Nama: Achmad fathur rozih Kelas:10
No:1
Matematika Program linier
Kelas 10
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
< 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛� 𝑑𝑎𝑟�
> 𝑙𝑒𝑏�ℎ 𝑑𝑎𝑟�
≤ 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛� 𝑑𝑎𝑟� 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛�𝑎𝑛
≥ 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛� 𝑑𝑎𝑟� 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛�𝑎𝑛
Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
2� − 3� ≥ 6 4� + 4� ≤ 12
� + 4� > 8
� + � − 2 > 0
� + 2� = 6
Menggambar Grafik Pertidaksamaan
1. Menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y 2. Menentukan titik uji
3. Menentukan arsiran
4. Menentukan himpunan penyelesaian
Cont
oh Tentukan Himpunan Penyelesaian 𝟐� + 𝟒� ≤ 𝟏𝟐
Menentukan titik potong
� � �
� � �
(�, �) (�, �) (�, �)
𝟐� + 𝟒� = 𝟏𝟐 𝟐 � + 𝟒� = 𝟏𝟐
� + 𝟒� = 𝟏𝟐 𝟒� = 𝟏𝟐
� = 𝟏𝟐
� = � 𝟒
(�, �)
(�, �)
Menentukan titik uji
𝟐� + 𝟒� ≤ 𝟏𝟐
(�, �) 𝟐(�) + 𝟒(�) ≤ 𝟏𝟐
Benar � ≤ 𝟏𝟐
Menentukan arsiran
(�, �) Benar Merupakan daerah arsiran
Menentukan Himpunan Penyelesaian daerah arsiran
HP
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian � + �� > �
Menentukan titik potong
� � �
� 𝟐 �
(�, �) (�, 𝟐) (�, �)
� + �� = �
� + �� = �
�� = �
� = �
�
� = 𝟐
(�, 𝟐)
(�, �)
Menentukan titik uji
� + �� ≥ � (�) + �(�) > �
Salah � > �
(�, �)
Menentukan arsiran
(�, �) Salah Bukan merupakan daerah arsiran
Menentukan Himpunan Penyelesaian daerah arsiran
HP
Tentukan Himpunan Penyelesaian 𝟐� + � ≤ 𝟏𝟐
� + 𝟓� ≤ 𝟏𝟓
� ≥ � ; � ≥ �
𝟐� + � ≤ 𝟏𝟐
𝟐� + � = 𝟏𝟐 𝟐(�) + � = 𝟏𝟐
� + � = 𝟏𝟐
� = 𝟏𝟐
𝟐� + � = 𝟏𝟐 𝟐� + (�) = 𝟏𝟐 𝟐� = 𝟏𝟐
� = 𝟏𝟐𝟐
� = �
� � �
� 𝟏𝟐 �
(�, �) (�, 𝟏𝟐) (�, �)
�
�
� 𝟏𝟐
� (�, 𝟏𝟐)
(�, �)
𝟐� + � ≤ 𝟏𝟐 𝟐(�) + (�) ≤ 𝟏𝟐
� ≤ 𝟏𝟐
BENAR
� + 𝟓� ≤ 𝟏𝟓
� + 𝟓� = 𝟏𝟓 (�) + 𝟓� = 𝟏𝟓 𝟓� = 𝟏𝟓
� = 𝟏𝟓𝟓
� = �
� + 𝟓� = 𝟏𝟓
� + 𝟓(�) = 𝟏𝟓
� + � = 𝟏𝟓
� = 𝟏𝟓
� � 𝟏𝟓
� � �
(�, �) (�, �) (𝟏𝟓, �)
(�, �)
�
𝟏𝟓
� + 𝟓� ≤ 𝟏𝟓 (�) + 𝟓(�) ≤ 𝟏𝟓
� ≤ 𝟏𝟓
BENAR
(𝟏𝟓, �)
HP
Model
Matematik
a
Suatu hasil penerjemahan dari bahasa sehari-hari menjadi bentuk matematika berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
Model Matematika yang baik hanya memuat bagian-bagian yang penting dan diperlukan.
1. Membuat tabel
2. Menentukan yang menjadi x dan y
3. Menentukan yang menjadi ≤ atau ≥
4. Nilai � ≥ � ; � ≥ �
Contoh
Untuk membuat kue jenis A, diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan kue jenis B
diperlukan 10 gram mentega dan 20 gram tepung. Bahan yang tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung.
Model matematika dari permasalahan tersebut adalah…
Jawa b
Misalkan Kue Jenis A adalah x dan Kue Jenis B adalah y
Jumlah Kue A (�) Kue B (�) Persediaan
Mentega 𝟓� 𝟏� �𝟓��
Tepung �� 𝟐� 𝟐𝟐��
𝟓�� + 𝟏�� ≤ �𝟓��
��� + 𝟐�� ≤ 𝟐𝟐��
𝟓� + � ≤ �𝟓�
�� + � ≤ 𝟏𝟏�
� ≥ �
� ≥ �
Contoh
Luas lahan parkir di sebuah tempat hiburan 360 �
𝟐. Luas rata-rata sebuah mobil 6 �
𝟐dan untuk sebuah bus 24 �
𝟐. Lahan parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 25 kendaraan. Buatlah model matematika dari masalah tersebut!
