داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﯽ ﺧﻮاﺟﻪ ﻧﺼﯿﺮاﻟﺪﯾﻦ ﻃﻮﺳﯽ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ ١ ﺗ

اﺪﺧ مﺎﻧ ﻪﺑ

ﯽﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﯽﺘﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد ١ ﯽﻣﻮﻤﻋ ﯽﺿﺎﯾر

٩٢/٩/١٩ : ﻞﯾﻮﺤﺗ ﺦﯾرﺎﺗ ﺎﻫ دﺮﺑرﺎﮐ و ﻖﺘﺸﻣ :مﻮﺳ یﺮﺳ تﺎﻨﯾﺮﻤﺗ

نآ یﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣ و ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ طﺎﻘﻧ ﻪﯿﻠﮐ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ارf(x) = ^۱_x − ⌊^۱_x⌋ﻪﻄﺑﺎﺿ ﺎﺑf :R− {۰} →Rﻊﺑﺎﺗ .١ .ﺪﯿﻨﮐ ﻢﺳر ار ﻊﺑﺎﺗ ﺲﭙﺳ و ﺪﯿﻨﮐ ﺺﺨﺸﻣ ار .ﺪﯿﻨﮐ ﻖﯿﻘﺤﺗ هﺪﺷ هداد طﺎﻘﻧ رد ار ﺮﯾز ﻊﺑاﻮﺗ یﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣ .٢

.x=۰ , f(x) = |x|sin(x) (ﻒﻟا) (ب) f(x) =

{ x^۲ ifx∈Q ۰ ifx /∈Q

.x=۰رد (ج) f(x) =

{ tan^−۱(_|^۱_x|) ifx̸=۰

π

۲ ifx=۰

.x=۰رد (د) f(x) =

{ sinx ifx∈Q x ifx /∈Q

.x=۰رد .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ار ﺮﯾز ﺪﺣ ،ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣ رﺎﺑ ود ﯽﻌﺑﺎﺗ f ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .٣ lim

h→۰

f(x+h)−۲f(x) +f(x−h) h^۲

.ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣx=۰ردf ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ ،ﺪﻨﮐ قﺪﺻxﺮﻫ یاﺮﺑ|f(x)| ≤x^۲ یﺮﺑاﺮﺑﺎﻧ ردf ﻊﺑﺎﺗ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .۴ .ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣ ﯽﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ رد ﺮﯾز ﻊﺑﺎﺗ ﻪﮐ ﺪﯿﺑﺎﯿﺑ نﺎﻨﭼ ارdوc،b،aﺮﯾدﺎﻘﻣ .۵

f(x) =





ax+b ifx≤۰ cx^۲+dx if۰< x≤۱ ۱− ^۱_x if۱< x

،۲≤x≤۳یازا ﻪﺑ وf^′(۲) = −۱،f(۲) =۴ﺮﮔا .۶ ۱

۲x ≤f^′′(x)≤ ۱ x,

.ﺪﯿﺑﺎﯿﺑf(۳)یاﺮﺑ ﺪﯿﻧاﻮﺗ ﯽﻣ ﻪﮐ ار ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ ﻦﯾﺮﺘﻬﺑ ١

ﺎﯾ یدﻮﻌﺻ اﺪﯿﮐاf ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ ،ﺪﻨﮐ ﯽﻣ قﺪﺻ f◦f = sinxﻪﻟدﺎﻌﻣ رد f : [۰,_۲^π] → Rﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣ ﺖﺷﺎﮕﻧ .٧ .ﺖﺳا ﯽﻟوﺰﻧ اﺪﯿﮐا ﺖﺑﺎﺛ ،a < x_۰ < bﻪﮐf^′′(x_۰) ̸=۰و ﺪﺷﺎﺑ(a, b)ﻪﻠﺻﺎﻓ رد مود ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻖﺘﺸﻣ یارادf ﺖﺷﺎﮕﻧ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .٨

ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺖﻓﺎﯾ ناﻮﺗ ﯽﻣx_۲ وx_۱ﻪﻄﻘﻧ ود ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻦﯾا رد ﺪﯿﻨﮐ f(x_۱)−f(x_۲)

x۲−x۱

=f^′(x۰).

.ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ ار ﺮﯾز یﺎﻫ یوﺎﺴﻣﺎﻧ .٩ ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧx >۰, y >۰وx̸=y،n >۱یاﺮﺑ (ﻒﻟا) ۱

۲(xⁿ+yⁿ)>(x+y ۲ )ⁿ.

ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧx_i ≥۰یاﺮﺑ (ب)

√n

x_۱x_۲. . . x_n≤ x_۱+. . .+x_n

n .

