Pelabelan total ajaib sisi pada Graf Cycle - USD Repository

(1)

PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

Gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi

Pendidikan Matematika

Oleh :

Albertus Magnus Dony Putra Perkasa

NIM : 141414105

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)

i

EDGE MAGIC TOTAL LABELLING ON CYCLE SKRIPSI

Submitted As The Partial Fulfillment Of The Requirements To Obtain A Bachelor Of Education Degree

On Mathematics Education Study Program

By :

Albertus Magnus Dony Putra Perkasa

NIM : 141414105

MATHEMATICS EDUCATION STUDY PROGRAM

MAJORING IN MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES EDUCATION FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

(3)

(4)

(5)

iv

PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak memuat karya

atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan

daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 14 Januari 2019

Penulis,

(6)

v

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Albertus Magnus Dony Putra Perkasa

NIM : 141414105

Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada

Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYCLE

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya

maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya

sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenar-benarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 14 Januari 2019

Yang menyatakan

(7)

vi

Kata Kata Motivasi

Greget itu Prinsip

~Mad Dog~

Tidak Ada Skripsi Tanpa Revisi

~Dony Putra Perkasa~

Hidup Seperti Lary

(8)

vii

ABSTRAK

Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Graf merupakan himpunan pasangan dimana merupakan himpunan tak kosong titik dan merupakan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada . Elemen disebut titik atau vertex dan elemen disebut sisi atau

edge . Jika maka merupakan himpunan pasangan dimana dengan dan masing masing merupakan ujung dari , atau dengan kata lain menghubungkan titik dan titik . Setiap elemen pada dan elemen pada dapat diberikan label, dan dinamakan dengan pelabelan graf.

Misalkan A merupanan himpunan { | | | |} dengan | | pada graf Cycle, (3) mengetahui rentang konstanta ajaib pada graf Cycle.

Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah : (1) graf Cycle menggunakan program MATLAB 7.1 .

(9)

viii

ABSTRACT

Albertus Magnus Dony Putra Perkasa. 2019. Edge Magic Total Labeling On Cycle. Majoring In Mathematics And Natural Sciences Education. Faculty Of Teacher Training And Education. Sanata Dharma the total magic side on the graph or edge labeling total magic is a wise mapping that maps each element of point and line to the set of natural numbers , or can be written for the function . so that for magic constants to be found with for each and are magic constants which if evaluated on each side of the graph will have a value the same constant.

The purpose of this study is to: (1) to find out whether side magic labeling also applies to the Cycle graph, (2) to know how to label the Cycle graph, (3) to find out the magic constant range of the Cycle graph.

The results obtained from this study are: (1) graph Cycle It has magic labeling if , (2) graf Cycle It has side magic labeling which is divided

(10)

ix

KATA PENGANTAR

Terimakasih Tuhan atas penyertaan mu saya dapat menyelesaikan skripsi

ini dengan lancar, oleh karena itu puji dan syukur saya harturkan ke hadirat mu.

Selama melakukan penelitian ini, penulis mendapat berbagai bantuan dari

sana sini oleh banyak pihak yang mendukung peuh usaha saya dalam

menyelesaikan skripsi ini guna menyelesaikan studi S1 saya di jurusan Pendidikan

Matematika. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Skripsi yang selalu memberi petunjuk dan arah serta yang memberi

inspirasi dalam memilih judul skripsi.

4. Pius Sutrisno dan Heronima Sri Lestari Rahayu selaku orang tua penulis

yang selalu memberi doa, semangat dan dukungan kepada penulis selama

penyusunan skripsi ini.

5. Erina Wulansari dan Monica Septiani Eka Yunitasari sebagai teman

seperjuangan satu pembimbing dan memberi motivasi untuk menyusul

mereka lulus.

(11)

x

7. Anastasia Ana Ayu Kusuma Jati yang selalu memberi semangat dan

motivasi dalam menyelesaikan skripsi.

8. Yohanes Endra Permana dan Ignasius Dwi Cahyo Nugroho yang selaku

kakak kandung saya yang selalu memotivasi saya untuk menyelesaikan

skripsi.

9. Sahabat sahabat saya yang setia menemani setiap langkah saya dari saya

memilih jurusan di pendidikan matematika sampai saya mengerjakan

skripsi hingga selesai

10. Saudara saya yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu yang telah

membant saya dalam doa.

11. Serta semua pihak yang tidak mungkin disebutkan satu persatu.

Penulis berharap agar hasil karya ini dapat berguna bagi para pembaca.

Terima kasih.

Yogyakarta, 14 Januari 2019

Penulis

(12)

xi

DAFTAR ISI

PERNYATAAN KEASLIAN TUGAS AKHIR ... iii

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ... v

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... v

Kata Kata Motivasi ... vi

G. Sistematika penulisan ... 6

BAB II ... 8

PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE ... 20

A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total ... 20

(13)

xii

1. Batas jumlah label titik atau ... 23

2. Batas nilai konstanta ajaib ... 23

C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle ... 26

1. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil ... 26

2. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap ... 29

3. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap ... 29

BAB IV ... 31

ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF CYCLE ... 31

A. Proses pelabelan pada graf Cycle ... 31

B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle ... 32

C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Sisi Ajaib Menggunakan MATLAB 7.1 41 D. Simulasi Pelabelan Total Sisi Ajaib Dengan Menggunakan Aplikasi MATLAB 7.1 ... 46

E. Kekurangan pada pelabelan sisi graf Cycle ... 49

F. Pemanfaatan Pelabelan Ajaib pada Graf Cycle ... 50

BAB V ... 57

PENUTUP ... 57

A. Kesimpulan ... 57

B. Saran ... 57

Daftar Pustaka ... 58

(14)

