worst-case analysis ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ ﻞﯿﻠﺤﺗ ١ . ١

(1)

ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﺣاﺮﻃ سرد ٩٧ نﺎﺘﺴﻣز ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد . ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد

ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز ﻞﯿﻠﺤﺗ درﻮﻣ رد ﺗﺎﮑﻧ و ﻞﺋﺎﺴﻣ

ﻪﻣﺪﻘﻣ ١

سرد ﻦﯾا رد .دﻮﺷ ﻣ مﺎﺠﻧا نآ ﻓﺮﺼﻣ ﻪﻈﻓﺎﺣ و ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز ﻨﯿﺑ ﺶﯿﭘ فﺪﻫ ﺎﺑ ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ﻞﯿﻠﺤﺗ ﻠﮐ رﻮﻄﺑ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ فﻮﻄﻌﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﯾ یاﺮﺟا نﺎﻣز ﻞﯿﻠﺤﺗ ﺮﺑ ار دﻮﺧ ﻪﺟﻮﺗ

،یزﺎﺳ هدﺎﯿﭘ تﺎﯿﺋﺰﺟ ،ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ هﺪﻧزادﺮﭘ ﺖﻋﺮﺳ :ﻪﻠﻤﺟ زا ﺖﺳا ﻪﺘﺴﺑاو ﻠﺘﺨﻣ ﻞﻣاﻮﻋ ﻪﺑ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز یدورو هداد هزاﺪﻧا ﻞﻣﺎﻋ ود نﺎﯿﻣ ﻦﯾا رد .هﺪﺷ ﺣاﺮﻃ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ و یدورو هداد هزاﺪﻧا ،هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ ﺮﻠﯾﺎﭙﻣﺎﮐ نﺎﻣز ﺪﺷﺎﺑ ﺮﺘﺸﯿﺑ یدورو هداد هزاﺪﻧا رﺪﻗ ﻪﭼ ﺮﻫ ﺖﺳا ﻦﺷور .ﺪﻧراد اﺮﺟا نﺎﻣز رد ار ﺮﯿﺛﺎﺗ ﻦﯾﺮﺘﺸﯿﺑ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ و ﺖﺒﺴﻧ یﺮﺘﺸﯿﺑ نﺎﻣز ﻪﺑ ﻤﻗر ١٠ دﺪﻋ ود بﺮﺿ ﻪﮐ ﻢﯾراد رﺎﻈﺘﻧا ﺎﻣ لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .ﺪﺷ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﺘﺸﯿﺑ ﻢﻫ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا یﺮﺘﺸﯿﺑ نﺎﻣز ﻪﺑ دﺪﻋ ١٠٠٠٠ یوﺎﺣ ﻪﯾارآ ﯾ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻞ ﺷ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد زﺎﯿﻧ ﻤﻗر ٤ دﺪﻋ ود بﺮﺿ ﻪﺑ درﻮﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا رﺎﺘﺧﺎﺳ و ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ ،ﺮ ﯾد ﻓﺮﻃ زا .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد زﺎﯿﻧ دﺪﻋ ٥٠٠ یوﺎﺣ ﻪﯾارآ ﯾ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﺎﺗ اﺪﺘﺑا زا ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﯾ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﻠﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد داﺪﻌﺗ ﻠﮐ رﻮﻄﺑ .ﺖﺳاﺮﺟا نﺎﻣز ﻦﯿﯿﻌﺗ رد ﺳﺎﺳا ﻞﻣﺎﻋ ﯾ ﺰﯿﻧ هدﺎﻔﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ رد لﻮﻤﻌﻣ رﻮﻄﺑ و ،سرد ﻦﯾا رد) .ﺖﺳﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز ﻞﯿﻠﺤﺗ یاﺮﺑ بﻮﺧ رﺎﯿﻌﻣ ﯾ ﺪﻨﮐ ﻣ اﺮﺟا ﺎﻬﺘﻧا یاﺮﺑ ﺪﺣاو ﯾ و دﻮﺷ ﻣ ضﺮﻓ نﺎﺴ ﯾ بﺎﺼﺘﻧا و ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ و بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﻞﺜﻣ ﻠﺻا ﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ لﺎﻤﻋا ،ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا .ﻢﯾزادﺮﭘ ﻣ لﺎﺜﻣ ﺪﻨﭼ ﺳرﺮﺑ ﻪﺑ ﺮﯾز رد (.دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد نآ

ﻦﯾﺮﻤﺗ ﺪﻨﭼ

.دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ ﺪﻨﭼ ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد مﻮﺳ رﻮﺘﺳد . ١

1. for i=1 to m 2. for j=1 to n

3. count ++;

∑m i=1

∑n

j=11 =∑m

i=1n=mn:ﻞﺣ اﺮﺟا رﺎﺑnمود for ﻪﻘﻠﺣ ﻞﺧاد رﻮﺘﺳد رﺎﺑ ﺮﻫ .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا لوا for ﻪﻘﻠﺣ هﺪﻧرﺎﻤـﺷ زا ﻞﻘﺘﺴﻣ مود for ﻪﻘﻠﺣ .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑnmﻞﮐ رد مﻮﺳ رﻮﺘﺳد ﺲﭘ .دﻮﺷ ﻣ

.دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ ﺪﻨﭼ ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد مﻮﺳ رﻮﺘﺳد . ٢

1. for i=1 to m 2. for j=1 to i

3. count ++;

١

(2)

∑_m

i=1

∑_i

j=11 =∑_m

i=1i=m(m+ 1)/2:ﻞﺣ .دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣ ﻻﺎﺑ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﺪﻨﮐ ﻣ ﺮﯿﯿﻐﺗmﺎﺗ1زاiنﻮﭼ .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا ﻪﻌﻓدiرﺎﺑ ﺮﻫ مﻮﺳ رﻮﺘﺳد ﺎﺠﻨﯾا رد

.دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ ﺪﻨﭼ ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد مرﺎﻬﭼ رﻮﺘﺳد . ٣

1. i = 1;

2. while(i <= n) { 3. i = i * 2;

4. count ++; }

⌊logn⌋+ 1 :ﻞﺣ ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .دﻮﺷ ﻣ دﺎﯾزnزا ﺮﺘﺸﯿﺑ ٢ ناﻮﺗ ﻦﯾﺮﺘ ﭼﻮﮐ ﺎﺗ i ﺲﭘ .دﻮﺷ ﻣ ﺮﺑاﺮﺑ ود رﺎﺑ ﺮﻫ i ﺮﯿﻐﺘﻣ ﺎﺠﻨﯾا رد ﻪﺳ مرﺎﻬﭼ رﻮﺘﺳدn= 5 ﺘﻗو لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟاnیوﺎﺴﻣ ﺎﯾ ﺮﺘﻤﮐ ٢ یﺎﻬﻧاﻮﺗ داﺪﻌﺗ ﻪﺑ مرﺎﻬﭼ رﻮﺘﺳد 2⁰,2¹,2² .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ .ﺪﻧﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ ﺪﻨﭼ ﻞﮐ رد ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ﻦﯾا تارﻮﺘﺳد . ۴

