotongan)titik titik akhirnya.
Defenisi 4.1.2 = Graph planar G yang digambarkan pada bidang sedemikian hingga tidak ada sisi sisinya saling beririsan (berpotongan)kecuali mungkin pada titik titik akhir sisi sisi tersebut disebut graph bidang (embedding) G.
Pada gambar 4.1 (a) dan 4.1 (b) adalah gambar graph bidang dan juga merupakan graph planar .sedangkangambar 4.1 (c )adalah graph planar tetapi bukan graph bidang. Sedangkan sisi sisi ad dan be dari G digambar saling berpotongan , begitu pula dengan sisi gj dan hi juga digambar saling berpotongan. Gambar 4.1 (c) merupakan graph planar karena dapat digambar pada bidang datar seperti gambar 4.2 berikut
hgedus
Gambar 4.2
*perlu dicatat bahwa ; graph bidang pasti graph planar , tetapi sebaliknya tidak berlaku
Defenisi 4.1.3 = Misalkan sebuah Graph , graph H disebut graph subdivisi dari G bila dan hanya bila graph H dibentuk dari G dengan cara menambah (menyisipkan) beberapa (mungkin nol) titik pada beberapa sisi G
Contoh (gambar 4.3)
Graph H dan 𝑯𝟏 pada gambar 4.3 adalah graph subdivisi dr G
Defenisi 4.1.4 = Graph𝐺1dan Graph 𝐺2 disebut Homeomorfik jika dan hanya jika 𝐺1 dan 𝐺2dapat diperoleh dari graph yang sa,a dengan jalan yang membuahkan titik titik baru berderajat dua pada sisi sisinya
Contoh (gambar 4.3)
Pada gambar 4.3 graph H Homeomorfik dengan graph 𝑯𝟏
4.2 Teorema Kurva Jordan dan Teorema Kuratowski
Apakah setiap Graph adalah Graph planar ? Untuk menjawab pertanyaan ini akan diperkenalkan dua teorema yaitu :Kurva Jordan dan Teorema Kuratowski . Kedua Teorema ini memberikan karakteristik dari graph graph yang tidak planar (non planar) .Kita tidak bermaksud untuk membuktikan kedua teorema ini namun secara intuitif teorema tersebut mudah untuk dipahami Teorema 4.2.1 = Teorema kurva Jordan : Misalkan j adalah sebuah kurva tertutup sederhana pada bidang datar D dan titik X terletak di interior j : titik y terletak di ekterior j . Jika dibuat sebuah kurva yang menghubungkan titik x dan y pada bidang D , maka kurva tersebut pasti memotong kurva j.
Contoh 4 :𝒌𝟓dan 𝒌𝟑.𝟑 adalah graph graph yang tidak planar (non planar)
Untuk menunjukkan 𝑘5 adalah grap nonplanar kita akan menggunakan teorema kurva Jordan . Perhatikan gambar 𝑘5 berikut :
Pandang Graph 𝑘5tersebut , graph tersebut memuat sikel C = (a,b,c,d,e,a) seperti tampak pada gambar 4.5 berikut :
Ada berapa sisi yang belum dihubungkan , yaitu ad,ac.be,bd dan ce Tanpa menghilangan sifat keumuman :
● Untuk menghubungan sisi ada= terdapat dia kemungkinan yaitu dihubungkan di dalam atau di luar sikel C .Kita misalkan sisi ad dihubungkan di dalam sikel C
● Sisi ac juga ada 2 kemungkinan bisa kia hubungkan di dalam atau d luar sikel C .Kita misalkan sisi ac dihubungkan di dalam ssikel C
● Sisi bd kita hubungkan di luar sikel C.(jika dlihat garis putus putus pada gambar 4.5 )
● Sisi be kita hubungkan di luar sikel C.(lihat garis putus putus pada gambar 4.5)
● Pandang sikel 𝐶1 = (𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑎)
Masih ada satu sisi lagi dari gambar 4.4 yang belum dihubungkan pada gambar 4.5 YAITU SISI CE. Dengan menggunakan teorema kurva Jordan titik c adalah titik interior dan titik e adalah titik ekterior . Bila kita hubungkan titik c dengan titik e maka sisi ce pasti memotong salah satu sisi dr sikel 𝐶1yaitu sisi adini berarti ,tidak mungkin menggambarkan graph 𝑘5pada bidang sedemikian hingga tidak ada sisi yang saling berpotongan .Dengan kata lain graph 𝑘5adalah graph non planar Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan graph 𝑘3,3non planar.Kuratowski menemukan bahwa setiap graph non planar memuat graph bagian yang isomorfik dengan subdivisi 𝑘3,3 atau 𝑘5.Kita sajikan teorema Kuratowski ini tanpa membahas buktinya.
