TEOREMA GREEN; STOKES DAN DIVERGENSI

(1)

TEOREMA GREEN;

STOKES DAN DIVERGENSI

DEPARTEMEN ELEKTRO UI

(2)

TEOREMA GREEN

 Untuk P(x,y) ; Q(x,y) adalah fungsi kontnyu, punya turunan parsial pertama, terletak pada suatu bidang, maka menurut Teorema Green :

dimana R daerah tertutup yg dibatasi oleh C

( )

C R

dx dy dxdy

x y

 

  

 

 



^P ^Q ^Q ^P

(3)

(4)

(5)

TEOREMA STOKES

Tangensial komponen dari suatu vektor A di sekeliling lengkung tertutup C sama dengan integral luas dari komponen normal dari rotasi A jika dikenakan pada permukaan S yang dibatasi oleh C

. ( )

C S

d    d

 

 A r A n S

(6)

CONTOH Soal

S adalah permukaan setengah bola

x² + y² + z² = 1

1 -1

x

z

A  (2 x y  )i - yz

2

j - y z

2

k

(7)

Contoh soal lanjutan

Keliling C adalah lingkaran pada bidang xy berjari- jari 1(satu) dan berpusat dititik (0,0). Lintasan C ditulis dalam koordinat polar

x = cos t y = sin t z = 0 0  t  2

Maka :

2 2

2

0

(2 ) - -

(2cos sin )( sin )

C C

d x y dx yz dy y zdz

t t t dt



  

  



 





^A ^r



(8)

2 2

2 2 2

. ( )

2

( 2 2 ) (0 0) (0 1) k

2 i 2 j 2 k

i j k

4( )

( )

C S

d d

i j k

x y z

x y yz y z

yz yz i j k

x y z

z

  

  

 

  

  

      



 

   

 

  

 

n



^{A r} ^{A n S}

A

n

A

Te ore ma - S toke s

(9)

1

2

( )

( 1 )

Terbukti Teorema Stokes !!!

S S

R

R R

dS z dS z dxdy

n k z dxdy dxdy

z

 

   



 

  

 

A n

(10)

TEOREMA DIVERGENSI

Integral Luas dari komponen normal suatu vektor A meliputi suatu luas tertutup, sama dengan integral dari divergensi A terhadap volume yang ditutupi oleh luas tersebut

V S

dV dS

   

 A  A n

(11)

CONTOH Soal

A=(2x-z)I + x²yj - xz²k Terhadap daerah

yang dibatasi oleh

 x=0 , x=1

 y=0 , y=1

 z=0 , z=1 _A

G

F D E

0

C B

x

y z

(12)

A G

F D E

0

C B

x

y z

1 1

0 0 1 1

0 0 0

1 1 2 0 0

(2 ) 3 2 ,n i x 1

1 2 ,n -i x 0

1 3 ,n j y 1

DEFG

ABC

ABEF

dS z dydz

dS z dydz dS x dxdz

     

    

 

A n A n A n

k xz yj

x i

z x

A  ( 2  ) 

²



²

(13)

A G

F D E

0

C B

x

y z

1 1

0 0 1 1

0 0 0

0 0 ,n y 0 dx 12 ,n k z 1 0 0 ,n z 0

3 2 12 13 0 12 0 116

OGDC

BCDE

AFG

S

dS dxdz j

dS x dy

dS dxdz k

TOTAL dS

     

      

     

        

 



A n

k xz yj

x i

z x

A  ( 2  ) 

²



²

(14)

 



1 1 1

2 0 0 0

1 1

0 0 1

0

2 1

0

(2 2 )

73 7 3

7 1 7 1 11

3 2 3 2 6

S V

V

dS dV

dV x xz dxdydz

z dydz

z dz

z z

   

    

 

    

 

 





A n A

A

TEOREMA - DIVERGENS I