1
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER PADA GRAF CORONA-LIKE UNICYCLIC
Kurniawan1*, Rolan Pane2, Asli Sirait2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
*
kurniawan_sukses@yahoo.co.id ABSTRACT
We discuss the super edge magic total labeling in the corona-like unicyclic graph by reordering the grid points on the trajectory, followed by the transformation to the edges. A new variation is obtained from the super edge magic total labeling.
Keywords: Corona-like unicyclic graph, edge magic total labeling, super edge magic total labeling.
ABSTRAK
Pada artikel ini pelabelan total sisi ajaib super pada graf corona-like unicyclic didiskusikan dengan melakukan proses penataan ulang titik pada lintasan grid, kemudian dilanjutkan dengan melakukan transformasi pada sisi-sisinya. Variasi baru diperoleh dari pelabelan total sisi ajaib super.
Kata kunci: Graf corona-like unicyclic, pelabelan total sisi ajaib, pelabelan total sisi ajaib super.
1. PENDAHULUAN
Substansi dari graf adalah adanya titik dan sisi, dimana jika dua titik dihubungkan dengan suatu sisi pada suatu graf maka dapat diberi nilai atau bobot. Graf adalah pasangan himpunan (V,E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang disebut sebagai sisi [2]. Suatu graf dapat dikenai pelabelan, yaitu pelabelan titik dan pelabelan sisi. Dari kedua pelabelan dapat ditentukan pelabelan total dan pelabelan ajaib. Suatu graf mempunyai pelabelan ajaib jika memiliki jumlah pelabelan pada dua titik dengan sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut dengan suatu konstanta dan tidak tergantung pada pemilihan titik. Pelabelan graf secara umum dapat diterapkan pada berbagai macam graf seperti graf ulat, graf bintang, dan graf cycle. Selain itu ada juga graf unicyclic yaitu graf cycle-like unicyclic dan graf corona-like unicyclic. Graf corona-like unicyclic merupakan pengembangan dari graf cycle-like unicyclic. Pada graf corona-like unicyclic dapat dilakukan pelabelan pada sisi dan titiknya. Selain itu dari hasil pelabelannya dapat
2
dibentuk beberapa pengembangannya, yaitu variasi jenis baru dari pelabelan. Disini dibahas tentang pelabelan total sisi ajaib super pada graf corona-like unicyclic yang merupakan review dari artikel yang ditulis oleh Adidarma Sepang dan kawan-kawan yang berjudul “Edge Magic Total Labeling on Unicyclic Graph”.
2. PELABELAN GRAF
Pelabelan graf menurut Baskoro [1, h.29] adalah pemberian nilai (dengan bilangan integer positif) pada titik atau sisi dari suatu graf sehingga memenuhi kondisi tertentu. Kotzig dan Rosa [4] mendefinisikan pelabelan ajaib adalah fungsi bijektif ke himpunan bilangan integer positif yang berbeda sehingga penjumlahan semua label sisi yang incident terhadap suatu titik akan sama yang disebut sebagai konstanta ajaib. Pelabelan titik ajaib pada graf G V E( , )adalah fungsi bijektif f dari V { ,v v1 2,..., }n ke himpunan
bilangan bulat
1, 2,3,..., n sehingga untuk sebarang sisi (uv) pada graf G berlaku
( ) ( )f u f v k, untuk suatu konstanta k. Pelabelan sisi ajaib pada graf G V E( , )adalah fungsi bijektif f dari E{ ,e e1 2,... }n ke himpunan bilangan bulat
1, 2,3,..., n sehingga
untuk sebarang sisi (uv) pada graf G berlaku jumlah f uv( )k, untuk suatu konstanta k, k disebut konstanta ajaib pada graf G.Definisi 1 [6] Pelabelan total sisi ajaib pada graf G V E( , ) adalah fungsi bijektif f yang bersifat satu-satu dari V(G)E(G) ke himpunan bilangan integer
1, 2,3,...,v e
, sehingga jika uv adalah sebarang sisi pada grafG maka berlaku f u( ) f uv( ) f v( )k, dengan suatu konstanta k, dimana k disebut jumlah konstanta ajaib dari graf G.3. PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER PADA GRAF CORONA-LIKE UNICYCLIC
Graf corona-like unicyclic ditulis C Kn r, artinya graf corona-like unicyclic terdiri dari graf cycle dengan n titik dan pada setiap titiknya ditambahkan r daun [5]. Derajat setiap titik pada graf cycle menjadi 2+r dan derajat titik lainnya adalah 1. Graf corona-like unicyclic memiliki titik dalam dan titik luar. Titik dalam berada pada lintasan cycle sedangkan titik luar berada pada ujung-ujung daun yang adjacent dengan titik pada lintasan cycle.