Teorema 4.2.2 = Teorema Kuratowski : sebuah graph G non planar jika dan hanya jika G memuat sebuah graph bagian yang homeomorfik dengan graph 𝑘3,3dan𝑘5.
Secara sistematis karakterisasi geometric ini cukup baik , namun secara praktis sulit untuk dipakai , sebab sangat sulit menemukan apakah suatu graph tertentu memuat graph bagian yang homeomorfik dengan𝑘3,3atau𝑘5 . Pertanyaan yang muncul . Adakah karakterisasi secara aritmatik untuk menentukan apakah suatu graph tersebut planar / non planar ? Sampai saat sekarang , jawabannya “belum ada” .Namun usaha usaha ke arah tersebut sudah dilakukan seperti pada pembicaraan sebelumnya
Contoh 5 : Apakah graph berikut graph planar ? Mengapa ?
Penyelesaiannya : Graph tersebut non planar sebab menurut teorema Kuratowski memuat sebuah graph bagian homeomorfik dengan graph 𝑘3,3 yaitu :
4.3 Formula Euler
Definisi 4.3.1: Sebuah graph G membagi bidang menjadi beberapa daerah yang masing-masing disebut muka (face).
Lambang (notasi) muka disimbolkan dengan f. Himpunan semua "muka" graph bidang G dinotasikan dengan F(G).
Contoh 6: Perhatikan gambar 4.6 berikut !
Pada gambar 4.6 terdapat 9 titik, 14 sisi dan 7 muka yaitu f1, f2, f3, f4, f5, f6, dan f7. Jadi F(G) = {f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7} terdapat 4 sisi yang membatasi muka f1 yaitu ai, hi, gh dan ag, dengan demikian d(f1) = 4
Terdapat sisi yang membatasi muka f2 yaitu ai, bi dan ab, denga demikian d(f2) = 3 silahkan pembaca memeriksa bahwa:
d(f3) = 3, d(f4) = 4, d(f5) = 4, d(f6) = 3 dan d(f7) = 7
Teorema 4.3.1: Formula Euler. Jika G graph bidang terhubung, maka |V(G)| - |E(G)| +
|F(G)| = 2 Bukti:
Pembuktian teorema ini dapat dilakukan dengan induksi pada |E(G)|
Untuk |E(G)|=0, diperoleh |V(G)| =1 dan |F(G)= 1 sehingga |V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 1- 0 +1
= 2 benar
Asumsikan pertanyaan berikut benar: jika G graph bidang terhubung dengan |E(G)| = k ≥ 1 , maka |V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 2
Akan ditunjukkan pernyataan itu juga benar untuk |E(G)| = k + 1 artinya akan ditunjukkan benar jika G graph bidang tertubung dengan | |E(G)| = k + 1 maka |V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 2 Misalkan G adalah sebuah graph bidang terhubung dengan k + 1 sisi. Terdapat dua kasus, dalanı hal ini : (1) G meraust sikel, (2) G tidak merauat sikel.
Kasus 1: G memuat sikel
Misalkan e adalah sebuah sisi di sikel yeng terdapat di G. Maka graph G1 = G - e merupakan graph bidang terhubung dengan k sisi. Berdasarkan asUmsi berlaku:
|V(G1)| - |E(G1)| - |F(G1)| = 2
Selanjutnya karena: |V(G1)| = |V(G)|
|E(G1)| = |E(G)| - 1 dan |F(G1)| = |F(G)| - 1
Maka |V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = |V(G1)| - |E(G1)+1| +|F(G1)|+1 = |V(G1)| - |E(G1)| - 1 + |F(G1)|+ 1 = |V(G1)|- |E(G1)| + |F(G1)|
= 2 Kasus 2: G tidak memuat sikel
Karena G graph terhubung dan tidak memuat sikel maka G pohon. Karena G pohon maka G memuat sebuah titik yang berderajat 1. Misalkan u adalah titik yang berderajat 1 di G. Maka graph H = G - u tetap merupakan pohon sehingga H graph bidang terhubung dengan k sisi.
