TUGAS II ANALISIS DERET WAKTU

TUGAS II

ANALISIS DERET WAKTU

Oleh

Nama : Elisabeth Evelin Karuna

NPM : F1F019025

Dosen Pengampu : Dr. Fanani Haryo Widodo, M.Sc.

PROGRAM STUDI STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BENGKULU

2023

ASSIGNMENT II ANALISIS DERET WAKTU

1. Berikut ini adalah hasil deskriptif dan identifikasi awal dari suatu data time series (Gambar 1-S32 dan Gambar 1-S33) tentang demand produk “Z” dengan size data observasi time series N = 72, mean = 750, dan St.Deviasi = 25,5.

Gambar (1-S32). ACF untuk 𝑍_𝑡 Gambar (1-S33). PACF untuk 𝑍_𝑡 a. Berdasarkan bentuk ACF dan PACF diatas, model ARIMA order berapa yang

sesuai untuk data tersebut. Jelaskan alasan anda.

Jawab :

Berdasarkan plot ACF dan PACF dari data demand produk “Z” dapat dilihat bahwa model yang cocok adalah AR(2) atau ARIMA (2,0,0). Hal ini dikarenakan berdasarkan plot ACF terlihat bahwa bentuk grafik yang berpola dies down (menurun) mengikuti pola eksponensial atau gelombang sinus dan berdasarkan plot PACF terlihat bahwa lag 1 dan lag 2 signifikan, serta grafik PACF cut off (terputus) setelah lag ke 2.

b. Tentukan taksiran parameter-parameter model dugaan dengan menggunakan metode Yule-Walker atau metode momen. Tulis secara lengkap persamaan model ARIMA dugaan anda.

Jawab :

Model AR(2) : 𝑍_𝑡 = 𝜙₁𝑍_𝑡−1+ 𝜙₂𝑍_𝑡−2+ 𝑎_𝑡

Dalam metode momen, 𝜌₁ ditaksir dengan 𝑟₁, yaitu sampel autokorelasi pada lag 1.

Berdasarkan plot ACF dan PACF, diperoleh nilai 𝑟₁ = 0.90 dan 𝑟₂ = 0.69.

Sehingga, taksiran parameter untuk model AR(2) dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

𝜙̂₁ =𝑟₁(1 − 𝑟₂)

1 − 𝑟₁² 𝜙̂₂ =𝑟₂− 𝑟₁² 1 − 𝑟₁²

 𝜙̂₁

𝜙̂₁ = 𝑟₁(1 − 𝑟₂) 1 − 𝑟₁²

= 0.90(1 − 0.69) 1 − (0.90)²

= 0.90(0.31) 1 − 0.81

= 0.279 0.19

= 1.4684

 𝜙̂₂

𝜙̂₂ = 𝑟₂− 𝑟₁² 1 − 𝑟₁²

= 0.69 − (0.90)² 1 − (0.90)²

= 0.69 − 0.81 1 − 0.81

= −0.12 0.19

= −0.6316

Sehingga model AR(2) atau ARIMA(2,0,0) adalah sebagai berikut:

𝑍_𝑡 = 𝜙₁𝑍_𝑡−1+ 𝜙₂𝑍_𝑡−2+ 𝑎_𝑡

= 1.4684𝑍_𝑡−1− 0.6316𝑍_𝑡−2+ 𝑎_𝑡

Jadi, model AR(2) atau ARIMA(2,0,0) yang terbentuk adalah 𝑍_𝑡 = 1.4684𝑍_𝑡−1− 0.6316𝑍 + 𝑎 .

c. Hitung pula berapa nilai taksiran dari 𝜎² untuk model ini.

Jawab :

Diketahui: 𝑆 = 25.5 Ditanya: 𝜎² = ⋯ ? Penyelesaian:

𝜎² = (1 − 𝜙̂₁𝑟₁− 𝜙̂₂𝑟₂) 𝑆²

= (1 − ((1.4684)(0.90)) − ((−0.6316)(0.69))) (25.5)²

= (1 − (1.3216) − (−0.4358)) (650.25)

= (0.1142) (650.25)

= 74.2872

Jadi, nilai taksiran dari 𝜎² adalah sebesar 74.2872.

