ﺑﺎﺳﻤﻪ ﺗﻌﺎﻟﯽ

(1)

Advanced Numerical Methods 1

ﯽﻟﺎﻌﺗ ﻪﻤﺳﺎﺑ

(2)

ﺚﺤﺑ تروﺮﺿ و ﻪﻣﺪﻘﻣ

(3)

شور ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ هﺪﯾﺪﭘ ﮏﯾ ﯽﺳرﺮﺑ يﺎﻫ

هﺪﯾﺪﭘ ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ

ﯽﺑﺮﺠﺗ

سﺎﯿﻘﻣ ﯽﻌﻗاو سﺎﯿﻘﻣ

ﮏﭼﻮﮐ ﯽﺑﺮﺠﺗﺮﯿﻏ

ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ لﺪﻣ

ﯽﺿﺎﯾر لﺪﻣ

ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻞﺣ يدﺪﻋ ﻞﺣ

(4)

ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer 1946) was the first electronic general-purpose computer. It could solve a large class of numerical problems.

(5)

شور زا اﺮﭼ ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا يدﺪﻋ يﺎﻫ

؟ﻢﯿﻨﮐ

رد 

تﺎﺒﺳﺎﺤﻣ يدﺪﻋ

ﺎﻣ ﻪﺑ لﺎﺒﻧد ﯽﺣاﺮﻃ

و ﻞﯿﻠﺤﺗ ﯽﯾﺎﻫ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا

ياﺮﺑ ﻞﺣ

ﺑاور ﻂ

ﯽﺿﺎﯾر ﺖﺳد ﻪﺑ

هﺪﻣآ زا

يزﺎﺳ لﺪﻣ ﻞﺋﺎﺴﻣ

ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ ﻢﯿﺷﺎﺑ ﯽﻣ

.

ﯽﻀﻌﺑ 

تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺑ

يرﺪﻗ هﺪﯿﭽﯿﭘ

ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻪﮐ

ياﺮﺑ ﺎﻬﻧآ

ﻞﺣ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ

نﺎﮑﻣا ﭘ

ﺮﯾﺬ

ﺖﺴﯿﻧ .

رد ﻦﯾا دراﻮﻣ زا

ﮏﯾ ﺮﯿﺴﻣ

ﯽﻌﺳ و

ﺎﻄﺧ )

،راﺮﮑﺗ

Iteration

( ياﺮﺑ ﯽﺑﺎﯾ ﺖﺳد

ﻪﺑ ﻞﺣ هدﺎﻔﺘﺳا

دﻮﺷ ﯽﻣ .

رد 

ﻦﯾا شور ﺮﯾدﺎﻘﻣ

ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ار

ﺎﺑ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﻪﺘﺴﺴﮔ

ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ

.

(6)

شور زا اﺮﭼ ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا يدﺪﻋ يﺎﻫ

؟ﻢﯿﻨﮐ

ﺪﻧراﺪﻧ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻞﺣ ﻪﮐ ﯽﻠﺋﺎﺴﻣ 

:

لاﺮﮕﺘﻧا  ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ  ﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ تﻻدﺎﻌﻣ 

1 2

0

I =

∫

e⁻t dt

سﺎﯿﻘﻣ رد ﻪﮐ ﯽﻠﺋﺎﺴﻣ 

ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ گرﺰﺑ يﺎﻫ ﺪﻧﻮﺷ

) ﺘﺷاد ﻢﻫ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻞﺣ ﺪﯾﺎﺷ ﯽﺘﺣ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪ

(

ﺎﺑ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد  دﺎﯾز تﻻﻮﻬﺠﻣ

( )

³

2 3 2

( ) 2 cos (x) y (x) ( ) cosh( )

y x′′ + ′ + x y x = x

4 1 0

x + + =x

10000 10000

AX = B A _×

ﺪﻧراﺪﻧ ﻖﯿﻗد ﻞﺣ ﻪﮐ ﯽﻠﺋﺎﺴﻣ 

:

ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد 

(7)