1. i = n;

2. while(i => 1 ) { 3. i = i/5 ; 4. count ++; }

3(⌊log₅n⌋+ 1) + 2:ﻞﺣ

⌊log₅n⌋+ 1داﺪﻌﺗ ﻪﺑ while ﻪﻘﻠﺣ رد مرﺎﻬﭼ رﻮﺘﺳد ﻻﺎﺑ ﻦﯾﺮﻤﺗ ﻪﺑﺎﺸﻣ .دﻮﺷ ﻣ5ﺮﺑ ﻢﯿﺴﻘﺗ رﺎﺑ ﺮﻫ i ﺎﺠﻨﯾا رد ﺾﻘﻧ ﻪﻘﻠﺣ طﺮﺷ ﻪﮐ ﻌﻗﻮﻣ) دﻮﺷ ﻣ راﺮﮑﺗ ﻪﻓﺎﺿا رﺎﺑ ﯾ دﻮﺧ ( while رﻮﺘﺳد) مود رﻮﺘﺳد .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺒ ﯾ ﻂﻘﻓ ﻢﻫ لوا رﻮﺘﺳد .ﺪﻧﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ3(⌊log₅n⌋+ 1) + 1ﻞﮐ رد ۴ ﺎﺗ ٢ تارﻮﺘﺳد ﺲﭘ .(دﻮﺷ ﻣ .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا

؟دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ ﺪﻨﭼ ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد مرﺎﻬﭼ ﻂﺧ . ۵

1. for(int i=1; i < n ; i++) 2. for(int j=i+1; j<=n ; j++) 3. for(int k=1 ; k<=j ; k++)

4. count++;

٢

(3)

:ﻞﺣ

n−1

∑

i=1

∑n

j=i+1

∑j

k=1

1 =

=

n−1

∑

i=1

∑n

j=i+1

j

=

n−1

∑

i=1

(n(n+ 1)

2 − i(i+ 1)

2 )

= 1

2(n(n−1)(n+ 1)−

n−1

∑

i=1

i²−

n−1

∑

i=1

i)

= 1

2(n(n−1)(n+ 1)− n(n−1)(2n−1)

6 −n(n−1)

2 )

؟دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ ﺪﻨﭼ ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد مرﺎﻬﭼ ﻂﺧ . ۶

1. for(int i=n; i >0 ; i--) 2. for(int j=1; j<n ; j*=2) 3. for(int k=0 ; k<j ; k++)

4. count++;

ﻂﺧ یاﺮﺟا داﺪﻌﺗ ﺖﺴﯿﻓﺎﮐ ﺮﻃﺎﺧ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ .ﺖﺳا ﺮ ﯾد for ﻪﻘﻠﺣ ود زا ﻞﻘﺘﺴﻣ ﻼﻣﺎﮐ لوا for ﻪﻘﻠﺣ :ﻞﺣ یاﺮﺑ .ﻢﯿﻨﮐ بﺮﺿn رد ار ﻞﺻﺎﺣ و ﻢﯾروآ ﺖﺳﺪﺑ مﻮﺳ و مود for ﻪﻘﻠﺣ ود ﺎﻬﻨﺗ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ ار مرﺎﻬﭼ ٢ ﺪﻌﺑ ،رﺎﺑ ١ اﺪﺘﺑا رﻮﺘﺳد ﻦﯾا ترﻮﺼﻨﯾا ﺮﯿﻏ رد ،دﻮﺸﯿﻤﻧ اﺮﺟا ﻼﺻا ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد مرﺎﻬﭼ رﻮﺘﺳدn = 1 .دﻮﺸﯿﻣ اﺮﺟا رﺎﺑ2^⌈^logⁿ^⌉−¹داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﺮﺧآ ﻪﻠﺣﺮﻣ رد ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ و ،رﺎﺑ ٨ ﺪﻌﺑ ،رﺎﺑ ۴ ﺪﻌﺑ ،رﺎﺑ

2. for(int j=1; j<n ; j*=2) 3. for(int k=0 ; k<j ; k++) 4. count++;

اﺮﺟا∑_⌈logn⌉−1

k=0 2^k = 2^⌈^logⁿ^⌉−1داﺪﻌﺗ ﻪﺑn > 1یاﺮﺑ مرﺎﻬﭼ ﻂﺧ رﻮﺘﺳد ﻻﺎﺑ ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد ﻞﮐ رد ﺲﭘ .دﻮﺸﯿﻣ اﺮﺟا رﺎﺑn(2^⌈^logⁿ^⌉−1)داﺪﻌﺗ ﻪﺑn >1یاﺮﺑ مرﺎﻬﭼ ﻂﺧ ، ﻠﺻا ﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ رد ﻪﺠﯿﺘﻧ رد .دﻮﺸﯿﻣ

worst-case analysis ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ ﻞﯿﻠﺤﺗ ١ . ١

.ﺖﺷاد یدورو ی هداد هزاﺪﻧا ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ ﺎﻬﻨﺗ تارﻮﺘﺳد یاﺮﺟا داﺪﻌﺗ ﻢﯾدﺮﮐ ﺳرﺮﺑ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻫﺪﮐ ﻪﻌﻄﻗ و ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا رد داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﭼ یدورو هداد یاﻮﺘﺤﻣ ﻪﮑﻨﯾا زا غرﺎﻓ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا ﺮﻫ رد ،nﻦﺘﺴﻧاد ﺎﺑ ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ یاﺮﺟا نﺎﻣز دراﻮﻣ زا یرﺎﯿﺴﺑ رد ﺎﻣا .ﺪﻧﺎﻣ ﻣ ﺖﺑﺎﺛ ناﺰﯿﻣ ﻦﯾا و ﺪﻨﮐ ﻣ اﺮﺟا رﻮﺘﺳد (ﺖﺳاn زا ﻌﺑﺎﺗ ﻪﮐ) ﺼﺨﺸﻣ یاﺮﺑ سﺪﯿﻠﻗا ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا رد لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .دراد ﺰﯿﻧ یدورو هداد یاﻮﺘﺤﻣ ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ یدورو هداد هزاﺪﻧا ﺮﺑ هوﻼﻋ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا راﺪﻘﻣ ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ ﺪﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻫ ﻢﯿﺴﻘﺗ داﺪﻌﺗ b و a دﺪﻋ ود کﺮﺘﺸﻣ ﻪﯿﻠﻋ مﻮﺴﻘﻣ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ ندﺮﮐاﺪﯿﭘ دراد دﻮﺟو ﯽﯾﺎﻬﻟﺎﺜﻣ ﺎﻣا .ﺪﺑﺎﯾ ﻣ ﻪﻤﺗﺎﺧ رﺎﮐ ﻢﯿﺴﻘﺗ ﯾ ﺎﺑ رﺎﮐ یاﺪﺘﺑا نﺎﻤﻫ رد ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾﺬﭙﺸﺨﺑ b ﺮﺑ a ﺮﮔا .دراد b و a

٣

(4)

