スーパーナビ第7回数学 - 教英出版

(1)

１ ⑴ 与式＝８－３＝５

１ ⑵ 与式＝７ａ－４ｂ＋ｂ－３ａ＝４ａ－３ｂ１ ⑶ 与式＝９ｘ³ｙ÷９

４ｘ²＝９ｘ³ｙ×４

９ｘ² ＝４ｘｙ１ ⑷ 与式＝(66＋34)(66－34)＝100×32＝3200

１ ⑸ 与式＝ 18－４６＋２²×６＝３²×２－４６＋２６＝３２－２６２ ⑴

２ ⑴ ３

８＝３

２²×２＝３

２２＝３× ２２２× ２＝６

４１ ⑵

２ ⑴

与式より，ｘ²＋(－２－３)ｘ＋(－２)×(－３)＝０ (ｘ－２)(ｘ－３)＝０ｘ＝２，３１ ⑶

１ ⑶ ｙ＝ａｘにｘ＝５，ｙ＝３を代入すると，３＝５ａａ＝３５１ ⑶したがって，ｘとｙの関係式はｙ＝３

５ｘだから，この式にｘ＝－35 を代入すると，ｙ＝３

５×(－35)＝－21 １ ⑷

あたりのくじを①，②，はずれのくじを３，４，５，６として区別すると，すべてのくじのひき方は資料１のように 15 通りある。そのうち，少なくとも１本があたりであるのは○印の９通りだから，求める確率は，９

15＝３５

１ ⑷ 少なくとも１本があたりである確率は，１－(２本ともはずれである確率)で求められる。

くじのひき方は全部で６(６－１)

２＝15(通り)である。はずれくじは６－２＝４(本)あるから，２本と１ ⑷もはずれであるひき方は４(４－１)

２＝６(通り)である。

１ ⑷よって，２本ともはずれである確率は６ 15＝２

５だから，求める確率は，１－２５＝３

５

① ②○ ② ３○

３○ ４○

４○ ５○

５○ ６○

６○

３４４５５６

５６

６

資料１

有理化するときは，分母にある ○と同じ数を分母と分子にかけて，分母に根号がないようにする。

攻略へのアプローチ

２次方程式は，因数分解できるときは因数分解し，因数分解できないときは，２次方程式の解の公式を使う。

すべての場合の数がそれほど多くないので，同時にひいた２本のくじのひき方をすべて樹形図にまとめる。

□

１

比例の式はｙ＝ａｘの形で表すことができる。まず，ａの値を求める。

異なるｍ個のものから順番に２個選ぶ選び方は{ｍ(ｍ－１)}通りあり，

異なるｍ個のものから２個選ぶ組み合わせの数はｍ(ｍ－１)

２通りある。

また，あることがらが起きる確率をｐとすると，それが起きない確率は１－ｐで求められる。

□

^２

(2)

超 _{ナビ}

スーパー

３

点Ｏは，点Ａが中心で点Ｂを通る円と，点Ｂが中心で点Ａを通る円との交点のうち，直線ＡＢより上側の点である。また，３点Ａ，Ｂ，Ｐは点Ｏが中心の円の周上にある。

４「いろいろな関数」という分類の問題である。「いろいろな関数」の問題は，鉄道・タクシー・バスなどの乗車距離と料金との関係が扱われることが多い。「●はその点を含むことを表し，○はその点を含まないことを表す」のはグラフのルールとして決まっていることなので，問題にそのことが書いていなくてもわかるようになろう。