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Denah rumah ... 1

Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan ... 2

Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle dengan = 9 ... 4

Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle ... 5

Gambar 2.1 graf ... 11

Gambar 2.2 gelang atau loop ... 12

Gambar 2.3 Graf dengan sisi atau rusuk ganda ... 12

Gambar 2.4 Graf Cycle ... 13

Gambar 2.5 Graf Berarah ... 14

Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle... 18

Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda ... 19

Gambar 2.8 Pelabelan total ajaib ... 19

Gambar 4.1 Diagram flowcart... 33

Gambar 4.2 Diagram flowcart 2... 34

Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3 ... 35

Gambar 4.4 Diagram folwcart 4... 36

Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8... 38

Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10 ... 40

Gambar 4.13 Input matlab... 46

Gambar 4.14 Hasil output ... 47

(15)

xiv

Gambar 4.17 Pelabelan ajaib sisi graf cycle ... 48

Gambar 4.18 letak tatanan komputer ... 51

Gambar 4.19 hasil output dengan ... 52

Gambar 4.20 hasil output untuk ... 54

Gambar 4.21 contoh penerapan... 55

(16)

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Sebagai petugas atau karyawan sebuah kantor pos, menjadi hal

yang biasa bagi petugas untuk mengantarkan sebuah paket barang ke

tempat yang menjadi tujuan dari pengirim paket barang tersebut. Dan

untuk mengantarkan paket barang tersebut, petugas biasanya menyusun

nya berdasarkan alamat yang dituju dari sang pengirim paket barang, agar

saat mengantarkan barang dapat menjadi satu jalur, atau tidak berlawanan

arah. Semisal dalam pengiriman barang tersebut, diilustrasikan seperti

gambar dibawah ini :

Gambar 1.1 Denah rumah

Dalam gambar ilustrasi di atas, seorang petugas pengantar barang

(17)

dengan jalur yang sudah ditetapkan. Dalam perjalanan seorang petugas

pengantar barang tersebut, waktu yang diperlukan untuk mengirim semua

paket barang digambarkan seperti ilustrasi dibawah ini :

Gambar 1.2 Denah ilustrasi waktu perjalanan

Dari gambar ilustrasi di atas, terlihat bahwa disetiap jalan dan

persimpangan terdapat waktu untuk dilalui seorang pengantar paket

barang. Dan bila dicermati lagi, gambar diatas terdiri dari titik dan garis

yang masing-masing diberi label waktu tempuh, dan dapat dikatakan

gambar diatas merupakan sebuah pelabelan graf. Dan karena jalur yang

digambarkan pada ilustrasi di atas merupakan jalur yang tertutup, dengan

kata lain jalur yang dilalui dari kantor pos dan kembali ke kantor pos lagi,

maka jalur pada ilustrasi di atas dapat dikatakan sebagai graf Cycle.

Graf dalam matematika didefinisikan sebagai pasangan dua

(18)

titik, dan himpunan atau bisa disebut dengan himpunan tak kosong

garis. dan setiap elemen dan pada graf tersebut dapat

diberikan label atau penomoran, pemberian label pada graf tersebut

dikatakan sebagai pelabelan graf.

Pelabelan pada graf pertama kali dikembangkan oleh Sedlacek

pada tahun 1963, dan mendefinisikan graf dengan label sisi ajaib dengan

rentang nilai tertentu, dengan menjumlahkan 2 titik yang dihubungkan

dengan garis tersebut. Kemudian pelabelan graf juga dikaji oleh Stewart

pada tahun 1966, kemudian Kotzig dan Rosa juga mengkaji pelabelan graf

ini pada tahun 1970 dengan istilah valution. Kemudian Kotzig dan Rosa

mendefinisikan pelabelan total ajib dengan label mulai dari 1 sampai

dengan , atau kalau dinyatakan dalam bentuk himpunan

sebagai himpunan { | | | |}

Pelabelan graf ini memiliki aplikasi yang cukup luas seperti

dibidang jaringan komunikasi, pengkodean, dan lain lain. Contohnya saja

aplikasi penggunaan pelabelan graf ini adalah pada pembuatan user ID

sebuah game online, maupun sebagai pembuatan voucher isi ulang kuota.

Pelabelan ajaib sisi graf merupakan fungsi bijektif yang

memetakan himpunan ke himpunan { | | | |}.

Sedemikian hingga untuk konstanta ajaib berlakulah

. Bila penjumlahan label sisi dan titik pada graf

(19)

pada graf tersebut, maka dapat dikatakan pelabelan tersebut adalah

pelabelan ajaib. Contohnya saja pada graf Cycle dibawah ini.

Gambar 1.3 Pelabelan toal ajaib sisi graf Cycle dengan = 9

Dari gambar 1.1 di atas terlihat bahwa untuk konstanta ajaib pada

graf Cycle adalah 9, perhatikan bahwa jumlah dari 2 titik dan garis yang

menghubungkan tersebut diberi label sedemikian hingga untuk setiap sisi

pada graf tersebut memiliki jumlah label yang sama yaitu 9. Maka dapat

dikatakan untuk pelabelan graf Cycle seperti gambar 1.1 di atas adalah

(20)

Gambar 1.4 Pelabelan total tidak ajaib sisi graf Cycle

Pada gambar 1.2 di atas bukan pelabelan ajaib sisi pada graf

Cycle , karena bila di evaluasi ,maka pelabelan

untuk gambar 1.2 tersebut bukan pelabelan ajaib sisi.

Berdasarkan hal tersebut, peneliti tertarik untuk meneliti tentang

pelabelan ajaib pada graf Cycle.

B. Batasan masalah

Pada skripsi ini akan membahas graf Cycle dan pelabelan

total ajaib sisi dengan konstanta ajaib dengan batas terkecil dan batas

terbesar.

C. Rumusan masalah

Berdasarkan rumusan masalah dan batasan masalah yang sudah

dijabarkan di atas, maka untuk rumusan masalah yang diambil adalah :

1. Apakah pelabelan ajaib sisi berlaku pada graf Cycle?

2. Bagaimana cara memberikan pelabelan terhadap graf Cycle?

3. Bagaimana menentukan nilai konstanta ajaib pada graf Cycle ?

D. Tujuan penelitian

1. Mengetahui apakah pelabelan ajaib juga berlaku pada graf Cycle

2. Mengetahui cara pelabelan ajaib sisi pada graf Cycle

(21)

E. Manfaat penelitian

1. Menambah pengetahuan mengenai pelabelan ajaib pada graf .

2. Sebagai motivasi mengajarkan kepada anak anak untuk menyukai

pelajaran menghitung.

3. Mengetahui bahwa terdapat konstanta ajaib pada pelabelan sisi graf

.

