TEORI ANTRIAN
KELOMPOK 10
Agustin Richardo 4173530003 Jesayas Polino Sirigo 417353017
Jimmy Hardy Boy Silalahi 417353011
Riset Operasi Lanjutan Dosen : Dr. Nerli Khairani, M.SI.
Teori antrian merupakan studi matematis mengenai antrian atau waiting lines yang di dalamnya disediakan beberapa alternatif model matematika yang dapat digunakan untuk menentukan beberapa karakteristik dan optimasi dalam pengambilan keputusan suatu sistem antrian. Sistem antrian adalah himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan danpelayanannya.
Tujuan penggunaan teori antrian adalah untuk merancang fasilitas pelayanan, untuk mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya yang diperlukan selama antri.
-Ruang lingkup antrian
• AntrianOrang (antrimengambiluang di atm, anti belikarcis, dll)
• Lamanyawaktumenunggutergantungkecepatanpelayanan
• TeoriAntrianpertamadikemukakanoleh A.K. Erlang (1910)
Masalah : Operator telepon yang menjadi kewalahan melayani para penelpon diwaktu – waktu sibuk sehingga penelpon harus antri cukup lama menunggugiliran untuk dilayani.
-Aturan antiran
1. FIFO : First In First Out
Kedatangan pelanggan pertama menerima pelayanan lebih dulu.
Contoh :Membeli tiket Bioskop 2. LIFO : Last In First Out
Kedatangan Terakhir menerima pelayanan lebih dulu.
Contoh :Pembongkaran barang dari truk
3. Random (Acak)
Penerimaan pelayanan secara acak.
Contoh :Penanganan terhadap pasien gawat dirumah sakit, pengawasan mutu barang dalam quality kontrol
-Terminologi Antrian
• Kedatangan (Arrival) : datangnya pelanggan (orang / barang) untuk dilayani.
Mengikuti distribusi poisson dan bebas terhadap kedatangan sebelum dan sesudah
• Waktu pelayanan : lama pelayanan sampai selesai
• Waktumenunggu :waktu menunggu untuk dilayani atau waktu menunggu selama dalam sistem
• Satuan penerima pelayanan (spp) = pelanggan = costumer
• Pemberi Pelayanan (PP) = server (orang : Kasir, teller, penjualtiket ; barang :Mesinotomatis)
• Rata – rata kedatangan (rkk) :banyaknya kedatangan spp per satuan waktu
.• Rata – rata pelayanan (rpp) :banyaknya pelayanan yang dapat diberikan dalam waktu tertentu.
- Sifat Pemanggilan Populasi
Populasi yang dimaksud dalam teori antrian merupakan seluruh target pelanggan yang sedang dan akan mengunakan fasilitas pelayanan, sedangkan yang dimaksud dengan pelanggan tidak selalu berupa manusia, melainkan dapat berupa produk atau benda lain yang melakukan aktivitas mengantri untuk dilayani atau diproses oleh satu atau lebih fasilitas pelayanan.Menurut Levin dkk (1997), tiga bagian sistem antrian akan dijelaskan sebagai berikut:
Sifat pemanggilan populasi Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang akan kita uraikan:
a. Besar kecilnya pemanggilan populasi
Pemanggilan populasi bisa tidak terbatas, bisa pula terbatas. Contoh sehari-hari pemanggilan populasi tidak terbatas antara lain adalah mobil yang tiba di gerbong tol, pasien yang datang ke kamar darurat. Contoh pemanggilan populasi terbatas adalah tiga perkakas tenun dalam pabrik pemintalan yang memerlukan pelayana operator secara terus menerus atau empat mobil dari sebuah perusahaan kecil yang mengunjungi fasilitas reparasi secara periodik.
b. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi
Elemen/subyek pemanggilan populasi bisa tiba pada fasilitas pelayanan dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak. Bila kedatagannya acak, kita harus tau probabilitasnya melalui waktu antara kedatangan. Analisis IM/OR telah mendapati bahwa kedatangan acak paling cocok diuraikan melalui distribusi Poisson
c. Tingkah laku pemanggilan populasi
Pemanggilan populasi dan subyeknya mempunyai tingkah laku yang berbeda dalam memasuki deretan. Secara rutin kita terpaksa masuk ke pompa bensin meskipun pompa itu sagat ramai, dan kita akan mau menunggu dalam deretan selama beberapa jam untuk mendapatkan karcis pertunjukan yang sangat kita minati.
-Struktur Dasar Antrian
Sistem antrian memiliki struktur dasar sebagai acuan untuk memberikan solusi antrian yang tepat. Jenis pelayanan yang kita terapkan cocoknya pakai model yang mana. Berikut ini saya akan membahas tentang 4 model dasar sistem antrian yang sudah umum, yaitu :
1. Single Channel – Single PhaseSingle Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki system pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan.
2. Single Channel – Multi PhaseIstilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phasephase). Sebagai contoh : pencucian mobil.
3. Multi Channel – Single Phase
Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi kapan saja di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini adalah antrian pada teller sebuah bank.