Jawa b
Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y
Jumlah Mobil (�) Bus (�) Persediaan
Luas Lahan � 𝟐𝟒 ���
Daya Tampung 𝟏 𝟏 𝟐𝟓
�� + 𝟐𝟒� ≤ ���
� + � ≤ 𝟐𝟓
� ≥ �
� ≥ �
Contoh
Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 gram fosfor dan 720 gram nitrogen. Pupuk I mengandung 30 gram fosfor dan 30 gram nitrogren perbungkus. Pupuk II mengandung 20 gram fosfor dan 40 gram nitrogen perbungkus.
Model matematika dari permasalahan tersebut adalah…
Jawa b
Misalkan Pupuk I adalah x dan Pupuk II adalah y
Jumlah Pupuk I (�) Pupuk II (�) Persediaan
Fosfor �� 𝟐� ���
Nitrogen �� 𝟒� 𝟕𝟐�
��� + 𝟐�� ≥ ���
��� + 𝟒�� ≥ 𝟕𝟐�
�� + 𝟐� ≥ ��
�� + 𝟒� ≥ 𝟕𝟐
� ≥ �
� ≥ �
Nilai
Optimum Minimum dan
Fungsi
Objektif
Jawa b
Diketahui luas lahan parkir di sebuah tempat hiburan 360 �𝟐. Sebuah mobil dan sebuah bus, masing-masing
6 �𝟐 dan 24 �𝟐 .
membutuhkan lahan Daerah parkir itu tidak dapat membuat lebih dari 30 kendaraan.
Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika biaya parkir untuk sebuah mobil Rp.2.000,- dan sebuah bus Rp.3.000,-
Mobil (�) Bus (�) Persediaan
Luas Lahan 6 24 360
Daya tampung 1 1 30
Biaya Parkir 2.000 3.000
�� + 𝟐𝟒� ≤ ���
� + � ≤ ��
� + 𝟒� ≤ ��
� + � ≤ ��
Z maksimum = 𝟐. ���� + �. ����
� ≥ �
� ≥ �
� + 𝟒� ≤ ��
� � ��
� 𝟏𝟓 �
(�, �) (�, 𝟏𝟓) (��, �)
� + � ≤ ��
� � ��
� �� �
(�, �) (�, ��) (��, �)
�
�
(�, ��)
��
(�, 𝟏𝟓) 𝟏𝟓
� + 𝟒� = ��
� + ��� = ��= ��
-
� = ��
�
� = 𝟏�
� + 𝟒� = ��
� + 𝟒(𝟏�) = ��
� + 𝟒� = ��
� = ��
− 𝟒�
� = 𝟐�
(𝟐�, 𝟏�)
(��, �) (��, �)
��
��
� = 𝟐. ���� + �. ����
(�, 𝟏𝟓) (𝟐�, 𝟏�) (��, �)
� = 𝟐. ��� � + �. ���(𝟏𝟓) = 𝟒𝟓. ���
= 𝟕�. ���
� = 𝟐. ��� 𝟐� + �. ���(𝟏�)
� = 𝟐. ��� �� + �. ���(�) = ��. ���
Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 gram fosfor dan 720 gram
30 gram fosfor
nitrogen. Pupuk I mengandung dan 30 gram nitrogen perbungkus. Pupuk II mengandung 20 gram fosfor dan 40 gram nitrogen perbungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp.17.500,- dan pupuk II harganya Rp.14.500 perbungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut
Jawab
Kandungan Pupuk I (�) Pupuk II (�) Kebutuhan
Fosfor 30 20 600
Nitrogen 30 40 720
Harga 17.500 14.500
��� + 𝟐�� ≥ ���
��� + 𝟒�� ≥ 𝟕𝟐�
�� + 𝟐� ≥ ��
�� + 𝟒� ≥ 𝟕𝟐 Z minimum = 𝟏𝟕. 𝟓��� + 𝟏𝟒. 𝟓���
� ≥ �
� ≥ �
�� + 𝟐� ≥ ��
� � 𝟐�
� �� �
(�, �) (�, ��) (𝟐�, �)
�� + 𝟒� ≥ 𝟕𝟐
� � 𝟐𝟒
� 𝟏� �
(�, �) (�, 𝟏�) (𝟐𝟒, �)
�
�
(�, ��)
��
(�, 𝟏�) 𝟏�
�� + 𝟐� = ��
�� + 𝟒� = 𝟕𝟐−𝟐� = −𝟏𝟐