سرد فاﺪﻫا

يدﺪﻋ يﺎﻫ شور ﺎﺑ ﯽﯾﺎﻨﺷآ



ﺎﻫﺎﻄﺧ ﻊﺑﺎﻨﻣ ﺎﺑ ﯽﯾﺎﻨﺷآ



ﺎﻫراﺰﻓا مﺮﻧ ﯽﺧﺮﺑ و يدﺪﻋ يﺎﻫ ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ﻦﺘﺷﻮﻧ ﺎﺑ ﯽﯾﺎﻨﺷآ



ﺎﻫﺎﻄﺧ و يدﺪﻋ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﯽﺑﺎﯾزرا



(8)

يﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ يزﺎﺳ ﻪﯿﺒﺷ ﻞﺣاﺮﻣ

ﯽﺿﺎﯾر يﺎﻫ لﺪﻣ ﻪﺋارا و يزﺎﺳ هدﺎﺳ 

تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ ﻪﺘﺴﺴﮔ 

) ﻪﺘﺴﺴﮔ ﻂﯿﺤﻣ ﺎﺑ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﻂﯿﺤﻣ ﯽﻨﯾﺰﮕﯾﺎﺟ (

لﺪﻣ يدﺪﻋ ﻞﺣ ياﺮﺑ ﯽﻤﺘﯾرﻮﮕﻟا ﯽﺣاﺮﻃ ﺎﯾ بﺎﺨﺘﻧا 

يﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا لﺎﻤﻋا 

ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ياﺮﺟا 

رادﻮﻤﻧ ﺎﯾ لوﺪﺟ ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺶﯾﺎﻤﻧ 

ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺮﯿﺴﻔﺗ و ﯽﺠﻨﺳ ﺖﺤﺻ 

(9)

يدﺪﻋ يﺎﻫ شور دﺮﺑرﺎﮐ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ

) ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﮏﯾ ﻞﺣ ﻞﺣاﺮﻣ (

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ φ_ij

تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ﺐﺳﺎﻨﻣ شور بﺎﺨﺘﻧا

يﺮﺒﺟ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﯿﮑﺸﺗ )

A_ijϕij=0 (

ﺐﺳﺎﻨﻣ شور ﺎﺑ تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ ﻪﺘﺴﺴﮔ )

Discretization (

ﺐﺳﺎﻨﻣ ﻪﮑﺒﺷ بﺎﺨﺘﻧا و ﻞﺣ ناﺪﯿﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ )

Mesh Generation (

ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﻂﯿﺤﻣ ﮏﯾ ﺮﺑ ﻢﮐﺎﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ D(ϕ)=0

(10)

ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ ﻪﻟﺎﺴﻣ ﮏﯾ ﻞﺣ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ

ﻪﺤﻔﺻ رد ﺎﻣد ﻊﯾزﻮﺗ ﺖﺳا بﻮﻠﻄﻣ  زا ﺲﭘ ﻞﮑﺷ رد هﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﻂﯾاﺮﺷ ﺎﺑ يا

2 ﻪﯿﻧﺎﺛ .

T(x,y,0)=100 ﻖﯾﺎﻋ

1m

T=0

T_air=0 H=1

p

T T T

k k q c

x x y ^ y ^ ρ t

∂  ∂  + ∂  ∂  + = ∂

∂  ∂  ∂  ∂   ∂

(11)

T 15 13 12 10 9 7 6 4 3 1

ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ ﻪﻟﺎﺴﻣ ﮏﯾ ﻞﺣ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ

P P E E W W N N S S

a T = a T +a T +a T +a T +b

p

T T T

k k q c

x x y ^ y ^ ρ t

∂  ∂  + ∂  ∂  + = ∂

∂  ∂  ∂  ∂   ∂

(12)

سرد ﻞﺼﻓﺮﺳ

ﺎﻄﺧ ﻞﯿﻠﺤﺗ



شور



ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يﺎﻫ

شور



ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ و ﯽﻨﺤﻨﻣ شزاﺮﺑ يﺎﻫ يا

شور



ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ و ﯽﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ يﺎﻫ