4. Mengetahui aturan untuk memberi pelabelan pada graf agar

dapat menemukan konstanta ajaib.

F. Metode penelitian

1. Mengumpulkan beberapa dokumen yang berhubungan dengan

pelabelan ajaib pada graf Cycle.

2. Membaca dan mempelajari dokumen tersebut.

3. Menganalisis rentan nilai konstanta ajaib pada graf Cycle.

4. Mengetahui cara memberi label pada graf Cycle.

5. Bereksperimen untuk graf Cycle.

6. Menentukan konstanta ajaib untuk graf Cycle.

7. Menemukan aturan pelabelan sisi.

G. Sistematika penulisan

(22)

Pada bab 1 ini diisikan dengan pendahuluan, batasan masalah,

rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan

metode penelitian.

BAB 2 : Kajian Pustaka

Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi mulai dari graf,

bobot titik, bobot sisi, sampai pelabelan pada graf.

BAB 3 : Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai cara menentukan

konstanta ajaib , rentang nilai kontata ajaib .

BAB 4 : Algoritma Pelabelan Total Ajaib pada Graf Cycle

Pada bab 4 ini menjelaskan mengenai algoritma pelabelan total

sisi ajaib pada graf Cycle dengen menggunaka program MATLAB

7.1.

BAB 5 : Penutup

Pada bab 5 ini berisikan kesimpulan dan saran dari hasil

(23)

8

BAB II

KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Himpunan

Menurut George cantor, himpunan adalah sekelompok objek yang

memiliki kesamaan sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas. Sebagai

contoh :

 Himpunan hewan berkaki 4

{ }

 Himpunan bilangan asli atau

{ }

Berikut adalah beberapa istilah yang biasanya digunakan dalam himpunan:

Misal { } , { } , dan { } maka :

1. Himpunan semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang menunjukan semua

anggota, maka dalam kasus di atas himpunan semestanya

dalam contoh di atas maka, himpunan A gabungan himpunan B

(24)

4. Irisan

Irisan dari himpunan disimbolkan dengan notasi . dan

dalam contoh di atas maka , himpunan A irisan himpunan B

{ }

5. Selisih

Selisih dari himpunan disimbolkan dengan notasi . dan

dalam contoh di atas maka , himpunan A selisih himpunan B

{ }

B. Pengertian Relasi

Misal dan merupakan himpunan tak kosong. Maka hasil kali

silang kartesius dengan dan himpunan semua pasangan

dengan dan (Bartle, 2010 : Halaman 5).

{ | }

Relasi itu sendiri dapat dinyatakan menjadi 3, yatu : diagram

panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius.

C. Pengertian Fungsi

Dalam matematika, fungsi merupakan relasi yang bersifat khusus.

Misal dan merupakan sebuah himpunan, maka dapat

dikatakan fungsi, untuk setiap berpasangan dengan tepat satu

(25)

1) Pemetaan Injektif

Misal merupakan sebuah fungsi, dengan ,

dikatakan sebagai pemetaan injektif atau pemetaan satu-satu jika

memenuhi :

Sebagai contoh, misal merupakan sebuah fungsi :

2) Pemetaan Surjektif

Misal merupakan sebuah fungsi, dengan . dapat

dikatakan sebagai pemetaan surjektif atau pemetaan pada jika

memenuhi :

Sebagai contoh, misal merupakan sebuah fungsi :

3) Pemetaan Bijektif

Misal merupakan sebuah fungsi, dengan . dapat

dikatakan sebagai fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu, bila

fungsi tersebut memenuhi sifat injektif dan surjektif.

D. Pengertian Graf

Graf merupakan kumpulan atau himpunan dari titik yang kemudian

(26)

juga mendefinisikan graf sebagai himpunan pasangan dimana

merupakan himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang

berbeda pada . Elemen disebut titik atau vertex dan elemen disebut

sisi atau edge . Jika maka merupakan himpunan pasangan

dimana dengan dan masing masing

merupakan ujung dari , atau dengan kata lain menghubungkan titik

dan titik .

Graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik

yang tidak kosong atau dapat disimbolkan dengan notasi dan

himpunan garis yang dapat disimbolkan dengan notasi yang

menghubungkan antara 2 titik (Siang, 2002 : Halaman 187). Jadi suatu

graf adalah pasangan himpunan tak kosong titik atau dan himpunan

(27)

Berikut beberapa definisi yang berhubungan dengan graf ( Munir , 2001)

1. Gelang atau Loop

Suatu sisi dikatakan memiliki gelang atau loop jika ujung salah

satu sisinya berawal dan berakhir pada titik yang sama (Munir , 2005).

Lihat gambar 2.2 dibawah ini :

Gambar 2.2 gelang atau loop

2. Rusuk ganda

Suatu graf dikatakan memiliki rusuk ganda bila terdapat sepasang

titik, katakanlah titik dan yang menjadi sebuah ujung titik atau

simpul dari 2 buah garis.

Gambar 2.3 Graf dengan sisi atau rusuk ganda

3. Bertetangga atau Adjacent

(28)

4. Berisian atau Incident

Untuk sebarang sisi pada graf dapat dikatakan bersisian apabila

terdapat sisi yang memiliki ujung sisi yaitu titik dan titik dimana

(Munir, 2001). Dan apabila suatu sisi memiliki ujung yang

sama, maka dapat dikatakan sebagai gelang atau loop .

5. Lintasan atauPath

Lintasan pada graf G adalah barisan titik atau vertex yang

membentuk sebuah jalur pada graf tersebut. Sebagai contoh, lihat gambar

2.1 , pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa

merupakan sebuah lintasan, sedangkan untuk

merupakan lintasan tertutup.

6. Lingkaran atau Cycle

Graf lingkaran atau Cycle merupakan graf dengan lintasan tertutup

dan dinotasikan dengan dengan v buah garis atau sisi.

Gambar 2.4 Graf Cycle

𝑣 𝑣

𝑣

𝑣 _𝑒

𝑒 𝑒

(29)

Sebagai contoh lihat gambar 2.4, gambar di atas adalah gambar

graf lingkaran atau Cycle , yaitu graf tertutup dengan lintasan

.