.ﺖﺳا ﺖﺑﺎﺛ ﯽﻌﺑﺎﺗf ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ ،f^′(x)(f(x))^۳ =۰،ﯽﻘﯿﻘﺣxﺮﻫ یاﺮﺑ و هدﻮﺑ ﺮﯾﺬﭙﻘﺘﺸﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗfﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .١٠ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .١١ f(x) =

{ x^۴sin^{۲ ۱}_x ifx̸=۰ ۰ ifx=۰

.ﺖﺳاf^′(۰) = f^′′(۰) =۰و هدﻮﺑf یاﺮﺑ ﯽﻌﺿﻮﻣ ﻢﻤﯿﻨﯿﻣ ﻪﻄﻘﻧ ﮏﯾ ﺮﻔﺻ ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ .دراد ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻪﺸﯾر ﮏﯾ ﺎﻘﯿﻗد x^۲+ cos^۲x= cosxﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ .١٢ .ﺪﻧراد ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻪﺸﯾر ود ﺎﻘﯿﻗدg(x) =۲x^۲−xsinx−cosxوf(x) = x^۲−cosxﻊﺑاﻮﺗ ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ .١٣ .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣf^(۹۹)(۰)راﺪﻘﻣf(x) = arctg(x)ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .١۴ ﻞﺑﺎﻘﻣ فﺮﻃ رد Qﻪﻄﻘﻧ ﻪﺑ دراد ﺪﺼﻗ و ﻪﺘﻓﺮﮔراﺮﻗ ١ عﺎﻌﺷ ﻪﺑ ﻞﮑﺷ یا هﺮﯾاد ﻪﭼﺎﯾرد ﮏﯾ زا p ﻪﻄﻘﻧ رد ﯽﺼﺨﺷ .١۵ ﻪﭼ رد .ﺪﻧز مﺪﻗ ﺖﻋﺎﺳ ﺮﺑ ﻞﯿﻣ ٣ ﺖﻋﺮﺳ ﺎﺑ و هدز ورﺎﭘ ﺖﻋﺎﺳ ﺮﺑ ﻞﯿﻣ ۱٫ ۵ﺖﻋﺮﺳ ﺎﺑ ﺪﻧاﻮﺗ ﯽﻣ ﺺﺨﺷ .ﺪﺳﺮﺑ

.ﺪﯿﺳرQﻪﻄﻘﻧ ﻪﺑ ﻦﮑﻤﻣ نﺎﻣز ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ رد ﺎﺗ دز ورﺎﭘ ﺪﯾﺎﺑP Qداﺪﺘﻣا ﺎﺑ ،۰≤θ≤ ^π_۲ ،یاθ ﻪﯾواز

٢

ﻊﻠﺿ ود ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻢﺧ یرﻮﻃ ار صﺮﻗ هﺪﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ ﺖﻤﺴﻗ و ﻢﯾﺮﺑ ﯽﻣ عﺎﻄﻗ ﮏﯾ Rعﺎﻌﺷ ﻪﺑ ﺮﯾﺪﺘﺴﻣ صﺮﻗ ﮏﯾ زا .١۶ .ﺖﺳا رﺪﻘﭼ طوﺮﺨﻣ ﻦﮑﻤﻣ ﻢﺠﺣ ﻦﯾﺮﺘﺸﯿﺑ .دﻮﺷ ﻞﯿﮑﺸﺗ طوﺮﺨﻣ ﮏﯾ و هﺪﺷ ﻞﺻو ﻢﻫ ﻪﺑ

.ﺪﯿﺑﺎﯿﺑ ارy =۱+۲x−x^۳ ﯽﻨﺤﻨﻣ ﺮﺑ سﺎﻤﻣ و ﻢﻤﯾﺰﮐﺎﻣ ﺐﯿﺷ ﻪﺑ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ ﻂﺧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .١٧ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﻪﮐ ﯽﻧﺎﺑدﺮﻧ ﻦﯾﺮﺘﻫﺎﺗﻮﮐ لﻮﻃ دراد راﺮﻗ یا ﻪﻧﺎﺧ زا ﯽﺗﻮﻓ۳٫ ۳۷۵ﻪﻠﺻﺎﻓ رد تﻮﻓ۸عﺎﻔﺗرا ﻪﺑ راﻮﯾد ﮏﯾ .١٨

.ﺪﯾروآ ﺖﺳﺪﺑ ار ﺪﯿﺳر ﻪﻧﺎﺧ ﻪﺑ ﺎﺗ داد راﺮﻗ راﻮﯾد ﺮﺳ یور

.ﺪﯿﺑﺎﯿﺑ دﻮﺟو ترﻮﺻ رد ار ﺮﯾز دوﺪﺣ .١٩ ۱) lim_x→۰(۱+tan(x))^۱x ۲) lim_x→۱−ln sin(πx)

csc(πx)

۳) lim_x→۰⁺ csc(x)

ln(x) ۴) limx→۰(^sin(x)_x )^x۱۲

۵) lim_{x→۰ ۳}^۳_tan^sinx_x⁻₋^sin_tan^۳x_۳x ۶) lim_x→۱⁺(_x−^x_۱ − _lnx^۱ ) ۷) lim_x→۰⁺(cscx)^sin۲(x) ۸) lim_x→۰(cos۲x)^x۱۲ ۹) lim_x→۰⁺(۲sin√

x+√

xsin^۱_x)^x ۱۰) lim_x→+∞(_x(a^ax−₋^۱_۱))^۱x, a >۰, a̸=۱

.ﺪﯿﺷﺎﺑ ﻖﻓﻮﻣ

٣