شور



ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يﺎﻫ )

يزﺮﻣ راﺪﻘﻣ و ﻪﯿﻟوا راﺪﻘﻣ (

شور



ﯽﺋﺰﺟ تﺎﻘﺘﺸﻣ ﺎﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يﺎﻫ

(13)

ﻊﺟاﺮﻣ

Applied Numerical Analysis

Curtis F. Gerald, Patrick O. Wheatley ISBN: 0321133048

Publisher: Pearson

Pub. Date: 2003 (edition 7)

Numerical Methods for Engineers Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ISBN: 978–0–07–340106–5

Publisher: McGraw-Hill

Pub. Date: 2010 (edition 6)

(14)

ﻊﺟاﺮﻣ

Numerical Method for Engineers and Scientists J.D Hoffman

ISBN: 0824704436

Publisher: Marcel Dekker, Inc.

Pub. Date: 2001

Numerical Recipes in Fortran 77 William H. Press et al.

Publisher: Cambridge University Press Pub. Date: 1996

(15)

ﯽﺑﺎﯾزرا شور

هﺮﻤﻧ ناﻮﻨﻋ

2 ﻒﯿﻟﺎﮑﺗ

6 ( دﺪﻋ 4 ) ﯽﺳﻼﮐ هژوﺮﭘ

4 مﺮﺗ نﺎﯿﻣ

8 مﺮﺗ نﺎﯾﺎﭘ

20 عﻮﻤﺠﻣ

[email protected]

Subject: : Advanced Numerical Methods-Name Surname

هﺪﺷ ﺖﺳﻮﯿﭘ ﻞﯾﺎﻓ ناﻮﻨﻋ :

Name Surname-Project Name-date Example: SobhanEmami-HW1-950706

(16)

رادﻮﻤﻧ ﻢﺳر و ﯽﺴﯾﻮﻧ ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ نﺎﺑز صﻮﺼﺧ رد ﯽﺗﺎﮑﻧ

ﯽﻣ دﺎﻬﻨﺸﯿﭘ و ﺎﻫرﻮﺘﻧﺎﮐ ،ﺎﻫرادﻮﻤﻧ دﻮﺷ

...

مﺮﻧ ﺎﺑ راﺰﻓا

TecPlot

مﺮﻧ ﺎﯾ و يﺎﻫراﺰﻓا

ﯽﺼﺼﺨﺗ يﺮﮕﯾد

ﺪﻧﻮﺷ ﻢﺳر .

ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ رد هژوﺮﭘ ﯽﺴﯾﻮﻧ

ﻊﺑاﻮﺗ زا دﻮﺷ ﯽﻌﺳ ﯽﺳﻼﮐ يﺎﻫ )

Functions

( لاورﺮﯾز ، ﺎﻫ

)

Subroutines

(

و .دﻮﺷ هدﺎﻔﺘﺳا ﯽﺴﯾﻮﻧﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ياﻪﻓﺮﺣ يﺎﻫ شور

هژوﺮﭘ ياﺮﺑ زا ﻪﺟو ﭻﯿﻫ ﻪﺑ ﯽﺳﻼﮐ يﺎﻫ

ﺎﯾ ﻊﺑاﻮﺗ هدﺎﻣآ يﺎﻫﺪﮐ

ﺪﯿﻨﮑﻧ هدﺎﻔﺘﺳا .

مﺮﻧ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ يﺎﻫراﺰﻓا

ﺪﻨﻧﺎﻣ ﺮﮕﯾد ﯽﺴﯾﻮﻧ

MATLAB

ﺖﺳا ﻊﻧﺎﻣ ﻼﺑ .

نﺎﺑز ﺎﺑ ًﺎﺤﯿﺟﺮﺗ ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ يﺎﻫ

ﯽﺴﯾﻮﻧ

FORTRAN

ﺎﯾ هژوﺮﭘ C++

ﺪﻧﻮﺷ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﯽﺳﻼﮐ يﺎﻫ .

