٩٧ ﺰﯿﯾﺎﭘ ‐ (ﻊﯾﺎﻨﺻ ﺳﺪﻨﻬﻣ ﻪﺘﺷر نﺎﯾﻮﺠﺸﻧاد یاﺮﺑ) ﻄﺧ ﺮﺒﺟ ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد ( ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد) یﺮﻫﻮﺟ ﻦﯿﺴﺣ :ﻂﺳﻮﺗ ﺲﯾرﺪﺗ (ﮓﻧﺮﺘﺳا تﺮﺒﻠﯿﮔ) نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و ﻄﺧ ﺮﺒﺟ :ﻊﺟﺮﻣ بﺎﺘﮐ
ﻢﻫد ﻪﺘﻔﻫ ی ﻪﺻﻼﺧ
نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ درﻮﻣ رد ﻪﻠﺌﺴﻣ ﺪﻨﭼ ﻞﺣ ١
.ﺪﯾروآ ﺖﺳﺪﺑ ار ﺮﯾز ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ .١
P =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
نﻮﭼ ﺖﺳا1ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ شا هﮋﯾو راﺪﻘﻣ ﯾ ﻪﺸﯿﻤﻫ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﺖﺳا ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﯾ P :ﻞﺣ .دﺮﺑ ﻣ شدﻮﺧ ﻪﺑ ار
1 1 1
رادﺮﺑ
P
1 1 1
=
1 1 1
ﺎﺠﻨﯾا رد .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺮﯾز ﻪﻄﺑار ود زا .ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ارλ3 وλ2 ﺪﯾﺎﺑ لﺎﺣ .λ1 = 1ﻢﯿﻫﺪﯿﻣ راﺮﻗ ﺲﭘ .ﺖﺳا ﻠﺻا یﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد عﻮﻤﺠﻣ tr(P) tr(P) =λ1+λ2+λ3 = 1 det(P) =λ1×λ2×λ3 =−1
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ {
λ2+λ3 = 0 λ2×λ3 =−1
.ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ باﻮﺟ ﯾ λ1 = 1 λ2 = 1 λ3 =−1
.ﺪﯿﻨﮐ یﺮﻄﻗ ار A=
[4 2 3 −1
]
ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .٢ .ﻢﯿﻫد ﻣ ﻞﯿ ﺸﺗ ار ﺎﻤﻧ ﺖﺷﺮﺳ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ اﺪﯿﭘ ار هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ اﺪﺘﺑا:ﻞﺣ
4−λ 2 3 −1−λ
=λ2−3λ−10 = 0
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ λ1 =−2 λ2 = 5
١
[6 2 3 1 ]
v1 =0
.ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑv1 یاﺮﺑ باﻮﺟ ﯾ v1 =
[−13 1
]
ﻢﯾرادλ2 یاﺮﺑ [−1 2
3 −6 ]
v2 =0
.ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑv2 یاﺮﺑ باﻮﺟ ﯾ v2 =
[2 1 ]
.دﻮﺷ ﻣ یﺮﻄﻗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ
A=SΛS−1 =
[−13 2 1 1
] [−2 0 0 5
] [−13 2 1 1
]−1
ﭼﺎﻧﻮﺒﯿﻓ یﺮﺳ ١ .١
خﺮﻧ یور تﺎﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯿﺣ رد ار ﺮﯾز یدﺪﻋ یﺮﺳ ،یدﻼﯿﻣ ﻢﻫدﺰﯿﺳ نﺮﻗ ﯽﯾﺎﯿﻟﺎﺘﯾا ناﺪﯿﺿﺎﯾر ، ﭼﺎﻧﻮﺒﯿﻓ ودرﺎﻧﻮﺌﻟ
،یﺪﻌﺑ دﺪﻋ ﺮﻫ .ﺪﻨﺘﺴﻫ1و0ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ یﺮﺳ لوا دﺪﻋ ود .دروآ ﺖﺳﺪﺑ ﺎﻬﺷﻮﮔﺮﺧ ﻞﺴﻧ ﺶﯾاﺰﻓا و ﺪﻟو و داز .ﺖﺳا دﻮﺧ زا ﻞﺒﻗ دﺪﻋ ود ﻊﻤﺠﻠﺻﺎﺣ 0,1,2,3,5,8,13,21,34, . . .