１ ⑴ ●と○の違いに注意してグラフをかくこと。

１ ⑵

車で 10 ㎞走行するのにガソリン代が 150 円かかるから，

１㎞あたりのガソリン代は 150÷10＝15(円)である。

したがって，車のグラフの式はｙ＝15ｘとなるから，

資料２のようになる。

資料２より，鉄道と車のグラフの交点は(14，210)であり，

０＜ｘ＜14 の範囲では車の方が費用が安いとわかる。

よって，求める距離は 14 ㎞未満である。

１ ⑵

「攻略へのアプローチ

□

^１」の解説より，車の走行距離ｘ㎞とガソリン代ｙ円との関係を表す式はｙ＝15ｘである。この式にｘ＝４を代入するとｙ＝60 となるから，４㎞ならば車の方が安い。

ｘ＝10 を代入するとｙ＝150 となるから，10 ㎞でも車の方が安い。

ｘ＝18 を代入するとｙ＝270 となるから，18 ㎞ならば鉄道の方が安い。

したがって，車と鉄道の費用が等しくなるときの費用は 210 円とわかる。

ｙ＝15ｘにｙ＝210 を代入すると，ｘ＝14 となる。よって，求める距離は 14 ㎞未満である。

ｙ

２４６８ 10 12 14 16 18 20 22 24 26 ｘ０

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

資料２

：鉄道：車

⑴でグラフをかいた図に，車の「走行距離とガソリン代の関係を表すグラフ」をかき，交点に注目する。

□

１

車の「走行距離とガソリン代の関係を表す式」を求め，鉄道で料金がかわる区切りとなる距離(ｘ＝４，10，…)で，車と鉄道の費用を比較する。

□

^２

△ＯＡＢは正三角形となるので，点Ｏは２点Ａ，Ｂから等しい距離にある。また，∠ＡＯＢ＝60°

となるから，∠ＡＰＢ＝１

２∠ＡＯＢとなるため，ＡＢ^⌒ に対して，∠ＡＯＢが中心角，∠ＡＰＢが円周角となるような円をイメージする。

(3)

ｙ＝ａｘ²にｘ＝－１とｙ＝２を代入すると，

２＝ａ×(－１)²より，ａ＝２１ ⑵

１ ⑵ 点Ｂの座標より直線ＯＢの傾きは８

２＝４だから，直線ＯＢの１ ⑵式はｙ＝４ｘである。これより，Ｃ(ｔ，４ｔ)と表せる。

直線ＡＢの式をｙ＝ｍｘ＋ｎとし，

点Ａを通るからｘ＝－１，ｙ＝２を代入すると，２＝－ｍ＋ｎ点Ｂを通るからｘ＝２，ｙ＝８を代入すると，８＝２ｍ＋ｎ

１ ⑵これらを連立方程式として解くと，ｍ＝２，ｎ＝４となるから，直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋４である。

点Ｄのｙ座標は点Ｃのｙ座標と等しく４ｔだから，ｙ＝２ｘ＋４にｙ＝４ｔを代入すると，

４ｔ＝２ｘ＋４２ｘ＝４ｔ－４ｘ＝２ｔ－２これより，Ｄ(２ｔ－２，４ｔ)と表せる。

△ＢＣＤ＝１

２×ＣＤ×(２点Ｂ，Ｃのｙ座標の差)＝１

２×{ｔ－(２ｔ－２)}×(８－４ｔ)＝２ｔ²－８ｔ＋８したがって，△ＢＣＤの面積について，２ｔ²－８ｔ＋８＝４が成り立つから，２ｔ²－８ｔ＋４＝０１ ⑵ｔ²－４ｔ＋２＝０ｔ＝－(－４)± (－４)²－４×１×２

２×１＝４± ８

２＝２± ２１ ⑵ ２はおよそ 1.414だから，０＜ｔ＜２の条件を満たすｔの値

は２－２である。

１ ⑵ 直線ＯＢの式はｙ＝４ｘで，点Ｆのｙ座標は２だから，

Ｆ(１

２，２)とわかる。

Ｏｙ

ｘＤＣ

Ｂ

Ａ８

－１２

高さ

資料３

２

点Ｃのｘ座標をｔとする(０＜ｔ＜２)と，ＣＤの長さと点Ｃのｙ座標をｔで表すことができる。資料３より，

△ＢＣＤ＝１

２×ＣＤ×(２点Ｂ，Ｃのｙ座標の差)だから，

△ＢＣＤの面積をｔで表すことができ，△ＢＣＤの面積についてｔの方程式を立てることができる。

□

^１

資料４のように作図する。まず，△ＢＦＡの面積を調べ，

△ＢＦＡと△ＢＣＤの面積比からＢＦ：ＢＣを求める。

次に，ＦＧ：ＣＥ＝ＢＦ：ＢＣからＣＥの長さを調べ，点Ｃのｘ座標を求める。

□

^２

ｙ

ｘＤＣ

Ｂ

Ａ８

Ｅ

資料４

ＦＧ２

ｙ＝ａｘ²のグラフは２点Ａ，Ｂを通るから，ｙ＝ａｘ²にｘ＝－１とｙ＝２，または，ｘ＝２とｙ＝８を代入する。

(4)