(17)

ﺎﻄﺧ ﻞﯿﻠﺤﺗ

(18)

ﺎﻄﺧ ﻊﺑﺎﻨﻣ

هزاﺪﻧا رد ﺎﻄﺧ يﺮﯿﮔ

ﯽﺑﺮﺠﺗ يﺎﻫ

لﺪﻣ يﺎﻄﺧ يزﺎﺳ

شور و ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ يﺎﻄﺧ يدﺪﻋ يﺎﻫ

ﻢﺘﻔﻫ ﻢﻗر رد ﺖﯿﻌﻄﻗ مﺪﻋ

(19)

ﺖﻗد و ﯽﺘﺳرد )

Accuracy vs Precision (

ﯽﺘﺳرد 

ﺎﯾ ﺖﺤﺻ )

Accuracy

( : نﺎﺸﻧ ﺪﻫد ﯽﻣ

ﻪﮐ رﺪﻘﭼ راﺪﻘﻣ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ هﺪﺷ

ﻪﺑ

باﻮﺟ .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﮏﯾدﺰﻧ ﯽﻌﻗاو

ﺖﻗد 

)

Precision

( : نﺎﺸﻧ ﺪﻫد ﯽﻣ

ﻪﮐ رﺪﻘﭼ ﺮﯾدﺎﻘﻣ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ هﺪﺷ

ﻞﻘﺘﺴﻣ ﻪﺑ

ﺮﮕﯾﺪﮑﯾ

ﮏﯾدﺰﻧ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﯽﻣ

. ) ﻪﺑ ترﺎﺒﻋ ﺮﮕﯾد

نﺎﺸﻧ هﺪﻨﻫد

ﻦﯾﺮﺘﮑﭼﻮﮐ ﯽﻓﻼﺘﺧا

ﺖﺳا ﻪﮐ

ﻣﺎﮐ ﺮﺗﻮﯿﭙ

ﺪﻧاﻮﺗ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ

ﺪﻫد

Increasing accuracy .(

Increasing precision

(20)

ﺎﻄﺧ ﻒﯾﺮﻌﺗ

يﺎﻄﺧ 

ﻖﻠﻄﻣ :

ضﺮﻓ ﺪﯿﻨﮐ

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ a زا

ﺪﺷﺎﺑ A . رد ترﻮﺻ ﻦﯾا يﺎﻄﺧ

ﻖﻠﻄﻣ ار

ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻨﻫد .

ﻦﯾا ﺎﻄﺧ ياﺮﺑ

ﻦﯿﯿﻌﺗ ناﺰﯿﻣ

،ﺖﻗد ﻪﺑ

ﯽﯾﺎﻬﻨﺗ ﯽﻓﺎﮐ

ﺖﺴﯿﻧ .

يﺎﻄﺧ 

ﯽﺒﺴﻧ :

ضﺮﻓ ﺪﯿﻨﮐ

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ a زا

ﺪﺷﺎﺑ A . رد ﻦﯾا ترﻮﺻ يﺎﻄﺧ

ﯽﺒﺴﻧ ار

ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻨﻫد :

يﺎﻄﺧ 

ﯽﺒﺴﻧ ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ

: رد يﺎﻫ شور ﯽﻨﺘﺒﻣ

ﺮﺑ راﺮﮑﺗ )

Iterative (

يﺎﻄﺧ ﯽﺒﺴﻧ

ﺮﺑاﺮﺑ

ﺖﺳا ﺎﺑ

ﻞﺿﺎﻔﺗ ﺐﯾﺮﻘﺗ

ﺪﯾﺪﺟ و

ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻢﯾﺪﻗ

ﻢﯿﺴﻘﺗ ﺮﺑ

ﺐﯾﺮﻘﺗ ﺪﯾﺪﺟ

:

نﺪﺷ هدروآﺮﺑ ﺎﺗ راﺮﮑﺗ ﺪﻨﯾآﺮﻓ ﺎﻫ شور ﻦﯾارد 

طﺮﺷ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ

ﺪﺑﺎﯾ ﯽﻣ ﻪﻣادا .