؟ﻢﯿﻫد ﻪﺋاراFk یاﺮﺑ ار ﻤﯿﻘﺘﺴﻣ ﻪﻄﺑار ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ﺎﯾآ .ﻢﯿﻫد ﺶﯾﺎﻤﻧ Fk ﺎﺑ ار یﺮﺳ ﻦﯾا ماk دﺪﻋ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑukرادﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﻫد ﻣ دﺎﻬﻨﺸﯿﭘ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻦﯾا یاﺮﺑ ار شور ﯾ یزﺎﺳ یﺮﻄﻗ و هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ .ﺪﺷﺎﺑ هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ uk =
[Fk+1 Fk
]
.ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑار ﺎﺗ ﻢﯿﻫد راﺮﻗ ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﭼAیﺎﺟ ﻪﺑ uk+1 =Auk
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ،Fk+2 =Fk+1+Fk ﻪﻄﺑار ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ
uk+1 = [Fk+2
Fk+1 ]
= [1 1
1 0
] [Fk+1 Fk
]
= [1 1
1 0 ]
uk
ﻪﻟدﺎﻌﻣ .ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ار A = [1 1
1 0 ]
هﮋﯾو یﺎﻫرادﺮﺑ و هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺪﯾﺎﺑ Aku0 = uk ندروآ ﺖﺳﺪﺑ یاﺮﺑ .ﻢﯿﻫد ﻣ ﻞﯿ ﺸﺗ ار ﺎﻤﻧ ﺖﺷﺮﺳ
|A−λI|=
1−λ 1 1 −λ
=λ2−λ−1 = 0 ٢
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ λ1 = 1 +√
5
2 , λ2 = 1−√ 5 2
.ﻢﯾروآ ﺖﺳﺪﺑ ار ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ هﮋﯾو یﺎﻫرادﺮﺑ ﺪﯾﺎﺑ لﺎﺣ
(A−λ1I)v1 =
[1−λ1 1 1 −λ1
]
v1 =0 [
1− 1+2√5 1 1 −1+2√5
]
v1 =0
.ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ هﺎﮕﺘﺳد ﻦﯾا باﻮﺟ ﯾ
v1 = [1+√5
2
1 ]
ﻢﯾرادλ2 یاﺮﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ
(A−λ2I)v2 =
[1−λ2 1 1 −λ2
]
v2 =0 [
1− 1−2√5 1 1 −1−2√5
]
v2 =0
.ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ هﺎﮕﺘﺳد ﻦﯾا باﻮﺟ ﯾ
v2 = [1−√5
2
1 ]
.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﻢﯿﺴﯾﻮﻨﺑ{v1,v2}زا ﻄﺧ ﯽﺒﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺼﺑ ارu0 = [1
0 ]
ﺪﯾﺎﺑ لﺎﺣ
u0 =α1v1+α2v2 =α1
[1+√5
2
1 ]
+α2
[1−√5
2
1 ]
= ( 1
√5) [1+√5
2
1 ]
+ (− 1
√5) [1−√5
2
1 ]
ﺲﭘ
Aku0 = ( 1
√5)λk1 [1+√5
2
1 ]
+ (− 1
√5)λk2 [1−√5
2
1 ]
= 1
√5(1 +√ 5 2 )k
[1+√5
2
1 ]
− 1
√5(1−√ 5 2 )k
[1−√5
2
1 ]
ﺖﯾﺎﻬﻧ رد [Fk+1
Fk
]
=uk =Aku0 = 1
√5(1 +√ 5 2 )k
[1+√5
2
1 ]
− 1
√5(1−√ 5 2 )k
[1−√5
2
1 ]
٣
Fk= 1
√5 (
(1 +√ 5
2 )k−(1−√ 5 2 )k
)
و ﺿﺎﯾر ﻂﺑاور زا یرﺎﯿﺴﺑ رد ﻪﮐ ﺪﻨﯾﻮﮔ ﯽﯾﻼﻃ ﺖﺒﺴﻧ ارφ = limk→∞ FFk+1
k = 1+2√5 = 1.61803...