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スーパー

１ ⑵△ＢＦＡ＝１

２×ＡＦ×(２点Ｂ，Ｆのｙ座標の差)＝１２×{１

２－(－１)}×(８－２)＝９２１ ⑵△ＢＦＡ∽△ＢＣＤが成り立ち，△ＢＦＡ：△ＢＣＤ＝９

２：４＝９：８だから，

１ ⑵ＢＦ：ＢＣ＝９：８＝３：２２

１ ⑵△ＢＦＧ∽△ＢＣＥが成り立つから，ＦＧ：ＣＥ＝ＢＦ：ＢＣ＝３：２２

１ ⑵ＦＧ＝２－１２＝３

２だから，ＣＥ＝２２

３ＦＧ＝２１ ⑵よって，点Ｃのｘ座標は，２－２である。

６ ⑴

ＡＰ＝16 ㎝となるのは 16÷８＝２(秒後)だから，

このときＣＱ＝４×２＝８(㎝)である(資料５参照)。

よって，△ＰＣＱ＝１

２×ＣＱ×ＡＤ＝240(㎠) １ ⑵

まず，資料６のようにＡＰ＞ＤＱとなるｘの範囲を確認する。

ＡＰ＝８ｘ㎝，ＣＱ＝４ｘ㎝より，ＡＰ＝ＤＱとなるのは

１ ⑵８ｘ＋４ｘ＝60 のとき，つまり，ｘ＝５のときだから，ＡＰ＞ＤＱとなるときのｘの範囲はｘ＞５である。

ＣＳ＝ＢＰ＝(60－８ｘ)㎝，ＳＱ＝ＣＱ－ＣＳ＝４ｘ－(60－８ｘ)＝12ｘ－60(㎝)

また，点ＲはＥを出発してから(ｘ－２)秒進んで，ＥＲ＝３(ｘ－２)＝３ｘ－６(㎝)となり，

ＥＴ＝ＢＰ＝(60－８ｘ)㎝だから，ＴＲ＝ＥＲ－ＥＴ＝(３ｘ－６)－(60－８ｘ)＝11ｘ－66(㎝) ＳＱ＝２ＴＲより，12ｘ－60＝２(11ｘ－66) 12ｘ－22ｘ＝60－132 －10ｘ＝－72 ｘ＝36

５これはｘ＞５を満たすから，求める時間は36

５秒後である。

７ ⑴

資料７において，青色の辺は辺ＣＦと同一平面上にないので平行ではない(同一平面上になく，延長しても交わらないので，

辺ＣＦとねじれの位置にある)。

赤色と緑色の辺は辺ＣＦと同一平面上にある(面ＡＤＦＣと面ＢＥＦＣ)が，緑色の辺は辺ＣＦと交わっている。赤色の辺は延長しても辺ＣＦと交わらないので，辺ＣＦと平行である。

ＱＰ

Ｄ

ＢＣ

Ａ 60 ㎝

８㎝

16 ㎝

資料５

Ｆ

ＥＴＳ

ＲＱ

Ｐ

Ｄ

ＣＢ

Ａ

資料６

Ｇ

Ｆ

ＥＤ

Ｃ

ＢＡ

資料７平行な直線は，同一平面上にあって延長しても交わらない

から，同一平面上にある辺に注目する。

△ＰＣＱの底辺をＣＱとしたときの高さはＡＤである。

図３にさらに右の資料６のように作図し，これを，点ＰがＡを出発してからｘ秒後とする。

△ＰＳＱにおいて中点連結定理より，ＳＱ＝２ＴＲとなるので，ＳＱとＴＲの長さをｘで表し，ｘの方程式を立てる。

(5)

１ ⑵

資料８において，三平方の定理より，

ＧＥ＝ＦＥ²＋ＦＧ²＝ (３＋５)²＋(８－２)²＝10(㎝) ＧＥ′＝ＦＥ′²＋ＦＧ²＝４²＋６²＝ 52＝２ 13(㎝) よって，△ＰＥＧの周の長さは，(10＋２ 13)㎝

