Konsep Moda Normal dalam Osilasi Harmonik Sederhana

Model Gelombang

1.4 Osilator Kopel

3

Osilator Kopel

• Dua buah pendulum identik dihubungkan dengan sebuah pegas

• Osilasi kecil

• Gaya pada pegas

• Gaya pemulih akibat gravitasi

Paralel dan Simetri

5

• Ketika B = 0, → x₁ – x₂ = 0

• Dua pendulum bergerak secara paralel

• Tidak terjadi perubahan pada pegas

• ω_p frekuensi natural pendulum

• Ketika A = 0, → x₁ + x₂ = 0

• Dua pendulum bergerak secara simetri

• Pegas memanjang/memendek

• ω_s frekuensi yang ditentukan oleh pendulum dan pegas

Moda Normal

• Dua pola osilasi tersebut dinamakan sebagai “moda normal”

• Keduanya adalah osilasi harmonik sederhana (dengan frekuensi dan amplitudo konstan)

• Dua moda normal untuk dua osilator terkopel

• Dua pendulum memiliki dua kondisi awal (x_i dan dx_i/dt)

• Dua moda normal masing-masing memiliki dua parameter: (a cos ωt + b sin ωt)

Kondisi awal

7

Plot osilasi x

₁

dan x

₂

Cara Menemukan Moda Normal

• Bagaimana cara menghitung/mencari moda normal dan bagaimana jika pendulum tidak identik dan pendulum > 2?

• Diperlukan aljabar linier

9

Persamaan Gerak

• Persamaan gerak dalam matrik 2x2

• Pada moda normal, x1 dan x2 bergerak dengan frekuensi yang sama ω

11

• a adalah eigenvektor

• -ω² adalah eigenvalue

• Untuk matrik 2x2 akan diperoleh 2 eigenvalue

• Dan n eigenvalue untuk matrik nxn

Mencari eigenvalue

• Pers. matrik Ma = 0 dapat dipenuhi untuk a≠0 jika det(M) = 0.

• Determinan pada kasus ini adalah

•

Mencari eigenvektor

13

Untuk ω = ω_p

Untuk ω = ω_s

Maka, moda normal …

Dari eigenvalue dan eigenvektor yang diperoleh, maka moda normal:

• Untuk ω_p

• Untuk ω