Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Plannar dan Graf Dual

Representasi Graf,

Graf Isomorfik,

Graf Planar dan

MATERI

Representasi Graf

Representasi Graf

Graf

Isomorfik

Graf

Isomorfik

Graf

Planar dan Graf

Bidang

Graf

Planar dan Graf

Bidang

Graf Dual

Graf Dual

Representasi

Graf

Terdapat beberapa macam representasi graf. Namun di sini hanya diberikan

tiga macam representasi yang sering digunakan, yaitu matriks ketetanggaan,

matriks bersisian dan senarai ketetanggaan.

1. Matriks Ketetanggaan (Adjacency

Matrix)





Matriks ketetanggan menyatakan ketetanggaan simpul-simpul di dalam

graf. adalah matriks dwimatra yang berukuran . Misalkan

,

adalah graf dengan simpul,

1. Bila matriks tersebut

dinama

G

n

n

G

V E

n

n







ij ij ij

kan A = [a ], maka a = 1 jika simpul dan bertetangga,

sebaliknya a = 0 jika simpul dan

tidak bertetangga.

i

j

1 3 4 2 1 4 3 2 5 1 2 3 4 Matriks ketetanggaannya

simetri Matriks ketetanggaannya simetri

Matriks

ketetanggaannya tidak simetri

Matriks ketetanggaan dinamakan juga matriks nol-satu karena pada matriks

tersebut hanya berisi dari nol dan satu. Selain angka 0 dan 1 elemen matriks

juga dapat dinyatakan dengan nilai

false

(menyataka

n 0) dan

true

(menyatakan 1).

1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 0 1 1 0             1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 3 1 1 0 1 0 4 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0                 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 3 1 0 0 0 4 0 1 1 0             1 2 3 4

1 2 3 4 e4 e7 e6 e2 e1 e5 e3 e8 Matriks ketetanggaannya simetri 1 0 1 2 0 2 1 0 1 1 3 2 1 1 2 4 0 1 2 0             1 2 3 4

Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah elemen matriksnya

dapat diakses langsung melalui indeks. Selain itu, kita juga dapat menentukan

dengan langsung apakah simpul dan simpul

i

j

bertetangga.

2

Jumlah elemen matriks

ketetanggan untuk graf

dengan n simpul adalah .

n

1

1

Derajat tiap simpul dapat dihitung dari matriks ketetanggan.

Untuk graf tak-berarah, ( )

Sedangkan untuk graf berarah, ( ) jumlah nilai pada kolom =

n i ij j n j ij i

i

d v

a

d v

j

a

 









1

( ) jumlah nilai pada baris =

_i n _ij

j

d v

i

a



Contoh

1 3 4 2 1 4 3 2 5

Berdasarkan gambar disamping,

tentukan derajat simpul 2 dan derajat simpul 4 ! Jawab :

Derajat simpul 2 = 1 0 1 1 3 Derajat simpul 4 = 0 1 1 0 2

       

Berdasarkan gambar disamping,

tentukan derajat simpul 4 dan derajat simpul 5 ! Jawab :

Derajat simpul 4 = 0 0 1 0 0 1 Derajat simpul 5 = 0 0 0 0 0 0

         

Contoh

a b c d e 10 12 9 14 15 ₁₁ 8 1 2 3 4

Berdasarkan gambar disamping, tentukan derajat simpul 2 ! Jawab : Derajat-masuk simpul 2 = 1 0 0 1 2 Derajat-keluar simpul 2 = 1 0 1 1 3         12 10 12 9 11 8 9 14 11 14 15 10 8 15 a b c d e       _          _{ }         a b c d e

Di bawah ini merupakan gambar graf berbobot.

Tanda menyatakan bahwa tidak ada sisi dari simpul ke simpul atau dari simpul

ke simpul itu sendiri, sehingga dapat diberi nilai tak hingga.

ij i j i i a 

2. Matriks Bersisian (Incidency Matrix)

Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi.

Matriks bersisian G adalah matriks dwimatra yang berukuran n m .

Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukkan label sisi.

Bila matriks tersebut dinamakan

, maka = 1 jika simpul bersesuaian

dengan sisi , sebaliknya = 0 jika simpul

ij ij ij

A

a

a

i

j

a

i

 

  

tidak bersisian dengan sisi .

Matriks bersisian dapat digunakan untuk mempresentasikan graf yang mengandung

sisi ganda atau sisi gelang.

2 e4 1 3 4 e6 e2 e1 e5 e3

Di bawah ini diperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang direpresentasikannya. Maka jumlah elemen matriks bersisian

tersebut adalah 4 6  24 elemen.