ﻻﻮﻤﻌﻣ ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ﻞﯿﻠﺤﺗ ﻦﻓ رد .ﻢﯿﺳﺮﺑ کﺮﺘﺸﻣ ﻪﯿﻠﻋ مﻮﺴﻘﻣ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ ﻪﺑ ﺎﺗ ﻢﯾراد زﺎﯿﻧ ﻢﯿﺴﻘﺗ یدﺎﯾز داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﻪﮐ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ﻞﯿﻠﺤﺗ رﺎﯿﻌﻣ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ (ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ ﺎﺣﻼﻄﺻا ﺎﯾ) یدورو ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ یاﺮﺑ اﺮﺟا نﺎﻣز ﻦﯾا .ﺪﻨﮐ ﻣ اﺮﺟا ار ﻠﺻا ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد ﺪﻨﭼ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﺪﺷﺎﺑnیدورو هداد هزاﺪﻧا ﻪﮑﻨﯾا ضﺮﻓ ﺎﺑ ﻨﻌﯾ ﺎﻣا ﺖﺳا هدﺎﺳ یﺮﻣا ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ ندﺮﮐاﺪﯿﭘ ﻫﺎﮔ .دراد ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ و یدورو هداد یاﻮﺘﺤﻣ ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ راﺪﻘﻣ ﻦﯿﯾﺎﭘ ﻧاﺮﮐ ﺎﯾ و ﻻﺎﺑ ﻧاﺮﮐ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ﺎﻬﻨﺗ دراﻮﻣ ﺧﺮﺑ رد .دﻮﺷ ﻣ ﻞﯾﺪﺒﺗ ﻞ ﺸﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﯾ ﻪﺑ دﻮﺧ دراﻮﻣ ﻀﻌﺑ رد .ﻢﯾروآ ﺖﺳﺪﺑ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز یاﺮﺑ

time complexity ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ درﻮﻣ رد ﻪﺘﮑﻧ ﺪﻨﭼ و ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ،بﺮﺿ ،ﻊﻤﺟ ،بﺎﺼﺘﻧا ﻞﯿﺒﻗ زا) ﻠﺻا یﺎﻬﻠﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد داﺪﻌﺗ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ A ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ •

ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ .ﺪﻫد ﻣ مﺎﺠﻧاnهزاﺪﻧا ﺎﺑ یدورو یﺎﻫ هداد شزادﺮﭘ یاﺮﺑ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد A ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻪﮐ ﺖﺳا (...

ﺮﺴﯿﻣ ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ ﻖﯿﻗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ دراﻮﻣ زا یرﺎﯿﺴﺑ رد .ﺖﺳاn ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو و یدﻮﻌﺻ ﻌﺑﺎﺗ ﻻﻮﻤﻌﻣ ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ ﻪﺑ هرﺎﺷا یاﺮﺑT(n)دﺎﻤﻧ زا ﻪﺘﺷﻮﻧ ﻦﯾا رد .دﺮﮐ اﺪﯿﭘ نآ یاﺮﺑ ﻦﯿﯾﺎﭘ و ﻻﺎﺑ ناﺮﮐ ناﻮﺗ ﻣ ﺎﻣا ﺖﺴﯿﻧ .دﻮﺷ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ﻧﺎﻣز .ﺪﻨﻨﮐ ﻣ نﺎﯿﺑ صﺎﺧ ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد ﯾ یاﺮﺟا داﺪﻌﺗ سﺎﺳا ﺮﺑ ﺎﻬﻨﺗ ار ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ ﺎﻫﺎﺟ ﻀﻌﺑ رد • سﺎﺳا ﺮﺑ ﺎﻣﻮﻤﻋ ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ ﺪﻨﻨﮐ ﻣ ﻞﻤﻋ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ یﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ ﻪﮐ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ یﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا رد لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ

.دﻮﺷ ﻣ نﺎﯿﺑ ﻪﯾارآ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻦﯿﺑ ی ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ داﺪﻌﺗ ﺐﺗﺮﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ رد لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .ﺪﻨﻨﮐ ﻣ نﺎﯿﺑ ار ﻪﻠﺌﺴﻣ یدورو ﻪﮐ ﺖﺳا ﻓوﺮﺣ ﺎﯾ داﺪﻋا داﺪﻌﺗnیدورو هداد هزاﺪﻧا • ﺎﺑ ﻌﺑﺮﻣ یﺎﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ بﺮﺿ ﻪﻠﺌﺴﻣ رد .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ ردnیدورو هزاﺪﻧا ،ﺮﺼﻨﻋnﺎﺑ ﻪﯾارآ ﯾ یزﺎﺳ داﺪﻌﺗ سﺎﺳا ﺮﺑ ﺮﺘﻘﯿﻗد ﻞ ﺷ ﻪﺑ یدورو هزاﺪﻧا ﻫﺎﮔ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ ردn² یدورو هزاﺪﻧاn×nداﺪﻌﺑا ﯾ ندﻮﺑ لوا ﺺﯿﺨﺸﺗ ﻪﻠﺌﺴﻣ رد لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد یدورو هداد ﺶﯾﺎﻤﻧ یاﺮﺑ مزﻻ یﺎﻬﺘﯿﺑ ردlogpار یدورو هزاﺪﻧا ،ﺪﺷﺎﺑpیدورو دﺪﻋ ﻪﮐ ﺗرﻮﺻ رد .ﺖﺳا ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﯾ ﻪﻠﺌﺴﻣ یدورو ،دﺪﻋ .ﺖﺳا ﻪﻠﺌﺴﻣ یدورو ﺶﯾﺎﻤﻧ یاﺮﺑ مزﻻ یﺎﻬﺘﯿﺑ داﺪﻌﺗ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻪﮐ ﺪﻧﺮﯿﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ رد ضﺮﻓ ﺶﯿﭘ رﻮﻄﺑ ار ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رﺎﯿﻌﻣ ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز ﻞﯿﻠﺤﺗ یاﺮﺑ سرد ﻦﯾا رد •

.دﻮﺷ ﺮﮐذ نآ فﻼﺧ ﻪﮑﻨﯾا ﺮ ﻣ

۴

(5)

١ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ • و ندﺮﮐ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ هار زا ﻪﮐ ﺖﺳا یﻮﻀﻋn ﻪﯾارآ ﯾ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ یاﺮﺑ هدﺎﺳ شور ﯾ ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﺮﻫ و هﺪﺷ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ ﺖﺳار ﻪﺑ ﭗﭼ ﺖﻤﺳ زا ﻪﯾارآ رﺎﺑ ﺮﻫ شور ﻦﯾا رد .ﺪﺳر ﻣ بﻮﻠﻄﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻪﺑ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺐﺗﺮﻣ ﺖﺳار ﻪﺑ ﭗﭼ زا یدﻮﻌﺻ ترﻮﺼﺑ ﻪﯾارآ ﺎﻬﺘﻧا رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا فﺪﻫ) ﺪﻧﻮﺷ ﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ روﺎﺠﻣ ﺮﺼﻨﻋ ود