7. Graf tak berarah

Sebuah graf dikatakan sebagai graf tidak berarah apabila pada ruas

garis atau sisi pada graf tersebut yang menghubungkan antara 2 titik tidak

diberi arah. Sehingga urutan pasangan titik pada graf tersebut tidak

diperhatikan. Sebagai contoh lihat pada gambar 2.4 . pada gambar di atas

terlihat bahwa pasangan titik dan sama, karena sisi yang

menghubungkan antara 2 titik tersebut tidak terdapat arah.

8. Graf berarah

Sebuah graf G dikatakan berarah apabila pada ruas garis atau sisi

yang menghubungkan antara 2 titik tersebut diberi arah. Sehingga

mengakibatkan urutan pasangan titik tersebut juga diperhatikan.

Gambar 2.5 Graf Berarah

𝑣 _𝑣

𝑒

𝑒 𝑒

𝑒

(30)

Pada gambar di atas maka terlihat jelas bahwa untuk titik adalah

sebagai titik awal, dan titik sebagai titik terminal, atau dapat

dinotasikan dengan .

9. Graf berbobot

Suatu graf dikatakan graf berbobot apabila tiap sisi dan titik pada

graf tersebut diberi label. Tiap 1 titik hanya diberikan 1 label dan tiap 1

sisi juga diberikan label, sehingga semua elemen sisi dan titik pada graf

akan memiliki label yang berbeda satu sama lain.

Pada graf berbobot ini, terdapat 2 jenis yaitu bobot titik dan bobot

sisi. Untuk bobot titik dengan menghitung :

∑

Dimana dan . Dan untuk bobot sisi dengan

menghitung

( ) ( ) ( )

Dimana dan .

Masing masing dari bobot titik dan bobot sisi tersebut memiliki

keunikan tersendiri, yaitu memiliki nilai yang sama apa bila menghitung

bobot sisi atau bobot titik pada graf tersebut. Dan keunikan ini yang

(31)

Untuk bobot titik, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib pada

titik graf , dan untuk bobot sisi, maka dinamakan dengan pelabelan ajaib

pada graf.

10. Bobot Titik

Bobot titik merupakan jumlah dari label yang diperoleh dari titik

dengan menjumlahkan semua ruas sisi yang memiliki ujung titik

yang sama dengan ( Stewart , 1966) , sehingga dapat dinotasikan

dengan :

∑

11. Bobot Sisi

Bobot sisi merupakan jumlah dari label yang diperoleh dengan

menjumlahkan label yang terdapat pada 2 buah titik yang bertetangga yang

dihubungkan dengan label ruas garis yang menghubungkan kedua titik

tersebut ( Stewart , 1966 ) .sehingga dapat dinotasikan dengan :

E. Pelabelan Graf

Pelabelan graf pada titik dan sisi dengan memetakan setiap elemen

(32)

untuk memberikan label pada tiap titik dan sisi pada graf yang mungkin

akan ada sebanyak { | | | |} .

Pelabelan graf apabila di evaluasi, maka akan ada yang namanya

bobot titik dan bobot sisi (Walis, W. D. 2001) . Misal merupakan sebuah

himpunan dengan { | | | |} dan merupakan sebuah

fungsi dengan , sehingga untuk bobot titik dan bobot sisi

disimbolkan dengan . Misal dan merupakan sisi pada graf

yang salah satu ujung dari sisi tersebut adalah titik , sehingga untuk

bobot titik diperoleh :

∑ ( )

Misal untuk dan dengan ujung dari sisi

tersebut adalah titik dan titik , sehingga untuk bobot sisi diperoleh :

( ) ( )

Berdasarkan bobot titik dan bobot sisi, maka pelabelan graf dibagi

menjadi :

1. Pelabelan tidak ajaib

Suatu graf dikatakan tidak memiliki pelabelan ajaib jika

label pada titik dan label pada garis graf tersebut dievaluasi

dengan menggunakan bobot titik atau bobot sisi tidak memiliki

(33)

2. Pelabelan ajaib

Suatu graf dapat dikatakan memiliki pelabelan ajaib jika

label tidak titik dan tiap sisinya di evaluasi dengan bobot sisi

maupun dengan bobot titik, akan memiliki nilai yang sama.

Berdasarkan pelabelan ajaib pada graf, maka pelabelan ajaib pada

graf dibagi menjadi 3, yaitu :

1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf

Pelabelan ajaib pada sisi graf ini dengan memulai pelabelannya

terhadap tiap titik pada graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan

tertentu sedemikian hingga tiap titik pada graf tersebut memiliki label

yang tepat untuk menentukan nilai kontanta ajaib , dan kemudian

dilanjutkan dengan memberi label pada sisi graf dengan cara

untuk setiap yang sudah dibeli label.

Gambar 2.6 Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle

2. Pelabelan Total Ajaib Titik Pada Graf

Pelabelan ajaib pada titik graf ini dengan memulai

pelabelannya terhadap sisi graf tersebut, dengan syarat dan ketentuan

tertentu sedemikian hingga tiap sisi pada graf tersebut memiliki label

(34)

dilanjutkan dengan memberi label pada tiap titik pada graf tersebut

dengan cara ∑ untuk setiap yang sudah diberi label.

Gambar 2.7 Pelabelan total ajaib titik graf roda

3. Pelabelan Total Pada Graf

Pelabelan total pada graf ini adalah pelabelan dengan memberi

pelabelannya langsung terhadap sisi dan titik pada graf tersebut,

namun dengan syarat dan ketentuan tertentu sedemikian hingga pada

graf tersebut bila dievaluasi dengan menggunakan bobot titik dan

bobot sisi akan memiliki nilai yang masing masing sama.

(35)

20 BAB III

PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF CYLE

A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total

Karena pada graf Cycle , banyaknya elemen titik sama

dengan banyaknya elemen sisi, misal | | menyatakan banyaknya

elemen titik dan | | menyatakan banyaknya elemen sisi, sehingga

| | | | dengan .