Berdasarkan asumsi berlaku:
|V(H)| - |E(H)| + |F(H)| = 2 …(*) Karena: |V(H)| = |V(G)| -1 |E(H)| = |E(G)| - 1 |F(H)| = |F(G)|
Maka :
|V(G)| - |E(G)| + |F(G)|' = (|V(H)|+1) - (|E(H)|+1) + |F(H)|
= |V(H)| - |E(H)| + |F(H)| + 1 - 1 = |V(H)| - |E(H)| + |F(H)| = 2 Dengan demikian teorema terbukti.
Contoh 7: Mungkinkah menggambar sebuah graph bidang terhubung y mempunyai 50 titik, 54 sisi dan 7 muka.
penyelesaian:
Berdasarkan formula Euler jika G graph bidang terhubung maka:
|V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 2 Dengan demikian
|V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 50 - 54+7= 3 ≠ 2 Jadi tidak mungkin menggambarkan sebuah graph bidang terhubung dengas 50 titik, 54 sisi dan 7 muka.
Catatan: Formula Euler tidak berlaku untuk graph bidang tak terhubung.
Misalnya: untuk graph bidang tak terhubung G pada gambar 4.7 berikut.
Pada gambar 4.7: |V(G)| = 5, |E(G)| = 4 dan |F(G)| = 2 sehingga: |V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 5 – 4 + 2 = 3 ≠ 2
Teorema 4.3.2: Jika G graph sederhana planar dengan |E(G)| >1 maka |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6 Bukti:
Ditinjau dua kasus: G terhubung atau tidak terhubung.
Kasus 1: G Graph terhubung
Misalkan: G1 = embedding G. Jelas bahwa |V(G1)| = |V(G)| dan |E(G1) | = |E(G), karena G1 isomorfik dengan G.
Jika |E(G)| = 2, maka |V(G)| = 3 (karena G sederhana dan terhubung). Sehingga:
|E(G)| = 2 ≤ 3 = 3|V(G)| - 6 jika |E(G)| ≥ 1 maka |E(G1)| ≥ 3
Karena G1 sederhana dan |E(G1)| ≥ 3 , d(f) ≥ 3 , ∨f∈F(G1) Dengan demikian d(f) ≥ 3)...( )
Kedua ruas dari pertidaksamaan ( ) diberi sigma v f ∈F(G1) , maka diperoleh ∑d(t) ≥ 3|f(G1)| ...(1)
f∈F(G1)
Karena setiap sisi G1 membatasi paling banyak dua muka, ∑d(f) ≤ 2|E(G1)|...(2)
f∈F(G1)
Dari (1) dan (2) diperoleh: 3|F(G1)| ≤ 2 |E(G1)| ...(3) Dari teorema 4.3.1 diperoleh:
|F(G1)| = 2 + |E(G1)| - |V(G1)|
sehingga (3) menjadi: 3(2 + |E(G1)| - |V(G1)|) ≤ 2|E(G1)|
6 + 3|E(G1)| - 3|V(G1)| ≤ 2|E(G1)|
ekivalen dengan: | E(G1) ≤ 3|V(G1)| - 6
Karena |E(G1)| = |E(G)| dan [V(G1)| = |V(G)|, maka: |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6 Jadi teorema terbukti untuk kasus G graph terhubung.
Kasus 2: G graph tak terhubung
Karena G grap tak terhubung, maka Gterdiri dari beberapa komponen. Misalkan k komponen.
Misalkan G1 G2,...,Gk adalah komponen-komponen G dimana k ≥ 2 Karena G planar, vi ,1 ≤ i ≤ k ,Gi terhubung dan planar.
Misalkan dari k komponen tersebut, terdapat k1. komponen yang masing-masing komponen berisi satu titik (nol sisi), k2 komponen yang masing-masing komponen berisi satu sisi (dua titik), dan k3 komponen yang masing-masing berisi lebih dari satu sisi.