.ﺪﻧراد ﻢﻫ ﺎﺑ ﯽﯾﻼﻃ ﺖﺒﺴﻧφوφ+ 1ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﺐﻟﺎﺟ .دﻮﺷ ﻣ ﺖﻓﺎﯾ ﻌﯿﺒﻃ یﺎﻬﺘﺒﺴﻧ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ φ= φ+1φ = 1 + φ1
φ= 1 + 1
1 + 1
1 + 1 1 +· · ·
.ﺪﻨﻨﮐ ﻣ چﻮﮐ نآ ﻪﻣﻮﺣ ﻪﺑXﺮﻬﺷ مدﺮﻣ0.2و ﺪﻨﻨﮐ ﻣ چﻮﮐ ﺮﻬﺷ ﻞﺧاد ﻪﺑXﺮﻬﺷ ﻪﻣﻮﺣ ﺖﯿﻌﻤﺟ0.1لﺎﺳ ﺮﻫ .٣ ﺖﯿﻌﻤﺟ ماk لﺎﺳ رد ،ﺪﺷﺎﺑz0 ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺮﻬﺷ دﻮﺧ ﺖﯿﻌﻤﺟ وy0ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑX ﺮﻬﺷ ﻪﻣﻮﺣ ﺖﯿﻌﻤﺟ ،زﺎﻏآ رد ﺮﮔا
؟دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ترﻮﺻ ﻪﭼ ﻪﺑ ﺮﻬﺷ ﻪﻣﻮﺣ و ﺮﻬﺷ .ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑار ،ﺪﻨﺷﺎﺑ یﺪﻌﺑ لﺎﺳ رد ﺮﻬﺷ دﻮﺧ و ﺮﻬﺷ ﻪﻣﻮﺣ ﺖﯿﻌﻤﺟz1 وy1 ﺮﮔا :ﻞﺣ
{
y1 = 0.9y0+ 0.2z0 z1 = 0.1y0+ 0.2z0
.دﺮﮐ نﺎﯿﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﯾ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار ﻦﯾا [y1
z1 ]
=
[0.9 0.2 0.1 0.8
] [y0 z0 ]
.ﺖﺳا ﺮﯾز رادﺮﺑ ندﺮﮐ اﺪﯿﭘ ﻪﻠﺌﺴﻣ فﺪﻫ [yk
zk ]
=
[0.9 0.2 0.1 0.8
]k[ y0 z0 ]
.ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ﺎﻤﻧ ﺖﺷﺮﺳ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ اﺪﯿﭘ ارA=
[0.9 0.2 0.1 0.8 ]
ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ 0.9−λ 0.2
0.1 0.8−λ
=λ2−1.7λ+ 0.7 = 0 ۴
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ λ1 = 1 λ2 = 0.7
.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑλ2 وλ1ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ ﺮﯾز هﮋﯾو یﺎﻫرادﺮﺑ
v1 = [2
31 3
]
v2 = [ 1
−313
]
.ﻢﯿﺴﯾﻮﻧ ﻣ رادﺮﺑ ود ﻦﯾا ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺼﺑ[ y0
z0 ]
رادﺮﺑ [y0
z0 ]
= (y0+z0) [2
31 3
]
+ (y0−2z0) [ 1
−313
]
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑAk رد ﻦﯿﻓﺮﻃ بﺮﺿ ﺎﺑ [yk
zk
]
=Ak [y0
z0
]
= (y0+z0)(λ1)k [2
31 3
]
+ (y0−2z0)(λ2)k [ 1
−313
]
= (y0+z0)(1)k [2
31 3
]
+ (y0−2z0)(0.7)k [ 1
−313
]
| {z }
k→∞ﻪﮐ ﻧﺎﻣز ﺮﻔﺻ ﻪﺑ ﺪﻨﮐ ﻣ ﻞﯿﻣ
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑk → ∞ ﺘﻗو ﺖﯾﺎﻬﻧ رد ﺲﭘ [yk
zk
]
= (y0 +z0) [2
31 3
]
= [2
3(y0+z0)
1
3(y0+z0) ]
رادﺮﺑ لﻮﻃ و ﻠﺧاد بﺮﺿ ٢
