Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green

(1)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny 142

TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN

Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu:

Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green Teorema Gauss

Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan.

Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss.

Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah

Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang keluar dari sebuah elemen volume . Oleh karena itu, maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam permukaan tertutup S adalah

Jadi,

Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss

URAIAN MATERI

(2)

Berikut definisi dari Teorema Gauss.

Definisi Teorema Gauss

Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka

Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!

Contoh 1

Hitunglah di mana dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh . Penyelesaian

Menurut teorema divergensi

Maka,

CONTOH SOAL

0

1 1

1

(3)

Jadi

Contoh 2

Hitunglah di mana S adalah suatu permukaan tertutup Penyelesaian

Menurut teorema divergensi,

di mana V adalah volume benda yang dibatasi S.

(4)

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!

Latihan 1

Hitung untuk pada daerah yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Gambar daerah yang dimaksud adalah seperti di bawah ini

Maka

LATIHAN TERBIMBING

(5)

Latihan 2

Jika S adalah permukaan tertutup sebarang yang menutupi sebuah volume V dan , maka buktikan bahwa . Penyelesaian

Maka,

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!

Latihan 1

Hitunglah di mana F i j dan S adalah LATIHAN MANDIRI

(6)

(a) permukaan balok yang dibatasi oleh

(b) permukaan daerah yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Latihan 2

Hitung di mana F i j dalam daerah pejal S yang dibatasi oleh tabung parabol dan bidang-bidang .

Penyelesaian

(7)

Latihan 3

Buktikanlah bahwa untuk suatu permukaan tertutup S.

Penyelesaian

(8)

Latihan 4

Buktikan Penyelesaian

(9)

Latihan 5

Hitung melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi oleh silinder , jika

Penyelesaian

(10)

Kunci Jawaban

Latihan 1 : (a) 30, (b) 351/2 Latihan 2 : 4/3

Latihan 5 : 18

Kesimpulan

Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

(11)

Teorema Stokes

Coba Anda perhatikan gambar di samping!

Apa yang Anda lihat?

Pada gambar tampak seorang ibu dan bapak sedang mendorong mobil. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti mereka telah melakukan usaha.

Sebelumnya, kita telah mempelajari

bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3.

Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan menggunakan teorema Stokes.

Berikut definisi Teorema Stokes Teorema Stokes

Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka

Dari rumus di atas dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.

Materi pokok pertemuan ke 14: 2. Teorema Stokes

URAIAN MATERI

(12)

Contoh 1

Hitunglah dengan menggunakan teorema Stokes jika diketahui , dimana S adalah separuh dari permukaan bola bagian atas dan C batasnya.

Penyelesaian

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah dimana . Berdasarkan teorema Stokes . Maka berdasarkan teorema Stokes

CONTOH SOAL

(13)

Jadi, .

Contoh 2

Buktikan Penyelesaian

Misalkan dalam teorema Stokes, di mana C sebuah vektor konstan.

Maka

Karena vektor C vektor konstan sebarang maka

Latihan 1

Gunakan teorema Stokes untuk menghitung dengan , dimana S adalah permukaan paraboloida yang dibatasi oleh dan C sebagai batasnya

LATIHAN TERBIMBING

(14)

Penyelesaian

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah dimana . Berdasarkan teorema Stokes . Maka,

Latihan 2

Hitunglah di mana dan C adalah perpotongan bidang dengan silinder

Penyelesaian

Integral garis pada soal ini akan mudah dipecahkan dengan menggunakan teorema Stokes, yaitu .

(15)

Misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva C tersebut, maka permukaan S terlihat pada gambar berikut

yaitu suatu permukaan dengan persamaan dan dibatasi oleh silinder Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah

(16)

Jadi ...

Latihan 3

Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung dengan danC berupa kurva segitiga pada gambar berikut

Penyelesaian

Misalkan S berupa kurva dengan C sebagai batas terarahnya, yaitu . Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah

y

x

z

(1,0,0)

(0,1,0) (0,0,2)

C

(17)

Jadi

Latihan 1

Misalkan S bagian dari permukaan bola di bawah bidang , dan misalkan . Gunakan teorema Stokes untuk menghitung

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

(18)

Latihan 2

Periksa kebenaran Teorema Stokes untuk jika S adalah paraboloid dengan lingkaran sebagai batasnya.

Penyelesaian

(19)

Latihan 3

Periksa kebenaran teorema Stokes untuk di mana S adalah permukaan kubus di atas bidang

Penyelesaian

(20)

Latihan 4

Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk di mana S adalah permukaan daerah yang dibatasi oleh yang termasuk dalam bidang .

Penyelesaian

(21)

(22)

Kunci Jawaban Latihan 1: - Latihan 2 : Latihan 3 : - 4 Latihan 4 : 32/3

Kesimpulan

(23)

TEOREMA GREEN

Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya.

Sedangkan, teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes.

Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan menggunakan teorema Green dalam bidang.

Nah, berikut definisi Teorema Green.

Definisi Teorema Green

Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka

Jika menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana , maka adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C. Yaitu

Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah Materi pokok pertemuan ke 15: 3. Teorema Green

URAIAN MATERI

(24)

Jadi, selain perhitungan dengan menggunakan integral garis, menentukan besar usaha yang dilakukan juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema Green.

Contoh 1

Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu koordinat memotong C paling banyak pada dua titik

Penyelesaian

Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah dan Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, diperoleh

Sehingga diperoleh

CONTOH SOAL

(25)

Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF berturut-turut adalah dan Maka

Sehingga diperoleh

Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat

Contoh 2

Periksa teorema Green pada bidang untuk dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh dan

Penyelesaian

Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1). Arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar

(26)

Sepanjang integral garisnya sama dengan

Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 – 17/15 = 1/30 Dengan menggunakan teorema Green

Dengan demikian selesailah pemeriksaan teorema Green.

Contoh 3

Perlihatkan bahwa jika suatu daerah S pada bidang mempunyai batas C , dengan C adalah kurva tertutup sederhana, maka luas S diberikan oleh

Penyelesaian

Misalkan dan terapkan teorema Green

(27)

Latihan 1

Hitunglah di mana C adalah suatu bujur sangkar dengan titik sudut (0, 0), (0,2), (2,2), (2,0)

Penyelesaian

Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut

Berdasarkan teorema Green

Maka

Jadi, LATIHAN TERBIMBING

(2,2) (0,2)

(0,0) (2,0)

(28)

Latihan 2

Gunakan hasil contoh 3 untuk mencari luas yang dilingkupi oleh elips dengan persamaan parameter

Penyelesaian

Latihan 3

Hitunglah di sekeliling suatu segitiga pada bidang dengan titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dijalani berlawanan arah dengan jarum jam.

Penyelesaian

Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut

Berdasarkan teorema Green

Maka

x y

(29)

Jadi,

Latihan 1

Hitunglah integral garis pada soal latihan 3(terbimbing) di sekeliling suatu lingkaran berjari-jari 4 dan berpusat di (0,0)

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

(30)

Latihan 2

Hitunglah mengelilingi batas daerah yang didefinisikan oleh dan (a) secara langsung, (b) menggunakan teorema Green

Penyelesaian

(31)

Latihan 3

Hitunglah sepanjang jajar genjang yang memiliki titik-titik sudut di (0,0), (2,0), (3,1), dan (1,1).

Penyelesaian

(32)

Kunci Jawaban Latihan 1 : 64 Latihan 2 :128/5 Latihan 3 : -6

Kesimpulan