Lemma 2 [3] Graf G dengan titik V dan sisi E adalah graf total sisi ajaib super jika dan hanya jika terdapat pemetaan bijektif f dari V(G) E(G) ke himpunan bilangan bulat {1,2, . . ., v+e} sehingga himpunan S{ ( )f u f v uv E G( )| ( )}. Dalam hal ini f dapat diperluas menjadi suatu pelabelan sisi ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k = u + v + s dimana s = min(S) dan S {k (v 1),k (v 2),...,k (u v)}.
Bukti:
Asumsikan bahwa suatu fungsi f ada dan misalkan uvE G( )sehingga ( ) ( ) min( ) .
3
V(G) E(G) dengan cara mendefinisikan f(uv) = u + v + s - f(u) - f(v) untuk setiap sisi uv di graf G. Sehingga diperoleh f E G( ( )) { v 1,v2,...,u v }.
Sebaliknya, jika suatu graf G adalah sisi ajaib super dengan f adalah suatu pelabelan sisi ajaib super dengan suatu konstanta ajaib k, sehingga diperoleh
{ ( )| ( )} { ( 1), ( 2),..., ( )}.
S k f uv uv E G k u k u k u v ■
Teorema 3 [5] Setiap graf corona-like unicyclic adalah graf total sisi ajaib super. Bukti:
Misalkan graf G adalah graf corona-like unicyclic dengan vi adalah titik dalam pada lintasan cycle, dengani1,...,ndan r adalah bilangan titik terluar pada setiap titik vi
.dimana V C K( n r)
v v1, 2,...,vn
dan E C K( n r)
v vi i1:i1,...,n 1} {v vn 1
,danadalah titik terluar dari titik vi, dengan i = 1, 2, …, n dan j = 1, …, r. Pelabelan pada titik dalam sebagai berikut,
(1) Pelabelan pada titik luar sebagai berikut,
(2) Dari Lemma 2, diperoleh suatu pelabelan total sisi ajaib super pada graf corona-like
unicyclic jika bobot sisi Wj { ( )f u f v uv E( ), }dari sutau bilangan integer yang
terurut. Misalkan f adalah suatu pelabelan total sisi ajaib super dari graf V1C Kn r dengan konstanta ajaib k. Diberikan suatu graf Vj1, j{1, 2,..., }p adalah hasil dari proses transformasi sisi dengan mengganti sisi ( , )u v pada V dengan sisi 1
' '
( , )u v . Himpunan dari Vj dapat dipartisi kedalam dua subkelas yang berbeda yaitu,
1 2 ( ) ganjil ( ) genap j i j j i j V v V U i V v V U i Titik u dan v terdapat pada subkelas yang berbeda, jikau dan v saling terhubung satu sama lain. Perlu dicatat bahwa v dan 1 v akan berada pada satu kelas yang sama jikan n ganjil. Namun, transformasi sisi tidak dilakukan untuk v1vn.
