TUGAS I ANALISIS DERET WAKTU

TUGAS I

ANALISIS DERET WAKTU

Oleh

Nama : Muhammad Arib Alwansyah, C. M. Stat

NPM : F2F022005

Dosen Pengampu : Dr. Fanani Haryo Widodo, M.Sc.

PROGRAM STUDI MAGISTER STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BENGKULU

2023

1. Jika diketahui 𝐸(𝑋) = 2, 𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 9, 𝐸(𝑌) = 0, 𝑣𝑎𝑟(𝑌) = 4, dan 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌) =

1

4, tentukan:

a. 𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) b. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋 + 𝑌) c. 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌) Jawaban

a. 𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌)

𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) + 2𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

= 9 + 4 + 2 (3 × 2 ×¹

4)

= 16 b. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋 + 𝑌)

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋 + 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) + 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

= 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

= 9 +3 2= 18

2 +3

2= 10.5 c. 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌)

𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌) [𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌)𝑣𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌)]^1/2

= 5

[(16)(10))]^1/2

= 5

[160]^1/2 = 5

√160= 5

√160

2. Jika X dan Y adalah independen, dan 𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑌), tentukan 𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌)

Jawaban

𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋 − 𝑌) + 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋 − 𝑌)

= 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) − 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) − 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑌)

= 𝑣𝑎𝑟(𝑋) − 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) − 𝑣𝑎𝑟(𝑌)

= 𝑣𝑎𝑟(𝑋) − 𝑣𝑎𝑟(𝑌) = 0

3. Diketahui {𝑎_𝑡} adalah suatu proses white noise dengan mean 0. Temukan fungsi autokorelasi untuk dua proses berikut ini:

a. 𝑍_𝑡= 𝑎_𝑡+¹

3𝑎_𝑡−1 b. 𝑍_𝑡= 𝑎_𝑡+ 3𝑎_𝑡−1

c. Anda akan memperoleh bahwa kedua proses adalah stasioner dan mempunyai fungsi autokorelasi yang sama. Apa yang membedakan kedua proses itu dengan dasar pengamatan {𝑍_𝑡}?

Jawaban

a. 𝑍_𝑡 = 𝑎_𝑡+¹

3𝑎_𝑡−1

𝜌₁ = 𝛾₁

𝛾₀ = 𝜃₁

1 + 𝜃₁² = −1 3 1 + (−1

3)

2 = − 3 10

b. 𝑍_𝑡 = 𝑎_𝑡+ 3𝑎_𝑡−1

𝜌₁ = 𝛾₁

𝛾₀ = 𝜃₁

1 + 𝜃₁² = −3

1 + (−3)² = − 3 10

c. nilai parameter moving average (𝜃) adalah pembeda dari dua proses autokorelasi tersebut.

4. Diketahui 𝑍_𝑡 = 4 + 2_𝑡+ 𝑋_𝑡, dimana {𝑋_𝑡} adalah suatu series yang stasioner dengan mean 0 dan fungsi autokovarians 𝛾_𝑘.

Tentukan

a. Fungsi mean untuk {𝑍_𝑡} 𝐸(𝑍_𝑡) = 𝐸(4 + 2𝑡 + 𝑋_𝑡)

= 4 + 2𝑡 + 𝐸(𝑋_𝑡)

= 4 + 2𝑡

b. Fungsi autokovarians untuk {𝑍_𝑡}

𝐶𝑜𝑣(𝑌_𝑡, 𝑌_𝑡−𝑘) = 𝐶𝑜𝑣(4 + 2𝑡 + 𝑋_𝑡, 4 + 2(𝑡 − 𝑘) + 𝑋_𝑡−𝑘)

= 𝐶𝑜𝑣(𝑋_𝑡, 𝑋_𝑡−𝑘) = 𝛾_𝑘 c. Apakah {𝑍_𝑡} stasioner? Jelaskan kenapa iya atau tidak?

Jawaban

Berdasarkan pada pertanyaan 4b, bahwa 𝑍_𝑡 tidak stasioner karena bervariasi berdasarkan waktu.

5. Jika 𝑍_𝑡 = 𝛽₀+ 𝛽₁𝑡 + 𝑋_𝑡, dimana {𝑋_𝑡} adalah suatu series yang stasioner dengan mean 0 dan fungsi autokovarians 𝛾_𝑘.

a. Tunjukkan bahwa {𝑍_𝑡} tidak stasioner.

{𝑍_𝑡} tidak stasioner yang artinya 𝛽₀+ 𝛽₁𝑡 befrvariasi terhadap 𝑡 b. Tunjukkan bahwa ∇𝑍_𝑡 = 𝑍_𝑡− 𝑍_𝑡−1 adalah stasioner

𝐸(𝑌_𝑡− 𝑌_𝑡−1) = (𝛽₀+ 𝛽₁𝑡) − (𝛽₀+ 𝛽₁(𝑡 − 1)) = 𝛽₁

6. Diketahui bahwa 𝑍_𝑡 =^{𝑎𝑡+𝑎𝑡−12}

2 , tunjukkan bahwa {𝑍_𝑡} adalah stasioner dan untuk 𝑘 > 0, 𝜌_𝑘 ada tidak 0 hanya pada 𝑘 = 12.