１ ⑶

三平方の定理より，ＱＥ²＝ＤＱ²＋ＤＥ²＝ｘ²＋３²＝ｘ²＋９ＨＧ＝ＦＧ－ＦＨ＝６－ｘ(㎝)だから，

ＱＧ²＝ＨＱ²＋ＨＧ²＝５²＋(６－ｘ)²＝ｘ²－12ｘ＋61 ＱＥ²＝ＱＧ²より，

ｘ²＋９＝ｘ²－12ｘ＋61 12ｘ＝52 ｘ＝13 ３１ ⑵したがって，ＤＱ＝13

３㎝，△ＤＥＦ＝１

２×ＤＥ×ＥＦ＝６(㎠) １ ⑵これより，三角すいＱ‐ＤＥＦの体積は，１

３×６×13 ３＝26

３(㎤) また，ＤＥ＝３㎝，△ＥＦＧ＝１

２×ＥＦ×ＦＧ＝12(㎠)だから，

１ ⑵三角すいＱ‐ＥＦＧの体積は，１

３×12×３＝12(㎤) よって，求める体積は，26

３＋12＝62 ３(㎤)

Ｅ′

Ｂ′

ＰＧ

ＦＤＥ

ＣＡＢ

資料８

Ｇ

Ｆ

ＥＤ

Ｃ

ＢＡ

資料９

Ｑ

Ｇ

ＦＤＥ

ＣＡＢ

資料 10

ＨＱ

ｘ㎝

ＥＧの長さは一定なので，ＥＰ＋ＰＧが最小になるような点Ｐの位置を考える。立体の表面上に長さが最小になるようにひかれた線は，展開図上で直線となるから，資料８のような，立体ＡＢＣ‐ＤＥＦの側面の展開図上で考える。

資料８で，３点Ｇ，Ｐ，Ｅは同一直線上にある。

体積を求める立体を体積が求めやすいような形に分割することを考えると，三角すいＱ‐ＤＥＦ(底面が△ＤＥＦで，高さがＤＱ)と三角すいＱ‐ＥＦＧ(底面が△ＥＦＧで，高さがＤＥ)に分けることができる(資料９参照)。三角すいＱ‐ＤＥＦの体積を求めるために，ＤＱの長さを調べる。

ＤＱ＝ｘ㎝とし，資料 10のように展開図の一部に作図する。

ＱＥ＝ＱＧより，ＱＥ²＝ＱＧ²となることを利用する。

□

^１

(6)

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スーパー

１ ⑵ ＤＱの長さは，「攻略へのアプローチ

□

１」の解説より，13

３㎝である。

したがって，台形ＱＤＦＧの面積は，１

２×(ＤＱ＋ＦＧ)×ＤＦ＝155 ６(㎠)

△ＤＥＦ＝１

２×ＤＥ×ＥＦ＝６(㎠)で，ＤＦ＝５㎝だから，

△ＤＥＦの底辺をＤＦとしたときの高さをｈ㎝として(資料 11参照)方程式を立てて解くと，

１

２×５×ｈ＝６ｈ＝12

５(資料 11 で，△ＤＥＦ∽△ＤＩＥとなるので，△ＤＩＥはＤＩ：ＩＥ：ＤＥ＝

３：４：５の三角形となるから，ｈ＝４

５ＤＥ＝12

５という求め方もある。) １ ⑵よって，求める体積は，１

３×155 ６×12

５＝62 ３(㎤)

１ ⑵ ＤＱの長さは，「攻略へのアプローチ

□

１」の解説より，13

３㎝である。

したがって，ＤＱ＋ＦＧ＋０３＝(13

３＋６＋０)×１３＝31

９

△ＤＥＦ＝１

２×ＤＥ×ＥＦ＝６(㎠)だから，求める体積は，６×31 ９＝62

３(㎤) 体積を求める立体を，台形ＱＤＦＧを底面とする四角すい

Ｅ‐ＱＤＦＧと考える。その場合の高さは，△ＤＥＦの底辺をＤＦとしたときの高さと等しい。

△ＤＥＦの面積とＤＦの長さがわかれば，△ＤＥＦの底辺をＤＦとしたときの高さは求められる。

□

^２

三角柱を，底面と垂直な３本の辺を通るように切断したときにできる立体の体積は，以下の計算で求められる。(底面積)×(底面と垂直な辺の長さの和)

３

(つまり，底面と垂直な３本の辺の平均の長さを高さと考えて，体積を求めることができる。この計算式は，三角柱以外の角柱を切断した場合は使用できないので注意すること)

この問題の場合，(底面積)×ＤＱ＋ＦＧ＋０

３となる。

□

３

資料 11

Ｅ

ＦＩＤ

４㎝３㎝

５㎝

ｈ㎝

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