(21)

دﺪﻋ نﺪﯾﺮﺑ يﺎﻄﺧ و ندﺮﮐ دﺮﮔ يﺎﻄﺧ

) Rounding and Chopping Error (

2.32412938 , 2.32461235

A = B =

ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و A

ﺎﺑ ﻢﯿﻫاﻮﺨﺑ ار B 3

ﻢﯿﻫد ﺶﯾﺎﻤﻧ ،رﺎﺸﻋا ﻢﻗر .

Number Rounding Chopping

A 2.324 2.324

B 2.325 2.324

ندﺮﮐ دﺮﮔ يﺎﻄﺧ 

) Round-off error

( ﺎﻫﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﻣ ﯽﺷﺎﻧ ﯽﯾﺎﺠﻧآ زا ﺎﻬﻨﺗ

داﺪﻌﺗ ﯽﺼﺨﺸﻣ

زا يﺎﻫ ﻢﻗر ﺎﻨﻌﻣ

راد

ار .ﺪﻧراﺪﻬﮕﻧ دﻮﺧ ﻪﻈﻓﺎﺣ رد ﺪﻨﻧاﻮﺗ ﯽﻣ

ﯽﻤﯿﻘﺘﺴﻣ ﻪﻄﺑار ندﺮﮐ دﺮﮔ يﺎﻄﺧ 

اد ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد داﺪﻋا ندﺮﮐ هﺮﯿﺧذ هﻮﺤﻧ ﺎﺑ در

.

(22)

ندﺮﮐ دﺮﮔ يﺎﻄﺧ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ

2 54.32 0.1 0 x − x + =

2 4

2

b b ac

x a

− ± −

= ¹

2

54.3218158995

=0.0018410049576 x

x

=

ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد لﺎﺜﻣ ﻦﯾا ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ لﺎﺣ 4-Digit

دﻮﺷ ﻞﺣ

2 2

4 ( 54.32) 0.4000 2951 0.4000 2951 54.32

b − ac = − − = − = =

2 4

2

b b ac

x a

− ± −

= ¹

2

54.30

=0.000 x

x

=

(23)

ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ﺶﯾﺎﻤﻧ )

Integer (

ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد 9-bit word



 



 









Sign Number

0 1

2 3

4 5

6

7

2 2 2 2 2 2 2 2

±

(24)

ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ﺶﯾﺎﻤﻧ )

Integer (

ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد 16-bit word

 Range: -32,768 to 32,767

 Overflow: > 32,767

 Underflow: < -32,768

32-bit word

 Range: -2,147,483,648 to 2,147,483,647

767 ,

32 2

1 2

1 ....

2 1

2

1 ×

¹⁴

+ ×

¹³

+ + ×

¹

+ ×

⁰

=

(25)

ﯽﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا ﺶﯾﺎﻤﻧ )

Floating-point (

ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد

ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ هداد ﺶﯾﺎﻤﻧ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد يرﺎﺸﻋا داﺪﻋا 

:

m 

ﺖﻤﺴﻗ يرﺎﺸﻋا

(mantissa) ﺖﺳا

. ﻖﺒﻃ دادراﺮﻗ

ﻦﯿﻟوا ﻢﻗر

ﺪﻌﺑ زا ﺰﯿﻤﻣ نآ

ﺮﯿﻏ

ﺮﻔﺻ 1/b ≤m<1 هراﻮﻤﻫ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ

a 

ﺰﯿﻧ ﮏﯾ دﺪﻋ ﺢﯿﺤﺻ

ﺖﺳا .