،ﻞﺼﻓ ﻦﯾا ،ﮓﻧﺮﺘﺳا ﺮﺘﮐد لﻮﻗ ﻪﺑ .ﻢﯾزادﺮﭘ ﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫﺎﻀﻓ و ﻢﻫ ﺮﺑ دﻮﻤﻋ یﺎﻫرادﺮﺑ ﺳرﺮﺑ ﻪﺑ ،ﺪﯾﺪﺟ ﻞﺼﻓ رد صاﻮﺧ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ .ﻢﯾﻮﺷ ﻣ ﺎﻨﺷآ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫﺎﻀﻓ ﻢﻬﻣ و ﻠﺻا دﺮﺑرﺎﮐ ود ﺎﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا ﻪﺟرد دﻮﻧ ﻞﺼﻓ .ﻢﯿﻫد ﻣ ﻪﺋارا ار ﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ ﻠﮐ رﻮﻄﺑ و ﻪﺤﻔﺻ ﯾ زا ﻪﻄﻘﻧ ﯾ ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ یاﺮﺑ ار ﺷور ،ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫﺎﻀﻓ ﺞﯾﺎﺘﻧ زا ﯾ .دراد ناواﺮﻓ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ ﺳﺪﻨﻬﻣ و رﺎﻣآ رد ﻪﮐ ﺖﺳا تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ یﺎﻄﺧ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ شور نﺎﻤﻫ ﻦﯾا ﺘﻟﺎﺣ ﻦﯾا .ﺖﺳا ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ طﺎﻘﻧ یﺮﺳ ﯾ ﺎﺑ شا ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻪﻨﯿﻬﺑ ﻄﺧ ندﺮﮐ اﺪﯿﭘ یاﺮﺑ ﻤﺘﯾرﻮ ﻟا ،شور ﻦﯾا .ﺖﺳا ﻄﺧ نﻮﯿﺳﺮﮔر ﻪﻠﺌﺴﻣ زا هدﺎﺳ
Inner Product Space ﻠﺧاد بﺮﺿ یﺎﻀﻓ ١ .٢
ﻪﺘﺷاد ار ﺮﯾز صاﻮﺧ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﺰﻬﺠﻣ بﺮﺿ زا یا ﻪﻧﻮﮔ ﺎﺑ ار ﺎﻀﻓ ﻦﯾا ﺮﮔا .ﺪﺷﺎﺑ یرادﺮﺑ یﺎﻀﻓ ﯾV ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ وu∈V رادﺮﺑ ود ﻦﯿﺑ ﻠﺧاد بﺮﺿ ، ﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا ناﺪﯿﻣ یور .ﺪﻨﯾﻮﮔ ﻠﺧاد بﺮﺿ یﺎﻀﻓ ﯾ ارV هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ :دراد ار ﺮﯾز صاﻮﺧ و ﺖﺳاRﻪﺑV ×V زا ﻌﺑﺎﺗ ﻪﮐ ﺪﻨﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ<u,v >ﺎﯾ u.vترﻮﺼﺑ ارv ∈V
:ندﻮﺑ ﻄﺧ .١
∀a ∈R,∀x,y∈V,(ax).y=a(x.y)
∀x,y,z ∈V,x.(y+z) = x.y+x.z
۵
∀x,y∈V,x.y=y.x
ندﻮﺑ ﻦﯿﻌﻣ ﺖﺒﺜﻣ .٣
∀x∈V,x.x≥0 x.x= 0ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔاx= 0
ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا (یا ﻪﻄﻘﻧ بﺮﺿ) ﻠﺧاد بﺮﺿ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ Rn یﺎﻀﻓ ، ﻠﺧاد بﺮﺿ یﺎﻀﻓ ﻦﯾﺮﺗﺎﻨﺷآ .دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ {
.:Rn×Rn→R
x.y=x1y1+. . .+xnyn