Berdasarkan defisini, pelabelan total sisi pada graf

merupakan sebuah fungsi bijektif , dengan

{ } . Karena pada graf memiliki buah

titik dan buah sisi, sehingga untuk dan

, maka konstanta ajaib pada graf

tersebut dapat dicari dengan :

(3.1)

Dengan adalah konstanta ajaib pada graf tersebut,

dan pada sisi dan untuk setiap garis . maka dapat dikatakan bahwa merupakan konstanta ajaib dari graf tersebut (W.

D. Wallis : hal 17).

Karena graf memiliki buah titik dan buah sisi yang sama

banyak, maka banyaknya label yang diperlukan untuk memberi label

(36)

Gambar 3.1 Graf Cycle

Misal adalah total label titik, dan adalah total label sisi,

dan pada graf Cycle , perhitungan label titik dihitung 2 kali,

sedangkan label sisi di hituung 1 kali, sehingga:

Karena pada graf Cycle memiliki buah titik dan buah sisi,

maka

∑

(37)

Karena pada pelabelan graf , jumlah nilai untuk label

titiknya juga terbatas, misalkan saja adalah himpunan terbatas dengan

{ } untuk label titiknya, dan adalah jumlah dari semua

label titik pada graf tersebut.

Misal untuk titik 1 sampai titik diberi label dengan bilangan

asli pertama, maka jumlah label titik tersebut :

∑

Kemudian bisa juga untuk label titiknya diberikan label dengan

label sampai , sehingga untuk label :

graf, dapat dibuat sebuah pelabelan baru dengan aturan :

(38)

B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle

Graf Cycle adalah graf reguler dengan derajat 2, sehingga

banyak titik dan garis nya sama.

1. Batas jumlah label titik atau

Karena adalah jumlah semua label titiknya, dan pada graf

Cycle banykanya titik dan sisi sama.

maka dengan menggunakan jumlahan notasi sigma, batas

menjadi :

Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada

graf Cycle dengan batas jumlah titiknya diantara :

Dengan

(3.4)

2. Batas nilai konstanta ajaib

Karena terbatas, maka untuk konstanta ajaib nya juga

terbatas, karena konstanta ajaib dipengaruhi oleh batas jumlah label

titik atau pada graf Cylce . dan berdasarkan persamaan (3.2) maka

diperolehlah :

(39)

Subtitusikan kedalam pertidaksamaan (3.4)

Ketiga ruas dibagi dengan , sehingga diperoleh

Sehingga diperolehlah batas untuk jumlah total label titik pada

(40)

ajaib pada graf Cycle dengan genap

Sehingga sekarang diperolehlah batas atas dan batas bawah

untuk konstanta ajaib pada graf Cycle dengan masing masing untuk

(41)

. Dan untuk batas konstanta ajaib pada genap yaitu

.

C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Cycle

Pada pelabelan total sisi ajaib pada graf ini ada banyak

cara untuk menentukan konstanta ajaib . Dari pertidaksamaan di atas,

dapat dilihat bahwa untuk konstanta ajaib memiliki batas atas dan

batas bawah, namun tidak selalu untuk setiap yang berada diantara

batas bawah dan batas atas tersebut selalu terdapat konstanta ajaib .

Kontanta ajaib pada graf Cycle memiliki buah kontanta

ajaib, maka dari itu konstanta ajaib dapat diperoleh dari persamaan

(3.2) menjadi :

(3.8)

1. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle ganjil

Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan ganjil, label

titik nya

(42)

Misal , sehingga diperolehlah

Karena , maka . kemudian

subtitusikan ke persamaan (3.8).

(

)

Karena , maka

(43)

Untuk ganjil dengan , maka dapat

ditentukan konstanta ajaib .

Untuk jumlah label titik pada graf Cycle dengan genap, maka

diperolehlah :

Misal , sehingga diperolehlah

Karena , maka . kemudian

subtitusikan ke persamaan (3.8).

(44)

(3.9)

2. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap

Untuk konstanta ajaib pada graf Cycle dengan

, maka . kemudian subtitusikan kedalam persamaan

(3.9) sehingga diperolehlah

Untuk genap dengan , maka dapat

ditentukan konstanta ajaib .

3. Pelabelan total ajaib sisi pada graf Cycle genap

Untuk konstanta ajaib pada graf Cycle dengan ,

maka . kemudian subtitusikan kedalam

persamaan (3.9) sehingga diperolehlah :

(45)

Untuk genap dengan , maka dapat

(46)

31

BAB IV

ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI GRAF

CYCLE

Pada pelabelan total sisi ajaib graf Cycle, label yang diberikan

untuk tiap titik dan sisi graf Cycle akan ada sebanyak

{ | | | |}, dengan aturan tertentu yang membuat jumlah tiap

total tiap titik pada graf Cycle mempengaruhi untuk nilai k ajaib, dimana k

merupakan konstanta ajaib dengan menjumlahkan

( ) , dimana dan ( ) masing masing merupakan label titik

pada graf Cycle dan merupakan label sisi.

A. Proses pelabelan pada graf Cycle

Pada pelabelan ini, tiap titik dan tiap sisi dinotasikan sendiri

dengan dan , dengan dan akan ada sebanyak . berikut simbol

simbol yang akan digunakan pada pelabelan graf Cycle .

Simbol Keterangan

Label titik pada graf Cycle yang dimulai dari , ,

... ,

Label sisi pada graf Cycle yang dimulai dari ,

(47)

32

Konstanta ajaib pada graf Cycle

Matrik yang berisikan hasil dari label yang sudah diperoleh

Matrik berukuran yang berisikan bilangan noll yang

yang akan digunakan untuk membuat label titik

yang akan digunakan untuk label titik

yang akan digunakan untuk membuat label sisi

B. Diagram alur pelabelan pada graf Cycle

Dalam memangun sebuah program untuk algoritma ini, diperlukan

sebuah rancangan terlebih dahulu untuk memulainya, dengan mula mula

merancang program tersebut dengan menggambar diagram flowcart,

kemudian membuat sebuah algoritma dari diagram flowcart tersebut, dan

yang terakhir adalah membahasakan kembali program tersebut kedalam

bahasa pemrograman MATLAB 7.1 .

Berikut adalah diagram flowcart alur pelabelan graf. Dan pada

diagram tersebut dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu input, proces,

(48)

Gambar 4.1 Diagram flowcart

Dalam diagram flowcart diatas, pelabelan menjadi 3 bagian, yaitu

bagian input, proses, dan output.