ﻦﯾا 

شور ﮏﻤﮐ

ﺪﻨﮐ ﯽﻣ ﻪﮐ

داﺪﻋا : 1_/845 و

0_/01845 و

0_/0001845 رد

ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ ﻪﺑ

ﻞﮑﺷ يﺪﺣاو

نﺎﯿﺑ ﺪﻧﻮﺷ :

 4 significant figures

 1.845 0.1845*10¹

 0.01845 0.1845*10^-1

 0.0001845 0.1845*10^-3

ود ﻢﺘﺴﯿﺳ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ داﺪﻋا هﺮﯿﺧذ ًﻻﻮﻤﻌﻣ ﺎﻫﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد 

- ﯽﯾود (binary)

دﺮﯿﮔ ﯽﻣ ترﻮﺻ

.

ناﻮﺗ

ﯽﻨﺒﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳ يرﺎﺸﻋا ءﺰﺟ

m.b

^a

(26)

ﯽﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا ﺶﯾﺎﻤﻧ )

Floating-point (

ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ رد

ﻪﻠﻤﺟ ﮏﯾ يﺮﯿﮔراﺮﻗ هﻮﺤﻧ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ 7

ﯽﺘﯿﺑ

ﺪﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار دﺪﻋ ﺖﻣﻼﻋ ﺖﯿﺑ ﻦﯿﻟوا )

و ﺖﺒﺜﻣ ياﺮﺑ ﺮﻔﺻ ،s 1

ﯽﻔﻨﻣ ياﺮﺑ

.( (ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾ ،c) ﺪﻨﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار ناﻮﺗ يﺪﻌﺑ ﺖﯿﺑ 11 52 ﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ نﺎﯿﺑ ار دﺪﻋ يرﺎﺸﻋا ئﺰﺟ ﺮﺧآ ﺖﯿﺑ )

.(f

ددﺮﮔ ﯽﻣ نﺎﯿﺑ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ دﺪﻋ ًﺎﺘﯾﺎﻬﻧ :

( − 1)

^s

∗ 2

^c⁻¹⁰²³

∗ (1 + f)

64-bit word

(27)

ﺎﻄﺧ رﺎﺸﺘﻧا )

Error Propagation (

ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ ﺮﮔا و a

زا ﺮﺘﮔرﺰﺑ b 1

؟دراد يﺮﯿﺛﺄﺗ ﻪﭼ ﺎﻫﺎﻄﺧ رد ،ﺪﺷﺎﺑ

ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ رد و a

ﯽﻣ يور ﻪﭼ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﮏﯾدﺰﻧ ﻢﻫ ﻪﺑ b

؟ﺪﻫد

؟ﺖﺴﯿﭼ ﺎﻄﺧ رﺎﺸﺘﻧا زا رﻮﻈﻨﻣ

ﻪﯿﻀﻗ 

: ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و a

ﺐﯾﺮﻘﺗ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ b و A

ﺪﻨﺷﺎﺑ B .

ترﻮﺻ ﻦﯾا رد :

(28)

ﻢﯿﺴﻘﺗ و بﺮﺿ ،ﻖﯾﺮﻔﺗ ،ﻊﻤﺟ ﻞﺻﺎﺣ يﺎﻄﺧ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

يﺎﻄﺧ ناﺰﯿﻣ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ 

و A ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ B

و ΔA ﺪﺷﺎﺑ ΔB

. ترﻮﺻ ﻦﯾا رد :

( ) ( )

S A B S S A B A B

S A B

= ± → + ∆ = ± + ∆ ± ∆

∆ = ∆ ± ∆

( )( )

M AB M M A A B B

M M AB A B B A A B M A B B A

= → + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆

∆ = ∆ + ∆ ﻖﯾﺮﻔﺗ و ﻊﻤﺟ

بﺮﺿ

ﯿﺴﻘﺗ

ﻢ A B A ₂A B & D A B

D D

B B D A B

∆ − ∆ ∆ ∆ ∆

= →∆ = = −

(29)

ندﺮﮐ ﻊﻄﻗ يﺎﻄﺧ )

Truncation Error (

رﻮﻠﯿﺗ ﻪﯿﻀﻗ



ﻊﺑﺎﺗ ﺮﮔا و f

ﻪﻠﺻﺎﻓ رد نآ ﻖﺘﺸﻣ n+1 (a,x)

ﺮﻫ رد ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯾا راﺪﻘﻣ ،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ زا x

ﺪﯾآ ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑار :

n n

n

R a

n x a f

a a x

a f a x

a f x

a f

a f x

f

+

− +

+

− +

=

)

! ( ) (

...