2. Berikut adalah hasil deskriptif dan identifikasi awal dari suatu data time series sebagaimana diberikan Gambar (1-S35) dan Gambar (1- S36).

Gambar (1-S35). ACF untuk 𝑍_𝑡 Gambar (1-S36). PACF untuk 𝑍_𝑡 a. Apa dugaan model yang sesuai untuk data ini.

Jawab :

Berdasarkan plot ACF dan PACF dari data yang ada dapat dilihat bahwa model yang cocok adalah MA(1) atau ARIMA (0,0,1). Hal ini dikarenakan berdasarkan plot ACF terlihat bahwa lag 1 signifikan dan grafik ACF cut off (terputus) setelah lag ke 1 dan berdasarkan plot PACF terlihat bahwa bentuk grafik yang berpola dies down (menurun) mengikuti pola eksponensial atau gelombang sinus.

b. Tentukan taksiran parameter-parameter model dugaan dengan menggunakan metode Yule-Walker atau metode momen.

Jawab :

Model MA(1) : 𝑍_𝑡 = 𝑎_𝑡− 𝜃₁𝑎_𝑡−1

Dalam metode momen, 𝜌₁ ditaksir dengan 𝑟₁, yaitu sampel autokorelasi pada lag 1.

Berdasarkan plot ACF dan PACF, diperoleh nilai 𝑟₁ = −0.452. Sehingga, taksiran parameter untuk model MA(1) dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

𝜃̂₁ = −1 ± √1 − 4𝑟₁² 2𝑟₁

 𝜃̂₁

𝜃̂₁ = −1 ± √1 − 4𝑟₁² 2𝑟₁

= −1 ± √1 − (4(−0.452)²) 2(−0.452)

= −1 ± √1 − (4(0.2043))

−0.9040

= −1 ± √1 − 0.8172

−0.9040

= −1 ± √0.1828

−0.9040

= −1 ± 0.4275

−0.9040

Sehingga diperoleh nilai estimasi parameter model MA(1) adalah sebagai berikut:

𝜃̂₁ = −1 + 0.4275

−0.9040 atau 𝜃̂₁ = −1 − 0.4275

−0.9040

= 0.6333 = 1.5791

Berdasarkan hasil estimasi parameter yang ada, diperoleh dua solusi atau dua nilai estimasi parameter dan hanya satu dari dua solusi itu yang akan memenuhi syarat

invertibilitas, yaitu ketika:

|𝜃₁| < 1

Sehingga, nilai estimasi parameter model MA(1) yang memenuhi |𝜃₁| < 1 adalah ketika nilai 𝜃̂₁ = 0.6333, dengan model MA(1) adalah sebagai berikut:

𝑍_𝑡 = 𝑎_𝑡− 𝜃₁𝑎_𝑡−1

= 𝑎_𝑡− 0.6333𝑎_𝑡−1

Jadi, model MA(1) atau ARIMA(0,0,1) yang terbentuk adalah 𝑍_𝑡 = 𝑎_𝑡− 0.6333𝑎_𝑡−1.

c. Hitung pula berapa nilai taksiran dari 𝜎² untuk model ini.

Jawab :

Diketahui: 𝑆 = 1.209 Ditanya: 𝜎² = ⋯ ? Penyelesaian:

𝜎² = 𝑆² 1 + 𝜃̂₁²

= (1.209)² 1 + (0.6333)²

= 1.4617 1 + 0.4011

= 1.4617 1.4011

= 1.0433

Jadi, nilai taksiran dari 𝜎² adalah sebesar 1.0433.

3. Hasil identifikasi suatu data time series tentang penjualan harian suatu produk dengan MINITAB menghasilkan dugaan model seperti output di Gambar (1- S37).

Gambar (1-S37)

a. Apa dugaan model yang sesuai untuk data ini. Tuliskan bentuk model matematis beserta nilai taksiran parameternya berdasarkan output tersebut. Kemudian interpretasikan arti model itu dikaitkan dengan penjualan harian produk Y.