،ﺪﻧﻮﺷ ﻣ ﻪﺿوﺎﻌﻣ ﺮﺼﻨﻋ ود ،ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺳار ﺖﻤﺳ ﺮﺼﻨﻋ زا ﺮﺘﮔرﺰﺑ ﯽﭙﭼ ﺖﻤﺳ ﺮﺼﻨﻋ ﻪﮐ ﺗرﻮﺻ رد (.دﻮﺷ ﻞﻤﻋ ﭻﯿﻫ ﺸﯾﺎﻤﯿﭘ رد ﺮﮔا .دﻮﺷ ﻣ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ رﺎﺑn−1ﺮﺜﮐاﺪﺣ ﻪﯾارآ .دﻮﺷ ﻣ مﺎﺠﻧا swap ﻞﻤﻋ ﺎﺣﻼﻄﺻا نﺎ ﻣ ﺎﺗ ﻪﯾارآ ،ماiﻪﻠﺣﺮﻣ رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻪﺑ مزﻻ .ﺪﺑﺎﯾ ﻣ ﻪﻤﺗﺎﺧ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا دﻮﺸﻧ مﺎﺠﻧا (swap) ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ n−i+1نﺎ ﻣ رد ﻪﯾارآ گرﺰﺑ ﺮﺼﻨﻋi،ماiﻪﻠﺣﺮﻣ نﺎﯾﺎﭘ رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا رﺎﮐ ﻦﯾا ﻞﯿﻟد .دﻮﺷ ﻣ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘn−i .ﺪﻧراﺪﻧ ﻪﯿﻘﺑ ﺎﺑ نﺪﺷ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﻪﺑ یزﺎﯿﻧ ﺮ ﯾد و ﺪﻧﺮﯿﮔ ﻣ راﺮﻗ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑnﺎﺗ رﺎﮐ یاﺪﺘﺑا رد .ﺪﻫد نﺎﺸﻧ ار ﻪﯾارآ ندﻮﺑ ﺐﺗﺮﻣ ﺎﺗ ﻢﯾا هدﺮﮐ ﻒﯾﺮﻌﺗ ار flag ﻢﺳا ﻪﺑ ﺮﯿﻐﺘﻣ ﯾ ﺮﯾز ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا رد ﻞﻤﻋ ﺸﯾﺎﻤﯿﭘ رد ﺮﮔا .دﻮﺷ ﻣ ﻫدراﺪﻘﻣ true ﺎﺑ flag و ﺖﺳا ﺐﺗﺮﻣ یدورو ﻪﯾارآ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﺮﺑ ضﺮﻓ ﺮﮔا .ﺪﻨﮐ ﻣ ﭼ ار flag ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ،ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ ﺮﻫ زا ﺪﻌﺑ .دﻮﺷ ﻣ false شراﺪﻘﻣ flag دﻮﺷ مﺎﺠﻧا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ و هﺪﺷ ﻊﻄﻗ لوا for ﻪﻘﻠﺣ ،(ﺖﺳا هﺪﺸﻧ مﺎﺠﻧا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻞﻤﻋ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ ﻦﯾا رد ﻨﻌﯾ) ﺖﺷاد true راﺪﻘﻣ flag .دﻮﺷ ﻣ عوﺮﺷ یﺪﻌﺑ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ و دﻮﺷ ﻣ true هرﺎﺑود flag ترﻮﺻ ﻦﯾا ﺮﯿﻏ رد ﺪﺑﺎﯾ ﻣ نﺎﯾﺎﭘ رﺎﮐ

Bubble-Sort(A) 1. n = length(A) 2. flag = TRUE 3. for i=1 to n-1 4. {for j=1 to n-i-1 5. if (A[j] > A[j+1])

6. swap (A[j],A[j+1])

7. flag = FALSE

8. if (flag == TRUE) break //no swap is done, exiting..

9. otherwise flag = TRUE}

.ﺪﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ ار ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻦﯾا رﺎﮐ زﺮﻃ ﻞ ﺷ رد هداد نﺎﺸﻧ لﺎﺜﻣ flag ندﺮﮐ ﭼ زا ﺮﮔا .ﺪﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﻞﻤﻋ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻢﯿﻧاﺪﺑ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ لﺎﺣ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ و ﻪﺴﯾﺎﻘﻣn−2مود ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ رد .دﻮﺷ ﻣ مﺎﺠﻧا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣn−1لوا ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ رد ،ﻢﯿﻨﮐ ﺮﻈﻧ فﺮﺻ .ﺖﺳاn−1ﺮﺜﮐاﺪﺣ ﺎﻫ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ داﺪﻌﺗ ﻞﮐ رد .دﻮﺷ ﻣ مﺎﺠﻧا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣn−iداﺪﻌﺗ ﻪﺑ ماiﺶﯾﺎﻤﯿﭘ رد ﺐﯿﺗﺮﺗ ﺮﺜﮐاﺪﺣ ﺲﭘ

n−1

∑

i=1

(n−i) =n(n−1)/2

زا ﻪﯾارآ ﺮﮔا .دراد یدورو ﻪﯾارآ ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ ﺪﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﺸﯾﺎﻤﯿﭘ داﺪﻌﺗ .دﻮﺷ ﻣ مﺎﺠﻧا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ .ﺖﺳا ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺘﻬﺑ ﻦﯾا .ﺖﺳاn−1ﺎﻫ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ داﺪﻌﺗ و دﻮﺷ ﻣ مﺎﺠﻧا ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ ﯾ ﻂﻘﻓ ،ﺪﺷﺎﺑ ﺐﺗﺮﻣ ﻞﺒﻗ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد ﺲﭘ .ﺖﺳا مزﻻ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘn−1و (؟اﺮﭼ) ﺖﺳا هﺪﺷ ﺐﺗﺮﻣ ﺲﮑﻋﺮﺑ ترﻮﺼﺑ ﻪﯾارآ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد .ﺪﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻦﯿﺑ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣn(n−1)/2ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻟﺎﺣ

bubble sort^١

۵

(6)

ﻪﯾارآ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ ﻦﯿﻟوا رد ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ یاﺮﺟا زا یا ﻪﻧﻮﻤﻧ :١ Figure