)

! ( 3

) ) (

! ( 2

) (

"

) )(

( ' )

( )

(

) (

3 )

3 ( 2

هﺪﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ داد نﺎﺸﻧ ناﻮﺗ ﯽﻣ

(Remainder)

ﺪﯾآ ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑار زا :

ﻪﮐ ﻦﯿﺑ يدﺪﻋ ξ

و a ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ x .

1 1

) 1 (

) (

) )! (

1 (

)

(

₊ ₊

+

− = −

=

ⁿ

+

ⁿ ⁿ

n

x a O x a

n

R f ξ

(30)

Truncation Error (

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ e^x

) ﻼﺜﻣ e^0.5

(

؟ﻢﯿﻨﮐ هدﺎﻔﺘﺳا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ زا

2

3 2

2 3

4

m!

1

1 2!

1 2! 3! m!

n m

m

n m

m

n m

m x

x

e x

e x x

x x e

x

=

= + +

= + + +

= + + + +

∑

)! ...

1 (

... !

! 3

! 1 2

1 3

2 +

+ + +

+ +

= ⁺

n x n

x x

x x e

n n

x

ندﺮﮐ ﻊﻄﻗ يﺎﻄﺧ

ﻖﯿﻗد ﻞﺣ

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ ﻞﺣ

648721271 .

5 1

.

0 =

e

(31)

Truncation Error (

ﻪﮐ ﯽﻣﺎﮕﻨﻫ دراد ﯽﺘﻗد ﻪﭼ ﺎﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ 

؟ﻢﯾﺮﯿﮔ ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ار ﻪﻠﻤﺟ n+1

1 1

) 1 (

) (

) )! (

1 (

)

(

₊ ₊

+

− = −

=

ⁿ

+

ⁿ ⁿ

n

x a O x a

n

R f ξ

1 1

)!

1 (

] 0

[ )! ;

1 (

+ +

≤ +

+ ∈

=

n x

n

n n

n x R e

, x n x

R e

^ξ

ξ

ياﺮﺑ x=0.5

و ﻢﯾراد n=4

:

4 5

5 . 0 5

5 . 0 1

4

( 0 . 5 ) 4 . 2935 10

) 120 5

. 0

! ( 5 )!

1 4

(

−

+

= = ≈ ×

≤ + e e

e x R

x

(32)

Truncation Error (

ﺎﺑ 

هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﻂﺴﺑ يﺮﺳ

ﺮﻠﯿﺗ ﻪﺒﺗﺮﻣ

ﺮﻔﺻ ﺎﺗ

4 بﻮﻠﻄﻣ ﺖﺳا

.f(1) )

رد h=1 ﺮﻈﻧ

ﻪﺘﻓﺮﮔ

دﻮﺷ

( )

^x ⁰^.¹ ⁰^.¹⁵ ⁰^.⁵ ⁰^.²⁵ ¹^.² .(

f = − x⁴ − x³ − x² − x + h=X_i+1-X_i

(33)

Truncation Error (

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ يﺎﻫ مﺎﮔ و تﻼﻤﺟ داﺪﻌﺗ ﺮﯿﺛﺎﺗ 

Reduced step size

Errors

....

)

! ( ) 3

! ( ) 2

( )

(

3 2

1 = + = + ′ + ′′ + ′′′ +

+ i i i i i

i h f x

x h f

x f h x

f h

x f x

f

(34)

ﻞﮐ يدﺪﻋ يﺎﻄﺧ )

Total Numerical Error (

ﻞﮐ يدﺪﻋ يﺎﻄﺧ 

: يﺮﺳ ﻊﻄﻗ و ندﺮﮐ دﺮﮔ يﺎﻄﺧ عﻮﻤﺠﻣ