1 1 1 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 0 3 0 0 1 1 1 0 4 0 0 0 0 1 1             1 2 3 4 5 6 e e e e e e

3. Senarai Ketetanggaan (Adjacency

list)

1 3 4 2 1 4 3 2 5 1 2 3 4

Kelemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah sisi relatif

sedikit atau bersifat jarang ( ), yaitu banyak mengandung banyak elemen

nol, sedangkan elemen yang bukan nol sedikit.

sparse

Ditinjau dari implementasinya di dalam komputer, kebutuhan ruang memori untuk matriks jarang boros

karena komputer menyimpan elemen 0 yang tidak perlu.

Senarai ketetanggaan: 1: 2, 3 2: 1, 3, 4 3: 1, 2, 4 4: 2, 3 Senarai ketetanggaan: 1: 2, 3 2: 1, 3 3: 1, 2, 4 4: 3 5: -Senarai ketetanggaan: 1: 2 2: 1, 3, 4 3: 1 4: 2, 3

Graf Isomorfik

(Isomorphic

Graph)

1 2

Dua buah graf, dan

dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi

satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya

sedemikian sehingga jika sisi bersisian dengan simpul

G

G

e

u

₁

2 2

dan di ,

maka sisi ' yang berkorespon di

juga harus bersisian dengan simpul

' dan ' di .

v

G

e

G

u

v

G

Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan

simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat

digambarkan dalam banyaknya cara.

3 2 1 4 d c b a v w x y 1 2 1 2

Pada gambar diatas, isomorfik dengan . Simpul 1, 2, 3, dan 4 di

berkoresponden dengan simpul a, b, c, dan d di .

Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4) dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (

G

G

G

G

a

1 2 1 2 3 3

, ),

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ). Semua simpul di dan

berderajat 3.

maupun

tidak isomorfik dengan , karena simpul-simpul di

dua buah berderajat dua dan dua buah lagi berderajat tig

b

b c

c d

a d

a c

b d

G

G

G

G

G

G

1 2

a, sedangkan

simpul-simpul di dan

G

G

semua berderajat tiga.

1

Contoh lain graf yang isomorfik.

Dari definisi isomorfik kita menyimpulkan dua buah isomorfik memenuhi

ketiga syarat berikut:

1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.

2. Mempunyai jumlah sisi yang sama.

u x v w y (a) (b)

Namun ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin keisomorfikan.

Contohnya sebagai berikut.

Dua buah graf di atas memenuhi ketiga syarat yang telah disebutkan

sebelumnya. Padahal keduanya tidak isomorfik. Di ( ) terdapat dua

simpul anting-anting (berderajat 1) yang bertetangga dengan simpul

a

, sedangkan di ( ) hanya terdapat satu buah simpul anting-anting

yang bertetangga dengan . Itulah sebabnya kedua graf di atas tidak

isomorfik.

x

b

Contoh

d c e g h f b a s r t v w u q p

Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

. Karena tidak ada korespodensi satu-satu antara simpul pada kedua graf. Tinjau misalnya simpul , simpul bertetangga degan dua buah simpul berderajat 2 ( dan ) dan sebuah simpul be

Tidak isomorfik

d d

a c rderajat 3 ( ). Graf

disebelah kanannya tidak mempunyai simpul yang berkoresponden dengan (jika dianggap sebagai simpul yang berkoresponden dengan , maka ini

jelas tidak benar, sebab bertetangg

h

d

s d

s a dengan sebuah simpul berderajat 2 ( )

dan dua buah simpul berderajat 3 ( dan ).

r p w

Contoh

s r t a u q p f e d b c

Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

, . Karena terdapat koresponden satu-satu antara simpul pada

graf sebelah kiri dengan simpul-simpul pada graf sebelah kanan, yaitu: berkoresponden dengan ; berkorespon Iya isomorfik a u b den dengan ; berkoresponden dengan ; berkoresponden dengan ; berkoresponden dengan ; berkoresponden dengan ; q c r d s e p f t

b c a d e v z w x y SAMA

Kedua graf tersebut isomorfik

Untuk memperlihatkan bahwa dua buah graf isomorfik, kita dapat menunjukkan bahwa matriks ketetanggan kedua graf itu sama.

0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 a b c d e                 Matriks ketetanggaannya 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 w x y v z                 a b c d e Matriks ketetanggaannya w x y v z

Contoh

Apakah graf sederhana yang disajikan oleh pasangan matriks ketetanggaan di bawah ini isomorfik? Jelaskan jawaban, lalu gambarkan grafnya!

0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0             0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0             1 2 Jawab:

Keduanya tidak isomorfik karena jumlah sisi pada graf pertama dan graf kedua tidak sama. Graf pertama ( ) mempunyai 4 buah sisi, sedangkan graf kedua ( ) mempunyai 5 buah sisi.