• 𝐸(𝑍_𝑡) = 𝐸(𝑎_𝑡+ 𝑎_𝑡−12) = 0

• 𝐶𝑜𝑣(𝑌_𝑡, 𝑌_𝑡−𝑘) = 𝐶𝑜𝑣(𝑎_𝑡+ 𝑎_𝑡−12, 𝑎_𝑡−𝑘+ 𝑎_{𝑡−12−𝑘})

= 𝐶𝑜𝑣(𝑎_𝑡−12, 𝑎_𝑡−𝑘) = (𝜎_𝑎)², 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑘 = 12

Artinya nilai tidak 0 saat 𝑘 = 12, karana jika tidak, semua error yang terlibat tidak berkorelasi.

7. Jika {𝑍_𝑡} adalah stasioner dengan fungsi autokovarians 𝛾_𝑘, untuk 𝑍̅ = ¹

𝑛∑^𝑛_𝑡=1𝑍_𝑡, tunjukkan bahwa 𝑣𝑎𝑟(𝑍̅) =¹

𝑛∑ (1 −^|𝑘|

𝑛)

𝑛−1𝑘=−𝑛+1 𝛾_𝑘 =^𝛾0

𝑛 +²

𝑛∑ (1 −^|𝑘|

𝑛)

𝑛−1𝑘=+1 𝛾_𝑘

Jawaban

𝑣𝑎𝑟(𝑍̅) = 1

𝑛²𝑣𝑎𝑟 [∑ 𝑍_𝑡

𝑛

𝑡=1

] = 1

𝑛²𝑐𝑜𝑣 [∑ 𝑌_𝑡,

𝑛

𝑡=1

∑ 𝑌_𝑠

𝑛

𝑠=1

] = 1

𝑛²∑ ∑ 𝑌_𝑡−𝑠

𝑛

𝑠=1 𝑛

𝑡=1

Jika kita rubah 𝑡 − 𝑠 menjadi 𝑘 dan 𝑡 menjadi

𝑣𝑎𝑟(𝑍̅) = 1

𝑛²[∑ ∑ 𝛾_𝑘

𝑛

𝑗=𝑘+1

+ ∑ ∑ 𝛾_𝑘

𝑛+𝑘

𝑗=1 0

𝑘=−𝑛+1 𝑛−1

𝑘=1

]

= 1

𝑛²[∑(𝑛 − 𝑘)𝛾_𝑘+ ∑ (𝑛 + 𝑘)𝛾_𝑘

0

𝑘=−𝑛+1 𝑛−1

𝑘=1

] = 1

𝑛² ∑ (1 −|𝑘|

𝑛 ) 𝛾_𝑘.

𝑛−1

𝑘=−𝑛+1

8. Diketahui {𝑎_𝑡} adalah suatu proses white noise dengan mean tidak sama dengan 0 𝐸(𝑎_𝑡) = 𝑎_𝑡+ 𝑎_𝑡−1+. . . . +𝑎₁, untuk 𝑡 = 1,2, . . ..

Proses {𝑍_𝑡} disebut suatu random walk dengan drift.

a. Cari fungsi mean dan fungsi autokovarians untuk {𝑍_𝑡}. Apakah {𝑍_𝑡} ini stasioner?

Jelaskan

b. Cari mean dan fungsi autokovarians untuk ∇𝑍_𝑡 = 𝑍_𝑡− 𝑍_𝑡−1 apakah ∇𝑍_𝑡 ini stasioner ? Jelaskan.

Jawaban

a. Untuk mencari fungsi mean dan fungsi autokovarians untuk {𝑍𝑡}, perlu terlebih dahulu mengekspresikan 𝑍𝑡 dalam bentuk yang lebih sederhana:

𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑎{𝑡 − 1} + . . . + 𝑎1

= (𝑎𝑡 + µ𝑎) + (𝑎{𝑡 − 1} + µ𝑎) + . . . + (𝑎1 + µ𝑎) − 𝑡µ𝑎

= 𝑌𝑡 − 𝑡µ𝑎

di mana 𝑌𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑎{𝑡 − 1} + . . . + 𝑎1 + 𝑡µ𝑎.

Dengan kata lain, {𝑍𝑡} adalah proses {𝑌𝑡} yang telah diubah dengan mengurangi garis lurus 𝑡µ𝑎.