1. Bagian input

Pada bagian input ini, diawali dengan memasukan banyak titik

yang diinginkan, dalam hal ini banyak nilai dengan syarat .

setelah memasukan nilai v, maka akan program akan membaca nilai

apakah nilai memenuhi syarat , apabila nilai sudah

memenuhi makan langkah selanjutnya program akan membaca apakah

nilai tersebut atau atau

. dan apabila nilai tidak memenuhi maka langkah

selanjutnya program akan mengulangi dengan memasukan nilai v

(49)

Gambar 4.2 Diagram flowcart 2

2. Bagian proses

Setelah program membaca nilai v, maka langkah selanjutnya

adalah bagian proses. Berdasarkan diagram flowcart diatas terbagi

menjadi 3 bagian yang terdiri dari , ,

. Pada pelabelan ini, matrik yang berukuran

akan digunakan untuk penomoran pada graf cycle, dan matrik yang

berukuran akan digunakan untuk label tiap titik pada graf cycle,

dan matrik yang berukuran akan digunakan untuk label tiap

sisi pada graf cycle

a.

Pada bagian ini, program akan membaca sebagai nilai

ganjil. mula mula pelabelan dari titik pertama sampai titik

berselisih 2, kemudian untuk label titik tersebut diberi label mulai

(50)

dari titik ke 2 sampai titik dengan selisih 2, kemudian untuk

label titik tersebut, dengan membalik matrik V terlebih dahulu,

dan kemudian diberikan label dari sampai , setelah itu

matrik V tersebut dibalik kembali.

Gambar 4.3 Diagram Flowcart 3

Karena akan dibuat pelabelan dengan ajaib terkecil,

sehingga untuk label sisi pada graf cycle dengan mengurangkan

(51)

Gambar 4.4 Diagram folwcart 4

Dan setelah mendapatkan nilai V dan E, kemudian

dibuatlah pelabelan baru dengan ajaib terbesarnya, yaitu dengan

menggunakan Duallity

b.

Pada bagian ini, program akan membaca v sebagai

kelipatan 4. matrik di isikan pelabelan dari titik 1 sampai

dengan selisih 2 , dan kemudian dilanjutkan dengan pelabelan

pada matrik yang dimulai dari sampai dengan selisih 2

.Kemudian pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai dengan

selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik 6 sampai v-1 dengan

(52)

Kemudian cara untuk memberi label pada tiap sisi nya

juga sama dengan mencari label sisi pada ganjil, yaitu dengan

(53)

menggunakan Duallity

Gambar 4. 8 Diagram flowcart 8

c.

Pada bagian ini, program akan membaca nilai sebagai

nilai genap yang selain bilangan kelipatan 4. matrik di isikan

pelabelan dari titik 1 sampai dengan selisih 2 , dan kemudian

diteruskan pada titik ,dilanjutkan dengan pelabelan pada

matrik yang dimulai dari sampai -1 dengan selisih 2 , dan

di lanjutkan pada titik . pelabelan dilanjutkan dari titik 4 sampai

dengan selisih 2 , lalu dilanjutkan lagi dari titik 6 sampai

(54)

Kemudian untuk label sisinya juga menggunakan cara

yang sama, yaitu dengan mengurangkan nilai ajaib dengan 2

(55)

Gambar 4.10 Diagram flolwcart 10

menggunakan Duallity.

3. Bagian output

Setelah selesai dengan pelabelan di atas, kemudian dapat

dilakukan pelabelan kembali dengan cara setiap label pada titik

ditambah dengan dengan konstanta sehingga memperoleh nilai ajaib

yang baru.

Setelah mendapatkan label titik dan label sisi dari bagian proses,

maka langkah selanjutnya adalah bagian outoutnya, yaitu

menampilkan matrik yang berisikan . .

dengan merupakan nomor bagi titik pada graf cycle dengan

penomorannya berlawanan jarum jam. dan merupakan berturut

(56)

dan merupakan label titik dan label sisi yang baru pada graf yang

berbeda.

C. Deskripsi AlgoritmaPelabelan Total Sisi Ajaib Menggunakan MATLAB 7.1

1. Bagian input

Langkah 1 : Masukkan nilai

Langkah 2 : Membaca nilai

Jika maka ulangi langkah 1

Langkah 3 : Menampilkan matrik dan matrik yang

berisikan bilangan noll [ ] sebanyak

2. Bagian proses

a.) Bagian

Langkah 1 : Membuat penomoran pada matrik dari 1 sampai

dengan selisih 2

Langkah 2 : Membuat label berdasarkan nomor yang telah

(57)

Langkah 3 : Mebuat matrik dengan isian nomor 2 dan

matrik dengan label yang sesuai dengan isian

matrik A yang baru

Langkah 4 : Membuat matrik dengan penomoran lagi mulai

dari nomor 4 sampai dengan selisih 2

Langkah 5 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik

pada matrik yaitu dengan

dari nomor sampai dengan selisih 2

Lngkah 9 : Membuat label baru yang sesuai dengan matrik

Langkah 10 : Membuat ajaib terkecilnya dengan

Langkah 11 : Membuat label sisi dengan

Langkah 12 :Membuat pelabelan titik yang baru dengan

dan pelabelan sisi yang baru dengan

(58)

Langkah 13 :Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai

langkah 12 dengan setiap

{

b.) Bagian

Langkah 1 : Membuat penomoran pada matrik dari 1 sampai

dengan selisih 2

Langkah 2 : Membuat label berdasarlan nomor yang telah

dibuat pada matrik pada matrik dengan

Langkah 3 : Mebuat matrik dengan isian nomor 2 dan matrik

dengan label yang sesuai dengan isian matrik A

yang baru

Langkah 4 : Mebuat matrik dengan isian nomor dan matrik

dengan label yang sesuai dengan isian matrik A

yang baru

Langkah 5 : Mebuat matrik dengan isian nomor dan

matrik dengan label yang sesuai dengan isian

matrik A yang baru 6

(59)

dari nomor sampai dengan selisih 2

Langkah 14 : Membuat pelabelan titik yang baru dengan

Langkah 15 :Membuat pelabelan baru dengan langkah 1 sampai

langkah 14 dengan setiap

{

(60)