-
� = −𝟏𝟐
−𝟐
� = �
�� + 𝟐� = ��
�� + 𝟐(�) = ��
�� + 𝟏𝟐 = ��
�� = ��
− 𝟏𝟐
�� = 𝟒�
� = 𝟏�
(𝟏�, �)
(𝟐�, �) (𝟐𝟒, �)
𝟐� 𝟐𝟒
� = 𝟏𝟕. 𝟓��� + 𝟏𝟒. 𝟓���
(�, ��) (𝟏�, �) (𝟐𝟒, �)
� = 𝟏𝟕. 𝟓��(�) + 𝟏𝟒. 𝟓��(��) = 𝟒�𝟓. ���
� = 𝟏𝟕. 𝟓��(𝟏�) + 𝟏𝟒. 𝟓��(�) = ��𝟕. ���
� = 𝟏𝟕. 𝟓��(𝟐𝟒) + 𝟏𝟒. 𝟓��(�) = 𝟒𝟐�. ���
Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 50 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 70 kg, sedangkan untuk kelas ekonomi 30 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 2100
kg. Jika harga untuk kelas utama Rp.250.000,- per orang dan kelas ekonomi Rp.175.000,-. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh maskapai penerbangan itu adalah…
Jawab
K.Utama (�) K.Ekonomi (�) Kapasitas
Bagasi 70 30 2100
Daya tampung 1 1 50
Harga 250.000 175.000
𝟕�� + ��� ≤ 𝟐𝟏��
� + � ≤ 𝟓�
𝟕� + �� ≤ 𝟐𝟏�
� + � ≤ 𝟓�
Z maksimum = 𝟐𝟓�. ���� + 𝟏𝟕𝟓. ����
� ≥ �
� ≥ �
𝟕� + �� ≤ 𝟐𝟏�
� � ��
� 𝟕� �
(�, �) (�, 𝟕�) (��, �)
� + � ≤ 𝟓�
� � 𝟓�
� 𝟓� �
(�, �) (�, 𝟓�) (𝟓�, �)
�
�
(�, 𝟕�) 𝟕�
(�, 𝟓�) 𝟓�
𝟕� + �� = 𝟐𝟏�
� + � = 𝟓�
𝟒� = ��
-
��
� = 𝟒
� = 𝟏𝟓
� + � = 𝟓�
𝟏𝟓 + � = 𝟓�
� = 𝟓�
− 𝟏𝟓
� = �𝟓 (𝟏𝟓, �𝟓)
(��, �) (𝟓�, �)
��
𝟓�
� = 𝟐𝟓�. ���� + 𝟏𝟕𝟓. ����
(�, 𝟓�) (𝟏𝟓, �𝟓) (��, �)
� = 𝟐𝟓�. ��� � + 𝟏𝟕𝟓. ���(𝟓�) = �. 𝟕𝟓�. ���
� = 𝟐𝟓�. ��� 𝟏𝟓 + 𝟏𝟕𝟓. ���(�𝟓)= 𝟗. �𝟕𝟓. ���
� = 𝟐𝟓�. ��� �� + 𝟏𝟕𝟓. ���(�) = 𝟕. 𝟓��. ���
�𝟏
��
𝟕� + �� = 𝟐𝟏�
�� + �� = 𝟏𝟓�
Mobil pick up dan mobil truk akan digunakan untuk mengangkut 1.000 �� pasir. Satu kali jalan, pick up
dapat mengangkut 2 �� pasir dan truk 5 �� pasir.
Untuk mengangkut pasir tersebut diperlukan jumlah truk dan pick up paling sedikit 350 buah, dengan
biaya
angkut pick up satu kali jalan Rp.15.000,- dan truk Rp. 30.000,-. Biaya minimum untuk mengangkut pasir tersebut adalah …
Jawab
Pick Up (�) Truk (�) Kapasitas
Pasir 2 5 1.000
Kendaraan 1 1 350
Harga 15.000 30.000
𝟐� + 𝟓� ≥ 𝟏���
� + � ≥ �𝟓�
Z minimum = 𝟏𝟓. ���� + ��. ����
� ≥ �
� ≥ �
𝟐� + 𝟓� ≥ 𝟏���
� � 𝟓��
� 𝟐�� �
(�, �) (�, 𝟐��) (�, 𝟓��)
� + � ≥ �𝟓�
� � �𝟓�
� �𝟓� �
(�, �) (�, �𝟓�) (�𝟓�, �)
�
� (�, �𝟓�)
�
�𝟓�
(�, 𝟐��) 𝟐��
𝟐� + 𝟓� = 𝟏���
� + � = �𝟓� �� = ���
-
� = ���
�
� = 𝟏��
� + � = �𝟓�
� + (𝟏��) = �𝟓�
� = �𝟓�
− 𝟏��
� = 𝟐��
(𝟐𝟓�, 𝟏��)
(�𝟓�, �) (𝟓��, �)
�𝟓�
𝟓��
� = 𝟏𝟓. ���� + ��. ����
(�, �𝟓�) (𝟐𝟓�, 𝟏��) (𝟓��, �)
� = 𝟏𝟓. ��� � + ��. ���(�𝟓�) = 𝟏�. 𝟓��. ���
� = 𝟏𝟓. ��� 𝟐𝟓� + ��. ���(𝟏��) = �. 𝟕𝟓�. ���
� = 𝟏𝟓. ��� 𝟓�� + ��. ���(�) = 𝟕. 𝟓��. ���
�𝟏
�𝟐
𝟐� + 𝟓� = 𝟏���
𝟐� + 𝟐� = 𝟕��