4. Sistem Multi Channel – Multi Phase Sebagai contoh, herregistrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari
pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem – sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya (Subagyo,
2000).
Keempat model dasar sistem antrian tersebut diatas, memiliki disiplin antrian yaitu FCFS ( First Come First Serve ), artinya orang yang datang pertama dilayani pertama juga. Tujuan utama solusi antrian adalah tercapainya kedisiplinan antrian pelayanan yang diterapkan sehingga tercapai kepuasan pelayanan pelanggan
. Sebelum Anda memilih type sistem mesin antrian yang Anda gunakan, terlebih dahulu Anda perlu paham dengan alur manajemen pelanggan ( Customer Flow Management ) pada pelayanan Anda. Jika sudah memahami alur kerja pelayanan Anda selanjutnya mudah untuk menentukan solusi mesin antrian yang tepat guna dengan harga mesin antrian yang terjangkau.
-Notasi Model Antriann
n= jumlah pelanggan dalam system
Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam system λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan
waktu
μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani persatuan waktu
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam system P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan
Ls = jumlah rata-rata pelanggan dlm system
Lq = jumlah pelanggan yang menunggu dalam antrian Ws = waktu rata-rata dalam system
Wq = waktu rata-rata selama menunggu dalam antrian 1/μ = waktu rata-rata pelayanan
1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan
- Notasi Umum Model Antrian ( A / B / C );( D / E/ F )
Dimana :
A = distribusi waktu antar kedatangan (arrival distribution) B = distribusi waktu pelayanan
C = jumlah salruran pelayanan/fasilitas pelayanan dalam sistem (s = 1, 2, 3, … , ) D = disiplin antrian
E = ukuran populasi atau sumberF = jumlah konsumen maksimum yang diperkenankan dalam sistem (dalam pelayanan ditambah garis tunggu)
Keterangan : 1. Untuk A dan B, dapat digunakan kode-kode berikut :
M = Distribusi Poisson atau distribusi eksponensial (Markovian) D = Distribusi Degenerasi (waktu konstan)
Ek = Distribusi Erlang G = Distribusi umum
2. Untuk C, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan.
3. Untuk D, gunakan kode-kode pengganti FIFO, LIFO, atau SIRO.
4. Untuk E dan F, digunakan kode :N = Jumlah terbatas∞ = Tak berhingga
Contoh : -Model (M/G/1)artinya : Model menyatakan waktu antar kedatangan didistribusikan secara eksponensial, waktu pelayanan tidak ada batasan, dan jumlah pelayan adalah 1.x
-Model Antrian Satu Saluran Satu Tahap (M/M/1)artinya : Model menyatakan waktu antar kedatangan didistribusikan secara poisson, waktu pelayanan didistribusikan secara eksponensial, jumlah pelayan adalah satu, disiplin antrian adalah First-In First-Out, tidak berhingga jumlah langganan yang boleh masuk dalam sistem antrian, dan ukuran populasi masukkan adalah tak berhingga
Karakteristik : 1. Tingkat Intensitas Fasilitas PelayananDisebut juga tingkat kegunaan fasilitas (P), adalah hasil bagi antara laju kedatangan dan laju pelayanan. Makin besar harga P maka makin panjang antrian danSebaliknya.
2. Probabilitas Kepastian n Pelanggan dalam SistemJika P adalah peluang bahwa sistem antrian sibuk, maka 1-P adalah sebaliknya (artinya peluang bahwa sistem antrian tidak mempunyai pelanggan)
maka
3. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Sistem
Misal Ls merupakan jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem yang mencakup pelanggan yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Antrian
Misal Lq merupakan jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian.
5. Waktu Rata-Rata dalam Sistem
Misal WS merupakan waktu rata-rata bahwa seorang pelanggan akan menghabiskan waktunya dalam sistem.
Model (M / M / s )
Merupakan model antrian fasilitas pelayanan (server) ganda. Diasumsikan rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada tingkat pelayanan keseluruhan (agregat) atau penjumlahan segenap rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur.
Syarat & kondisi lain sama dengan Model Server Tunggal Karakteristik : 1. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan
2. Probabilitas Kepastian n Pelanggan dalam Sistem
3. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Sistem
4. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Antrian
5. Waktu Rata-Rata dalam Sistem
6. Waktu Rata-Rata dalam Antrian
Simulasi
Contoh Kasus 1
Seorang Tenaga Akademik bekerja di Jurusan Manajemen mulai pukul 08.00 am sampai dengan 16.00 sore. Pada hari tertentu Tenaga Akademik ini harus melayani 1 Mahasiswa dalam 4 menit. Rata – rata waktu pelayanan setiap mahasiswa 2,5 menit. Hitunglah :
a. Berapa banyak mahasiswa yang dilayani selama jam kerja?
b. Probabilitas bahwa fasilitas pelayanan sedang menganggur?
c. Probabilitas bahwa ada sejumlah mahasiswa dalam system antrian?
d. Rata – rata banyak mahasiswa dalam sistem,?
e. Ratas – rata waktu menunggu setiap mahasiswa sebelum menerima pelayanan?
