Jenis matematika vektor dan operasi vektor

1. Buktikan bahwa a⊥(a × b) dan b⊥(a × b) . Penyelesaian :

Diberikan sebarang vektor a dan b . Akan dibuktikan bahwa a dan b tegak lurus dengan vektor (a ×b) . Dengan mengambil sebarang elemen di R³ sedemikian sehingga vektor a=

⟨

^a1, a₂, a₃

⟩

dan vektor b=

⟨

^b1,b₂, b₃

⟩

^dimana

a₁, a₂, a₃,b₁, b₂, b₃∈R . Perhatikan bahwa,

a ×b=

|

^{abi11 abj22 abk33}

|

a ×b=

|

^{ab22 ab33}

|

ⁱ⁻

|

^{ab11 ab33}

|

^j+

|

^{ba11 ab22}

|

^k

Mengacu pada teorema jika dua vektor saling tegak lurus, maka u . v=0 , dalam kasus ini adalah a⋅(a × b)=0 dan b⋅(a × b)=0 yang dapat membuktikan bahwa vektor a dan b tegak lurus dengan vektor (a ×b) .

 a⋅(a × b)=

⟨

^a1, a₂, a₃

⟩

⋅

|

^ab22 ^ab³₃

|

ⁱ⁻

|

^ba11 ^ab³₃

|

^j+

|

^ab11 ^ab²₂

|

^k

a⋅(a × b)=a₁

(

^a2b₃−a₃b₂

)

^−a2

(

^a1b₃−a₃b₁

)

^+a3

(

^a1b₂−a₂b₁

)

a⋅(a × b)=a₁a₂b₃−a₁a₃b₂−a₁a₂b₃+a₂a₃b₁+a₁a₃b₂−a₂a₃b₁ a⋅(a × b)=0

Pada hal ini terbukti bahwa vektor a tegak lurus dengan vektor (a ×b) .

 b⋅(a × b)=

⟨

^b1, b₂, b₃

⟩

^⋅

|

^{ab22 ab33}

|

ⁱ⁻

|

^{ab11 ab33}

|

^j+

|

^{ab11 ba22}

|

^k

b⋅(a × b)=b₁

(

^a2b₃−a₃b₂

)

^−b2

(

^a1b₃−a₃b₁

)

^+b3

(

^a1b₂−a₂b₁

)

b⋅(a × b)=a₂b₁b₃−a₃b₁b₂−a₁b₂b₃+a₃b₁b₂+a₁b₂b₃−a₂b₁b₃ b⋅(a × b)=0

Pada hal ini terbukti bahwa vektor b tegak lurus dengan vektor (a ×b) . Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terbukti a⊥(a × b) dan

b⊥(a ×b).∎