Jelas bahwa:
k1+ k2 + k3 = k
Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan:
|E(G1)| = 0, vi, 1 ≤ i ≤ k1
|E(G1)| = 1, vi, k1 + 1 ≤ i ≤ k1+ k2
|E(G1)| ≥ 2, vi. k1 + k2 + 1 ≤ i ≤ k
selanjutnya kita tinjau dua sub kasus, yaitu k3 = 0 dan k3 ≥ 1 Sub kasus 2.1 : k3 = 0
Delam hal ini, |V(G)| = k1+ 2k2 , dan |E(G)| = k2
Karena k3= 0 dan |E(G)| ≥ 0 diperoleh:
|E(G)| = k2 ≤ 6k2 - 6 + 3k1 = 3(k1 + 2k2) - 6 = 3|V(G)| - 6 Sub kasus 2.2: k3= 0(k3 ≥1)
Dalam hal ini kita peroleh:
k1k1+ k2k
|E(G) = ∑|E(G1)| + ∑|E(G1)| + ∑|E(G1)|
i-k1+1 i-k1+k2+1 k
= 0 + k2 + ∑|E(G1)|
i-k1+k2+1
k
≤ k2+∑ ( 3|E(G1)| - 6)
i-k1+k2+1 k K
= k2 +∑3 |V(G1)| -∑6
i-k1+k2+1 i-k1+k2+1
= k2 + 3 ( |V(G)| - k1 – 2k2 ) – 6 (k – (k1 + k2))
= 3 |V(G)| - 3k1 – 6k2 – 6k + 6k1 + 6k2 + k2
= 3 |V(G)| - 6k + 3k1 + k2
= 3 |V(G)| - 6 + (6 – 6k + 6k1 + k2)
Kerena k3 ≥ 1(dan k1 ≥ 0, k2 ≥ 0) maka:
k1 ≥ 0 , maka 3k1 ≥ 0 k2 ≥ 0 , maka 5k2 ≥ 0 k3 ≥ 1 , maka 6k3 ≥ 6
Sehingga 3k1+ 5k2 + 6k3 ≥ 6 Karena k3 = k - k1 - k2 diperoleh:
3k1 + 5k2 + 6(k - k1 - k2) ≥ 6 3k1 + 5k2 + 6k - 6k1 - 6k2 - 6 ≥ 0
-3 k1 - k2 + 6k - 6 ≥ 0 (kedua ruas dikali -1) 6 - 6k + 3k1 + k2 ≤ 0
maka diperoleh Jadi,
| E(G) ≤ 3|V(G)| - 6 + (6 - 6k + 3k1 + k2 ≤ 3|V(G)| - 6) Dengan demikian lengkaplah bukti teorema Terbukti
Teorema 4.3.3 Jika graph planar sederhana, maka △ (𝑮) ≤ 𝟓 Bukti:
Untuk |E(G)|= 1 atau |E(G)|=0, jelas pertanyaan di atas benar. Sekarang, misalkan |E(G)|>1 Karena G planar dan sederhana, maka menurut teorema 4.3.2 berlaku:
|E(G)|≤ 𝟑 |V(G)|- 6 …(*)
Andaikan △ (G) 5. Ini berarti ∀ ∨ ∈ 𝑉(𝐺), 𝑑(𝑉) ≥ 6 Sehingga menurut “Lemma Jabat Tangan”,
∑∨ ∈𝑉(𝐺)𝑑(𝑉) = 2 |E(G)|atau
|E(G)| = 1
2∑∨ ∈𝑉(𝐺)𝑑(𝑉)
≥1
2 6 |V(G)|= 3 |V(G)|
3 |V(G)|- 6 Kontradiksi dengan (*) Jadi pengandaian △ (G) >5 salah.