٢ ﺟرد یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ • سﺎﺳا ﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻪﯾارآ ﯾ ﺮﺻﺎﻨﻋ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ یاﺮﺑ ﺷور ﺟرد یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ،ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﺪﻨﻧﺎﻤﻫ ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ .دﻮﺸﯿﻣ ﻢﯿﺴﻘﺗ ﺖﻤﺴﻗ ود ﻪﺑ ﻪﯾارآ شور ﻦﯾا رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﺣاﺮﻃ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ و ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ رد .نآ ﺖﺳار ﺖﻤﺳ رد ﺐﺗﺮﻣﺎﻧ ﺖﻤﺴﻗ و دراد راﺮﻗ ﻪﯾارآ ﭗﭼ ﺖﻤﺳ رد ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ .ﺐﺗﺮﻣﺎﻧ ﺖﻤﺴﻗ و ﻪﺑ ﭗﭼ زا ار ﻪﯾارآ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا . ﯾ لﻮﻃ ﻪﺑ یا هزﺎﺑ ؛ﺖﺳا ﻪﯾارآ لوا ﺮﺼﻨﻋ ﻞﻣﺎﺷ ﺎﻬﻨﺗ ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ رﺎﮐ یاﺪﺘﺑا ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ رد دﻮﺧ ﺐﺳﺎﻨﻣ یﺎﺟ رد و دراﺪﯿﻣﺮﺑ ﺐﺗﺮﻣﺎﻧ ﺖﻤﺴﻗ زا یﺮﺼﻨﻋ رﺎﺑ ﺮﻫ و ﺪﻨ ﯿﻣ ﺶﯾﺎﻤﯿﭘ ﺖﺳار ﺖﻤﺴﻗ زا ﯾ رﺎﺑ ﺮﻫ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾﺪﺑ .دﻮﺸﯿﻣ جرد ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ رد ﺪﯾﺪﺟ ﺮﺼﻨﻋ ﺎﺣﻼﻄﺻا .ﺪﻫﺪﯿﻣ راﺮﻗ هﺪﺷ رد یﺮﺼﻨﻋ ﻪﮑﻨﯾا ﺎﺗ ﺪﺑﺎﯿﻣ ﻪﻣادا رﺪﻘﻨﯾا رﺎﮑﻨﯾا .دﻮﺸﯿﻣ ﻪﻓﺎﺿا ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ ﻪﺑ یﺮﺼﻨﻋ و دﻮﺸﯿﻣ ﻢﮐ ﺐﺗﺮﻣﺎﻧ .ﺪﻧﺎﻤﻧ ﻗﺎﺑ ﺐﺗﺮﻣﺎﻧ ﺖﻤﺴﻗ

ﺟرد یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ زا ﻟﺎﺜﻣ :٢ Figure

هزﺎﺑ ﺖﺳار یﺎﻬﺘﻧا ﺮﺼﻨﻋ) ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ ﺮﺼﻨﻋ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ ﺎﺑ ارxﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ،ﺐﺗﺮﻣ ﺖﻤﺴﻗ ردxﺮﺼﻨﻋ جرد یاﺮﺑ هزﺎﺑ یﺪﻌﺑ ﺮﺼﻨﻋ ﺎﺑ ار نآ و هدﺮﮐ ﺖﮐﺮﺣ ﭗﭼ ﺖﻤﺳ ﻪﺑ ،ﺪﺷﺎﺑ ﺮﺘ ﭼﻮﮐ نآ زا ﻪﮐ ﺗرﻮﺻ رد و هدﺮﮐ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ (ﺐﺗﺮﻣ

insertion sort^٢

۶

(7)

.ﺖﺳا ﺮﺘﻤﻛxزا ﻪﮐ دﻮﺷ اﺪﯿﭘ ﺐﺗﺮﻣ هزﺎﺑ ﺮﺼﻨﻋ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ ﻪﮑﻨﯾا ﺎﺗ ﺪﺑﺎﯾ ﻣ ﻪﻣادا رﺪﻘﻨﯾا رﺎﮐ ﻦﯾا .ﺪﻨ ﯿﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺐﺗﺮﻣ ﺪﯾﺪﺟ ﺮﺼﻨﻋ جرد یاﺮﺑ ﺎﺟ ﺎﺗ ﺪﻧﻮﺷ ﻣ هداد ﺖﻔﯿﺷ ﺖﺳار ﺖﻤﺳ ﻪﺑ ﺪﻧا هﺪﺷ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣxﺎﺑ ﻪﮐ یﺮﺻﺎﻨﻋ ﻦﯾا ﺎﺑ نﺎﻣﺰﻤﻫ ﺐﺳﺎﻨﻣ نﺎ ﻣ نﻮﭼ دﻮﺸﯿﻤﻧ مﺎﺠﻧا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺮ ﯾد ﺖﺳا ﺮﺘ ﭼﻮﮐxزا ﻪﮐ ﺪﺷ اﺪﯿﭘ ﺮﺼﻨﻋ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ ﻪﮐ ﻣﺎﮕﻨﻫ .دﻮﺷ زﺎﺑ .ﺖﺳا هﺪﺷ اﺪﯿﭘ ﺐﺗﺮﻣ هزﺎﺑ ردxجرد یاﺮﺑ .ﺪﻫﺪﯿﻣ نﺎﺸﻧ ار ﺟرد یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا تﺎﯿﺋﺰﺟ ﺮﯾز ﺪﮐ ﻪﺒﺷ 1. Insertion-Sort(A,n)

2. for k = 2 to n

3. key = A[k]

4. i = k

5. while (i > 1) and (A[i-1] > key)

6. A[i] = A[i-1]

7. i = i-1

8. A[i] = key

.ﺪﻫﺪﯿﻣ مﺎﺠﻧا جرد ﻞﻤﻋn−1ﻞﮐ رد ﺟرد یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا . ﺟرد یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ یﺎﻫ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ داﺪﻌﺗ ﻌﻗﻮﻣ) دﻮﺸﯿﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺐﺗﺮﻣ هزﺎﺑ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻪﻤﻫ ﺎﺑ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد دﻮﺷ جرد ﺖﺳا راﺮﻗ ﻪﮐ یﺮﺼﻨﻋ ،جرد ﻞﻤﻋ ﺮﻫ رد ﻞﮐ داﺪﻌﺗ ﺲﭘ .ﺪﺷﺎﺒﯿﻣ ﺮﺼﻨﻋiیوﺎﺣ ﺐﺗﺮﻣ هزﺎﺑ ،دﻮﺸﯿﻣ مﺎﺠﻧا جرد ﻦﯿﻣاiﻪﮐ ﻧﺎﻣز .(ﺪﺷﺎﺑ ﺮﺘ ﭼﻮﮐ ﺎﻬﻧآ ﻪﻤﻫ زا ﻪﮐ ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد ﺎﻫ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ

n−1

∑

i=1

i=n(n−1)/2

.ﺪﺷﺎﺑ هﺪﺷ ﺐﺗﺮﻣ ﺲﮑﻋﺮﺑ ترﻮﺼﺑ یدورو ﻪﯾارآ ﻪﮐ ﺪﺘﻓا ﻣ قﺎﻔﺗا ﻧﺎﻣز ،ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻪﺑﺎﺸﻣ ،ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ .دﻮﺸﯿﻣ مﺎﺠﻧا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣn−1ﺎﻬﻨﺗ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ هﺪﺷ ﺐﺗﺮﻣ یدورو ﻪﯾارآ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻧﺎﻣز ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺘﻬﺑ

ﯽﯾودود یﻮﺠﺘﺴﺟ ٢

رد .ﺖﺳا ﺐﺗﺮﻣ ﻪﯾارآ ﯾ رد ﺮﺼﻨﻋ ﯾ دﻮﺟو ﺺﯿﺨﺸﺗ یاﺮﺑ ﻤﺘﯾرﻮ ﻟا binary search ﺎﯾ ﯽﯾودود یﻮﺠﺘﺴﺟ .ﺪﻧادﺮﮔ ﻣﺮﺑ ارf alseراﺪﻘﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﺪﺷﺎﺒﻧ ﻪﯾارآ ردqﺮﮔا .ﺪﻧادﺮﮔ ﻣﺮﺑ ارtrueراﺪﻘﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ،دﻮﺟو ترﻮﺻ RوLﻪﻠﺣﺮﻣ ﺮﻫ رد .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳاmidوRوLیﺎﻬﻣﺎﻧ ﺎﺑ ﺮﯿﻐﺘﻣ ﻪﺳ زا ﯽﯾودود یﻮﺠﺘﺴﺟ یزﺎﺳ هدﺎﯿﭘ یاﺮﺑ q ﻨﻌﯾ ﻮﺠﺘﺴﺟ درﻮﻣ دﺪﻋ رﺎﺑ ﺮﻫ .ﺪﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ ار هزﺎﺑ ود ﻂﺳوmidو ﺪﻨﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ ار ﻮﺠﺘﺴﺟ درﻮﻣ هزﺎﺑ ﺮﺳ ود .ﺪﻨﮐ ﻣ اﺪﯿﭘ ﻪﻣادا ﺪﯾﺪﺟ هزﺎﺑ رد ﻮﺠﺘﺴﺟ و ﺪﻧﻮﺷ ﻣ زوﺮﺑRوLﺮﯾدﺎﻘﻣ زﺎﯿﻧ ترﻮﺻ رد و دﻮﺷ ﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣA[mid]ﺎﺑ

ﻞﺤﻣ رد ﻪﯾارآ ﺮﯾز ﻂﺳو ﺮﺼﻨﻋ ﺎﺑqاﺪﺘﺑاA[L, R]ﻪﯾارآ ﺮﯾز ردqندﺮﮐ اﺪﯿﭘ یاﺮﺑ ،ﺮﺘﻘﯿﻗد نﺎﯿﺑ ﻪﺑ mid =L+⌊(R−L)/2⌋

رد ﻮﺠﺘﺴﺟA[mid] > qﺮﮔا .ﺪﺑﺎﯾ ﻣ ﻪﻤﺗﺎﺧ ﻮﺠﺘﺴﺟ و ﺖﺳا هﺪﺷ اﺪﯿﭘqدﻮﺑ راﺮﻗﺮﺑ یوﺎﺴﺗ ﺮﮔا .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ L > Rداﺪﺧر .دﻮﺷ ﻣ لﺎﺒﻧد[mid+ 1, R]هزﺎﺑ رد ﻮﺠﺘﺴﺟ ترﻮﺻ ﻦﯾا ﺮﯿﻏ رد ﺪﺑﺎﯾ ﻣ ﻪﻣادا[L, mid−1]هزﺎﺑ .ﺪﻧادﺮﮔ ﻣﺮﺑ ارf alseراﺪﻘﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا و ﺖﺳا هﺪﺸﻧ اﺪﯿﭘqﻪﮐ ﺖﺳا ﻨﻌﻣ ﻦﯾا ﻪﺑ

٧

(8)

// Binary Search // Searcching for q

// Input array A is sorted. A[0] <= A[1] <= A[2] <= ... <= A[n-1]

1. L = 0 2. R = n-1

3. While (L <= R){

3.1. mid = L + (R-L)/2;

3.2. if (A[mid] == q) print ''found''. exit 3.3. if (A[mid] > q)

R = mid-1 else

L = mid+1 }

4. print ''not found''. exit

:ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺟا نﺎﻣز ﻞﯿﻠﺤﺗ

،ﺪﻧﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ binary_searchﻢﺘﯾرﻮ ﻟا یﺎﻬﻠﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد داﺪﻌﺗT(n)ﺮﮔا .ﻢﻟ .T(n) = 5 logn+ 10هﺎﮕﻧآ ﺎﯾ دﻮﺷ اﺪﯿﭘqﻪﭼ while ﻪﻘﻠﺣ یاﺮﺟا رﺎﺑ ﺮﻫ رد .ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻤﻧ ﺮﻈﻧ رد ار2.و1.طﻮﻄﺧ بﺎﺼﺘﻧا ود ﻼﻌﻓ :تﺎﺒﺛا

⌊n/2⌋ﻪﻘﻠﺣ یﺪﻌﺑ یاﺮﺟا رد ﺪﺷﺎﺑnﺮﮔا ﻮﺠﺘﺴﺟ درﻮﻣ هزﺎﺑ لﻮﻃ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا ﻞﻤﻌﻟاﻮﺘﺳد5داﺪﻌﺗ ﻪﺑ دﻮﺸﻧ زاqﻪﮑﻨﯾا و ،ﺪﺷﺎﺑ جوز ﺎﯾ دﺮﻓnﻪﮐ دراد ﻦﯾا ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ ،ﺪﺘﻓا ﻣ قﺎﻔﺗا ﺖﻟﺎﺣ ماﺪﮐ) .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ⌊n/2⌋ −1ﺎﯾ و دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﻬﻠﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد داﺪﻌﺗ ﻢﻤﯾﺰﮐﺎﻣT(n)ﺮﮔا ﺲﭘ .(ﺪﺷﺎﺑ ﺮﺘ ﭼﻮﮐ ﺎﯾ و ﺮﺘﮔرﺰﺑmidﻞﺤﻣ ﺮﺼﻨﻋ .ﻢﯿﺴﯾﻮﻨﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣT(n)یاﺮﺑ ار ﺮﯾز ﺘﺸﮔزﺎﺑ ﻪﻄﺑار

T(n) = {

5 + max{T(⌊n/2⌋), T(⌊n/2⌋ −1)} n≥1

3 n= 0

ﻪﺳ ﺎﺠﻨﯾا رد .ﺖﺳا ﺮﻔﺻ ﻮﺠﺘﺴﺟ درﻮﻣ هزﺎﺑ لﻮﻃ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد .L > Rﻪﮐ ﺪﻫد ﻣ خر ﺘﻗوn = 0ﺖﻟﺎﺣ .(4.ﻂﺧ تارﻮﺘﺳد و while ﻪﻘﻠﺣ طﺮﺷ) دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد (.ﺪﯿﻫد مﺎﺠﻧا ﻦﯾﺮﻤﺗ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ار ﻦﯾا تﺎﺒﺛا) .i≤j یاﺮﺑT(i)≤T(j) :ﻢﻬﻣ ﻪﺘﮑﻧ ﯾ

.ﻢﯿﻨﮐ هدﺎﺳ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ار ﻻﺎﺑ ﺘﺸﮔزﺎﺑ ﻪﻄﺑار ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ﺲﭘ

T(n) = {

5 +T(⌊n/2⌋) n≥1

3 n= 0

رد .ﺪﺷﺎﺑ ﺮﺘﮔرﺰﺑ ﻪﯾارآ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻪﻤﻫ زا ﻮﺠﺘﺴﺟ درﻮﻣ دﺪﻋ و ﺪﺷﺎﺑ2زا ﻧاﻮﺗn ﻪﮐ ﺪﻫد ﻣ خر ﻧﺎﻣز ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ لﻮﻃ ،q > maxAوn = 2^k ﻪﮐ ﻧﺎﻣز ،ﺮﺘﻘﯿﻗد نﺎﯿﺑ ﻪﺑ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧn/2ﺎﻘﯿﻗد ﺪﯾﺪﺟ هزﺎﺑ لﻮﻃ رﺎﺑ ﺮﻫ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا 5 logn+ 8نﺎﻤﻫ ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ اﺮﺟا ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد5(k+ 1) + 3داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﻞﮐ رد ﺲﭘ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ2^k⁻¹ﺪﯾﺪﺟ هزﺎﺑ اﺮﺟا ﻦﯿﺣ رد ﺎﻬﻠﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد داﺪﻌﺗ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ رد ،ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا عوﺮﺷ بﺎﺼﺘﻧا ود ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ ،نﺎﯾﺎﭘ رد .ﺖﺳا .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ5 logn+ 10 ٨