.ﻢﯿﺴﯾﻮﻧ ﻣ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ﺎﺠﻨﯾا رد ار ﻠﺧاد بﺮﺿ ،ﻢﯾا هدﺮﮐ تدﺎﻋ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻫرادﺮﺑ و ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧ ﺎﺑ نﻮﭼ x.y=xTy=yTx
.ﺖﺳا ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻞﺑﺎﻗ (رادﺮﺑ مﺮﻧ ﺎﯾ) رادﺮﺑ لﻮﻃ ، ﻠﺧاد بﺮﺿ مﻮﻬﻔﻣ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻪﺑ .دﻮﺷ ﻣ هداد نﺎﺸﻧ∥x∥دﺎﻤﻧ ﺎﺑ و ﺖﺳا شدﻮﺧ ردx ﻠﺧاد بﺮﺿ مود ﻪﺸﯾر ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑxرادﺮﺑ لﻮﻃ :ﻒﯾﺮﻌﺗ
ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ
∥x∥=√
xTx=
√
x21 +. . .+x2n
ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ
∥x∥2 =xTx=x21+. . .+x2n
.ﺪﯿﻨﯿﺒﺑ ار ﺮﯾز ﻞ ﺷ لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .ﺖﺳا رادﺮﺑ ﯾ لﻮﻃ زا ﺎﻣ یدﻮﻬﺷ کرد ﺎﺑ ﻖﺒﻄﻨﻣ ﺎﻘﯿﻗد ﻦﯾاR3وR2 یﺎﻀﻓ رد
ﻢﯾراد ثرﻮﻏﺎﺜﯿﻓ ﻪﯿﻀﻗ زا دﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ (OB)2 =x21+x22
۶
(OA)2 = (OB)2+x23 =x21+x22+x23
ﺲﭘ OA=
√
x21+x22+x23
ﺎﻫرادﺮﺑ ﻦﯿﺑ ﻪﯾواز ،ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫرادﺮﺑ ٢ .٢
.ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ﺎﻬﻧآ ﻠﺧاد بﺮﺿ ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔا (ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ) ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣ رادﺮﺑ ود :ﻒﯾﺮﻌﺗ x⊥y ⇐⇒ xTy= 0
.دﺮﮐ نﺎﯿﺑ ﺰﯿﻧ رادﺮﺑ لﻮﻃ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار ﺪﻣﺎﻌﺗ .ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑار ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔا ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣyوxرادﺮﺑ ود :ﻒﯾﺮﻌﺗ x⊥y ⇐⇒ ∥x∥2+∥y∥2 =∥x−y∥2
.دﺮﮐ هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻞ ﺷ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار ﻪﻄﺑار ﻦﯾا یﺪﻌﺑ ود یﺎﻀﻓ رد
٧
لﻮﻃ ﻪﮐOAB ﺚﻠﺜﻣ زاOB وOAﻊﻠﺿ ود ﻦﯿﺑ ﻪﯾواز ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑy وxرادﺮﺑ ود ﻦﯿﺑ ﻪﯾواز θ :ﻒﯾﺮﻌﺗ .ﺖﺳاAB=∥x−y∥وOB =∥y∥وOA=∥x∥ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ نآ یﺎﻬﻌﻠﺿ ﻪﺸﯿﻤﻫ∥x−y∥و∥y∥و∥x∥یاﺮﺑ ﺜﻠﺜﻣ یوﺎﺴﻣﺎﻧ نﻮﭼ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ رادﺮﺑ ود ﻦﯿﺑ ﻪﯾواز ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد
.ﺪﻫد ﻣ ﺎﻣ ﻪﺑ ار نﺎ ﻣا ﻦﯾا ﺮﯾز ﻪﯿﻀﻗ .دﺮﮐ ﻒﯾﺮﻌﺗ ناﻮﺗ ﻣ ﺰﯿﻧ یﺮ ﯾد ﻖﯾﺮﻃ ار رادﺮﺑ ود ﻦﯿﺑ ﻪﯾواز .ﺖﺳا قدﺎﺻ هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑbوaرادﺮﺑ ود ﻦﯿﺑ ﻪﯾوازθﺮﮔا :ﻪﯿﻀﻗ a.b=∥a∥∥b∥cosθ
.ﺪﯿﻨﯿﺒﺑ ار ﺮﯾز ﻞ ﺷ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﺖﺑﺎﺛR2 یﺎﻀﻓ یاﺮﺑ ار ﻪﯿﻀﻗ
ﻢﯾراد ار ﺮﯾز ﻂﺑاور ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ
sinα= a2
∥a∥, cosα= a1
∥a∥, sinβ= b2
∥b∥, cosβ = b1
∥b∥ θ =β−α
cosθ = cos(β−α) = cosβcosα+ sinβsinα= a1b1+a2b2
∥a∥∥b∥ = a.b
∥a∥∥b∥ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﺰﺗراﻮﺷ ‐ ﺷﻮﮐ فوﺮﻌﻣ یوﺎﺴﻣﺎﻧ ﻻﺎﺑ ﻪﯿﻀﻗ زا
|a.b| ≤ ∥a∥∥b∥
ﺮﻔﺻ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻠﺧاد بﺮﺿ θ = 90 ﺘﻗو ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺎﺘﺳار ﯾ ردb و a ﻪﮐ ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﻣﺎﮕﻨﻫ یوﺎﺴﺗ .ﻢﯿﺘﺷاد ار شرﺎﻈﺘﻧا ﻪﮐ یا ﻪﺠﯿﺘﻧ .ﺖﺳا .ﻢﯿﻫد ﻣ ﻪﺋارا ار ﻪﯿﻀﻗ ﻦﯾا تﺎﺒﺛا ﯾ ﺮﯾز رد .دﺮﮐ تﺎﺒﺛا ﺰﯿﻧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ترﻮﺼﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار ﺰﺗراﻮﺷ ﺷﻮﮐ ﻪﯿﻀﻗ
هﺎﮕﻧآ ،ﺪﻨﺷﺎﺑV ﻠﺧاد بﺮﺿ یﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ ودbوaﺮﮔا :ﻪﯿﻀﻗ
|a.b| ≤ ∥a∥∥b∥
شدﻮﺧ رد رادﺮﺑ ﯾ ﻠﺧاد بﺮﺿ .ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ ﯾ ﺎﺠﻨﯾا ردt ∈R .ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ارy(t) ∈ V رادﺮﺑ :تﺎﺒﺛا ﺲﭘ .ﺖﺳا ﻔﻨﻣﺎﻧ یدﺪﻋ ﻪﺸﯿﻤﻫ
٨
∥y(t)∥2 = (a+tb).(a+tb)≥0
.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﭗﭼ فﺮﻃ ﻂﺴﺑ زا ﺲﭘ a.a+ 2a.bt+b.bt2 ≥0
یوﺎﺴﻣ ﺎﯾ ﺮﺘﺸﯿﺑ ﻻﺎﺑ ترﺎﺒﻋ نﻮﭼ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺪﻧاﻮﺗ ﻣ ﻪﺸﯾر ﯾ ﺮﺜﮐاﺪﺣ (tﺮﯿﻐﺘﻣ ﺎﺑ) ﻻﺎﺑ مود ﻪﺟرد یا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ .ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ یوﺎﺴﻣ ﺎﯾ ﺮﺘﻤﮐ ﺪﯾﺎﺑ ﺎﺘﻟد ﺲﭘ .ﺖﺳا ﺮﻔﺻ
∆ = 4(a.b)2−4(a.a)(b.b)≤0
ﺲﭘ 4(a.b)2 ≤4∥a∥2∥b∥2
ﻪﺠﯿﺘﻧ رد
|a.b| ≤ ∥a∥∥b∥
٩