G G

1

Graf Planar dan

Bidang

Graf yang 'dapat digambar' tanpa terjadinya perpotongan antar dua sisi

disebut graf planar. Jika tidak disebut graf tak-planar.

Graf planar yang 'digambarkan' tanpa ada perpotongan antar sisi

disebut graf bidang.

Graf bidang pasti merupakan graf planar, tapi graf planar

belum tentu graf bidang.

Contoh

4

Graf K adalah Graf Planar

6

Contoh

E H₁ H₂ H₃ H₁ H₂ H₃ G W W G E 1 2 3

Terdapat tiga buah rumah

,

, dan

, masing-masing dihubungkan

tiga buah utilitas -air( ), gas( ), dan listrik( )- dengan alat pengantar

(pipa, kabel, dsb). Mungkinkah membangun utilitas sehingga

H H

H

W

G

E

tidak ada

pengantar yang saling berpotogan?(sebab kalau berpotongan dikhawatirkan

timbul masalah yang serius, misalnya bila kabel listrik berpotongan dengan

pipa gas dapat terjadi ledakan)

3,3

Contoh

Gambarkan graf planar di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang

berpotongan (menjadi graf bidang).

Jawab:

Rumus

Euler

Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah

(

atau

).

Jumlah wilayah pada bidang datar termasuk wilayah luar.

Jumlah wilayah pada graf planar sederhana dapat dihitung d

region

face

engan rumus,

2

atau

2

yang dalam hal ini,

= jumlah simpul

= jumlah sisi

n e

f

f

e n

n

e

  

  

Contoh

R1 R5 R3 R2 R4 R6

Tentukan jumlah wilayah pada graf planar berikut!

Jawab:

2 11 7 2

6

Jadi, jumlah wilayahnya = 6

Contoh

Misalkan graf sederhana planar dan terhubung memiliki 24 buah simpul,

masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut

membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak

wilayah yang terbentuk?

Jawab:

Diketahui = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul adalah 24 4 = 96.

Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2 jumlah sisi, sehingga

jumlah derajat

96

Jumlah sisi ( ) =

=

= 48.

2

2

Dari ru

n

e





mus Euler, -

2, sehingga

2

2 - 24 48

26

n e

f

f

jumlah wilayah

n e

buah

 













Ketidaksamaan

Euler

Setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh tiga atau lebih sisi. Jadi, total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 3 . Tetapi, karena suatu sisi barada pada batas paling banyak dua wilayah, mak

f

a total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2 . Jadi,

2

2 3 atau

3

dari rumus Euler, - 2

2 sehingga: 2 3 2 1 - 2 - - 2 3 3 1 - 2 3 6 (ketidaksamaan Euler) 3 e e e f f f e n e e n e e n e n e n e n                 

Suatu graf dikatakan planar jika memenuhi ketidaksamaan Euler.

Jika tidak memenuhi maka graf dikatakan tidak planar.

K₄

Contoh

4

Pada graf K berikut,

4,

6. Tentukan apakan graf tersebut

memenuhi ketidaksamaan Euler?

n



e



4

Jawab:

3 - 6 3(4) - 6 6

karena

6, maka graf K dikatakan memenuhi

ketidaksamaan Euler

3 - 6. Maka graf tersebut merupakan graf plannar

n

e

e

n









Contoh

K₅

5

Pada graf K berikut,

5,

10. Tentukan apakah graf di bawah ini

memenuhi Ketidaksamaan Euler?

n



e



5

5

Jawab:

3 - 6 3(5) - 6 9

Karena

10 9, maka graf K dikatakan

tidak memenuhi Ketidaksamaan Euler

3 - 6.

Artinya graf K tidak planar.

n

e

e

n











Perlu diketahui bahwa Ketidaksamaan Euler

merupakan

; 'bukan'

.

Artinya jika suatu graf memenuhi Ketidaksamaan Euler,

maka belum tentu graf tersebut planar.

K_3,3

Contoh

3,3

Pada graf bipartit K berikut,

6,

9. Tentukan apakah graf tersebut

memenuhi Ketidaksamaan Euler?

n



e



3,3

Jawab:

3 - 6 3(6) - 6 12

Didapat

9 12. Walaupun memenuhi ketidaksamaan Euler,

kita telah mengetahui bahwa graf K bukan graf planar.

n

e





 

3,3

Untuk menunjukkan bahwa K bukan graf planar menurut

ketidaksamaan Euler, kita perlu membuat asumsi baru bahwa setiap wilayah

pada graf bidang dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi (4 ),

sehi

f

ngga berlaku ketidaksamaan:

2

4 atau

2

dari rumus Euler,

-

2

sehingga:

-

2

2

-

-

2

-

-

2

2

2

- 2

2 - 4

2

e

e

f

f

f

e n

e

e n

e

e

e

n

n

e

n

e

n















 







 

3,3 3,3

dengan demikian, graf

tidak memenuhi ketidaksamaan

2 - 4, karena

9;

6

9 2(6) - 4 8 (

)

hal ini berarti bahwa

bukan graf planar.