(9)

ﺪﺷر ﻊﺑاﻮﺗ و ﯽﺒﻧﺎﺠﻣ ﻞﯿﻠﺤﺗ ٣

ناﻮﺗ ﻣ ﺎﺒﻟﺎﻏ ﺎﻣا ﺖﺴﯿﻧ ﻧﺎﺳآ رﺎﮐ ﺎﻬﻠﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد یاﺮﺟا داﺪﻌﺗ ﻖﯿﻗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ دراﻮﻣ ﻀﻌﺑ رد ،ﺪﺷ ﻪﺘﻔﮔ ﻪﮐ رﻮﻄﻧﺎﻤﻫ رد ﺻﺎﺧ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻪﮐ دﻮﺷ ﻪﺘﻔﮔ ﺖﺳا ﻦ ﻤﻣ لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .دﺮﮐ اﺪﯿﭘ نآ یاﺮﺑ ﯽﺑﻮﺧ ﻦﯿﯾﺎﭘ و ﻻﺎﺑ ناﺮﮐ Aﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘT(n)ﺮﮔا ﺎﯾ .ﺖﺳاn²−n وn² ﻦﯿﺑ ﺪﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ﻪﮐ ی ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ داﺪﻌﺗ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗﺪﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ ﺖﺑﺎﺛ ﺖﺳا ﻦ ﻤﻣ ﺪﺷﺎﺑ 1

2nlogn ≤T(n)≤2nlogn+n

ﺎﺑ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻒﯿﺻﻮﺗ) ﻢﯿﻫد ﻣ راﺮﻗ ﺳرﺮﺑ درﻮﻣ ﻻﺎﺑ ﺤﻄﺳ رد ار ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ﺎﻣ ﻪﮑﻨﯾا ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ،ﻦﯾا زا ﻪﺘﺷﺬﮔ ﺴﮐ ﺖﺳا ﻦ ﻤﻣ لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .دراﺪﻧ دﻮﺟو ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد ﺪﺣاو یاﺮﺑ ﻘﯿﻗد ﻒﯾﺮﻌﺗ (ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﻻﺎﺑ ﺢﻄﺳ ﻧﺎﺑز ﺮﻈﻧ رد ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد ﻪﺳ نآ یاﺮﺑ یﺮ ﯾد ﻪ ﯿﻟﺎﺣ رد ﺪﻨﮐ بﺎﺴﺣ ﻞﻤﻌﻟارﻮﺘﺳد ﯾ ار (swap) ﻪﯾارآ ﺮﺼﻨﻋ ود ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺖﺑﺎﺛ ﺐﯾاﺮﺿ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﻪﮐ ﻢﯾراد زﺎﯿﻧ یرﺎﯿﻌﻣ ﻪﺑ اﺮﺟا نﺎﻣز ظﺎﺤﻟ زا ﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ یاﺮﺑ ،فﺎﺻوا ﻦﯾا ﺎﺑ .دﺮﯿ ﺑ .ﻢﯾزادﺮﭘ ﻣ نآ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﺑ ﺮﯾز رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﺒﻧﺎﺠﻣ ناﺮﮐ ،ﺎﺘﺳار ﻦﯾا رد بﻮﺧ رﺎﯿﻌﻣ ﯾ .ﺪﺷﺎﺒﻧ سﺎﺴﺣ ناﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺨﺑ ﻪﮐ دور ﻣ رﺎﮐ ﻪﺑ ﺘﻗوOدﺎﻤﻧ .دﻮﺷ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳاO دﺎﻤﻧ زا ﺪﺷر ظﺎﺤﻟ زا ﻊﺑاﻮﺗ یﺪﻨﺑ ﻪﻘﺒﻃ یاﺮﺑ

.ﻢﯿﻨﮐ ﻓﺮﻌﻣ ﻊﺑﺎﺗ ﯾ یاﺮﺑ ار ﯽﯾﻻﺎﺑ Definition 3.1. O(g(n)) ={f(n) :∃c, n₀ >0such that

∀n≥n0,0≤f(n)≤cg(n)}

ﺗرﺎﺒﻋ ﻪﺑ ﺎﯾ ﺪﻨﮐ ﻣ ﻞﻤﻋ ﻻﺎﺑ ناﺮﮐ ﯾ ﻞﺜﻣ ﺎﻬﻧآ یاﺮﺑg(n)ﻪﮐ ﺖﺳا ﻌﺑاﻮﺗ ﻪﻤﻫ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻊﻗاو ردO(g(n)) f(n) =O(g(n))ﺎﯾ وf(n)∈O(g(n))دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ .ﺖﺳاg(n)ﺎﺑ ﺐﺳﺎﻨﺘﻣ ﺮﺜﻛاﺪﺣ ﺎﻬﻧآ ﺪﺷر ﮓﻨﻫآ ،ﺮ ﯾد

.ﺖﺳاf(n)ﻊﺑﺎﺗ یاﺮﺑ ﯽﺒﻧﺎﺠﻣ یﻻﺎﺑ ناﺮﮐ ﯾg(n)ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ و 100n²+ 5n−10∈O(n²)ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ •

ﻢﯾرادn ≥2ﺮﻫ وc= 200یاﺮﺑ :ﻞﺣ 100n²+ 5n−10≤200n²

.ﺖﺳا ﺖﺳرد ﻻﺎﺑ ترﺎﺒﻋO دﺎﻤﻧ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻖﺒﻃ ﺲﭘ .دﻮﺷ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳاΩدﺎﻤﻧ زا ﻦﯿﯾﺎﭘ ناﺮﮐ ﻪﺑ هرﺎﺷا یاﺮﺑ

Definition 3.2. Ω(g(n)) ={f(n) :∃c, n₀ >0such that

∀n≥n0,0≤cg(n)≤f(n)}

ﯽﺒﻧﺎﺠﻣ ﻦﯿﯾﺎﭘ ناﺮﮐ ﯾg(n)ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ و (f(n) = Ω(g(n))ﺎﯾ و)f(n)∈Ω(g(n))دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﺪﻨﮐ ﻣ ﻞﻤﻋ ﻦﯿﯾﺎﭘ ناﺮﮐ ﯾ ﻞﺜﻣ ﺎﻬﻧآ یاﺮﺑg(n)ﻪﮐ ﺖﺳا ﻌﺑاﻮﺗ ﻪﻤﻫ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻊﻗاو ردΩ(g(n)).ﺖﺳاf(n)یاﺮﺑ