Jawab :

Berdasarkan Gambar (1-S37), diperoleh bahwa:

 Nilai Estimasi Parameter

𝜇^′= 20 𝜙₁ = 0.6000 𝜙₂ = 0.2000

 Model Matematis

Model ARIMA(2,1,0) sebagai berikut:

𝑍_𝑡 = 𝜇^′+ 𝜙₁𝑍_𝑡−1+ 𝜙₂𝑍_𝑡−2+ 𝑎_𝑡

= 20 + 0.6000𝑍_𝑡−1+ 0.2000𝑍_𝑡−2+ 𝑎_𝑡

 Interpretasi

Berdasarkan model ARIMA (2,1,0) yang ada, diperoleh nilai konstanta sebesar 20, nilai koefisien AR(1) sebesar 0.6000, dan nilai koefisien AR(2) sebesar 0.2000. Untuk nilai koefisien AR(1) sebesar 0.6000, artinya jika terjadi peningkatan sebuah nilai pada satu periode sebelumnya (𝑡 − 1) sebesar 1 satuan, maka penjualan harian produk Y pada periode t akan meningkat sebesar 0.6 satuan,

𝜇^′= Konstanta

dimana yang lain dianggap konstan. Untuk nilai koefisien AR(2) sebesar 0.2000, artinya jika terjadi peningkatan sebuah nilai pada satu periode sebelumnya (𝑡 − 2) sebesar 1 satuan, maka penjualan harian produk Y pada periode t akan meningkat sebesar 0.2 satuan, dimana yang lain dianggap konstan.

b. Jika diperoleh nilai sampel ACF lag 1 s.d. 6 dari residual (error) model seperti ditunjukkan Tabel (1-S38), lakukan diagnostic checking untuk mengetahui apakah residual telah white noise. Apakah model sudah sesuai? Jelaskan.

Tabel (1-S38)

Jawab:

Diketahui:

𝑛 = 200 𝑘 = 1,2,3,4,5,6

Ditanya: Apakah model sudah sesuai?

Penyelesaian:

Untuk mengetahui model yang diperoleh telah sesuai atau belum dapat dilakukan dengan uji kesesuaian model, yaitu uji apakah residual telah white noise. Uji yang digunakan adalah uji Ljung-Box, dengan langkah pengujian hipotesis sebagai berikut:

a) Hipotesis

𝐻₀ ∶ 𝜌₁ = 𝜌₂ = ⋯ = 𝜌_𝑘 (Residual memenuhi syarat white noise)

𝐻₁ ∶ Minimal ada 𝜌_𝑖 ≠ 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 (Residual tidak white noise) b) Taraf pengujian

𝛼 = 5%

b) Statistik Uji

𝑄^∗ = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ 𝑟_𝑘² 𝑛 − 𝑘

𝐾

𝑘=1

= 200(200 + 2) ∑ 𝑟_𝑘² 𝑛 − 𝑘

6

𝑘=1

= 200(202) ( 𝑟₁²

200 − 1+ 𝑟₂²

200 − 2+ 𝑟₃²

200 − 3+ 𝑟₄²

200 − 4+ 𝑟₅²

200 − 5+ 𝑟₆² 200 − 6)

= 200(202) ((0.06)²

199 +(0.05)²

198 +(−0.01)²

197 +(−0.04)²

196 +(−0.06)²

195 +(−0.07)² 194 )

= 40400 (0.0036

199 +0.0025

198 +0.0001

197 +0.0016

196 +0.0036

195 +0.0049 194 )

= 3.3575

d) Kriteria Penolakan

Tolak 𝐻₀ jika 𝑄^∗> 𝜒_{𝛼;𝑑𝑓=𝐾−𝑝−𝑞}² Terima 𝐻₀ jika 𝑄^∗< 𝜒_{𝛼;𝑑𝑓=𝐾−𝑝−𝑞}² dimana:

𝜒_{𝛼;𝑑𝑓=𝐾−𝑝−𝑞}² = 𝜒0.05;𝑑𝑓=6−2−02 = 𝜒_0.05;4² = 9.48773 e) Kesimpulan

Berdasarkan hasil uji Ljung-Box yang ada, maka dapat dilihat bahwa nilai 𝑄^∗ = 3.3575 < 𝜒_{𝛼;𝑑𝑓=𝐾−𝑝−𝑞}² = 9.48773, maka terima 𝐻₀. Artinya, pada taraf nyata pengujian 5%, residual memenuhi syarat white noise. Sehingga dapat disimpulkan bahwa model yang diperoleh sudah sesuai.