Dengan demikian haruslah △ (G) >5 Terbukti
4.4 Ketebalan Dari Sebuah Graph
Defenisi 4.4.1 : Ketebalan (trickness) dari sebuah graph G adalah minimum dari bilangan yang menyatakan banyaknya graph bagian graph bagian planar dari G yang gabungannya sama dengan G
Ketebalan dari sebuah graph G dinotasikan dengan ∅ (G)
Defenisi 4.4.2 : Gabungan dari dua graph G dan H, ditulis G⋃H, adalah graph yang himpunan titiknya V(G) ⋃ V(H) dan himpunan sisinya E(G) ⋃ E(H)
Contoh 8: ∅𝑘5 adalah 2
Contoh 9: ∅𝑘3.3 adalah 2
Catatan: Setiap graph planar G mempunyai ketebalan 1. Menentukan nilai (G) untuk seberang graph G, sampai dewasa ini belum ada formula eksak untuk ∅ (G), kecuali mungkin untuk graph-graph G tertentu. Tetapi, dengan menggunakan teorema sebelumnya, dengan mudah dapat ditentukan bahas bahwa dari ∅(G) untuk sebarang graph sederinare G
Teorema 4.4.1 Jika G graph sederhana dengan |V(G)| ≠ 2, maka:
∅(G) = [3|V(G)|−5|E(G)| ]
Bukti:
1. Untuk |V(G)|=1 diperoleh |E(G)|=0 dan ∅(G)=1, sehingga:
∅(G) = 1 ≥ [ |E(G)|
3|V(G)|−6] 2. Untuk |V(G)| ≥ 3
Karena setiap subgraph dari G mempunyai paling banyak 3 |V(G)| - 6 sisi (teorema 4.3.2) sedangkan banyaknya sisi G adalah |E(G)|, maka banyaknya graph bagian planar ( subgraph planar) dari G yang gabungannya dengan G paling sedikit [ |E(G)|
3|V(G)|−6] Karena ∅(G) bilangan bulat, maka ∅(G) ≥ [ |E(G)|
3|V(G)|−6] Terbukti Catatan:
1. Untuk graph komplit 𝑘𝑛 dengan titik n titik, n≠2 mempunyai banyak sisi n (n-1), diperoleh
∅(𝑘𝑛)= [
𝑛 (𝑛−1) 2
3𝑛−6] = [
𝑛 (𝑛−1)
2 +3 9𝑛−2)−1 3𝑛−6 ]
= [(𝑛−7)(𝑛−2)
6(𝑛−2) ]
= 𝑛−7
6
2. Untuk n ≠ 4, oleh Beineke ditunjukkan bahwa ketebalan dari graph komplit sebagai berikut:
∅(𝑘𝑛)= 𝑛−7
6
3. Untuk graph sederhana G yang tidak memuat sikel dengan Panjang 3 memenuhi hubungan berikut:
|E(G)|
≤ |V(G)|-4, sehingga graph bipartisi komplit𝑘𝑚.𝑛 memenuhi hubungan berikut:
∅ (𝑘𝑚.𝑛) ≥ [ 𝑚𝑛
2(𝑚+𝑛−2)] 4.5 Graph Dual
Defenisi 4.5.1: Misal G graph bidang kontruksi sebuah graph G* sedemikian hingga:
i. Setiap titik G* berkorespondensi dengan sebuah muka dari 0
ii. Jika sebuah sisi e membatasi muka 𝑓1dan 𝑓2 di G maka titik-titik G* yang berkorespondensi dengan𝑓1dan 𝑓2 dihubungkan dengan sebuah sisi.
Graph G* yang dikonstruksi seperti ini disebut graph dual dari G (graph sejodoh) dari G Contoh 10:
Graph G pada gambar diatas yang digambar “tebal”. Sedangkan dual dari G (G*) adalah graph yang Digambar dengan garis putus-putus.
Berdasarkan uraian di atas, terdapat korespondensi satu-satu antara unsur-unsur graph G dan G*
sebagai berikut:
a. Sebuah muka G berkorespondensi dengan sebuah titik G*. Akibatnya |F(G)|= |V(G*)|
b. Sebuah sisi G berkorespondensi dengan sebuah sisi G*. Jadi |E(G)|= |E(G*)|
c. Sebuah muka berderajat k di G berkorespondensi dengan sebuah titik berderajat di G*
sehingga:
∑ 𝑑(𝑓) = ∑ 𝑑(𝑉)
𝑣𝐺 𝑉(0∗) 𝐺𝐹(0)
(dengan catatan G tidak memuat loop dan titik berderajat satu)
d. Sebuah sisi yang terkait dengan sebuah titik yang berderajat satu di G. Berkorespondensi dengan sebuah gelung(loop)di G*
e. Sebuah titik berderajat dua di G, berkorespondensi dengan sepasang sisi rangkap di G*
Jika G dan H adalah dua graph planar yang isomorfik maka belum graph G* dan graph H*
isomorfik
Contoh 11:Graph G dan H berikut isomorfik
Perhatikan bahwa G* memuat sebuah titik berderajat 5 sedangkan H8 tidak memuat titik berderajat 5. Jadi G* dan H* tidak isomorfik.