( 1)( 1) ( ) 1 , ganjil 2 ( 1)( 1) ( ) 1 , genap 2 i r f vi i n i r f vi i ( 2)( 1) ( ) 1 , ganjil 2 ( 2)( 1) ( ) 1 , genap 2 n i r i f vj j i i r i f vj j i
4
Definisikan d( uu, ') sebagai jarak (jumlah sisi pada lintasan minimum) dari u
ke u di ' C Kn r. Ada dua kasus sebagai berikut :
Kasus 1
u ke u pada subkelas yang berbeda '
( , ') 1 ( ') ( ) 2 ( , ') 1 ( ') ( ) 2 d u u f u f v d u u f v f u Kasus 2
u ke u pada subkelas yang sama '
1. uV1 ( , ') 1 ( ') ( ) 2 ( , ') 1 ( ') ( ) 2 d u u n f u f v d u u n f v f u 2. uV2 ( , ') 1 ( ') ( ) 2 ( , ') 1 ( ') ( ) 2 n d u u f u f v n d u u f v f u
Untuk dua kasus ini diperoleh f(u) f(v) f(u') f(v'). Dengan menggunakan Lemma 2 dapat disimpulkan bahwa Vj1 adalah graf total sisi ajaib super, dimana j0,1,2,...,p. Jadi semua graf corona-like unicyclic adalah graf total sisi ajaib super. ■ Contoh 1
Tentukan pelabelan total sisi ajaib super pada graf corona-like unicyclic
5 1.
C K Kemudian lakukan transformasi sisi sehingga diperoleh variasi baru dari pelabelan total sisi ajaib super pada graf corona-like unicyclic C K 5 1.
Penyelesaian:
Graf corona-like unicyclic C K dengan titik dalam yaitu 5 1 v v v v v1, 2, ,3 4, 5 dan titik luar
yaitu 1 2 3 4 5 1, , , , ,1 1 1 1
5
Gambar 1: Graf corona-like unicyclic C K5 1
Dengan menggunakan rumus (1) diperoleh pelabelan titik dalam sebagai berikut,
1 2 3 4 5
( ) 1, ( ) 7, ( ) 3, ( ) 9, ( ) 5,
f v f v f v f v f v dengan rumus (2) diperoleh pelabelan
titik luarnya sebagai berikut 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
( ) 6, ( ) 2, ( ) 8, ( ) 4, ( ) 10.
f v f v f v f v f v
Diperoleh hasil pelabelannya terlihat pada Gambar 2 berikut.
Gambar 2: Pelabelan total sisi ajaib super graf corona-like unicyclic C K 5 1 Kemudian dari hasil pelabelan yang diperoleh dilakukan penataan ulang titik pada lintasan grid, terlihat pada Gambar 3 berikut.
6
Gambar 3: Penataan ulang titik pada lintasan grid Selanjutnya dilakukan transformasi sisi, terlihat pada Gambar 4 berikut.
Gambar 4: Hasil transformasi sisi
Dari hasil transformasi sisi diperoleh variasi baru dari pelabelan total sisi ajaib super pada graf corona-like unicyclic C K dapat dilihat pada Gambar 5 berikut. 5 1
Gambar 5: Variasi baru pelabelan total sisi ajaib super graf corona-like unicyclicC K 5 1
1 7 3 9 5 1 7 3 9 5 20 12 16 18 16 12 20 14 18 14 20 11 19 18 17 12 15 16 13 14 7 2 5 9 4 3 8 10 1 6
7
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Baskoro, E. T. 2007. Mengenalkan Indonesia Melalui teori Graf. Pidato Ilmiah Guru Besar ITB. Majelis Guru Besar ITB. ITB, Bandung.
[2]. Chartrand, G. and L. Lesniak. 1986. Graph and Digraph. 3nd Edition. Wadsworth, Inc., California.
[3]. Figuerora-Centeno, R. M. and F. A. Muntaner-Batle. 2000. The Place of Super Edge Magic Labeling Among Other Classes of Labelings. Discrete Math. Compute. 231: 153-168.
[4]. Kotzig, A and A. Rosa. 1970. Magic Valuations of Finite Graphs. Canada. Math. Bull. 13: 451-461.
[5]. Sepang, A. Herawati, P. A and Sugeng, K. A. 2008. Super Edge Magic Total Labeling on Unicyclic Graphs. Makara Sains. Volume. 12: 31-36.
[6]. Wallis, W. D. Baskoro, E. T. Miller and Slamin. 2000. Edge Magic Total Labeling,Australian Journal of Combinatorics. Volume. 22: 1-15.