Karena {𝑎𝑡} adalah proses white noise, maka 𝐸[𝑎𝑡] = µ𝑎 dan 𝛾𝑘 = 0 untuk 𝑘 ≠ 0. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑡 dan 𝑠 dengan 𝑡 > 𝑠, memiliki:

𝐸[𝑌𝑡] = 𝐸[𝑎𝑡 + 𝑎{𝑡 − 1} + . . . + 𝑎1 + 𝑡µ𝑎] = 𝑡µ𝑎 𝐸[𝑌𝑠] = 𝐸[𝑎𝑠 + 𝑎{𝑠 − 1} + . . . + 𝑎1 + 𝑠µ𝑎] = 𝑠µ𝑎

𝑐𝑜𝑣(𝑌_𝑡, 𝑌𝑠) = 𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑡 + 𝑎{𝑡 − 1} + . . . + 𝑎1 + 𝑡µ𝑎, 𝑎𝑠 + 𝑎{𝑠

− 1} + . . . + 𝑎1 + 𝑠µ𝑎)

= 𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑡, 𝑎𝑠)

= 𝛾{𝑡 − 𝑠}

Oleh karena itu, fungsi mean untuk {𝑍𝑡} adalah:

𝐸[𝑍𝑡] = 𝐸[𝑌𝑡 − 𝑡µ𝑎] = 𝐸[𝑌𝑡] − 𝑡µ𝑎 = 0 Fungsi autokovarians untuk {𝑍𝑡} adalah:

𝑐𝑜𝑣(𝑍𝑡, 𝑍𝑠) = 𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑡 − 𝑡µ𝑎, 𝑌𝑠 − 𝑠µ𝑎)

= 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑌𝑠) − 𝑡µ𝑎𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑡, 1) − 𝑠µ𝑎𝑐𝑜𝑣(1, 𝑌𝑠) + 𝑡𝑠µ𝑎^2

= 𝛾{𝑡 − 𝑠} − 𝑡µ𝑎, 𝛾𝑡 − 𝑠µ𝑎, 𝛾𝑠 + 𝑡𝑠µ𝑎^2

Jadi, {𝑍𝑡} tidak stasioner karena fungsi meannya bukan konstan. Fungsi mean berubah seiring waktu karena drift (tµa) yang ada pada {𝑍𝑡}. Fungsi autokovarians bergantung pada perbedaan waktu (𝑡 − 𝑠) dan juga pada waktu itu sendiri (𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑠). Oleh karena itu, {𝑍𝑡} adalah suatu proses non-stasioner.

b. dapat mengekspresikan ∇Zt sebagai:

𝛻𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑍{𝑡 − 1} = (𝑎𝑡 + 𝑎{𝑡 − 1}+ . . . + 𝑎1) − (𝑎{𝑡 − 1} + 𝑎{𝑡 − 2} + . . . + 𝑎1)

= 𝑎𝑡 + µ𝑎

Sehingga, mean dari 𝛻𝑍𝑡 adalah:

𝐸[𝛻𝑍𝑡] = 𝐸[𝑎𝑡 + µ𝑎] = µ𝑎

Untuk mencari fungsi autokovarians dari 𝛻𝑍𝑡, perlu menghitung covarian dari

𝛻𝑍_𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝛻𝑍{𝑡 − 𝑘}, dengan 𝑘 > 0. dapat mengekspresikan 𝛻𝑍𝑡 dan 𝛻𝑍{𝑡 − 𝑘} sebagai:

𝛻𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 + µ𝑎

𝛻𝑍{𝑡 − 𝑘} = 𝑎{𝑡 − 𝑘} + µ𝑎

Sehingga, covarian dari 𝛻𝑍𝑡 dan 𝛻𝑍{𝑡 − 𝑘} adalah:

𝐶𝑜𝑣[𝛻𝑍𝑡, 𝛻𝑍{𝑡 − 𝑘}] = 𝐶𝑜𝑣[𝑎𝑡, 𝑎{𝑡 − 𝑘}] = 0, untuk 𝑘 > 0

Karena covarian antara 𝛻𝑍𝑡 dan 𝛻𝑍{𝑡 − 𝑘} hanya bergantung pada 𝑘, bukan pada 𝑡, maka 𝛻𝑍𝑡 memiliki fungsi autokovarians yang tidak bergantung pada 𝑡.

Oleh karena itu, 𝛻𝑍𝑡 adalah sebuah proses stasioner.

Secara ringkas, untuk 𝛻𝑍𝑡:

Mean: 𝐸[𝛻𝑍𝑡] = µ𝑎

Fungsi autokovarians: 𝛾𝑘 = 0, untuk 𝑘 > 0 dan 𝛾0 = 𝑉𝑎𝑟[𝛻𝑍𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝑎𝑡] =

𝜎𝑎², dengan 𝜎𝑎² adalah variansi dari 𝑎𝑡.

Stasioner: 𝛻𝑍𝑡 adalah stasioner