Langkah 1 : Membuat matrik berisikan nomor dari 1 sampai

dengan berselisih 2

Langkah 2 : Membuat label yang sesuai dengan matrik pada

matrik dengan

Langkah 3 : Membuat matrik penomoran lagi dari 2 sampai

dengan selisih 2

Langkah 4 : Balik terlebih dahulu matrik sebelum melukukan

pelabelan terhadap matrik

Langkah 5 : Membuat label yang sesuai dengan matrik pada

matrk yang sudah dibalik dengan

Langkah 8 : Membuat pelabelan titik yang baru dengan

Langkah 9 : Membuat pelabelan baru dengan langkah 1

sampai langkah 8 dengan setiap

{

3. Bagian output

Langkah 1 : Membuat matrik untuk menampilakn label titik

dan sisi yang telah diperoleh dengan

(61)

D. Simulasi Pelabelan Total Sisi Ajaib Dengan Menggunakan Aplikasi MATLAB 7.1

Setelah selesai dengan diagram flowcart, kemudian dari diagram

tersebut dapat diubah kedalam bahada komputer atau biasa dikenal dengan

bahasa pemrograman. Dan untuk mensimulasikan diagram tersebut dengan

menggunakan program MATLAB 7.1 , dengan input sebagai banyaknya

titik dari graf cycle, akan menghasilkan output berupa matrik yang

berisikan .

Mula mula pada command windows akan muncul seperti gambar

berikut,

Gambar 4.13 Input matlab

Dari gambar di atas terlihat bahwa sebagai input untuk

menentukan banyaknya titik pada graf cycle , untuk mensimulasikan, misal

ambil . maka command windows selanjutnya akan menampilkan

(62)

Gambar 4.14 Hasil output

Dari hasil tampilan command windos di atas, diperolehlah label

untuk tiap titik dan sisi pada graf cycle. Untuk kolom 1 tersebut adalah

nomor untuk label titiknya, untuk kolom 2 merupakan label titik dan

kolom 3 untuk label sisi pada graf, dengan nikai k ajaib terkecilnya adalah

17, kemudian untuk kolom 5 merupakan label titik yang baru, dan kolom 6

merupakan label sisi yang baru pada graf dengan kontanta ajaib

terbesarnya adalah 22.

Kemudian setelah mendapatkan hasil dari command windows

tersebut, dibuatlah graf cycle tersebut, dengan langkah langkah sebagai

berikut :

1. Membuat graf ₆

(63)

2. Memberikan label pada tiap titiknya

Dari hasil command windowsdi atas, diperolehlah label titiknya

pada kolom 2 dan pada kolom 5, yaitu 1, 9, 2, 3, 4, 5 dan 12, 4, 11, 10,

9, 8 . Kemudian cara memberikan labelnya dengan berlawanan dengan

jarum jam

Gambar 4.16 pelabelan pada graf Cycle

4. Memberikan label pada tiap sisinya

Untuk label pada sisi graf ₆ , terdapat pada kolom 3 dan kolom 6 . untuk kolom 3 dengan label sisinya 7, 6, 12, 10, 8, 11 , dan untuk graf

6 yang baru dengan label sisinya 6, 7, 1, 3, 5, 2 . dengan cara yang

sama dengan memberikan label dengan berlawanan dengan jarum jam.

(64)

Berdasarkan dari gambar di atas, bobot sisi pada gambar di atas

6

Dan pada gambar graf ₆ baru, bobot sisinya :

6

E. Kekurangan pada pelabelan sisi graf Cycle

Dalam melakukan pelabelan menggunakan program MATLAB 7.1

ini memiliki beberapa kekurangan dalam melakukan pelabelan pada graf

cycle ini, diantaranya :

1. Batas konstanta ajaib hanya untuk terkecil dan terbesar saja

(65)

2. Banyaknya kemungkinan cara untuk memberikan label pada tiap titik

dan sisi graf sehingga akan ada banyak kemungkinan cara untuk

memberikan label, dan membutuhkan waktu yang lama untuk

menentukan sebuah algoritma untuk membuatnya.

3. Tidak ada pilihan untuk memilih kontanta ajaib .

4. Bahasa pemrograman terlalu panjang

F. Pemanfaatan Pelabelan Ajaib pada Graf Cycle

Pemanfaatan pelabelan ajaib sisi ini juga dapat diterapkan pada kehidupan

sehari hari, seperti :

1. Sebagai kode saat tes menggunakan komputer sebagai kode

Pada era modern yang serba teknologi ini, banyak sekali

penggunaan komputer yang diperuntukkan untuk memasuki dunia

kerja, terlebih lagi dalam hal untuk tes masuk dunia kerja atau untuk

diterima disebuah lembaga atau perusahaan negara. Tes tersebut kini

sudah menggunakan sistem CAT , yang dimana sertiap komputer

diminta menginputkan kode atau sandi yang berbeda satu sama lain

namun tetap masuk kedalam server yang sama.

Dalam hal ini tentu pembuatan kode atau sandi tersebut

dibuat tidak sembarangan, tentunya memiliki aturan tertentu

sedemikian hingga setiap komputer memiliki sandi yang berbeda

dengan komputer yang lain. Dan dalam hal ini pembuatan sandi

(66)

Dalam pembuatan sandi menggunakan pelabelan total ajaib

sisi graf Cycle ini, tentu akan memberikan kemudahan dalam

menentukan kata sandi. Misalkan dalam berlangsungnya tes terdiri

dari 2 sesi, maka dengan menggunakan algoritma pelabelan total

ajaib sisi akan dengan mudah memberikan berbagai kode yang

dimana nanti akan digunakan untuk memberikan sandi kepada setiap

komputer.

Andai dalam suatu ruang tes CAT (Computer Asissted Test)

dengan menggunakan komputer terdapat 20 komputer yang masing

masing akan memiliki kode masing masing yang akan di inputkan

peserta tes. Maka dapat dilakukan pengkodean dengan menggunakan

pelabelan ajaib sisi . dan akan semakin jelas dengan memperhatikan gambar dibawah ini :

(67)

Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Cycle dibentuk

menyesuaikan dengan banyaknya komputer yang ada dalam rungan.