Defenisi 4.5.2: Sebuah graph planar yang isomorfik dengan dualnya disebut graph dual diri (self dual graph)
Contoh 12:
Hubungan antara banyaknya sisi dan banyaknya titik dari sebuah graph dual diri dapat dilihat pada teorema berikut:
Teorema 4.5.1 Jika G* adalah dual diri graph planar G dan G ≡ G* maka:
|E(G)|= 𝟐|V(G)|-1 Bukti:
Karena G ≡ G* maka g terhubung, karena G graph planar dan terhubung maka menurut teorema Euler berlaku:
|V(G)| -|E(G)|+|F(G)|=2 …(1)
Karena G* adalah dual diri graph G, maka:
|F(G)|=|V(G*)| …(2)
Karena G isomorfik dengan G* (G ≡ G*) maka:
|V(G)|=|V(G*)| …(3)
Persamaan 3 dan 2 disubstitusikan ke persamaan (1) maka diperoleh:
|V(G)| -|E(G)|+|F(G)|=2
|V(G)| -|E(G)|+|F(G*)|=2
|V(G)| -|E(G)|+|F(G)|=2 2|V(G)| -|E(G)|=2
|E(G)|= 2 |V(G)| -2 = 2 (|V(G)| - 1) Terbukti
4.6 Graph Polyhedral
Definisi 4.6.1:Bangun ruang dimensi 3 yang dibatasi oleh permukaan-permukaan yang berupa bidang datar polygonal (bidang datar segi-n, 𝑛 ≥ 3) disebut polyhedron.
Definisi 4.6.2: Jika setiap dua titik interior polyhedron di hubungkan dengan sebuah ruas garis dan ternyata keseluruhan ruas garis tersebut terletak di interior polyhedron tersebut disebut polyhedron konveks.
Definisi 4.6.3: Polyhedron konveks yang setiap permukaannya berupa bidang-bidang datar polygonal beraturan yang kogruen disebut polyhedron beraturan.
Contoh 13: Balok adalah Polyhedron dan kubus adalah polyhedron beraturan.
Titik-titik dan sisi-sisi adalah polyhedron (skeleton) membentuk sebuah graph sederhana di ruang dimensi 3. Jika polyhedron ini konveks, maka kerangkanya (skeleton) berupa graph bidang (planar) sederhana dan terhubung yang disebut graph polyhedral.
Dalam graph polyhedral, derajat setiap titik paling sedikit 3 dan derajat setiap muka paling sedikit 3,begitu pula derajat.