Penyelesaian.
A.Berapa banyak mahasiswa yang dilayani selama jam kerja?
• Waktu bekerja selama sejam adalah 60 meniT
• Setiap 4 menit, seorang mahasiswa dating
• Setiap mahasiswa dilayani 2,5 menitPerlu diketahui :Tingkat kedatangan rata – rata : 60/4 = 15 orang / jamTingkat pelayanan rata – rata mahasiswa ; 15 x 2,5 = 37,5 orang / j
Contoh Kasus 2PT
CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 kendaraan per jam, dengan waktu pelayanan setiap kendaraan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial.
Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah :1.
Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)
2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam system 3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalamantrian
4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)
5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian
Penyelesaian
λ = 20 dan μ = 25
1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan atau P
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya (1 – P) yang sering disebut idle time akan digunakan operator untuk istirahat, dll
2.
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam system
.
3.
Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20 kendaraan
4.
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
5
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit
.
Contoh Kasus 3
Calon penumpang kereta api datang pada 3 loket dengan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 75 calon pelanggan per jam. Jika waktu pelayanan diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 2 menit. Carilah operating characteristics setelah sistemdiasumsikan steady state !
Penyelesaian :
Diketahui : λ = 75 calon pelanggan per jam μ = 30 calon pelanggan per jam s = 3 loket
1 .Probabilitas tidak ada pelanggan dalam system
2. Jumlah rata-rata calon penumpang dalam antrian
3. Jumlah rata-rata calon penumpang dalam system
4. Waktu menunggu setiap calon penumpang selama dalam antrian
5. Waktu setiap calon penumpang berada dalam system
Contoh Kasus 4 :
Penumpang kereta api datang pada sebuah loket mengikuti distribusi Poisson dengantingkat rata-rata 20 per jam. Misalkan secara rata-rata setiap penumpang dilayani 2 menit dan waktu layanan mengiluti distribusi eksponensial. Setelah sistem dalam steady state, carilah: a) P4 ; b) L ; c) Lq ; d) W ; e) Wq ; f) P0 atau I ; g) Berapa probabilitas pengantri tidak mendapat tempat duduk jika kursi yang disediakan di depan loket hanya 3?
Penyelesaian :
Tingkat kedatangan rata-rata l = 20 per jam, dan tingkat pelayanan rata-rata μ = 30 per jam. Sehingga R = 2/3
Contoh Kasus 5
Misalkan kepala stasiun mengetahui dengan mengganti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang lebih trampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namum upah penjaga yang trampil adalah Rp. 1200 per jam, yang berarti dua kali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga memperkirakan biaya menunggu pengantri adalah Rp. 50 per menit.
Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yang ada dengan penjaga yang lebih trampil?
Penyelesaian :Ciri-ciri sistem yang diperlukan untuk menganalisis masalah itu adalah Wq dan I, yang dihitung seperti berikut:
Kasus 1: Pelayan yang ada memberikan μ = 30 penumpang.
Kasus 2:
Pelayan trampil memberikan μ = 40 penumpang
Karena tingkat kedatangan rata-rata l = 20 per jam dan loketdibuka 8 jam sehari, maka banyaknya pengantri diperkirakan 160. sehingga jumlah waktu menunggu 160 X 4 = 640 menit untuk kasus 1 dan 160 X 1,5 = 240 menit untuk kasus 2.
pelayan yang ada dibayar 600 X 8 = Rp. 4.800,- dan pelayan trampil dibayar 1200 X 8 = Rp. 9.600,-. Berikut ditunjukkan ringkasan kedua unsur biaya:
Sehingga dengan mengganti pelayan yang ada dengan pelayan trampil, kepala stasiun dapat menurunkan biaya tunggu pengantri sebanyakRp.
20.000,- (=32.000-12.000) dengan peningkatan biaya pelayanan Rp.
4.800,- (= 9600-4800). Jadi penggantian pelayan akan menurunkan biaya total. Tetapi mungkin biaya total bukan satu-satunya pertimbangan dalam merancang fasilitas antri.
KESIMPULAN
-Teori antrian merupakan studi matematis mengenai antrian atau waitin lines yang di dalamnya disediakan beberapa alternatif model matematika yang dapat digunakan untuk menentukan beberapa karakteristik dan optimasi dalam pengambilan keputusan suatu sistem antrian
-Tujuan penggunaan teori antrian adalah untuk merancang fasilitas pelayanan, untuk mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya yang diperlukan selama antri.
-Populasi yang dimaksud dalam teori antrian merupakan seluruh target pelanggan yang sedang dan akan mengunakan fasilitas pelayanan, sedangkan yang dimaksud dengan pelanggan tidak selalu berupa manusia, melainkan dapat berupa produk atau benda lain yang melakukan aktivitas mengantri untuk dilayani atau diproses oleh satu atau lebih fasilitas pelayanan.
-Struktur Dasar Antrian : 1. Single Channel – Single Phase 2. Single Channel – Multi Phase 3. Multi Channel – Single Phase 4. Multi Channel – Multi Phase