Kemudian dengan menggunakan algoritma mathlab 7.1 diperolehlah:

Gambar 4.19 hasil output dengan

Dari tabel command windows di atas dapat dilihat bahwa

untuk terkecil memiliki nilai 52 dan untuk terbesar memiliki

nilai 71 .sehingga memungkinkan untuk dibuat 2 macam kode.

Semisal untuk kode dengan menggukanan terkecil digunakan

(68)

2. Sebagai kata sandi ataupassword isi ulang kuota

Sebagian orang yang sering menggunakan smartphone,

memilih untuk mengganti kartu khusus untuk internet atau kartu

(69)

melakukan unreg pada kartu tersebut karena dinilai merepotkan, dan

memilih untuk membeli voucheratau kuota isi ulang dari pada

mengganti kartu. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar dibawah ini :

Gambar 4.20 hasil output untuk

Dari gambar di atas didapatlah ajaib untuk Yaitu 39 dan 54 . Dalam membuat password atau kata sandi tentu

menggunakan aturan agar kata sandi yang diperoleh antara satu

orang dengan yang lain berbeda, namun tetap mendapatkan kuota

yang sama. Misalnya saja untuk pembeli kuota isi ulang A mendapat

kata sandi ataupassword 1299 sedangkan untuk pembeli B mendapat

kata sandi ataupassword9282 , dengan aturan kata sandi yang

digunakan adalah .

(70)

Sekarang ini tidak dapat dipungkiri lagi bahwasannya game

online telah digandrungi banyak kalangan mulai dari usia anak anak

sampai orang dewasa. Sebut saja game online yang pada sekarang ini

sedang naik daun, Mobile legend. Game yang satu ini baru bari ini

sedang populer dikalangan pecinta game, selain game yang bisa

mengajak teman untuk bermain bersama, juga baru baru ini game

yang satu ini sudah masuk dalam kategori cabang olah raga ASEAN

GAME 2019.

Tentu dalam pembuatan akun setiap orang akan

mendapatkan sebuah ID dan nomor server yang berbeda untuk

masing masing orang, dan dalam pembuatan ID ini tentu saja dapat

dimodelkan dengan menggunakan pelabelan ajaib sisi graf.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Gambar 4.21 contoh penerapan

Pada bagian kanan atas tertera ID pengguna, dan setiap

(71)

pembuatan ID dapat menggunakan pelabelan graf. Misalnya saja

untuk nya 100 , maka diperolehlah pelabelannya sebagai berikut :

Gambar 4.22 hasil output untuk

Maka untuk seseorang yang ingin membuat akun akan

mendapatkan ID, misalnya saja seseorang tersebut adalah orang

yang ke-17 , maka orang tersebut akan memndapatkan ID 918459 ,

(72)

BAB V PENUTUP A. Kesimpulan

Setelah membahas mengenai skripsi tentang pelabelan ajaib pada

graf Cycle ini, diperoleh lah beberapa kesimpulan, diantaranya :

1. Pelabelan ajaib berlaku pada graf Cycle dengan .

2. Pelabelan ajaib pada graf Cycle dibedakan menjadi 3 , yaitu untuk

, , dan .

3. Pelabelan masing masing jenis Cycle saling berbeda antara

, , dan .

4. Batas konstanta ajaib memiliki interval

5. Untuk nilai konstanta ajaib pada graf Cycle dengan ganjil

memiliki interval nilai yaitu : .

6. Untuk nilai konstanta ajaib pada graf Cycle dengan ganjil

memiliki interval nilai yaitu: .

B. Saran

1. Untuk penelitian yang selanjutnya dapat membahas mengenai hal yang

sama namun dengan pelabelan ajaib titik

2. Untuk penelitian selanjutnya dapat juga dengan membahas pelabelan

ajaib pada graf multi Cycle .

(73)

58

Daftar Pustaka

A. kotzig and A. Rosa, Magic valuations of finite graphs. Canad. Math. Bull. 13

(1970), 451 – 461.

B. M. Stewart, Magic graph. Canad J. Math. 18 (1966), 1030 – 1059.

Bartle, R. G. 2010. Introducyion to Real Analysis – 4th .Urbana : Illinois

Hariyadi, Petrus Tri . 2017 . Pelabelan Ajaib Pada Graf Roda , skripsi

matematika . Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.

J. A. Gallian, A dynamic survey of graph labeling. Electronic J. Combinatorics 5

(1998), Dynamic Survey #DS6.

J. Sedlacek, problem 27. Theory of graphs and its aplications. (smolenice, 1964),

163 – 164 Publ. House Czechoslovak Acad. Sci., Prague (1964).

Munir, Rinaldi . 2001 . Matematika Diskrit . Bandung : Informatika Bandung.

Rizki, Swaditya. PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN

MASALAH MINIMUM SPANING TREE (MST) MENGGUNAKAN

ALGORITMA KRUSKAL . 2012 . Universitas Muhammadiyah Metro :

Lampung.

Suwarman, Ramdhan Fazrianto . 2010 . Pelabelan Gracefull Dan Konsekutif

Pada Graf Lintasan , skripsi matematika . Jakarta : Universitas Islam

Negeri Syarif Hidayatullah.

(74)

59

LAMPIRAN

clear all

clc

disp('======================================================') disp('==============program mencari k ajaib=================') disp('==================pada graf Cycle=====================') disp('======================================================') disp(' ')

%bagian awal

disp('program k ajaib graf Cv dengan v buah titik'); v=input('sekarang masukkan nilai v buah titik nya = ');

if v <3

%>>>>>>>>>>>>>>bagian v=0 (mod 4) / kelipatan 4<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

(75)

k=(sum(V)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<<<<

k2=(sum(V2)+v*(2*v+1))/v %>>>>>>>>label untuk sisi<<<<<<<<< E2=zeros(1,v)

for i=1:v-1

E2(i)=k2-V2(i)-V2(i+1)

end

E3=[zeros(1,v-1) (k2-V2(1)-V2(v))];E2=E2+E3

for i=1:v