Contoh 14:
Berikut akan diperlihatkan ada 5 macam polyhedron beraturan
Misalkan G adalah graph bidang (planar). Derajat dari setiap titik G adalah adalah 𝑘 ≥ 3dan derajat dari setiap muka G adalah 𝑚 ≥ 3. Menurut lemma jabat tangan, diperoleh:
∑𝑣∈𝑉𝑑(𝑣) = 2|𝐸(𝐺)| atau
|𝐸(𝐺)| =1
2∑ 𝑑(𝑣)
𝑣∈𝑉
= 1
2 ∑ 𝐾
𝑣∈𝑉(𝐺)
|𝐸(𝐺)| =1
2𝑘|𝑣(𝐺)|…..(1)
Karena setiap sisi membatasi tepat dua muka maka:
∑𝑓∈𝐹(𝐺)𝑑(𝑓)= 2|𝐸(𝐺)|…….(2)
Karena d ( f ) = m, ∀𝑓 ∈ (𝐺)𝑑𝑎𝑛 |𝐸(𝐺)| =1
2𝑘|𝑉(𝐺)|maka diperoleh:
∑𝑓∈𝐹(𝐺)𝑑(𝑓)= 2|𝐸(𝐺)|
∑𝑓∈𝐹(𝐺)𝑚= 21
2𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚|𝐹(𝐺)| = 𝑘|𝑉(𝐺)|
|𝐹(𝐺)| =𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚 …..(3)
Menurut teorema Euler:
- |𝑉(𝐺)| − |𝐸(𝐺)| + |𝐹(𝐺)| = 2…..(4) Dari persamaan (1), (3) dan (4) diperoleh:
|𝑉(𝐺)| − |𝐸(𝐺)| + |𝐹(𝐺)| =2
|𝑉(𝐺) −1
2𝑘|𝑉(𝐺)| +𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚 | = 2
2𝑚|𝑉(𝐺| − 𝑘𝑚|𝑉(𝐺)| + 2𝑘|𝑉(𝐺)|
2𝑚 = 2
|𝑉(𝐺)|{(2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘)} = 4𝑚
|𝑉(𝐺)| = 4𝑚 2𝑚 − 𝑘𝑚 − 2𝑘
Karena |𝑉(𝐺)| > 0𝑑𝑎𝑛4𝑚 > 10,maka:
Persamaan ( 5 ) menjadi:
2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘 > 0
(𝑘 − 2)(𝑚 − 2) < 4 ...(6)
Karena k dan m bilangan bulat dengan 𝑘 ≥ 3dan 𝑚 ≥3, maka kemungkinan semua nilai-nilai k dan m yang memenuhi (6) adalah:
K=3 dan m=3 atau K=4 dan m=4 atau K=3 dan m=5 atau K=4 dan m=3 atau K=5 dan m=3
Karena hanya ada 5 kemungkinan nilai-nilai k dan m, maka terbukti hanya ada 5 graph polyhedron beraturan.
1) Untuk k=3 dan m=3, diperoleh :
|𝑉(𝐺)| = 4𝑚 2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘
= 4 ∗ 3
2(3) − 3(3) + 2(3)= 4
|𝐸(𝐺)|1
2𝑘|𝑉(𝐺)|
=1
2× 3(4) = 6
|𝐹(𝐺)| =𝐾|𝑉(𝐺)|
𝑚 3 × 4
3 = 4
Sehingga diperoleh polyhedron beraturan yang disebut Tetrahedron.
2) Untuk k=3 danm=4, diperoleh:
|𝑉(𝐺)| = 4𝑚 2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘
4 × 4
2(4) − 3(4) + 2(3)= 8
|𝐸(𝐺)| =1
2𝑘|𝑉(𝐺)|
1
2× 3(8) = 12
|𝐹(𝐺)| =𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚
3×8 4 =6
Sehingga diperoleh polyhedron beraturan yang disebut kubus.
3) Untuk k=3 dan m=5 , diperoleh:
|𝑉(𝐺)| = 4𝑚 2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘
4 × 5
2(5) − 3(5) + 2(3)= 20
|𝐸(𝐺)| =1
2𝑘|𝑉(𝐺)|
1
2× 3(20) = 30
|𝐹(𝐺)| =𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚
3×20 5 = 12
Sehingga diperoleh polyhedron beraturan yang disebut dodecahedron.
4) Untuk k=4 dan m=3, diperoleh:
|𝑉(𝐺)| = 4𝑚 2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘
4 × 3
2(3) − 4(3) + 2(4)= 6
|𝐸(𝐺)| =1
2𝑘|𝑉(𝐺)|
1
2× 4(6) = 12
|𝐹(𝐺)| =𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚 4 × 6
3 = 8
Sehingga diperoleh polyhedron beraturan yang disebut oktaahedron.
5) Untuk k=5 dan m=3, diperoleh:
|𝑉(𝐺)| = 4𝑚 2𝑚 − 𝑘𝑚 + 2𝑘
4 × 3
2(3) − 5(3) + 2(5)= 12
|𝐸(𝐺)| =1
2𝑘|𝑉(𝐺)|
1
2× 5(12) = 30
|𝐹(𝐺)| =𝑘|𝑉(𝐺)|
𝑚
5 × 12 3 = 20
Sehingga diperoleh polyhedron beraturan yang disebut isocahedron.