K

e

n

e

n

salah

K











Teorema

Kuratowski

Sifat graf Kuratowski:

1. Kedua jenis graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf kuratowski adalah graf tidak planar.

3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf kuratowski menyebabkan menjadi graf planar.

4. Graf kuratowski pertama adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum, sedangkan graf kuratowski keda adalah graf tidak planar

dengan jumlah sisi minimum. Keduanya adalah graf tidak planar paling sederhana.

5

Menurut Kuratowski terdapat 2 jenis graf tidak planar, yaitu: 1. Graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K ), adalah

graf tidak planar.

2. Graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi(K ) _3,3

f e d c a b G a b c d e f G₁ 5 3,3 1

Graf adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf

yang isomorfik dengan

atau

atau homoerfik dengan

satu dari keduanya.

Perhatikan graf berikut. Graf mengandung

yang isomor

G

K

K

G

G

3,3

fik

dengan graf

K

, jadi tidak planar.

G

d a e f a b c g d b c f G₁ G a b c d e f K3,3 e 1 3,3

v _x y K₅ G₁ G

Homeomorfi k

1 2

Dua graf G dan G dikatakan Homeomorfik jika salah satu dari kedua graf tersebut dapat diperoleh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan /atau membuang secara berulang-ulang simpul yang 'berderajat 2'.

2 1

3 2

Ketiga graf diatas adalah Homeomorfik satu sama lain. Graf G didapat dengan menghilangkan simpul pada G .

Sedangkan G didapat dari G dengan menambahkan simpul dan .

v

Contoh

4 2 1 6 5 ₃ 7 8 10 9 4 2 1 6 5 ₃ 7 8 9 4 2 1 6 5 ₃ 4 2 6 5 3 1

Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen di bawah ini tidak Planar!

Buatlah sebuah upagrafnya dengan membuang simpul-simpul berderajat 2.

2

1

Kita akan peroleh yang homeomorfik dengan .

G G

( ) Graf PetersenG _{( ) Upagraf dari G1 G}

2 1

( ) Homeomorfik dengan G G

3,3 2

Terapan Graf

Planar

Perhatikanlah bahwa teorema Kuratowski lebih mudah digunakan untuk menentukan bahwa sebuah graf tidak planar. Untuk membuktikan bahwa suatu graf planar relatif lebih sulit.

Terapan graf planar , yaitu persoalan utilitas dalam merancang jaringan pipa air, pipa gas, dan kabel listrik bawah tanah agar ketiganya tidak saling

bersilangan. Terapan graf planar lainnya adalah pada perancangan

integrated circuit (IC) pada sebuah papan. Kawat-kawat yang menghubungkan simpul-simpul IC harus dirancang sedemikian rupa agar tidak bersilangan, sebab persilangan dua buah kawat yang beraliran listrik dapat menimbulkan interferensi arus, yang mengakibatkan terganggunya fungsi IC tersebut.

Graf

Dual

Misalkan kita mempunyai sebuah graf planar yang direpresentasikan

sebagai graf bidang. Kita dapat membuat suatu graf bidang * yang secara

geometri merupakan dual dari graf tersebut dengan cara:

1.

G

G

Pada setiap wilayah atau muka (

) di , buatlah sebuah simpul *

yang merupakan simpul untuk *.

2. Untuk setiap sisi di , tariklah sisi * yang memotong sisi tersebut.

Graf yang ter

face f

G

v

G

e

G

e

e

bentuk dengan cara penggambaran demikian disebut graf dual

(

dual geometri

) dari graf .

G

v₁*

v₂*

v₃* e*

Sebuah graf memiliki dual hanya jika graf tersebut merupakan graf plannar.

e₇ e₆ e₅ e₄ e₂ e₃ e1 e₇ e₆ e₅ e₂ e₃ e1 e₄

Perhatikan dua representasi bidang yang berbeda dari graf

yang sama di bawah ini.

Telah nyata bahwa kedua graf di atas adalah isomorfik.

Lalu apakah graf dualnya juga akan isomorfik?

Perhatikan graf pertama di bawah ini.

Perhatikan graf pertama di bawah ini.

Dari kedua graf dual tersebut dapat kita gambar sebagai berikut.

Dari kedua graf dual di atas,

Demikian presentasi

dari kami

Semoga Bermanfaat