.ﺖﺳاg(n)ﺎﺑ ﺐﺳﺎﻨﺘﻣ ﻞﻗاﺪﺣ ﺎﻬﻧآ ﺪﺷر ﮓﻨﻫآ ،ﺮ ﯾد ﺗرﺎﺒﻋ ﻪﺑ ﺎﯾ 2ⁿ̸= Ω(4ⁿ)ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ •

٩

(10)

ﻢﯾرادn₀دﺪﻋ وcﺖﺒﺜﻣ ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ ﺖﺑﺎﺛ ﺮﻫ یاﺮﺑ ﺲﭘlim_n_→∞ ²₄ⁿn = 0نﻮﭼ :ﻞﺣ

∀n ≥n₀, c4ⁿ 2ⁿ

زا درادgﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ ﺐﺳﺎﻨﺘﻣ یﺪﺷر ﮓﻨﻫآf ﻊﺑﺎﺗ ﻪﮑﻨﯾا نﺎﯿﺑ یاﺮﺑ .ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑΘدﺎﻤﻧΩوOیﺎﻫدﺎﻤﻧ ﺐﯿﮐﺮﺗ زا .ﻢﯾراد دﺎﻤﻧ ﻦﯾا یاﺮﺑ ار ﺮﯾز ﻤﺳر ﻒﯾﺮﻌﺗ .دﻮﺷ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳاΘدﺎﻤﻧ

Definition 3.3. Θ(g(n)) ={f(n) :∃c₁, c₂, n₀ >0such that

∀n≥n0,0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)}

نﺎﺴ ﯾnگرﺰﺑ ﺮﯾدﺎﻘﻣ یاﺮﺑgوfﺪﺷر ﮓﻨﻫآ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻨﻌﻣ ﻦﯾﺪﺑ ﻦﯾا ،f(n) = Θ(g(n))دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ ﺘﻗو .ﺖﺳاf(n)یاﺮﺑ ﯽﺒﻧﺎﺠﻣ ﻪﺘﺴﺑ ناﺮﮐg(n)ﻪﮐ ﻢﯿﯾﻮﮔ ﻣ وf(n)∈Θ(g(n))ﻢﯿﺴﯾﻮﻧ ﻣ .ﺖﺳا ﻦﯾﺪﺑ ﻦﯾا .T(n)∈Θ(n²)ﻢﯾراد ﺪﺷ ﻒﯿﺻﻮﺗ ﻞﺒﻗ ﺶﺨﺑ رد ﻪﮐ ﺟرد و ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ یﺎﻬﻤﺘﯾرﻮ ﻟا یاﺮﺑ ﺎﺣﻼﻄﺻا ﺎﯾ ﺪﻨﮐ ﻣ ﺪﺷر n² ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ ﺐﺳﺎﻨﺘﻣ ( ﺟرد ﺎﯾ) ﯽﺑﺎﺒﺣ یزﺎﺳ ﺐﺗﺮﻣ ﻢﺘﯾرﻮ ﻟا ﻧﺎﻣز ﮔﺪﯿﭽﯿﭘ ﻪﮐ ﺖﺳﺎﻨﻌﻣ

.دراد ار ﻻﺎﺑ یﺎﻨﻌﻣ نﺎﻤﻫ ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳاT(n) = Θ(n²)ترﺎﺒﻋ زا تﺎﻗوا ﻀﻌﺑ .دراد ارn²ﺪﺷر ﮓﻨﻫآ

ﺪﺷر ﻊﺑﺎﺗ زا ﺸﯾﺎﻤﻧ :٣ Figure

.f(n) = Ω(g(n))وf(n) =O(g(n))ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔاf(n) = Θ(g(n)) .ﻪﯿﻀﻗ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻒﯾﺮﻌﺗ زا :تﺎﺒﺛا .ﻪﯿﻀﻗ 1. 0<lim_n_→∞ ^f_g(n)⁽ⁿ⁾ =k <∞ ⇒ f(n) = Θ(g(n))

2. lim_n_→∞ ^f(n)_g(n) =k < ∞ ⇒ f(n) = O(g(n)) ١٠

(11)

3. lim_n_→∞ ^f(n)_g(n) >0 ⇒ f(n) = Ω(g(n))

ﺪﺣ ﺖﺳا ﻦ ﻤﻣ لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .دراﺪﻧ دﻮﺟو ﻦﯿﻓﺮﻃ ﻦﯿﺑ ”ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔا” ﻪﻄﺑار ﻻﺎﺑ ﻂﺑاور رد ﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑf(n) =O(g(n))ﺎﻣا ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاﺪﻧ دﻮﺟوlim_n_→∞ ^f_g(n)⁽ⁿ⁾

ﻢﯾرادk > 0وa_k >0ضﺮﻓ ﺎﺑ .ﻪﺠﯿﺘﻧ a_kn^k+a_k₋₁+. . .= Θ(n^k)

100n²+ 5n−10̸= Θ(n³)ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ • وcﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ ﺖﺑﺎﺛ ﺮﻫ یاﺮﺑ ﺖﺳا ﻨﻌﻣ ﻦﯾﺪﺑ ﻦﯾا .100n²+ 5n−10̸= Ω(n³)ﻪﮐ ﻢﯿﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ :ﻞﺣ

∀n≥n₀, cn³ 100n²+ 5n−10ﻢﯾرادn₀ lim_n_→∞ ¹⁰⁰ⁿ²⁺⁵ⁿ_n3 ⁻¹⁰ = 0نﻮﭼ ﺖﺳا ﺖﺳرد ﻦﯾا

log(n!) = Θ(nlogn)ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ • ﻢﯾراد ﺢﯿﺤﺻn >0ﺮﻫ یاﺮﺑ .ﻞﯾرﻮﺘﮐﺎﻓ یاﺮﺑ ﺰﻨﯿﺑار‐ﮓﻨﯿﻟﺮﺘﺳا ﺐﯾﺮﻘﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ :لوا ﻞﺣ هار

√2πnⁿ⁺¹²e⁻ⁿe¹²ⁿ⁺¹¹ ≤n!≤√

2πnⁿ⁺¹²e⁻ⁿe¹²ⁿ¹

ﻢﯾراد ﻦﯿﯾﺎﭘ ناﺮﮐ یاﺮﺑ ﻪﺠﯿﺘﻧ رد

log(√

2π) + (n+1

2) logn+ ( 1

12n+ 1 −n) loge≤log(n!)

ﺲﭘ nlogn−nloge≤log(n!)

n > e²یاﺮﺑ 1

2nlogn≤log(n!)

ﻢﯾراد ﻻﺎﺑ ناﺮﮐ یاﺮﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ

log(n!)≤log(√

2π) + (n+1

2) logn+ ( 1

12n) loge

n≥1یاﺮﺑ log(n!)≤2nlogn+ 8

ﻢﯾرادn≥4یاﺮﺑ ﻪﺠﯿﺘﻧ رد log(n!)≤3nlogn

:مود ﻞﺣ هار log(n!) =

∑n

i=1

logi≤nlogn

١١

(12)

ﺮ ﯾد ﻓﺮﻃ زا n

2logn− n 2 ≤ n

2log n 2 ≤

∑n

i=1

logi= log(n!)

ﻢﯾرادn ≥4یاﺮﺑ ﺲﭘ 1

4nlogn≤log(n!)

١٢