MATEMATIKA
ADIS ARIQOH
X RPL 01 / 03
PROGRAM LINEAR
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
SPtLDV adalah Pertidaksamaan yang terdiri dari dua variabel (x dan y). Berikut adalah ciri-ciri :
• Dua variabel → ada dua variabel, yaitu x dan y.
• Lambang dari pertidaksamaan → selain sam a dengan (=), berarti ≠, >, <, ≥, dan ≤.
• Linear → berarti bentuk aljabar dengan pang kat tertinggi satu (garis lurus), tidak ada kuad rat 2, 3, dst.
Langkah Penyelesaian :
• Cari titik x saat y = 0 dan sebaliknya.
• Gambar grafik yang men ghubungkan kedua titik.
• Arsir daerah yang berses uai dengan tanda.
SOAL
Tentukan daerah penyelesaia n dari sistem pertidaksamaan berikut ini!
2x + 3y ≤ 64x + y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0 JAWABAN
Ubah pertidaksamaan menja di sama dengan dan tentukan titik poinnya. Gambar titik po tong dari kedua persamaan. L akukan uji titik untuk mendap atkan daerah penyelesaianny a.
CONTOH
PROGRAM LINEAR
MODEL MATEMATIKA
Model Matematika
Model matematika adalah ur aian secara matematika (serin g kali menggunakan fungsi at au persamaan) dari fenomen a dunia nyata.
Langkah-langkah menuliskan persoalan model matematika sebagai berikut.
• Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dala m sebuah tabel.
• Buat permisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
• Buat sistem pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui.
• Tentukan fungsi objektif.
• Selesaikan model matematika tersebut untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objekti f.
SOAL
Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 meter kain sutera, 15 meter katun, dan 11 meter kain wool yang akan dibuat dua model pakaian dengan peri ncian sebagai berikut.
Model A membutuhkan 2 m sutera, 1 m wool, dan 1 m katun per unit.Model B m embutuhkan 1 m suteral, 2 m wool, dan 3 m katun per unit.
Keuntungan pakaian model A Rp3.000,00 per unit dan keuntungan pakaian mod el B Rp5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keunt ungan yang sebesar-besarnya.
CONTOH
JAWABAN
f(x, y) = 3.000x + 5.000y dengan ke ndala:
2x + y ≤ 16 x + 3y ≤ 15 x + 2y ≤ 11 x ≥ 0; y ≥ 0
f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000 f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000 f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000 f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000
Dari hasil substitusi titik ekstrem tersebut, diperoleh bahwa keuntungan maksimum adalah Rp31.000,00, yaitu dengan membuat 7 unit model pakaian A dan 2 unit model pakaian B.
CONTOH
PROGRAM LINEAR
NILAI OPTIMUM DAN MINIMUM FUNGSI OBJEKTIF
Nilai Optimum
Nilai optimum adalah nilai maksimum atau minimum pada suatu program linear. Fungsi yang dicari nilai optim umnya disebut sebaga i fungsi objektif atau f ungsi tujuan (fungsi sa saran),
cara menentukan nilai optimum dengan dua metode, yaitu:
1. Poligonal dan Titik Ekstrem
Cara menentukannya berdasarkan irisan dari sejumlah penyelesaian yang membentuk suatu polgional (segi b anyak). Titik P disebut titik ekstrem dari poligonal, jika P adalah titik potong garis yang membentuk poligonal tersebut.
2. Garis Selidik
Garis selidik adalah garis fungsi tujuan yang digeser se cara sejajar. Misal, fungsi tujuannya adalah f (x, y) = px
= qy, maka garis selidiknya px = qy = k. Untuk (x, y) tert entu, k adalah nilai dari fungsi tujuan tersebut.
Nilai Optimum
Adapun langkah penyelesaiannya, yaitu:
• Tentukan variabel model matematikanya (x dan y).
• Tentukan jenis masalah, nilai maksimum, atau minimumnya.
• Bentuk fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendalanya.
• Tentukan daerah penyelesaian dan gambar grafiknya yang diperoleh dari p oligon serta titik ekstremnya.
• Substitusikan fungsi tujuan ke titik ekstrem tersebut atau gunakan garis seli dik.
SOAL
1. Diketahui fungsi kuadrat: f(x) = 8x2 16x 1 Tentukan:
a. Bentuk grafik fungsi kuadrat
b. Nilai optimum dan titik optimum JAWABAN
f(x) = 8x2 16x 1 a = 8, b = 16, c = 1
a. Sebab a < 0, berarti grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang menghadap ke bawah (terbuka ke bawah).
b. Nilai optimum:
Nilai optimum ini merupakan nilai maksimum, karena grafik fungsi kuadrat meng hadap ke bawah. Oleh sebab itu, titik optimumnya (1, 7).
CONTOH
