デ カ ル ト の 「 幾 何 学 」 に よ る 生 徒 の 数 学 観 の 変 容
〜 数 学 史 原 典 か ら 数 学 の 発 展 を 学 ぶ 〜
筑 波 大 学 大 学 院 修 士 課 程 教 育 研 究 科 阿 部 千 里
１ ． は じ め に ２ ． 研 究 の 目 的 ・ 方 法 ３ ． 授 業 概 要
(1) 授 業 環 境 (2) 教 材 開 発 (3) 授 業 展 開 ４ ． 結 果 ・ 考 察 ５ ． お わ り に
１ ． は じ め に
平 成 15 年 度 か ら 実 施 さ れ る 新 学 習 指 導 要 領 1)で は 、 科 目 「 数 学 基 礎 」 が 新 設 さ れ る 。 そ し て こ こ で 導 入 さ れ る 数 学 史 に つ い て 、「 数 学 史 的 な 話 題 を 取 り 上 げ 、 数 学 の 諸 概 念 の 発 展 と 人 間 と の か か わ り に つ い て 理 解 さ せ る 」 と い う こ と が 書 か れ て い る 。 こ の こ と が 取 り 上 げ ら れ た 背 景 と し て は 、IEA（ 国 際 教 育 到 達 度 評 価 学 会 ） の 第 2 回 国 際 数 学 教 育 調 査 最 終 報 告(1991)2)の ア ン ケ ー ト 結 果 か ら 、数 学 の 発 展 や 発 見 な ど に つ い て 、日 本 は 他 の 国 々 に 比 べ て あ ま り よ い 結 果 が 得 ら れ て い な い こ と な どが 挙 げ ら れ る だ ろ う 。 そ し て 、 そ れ に 対 応 す る 手 立 て と し て 数 学 史 を 取 り 上 げ て い る こ と は 、 数 学 教 育 に お け る 数 学 史 の 取 り 扱 い の 有 用 性 を 示 唆 し て い る も の で あ る と 考 え ら れ る 。 数 学 が 人 間 の 活 動 に よ っ て 発 展 や 発 見 さ れ て き た と い う 視 点 で 、 数 学 史 を 教 材 と し て 授 業 に 取 り 入 れ る こ と の 有 用 性 は 、 多 く の 先 行 研 究 に よ り 提 言 さ れ て い る 。 そ の 中 で 、 数 学 の 形 成 過 程 を 追 体 験 す る と い う 活 動 に 対 し て 、 礒 田(1987)3)は 、「 数 学 史 に 対 す る 真 の 理 解 を も た ら す と と も に 、 創 造 的 な 活 動 と し て の 数 学 に 対 す る 理 解 ・
要約
本研究は、平成 15年度から実施される新科目「数学 基礎」に先立って、数学史を取り扱った授業を行い、数 学を人間の営みとしてそして発展的な視点で捉えられ るような数学観の変容への効果を見るものである。教材 としてはデカルトの「幾何学」を用い、数学の発展に着 目しながら授業を進めた。その結果、生徒の数学に対す る見方考え方、また、興味・関心等に変容が見られた。
この変容により、数学科に数学史を 取り入れることの有 用性を見出すことができた。
数 学 的 な 思 考 方 法 の 理 解 を 深 め る も の と し て 意 義 が あ る 」 と 述 べ 、 実 践 例 を 挙 げ て い る 。 そ し て 、 数 学 史 を 取 り 扱 う に あ た っ て 、 そ れ ぞ れ の 数 学 を そ の 数 学 が 使 わ れ た 時 代 の 文 脈 に お い て 解 釈 し 、 そ の よ さ を 相 対 的 に 吟 味 す る こ と を 通 じ て 、 そ の 時 代 を 生 き た 人 々 の 文 化 的 営 み を 認 め る 活 動 、 そ し て そ の よ う な 解 釈 、 吟 味 を 通 じ て 、 現 在 我 々 の 学 ぶ 数 学 が 一 つ の 文 化 で あ る こ と を 認 め る 活 動 は 、 数 学 を 人 間 の 文 化 的 営 み と し て 体 験 す る 活 動 の 典 型 で あ る(礒 田 ，2001)4)。 本 研 究 は 、 そ の 解 釈 、 吟 味 の 対 象 に で き る 数 学 史 原 典 を 解 釈 し 、 そ の 中 で 数 学 の 発 展 の 過 程 を 追 体 験 す る と い う こ と が 、 数 学 を 人 間 の 営 み や 創 造 的 な 活 動 と し て そ し て 発 展 的 に 捉 え る こ と に お い て 、 生 徒 に と っ て 大 変 意 義 の あ る も の で あ る と 考 え 授 業 実 践 を 行 い 、 生 徒 の 数 学 観 の 変 容 を み る も の で あ る 。
２ ． 研 究 の 目 的 ・ 方 法 (1)研 究 目 的
「 数 学 史 原 典 を 用 い た 授 業 を 通 し て 、生 徒 の 数 学 観 の 変 容 を み る 」 本 研 究 で の 数 学 観 の 変 容 と は 、 生 徒 自 ら の 数 学 を 発 展 的 に 捉 え る
こ と 、 数 学 を 人 間 の 営 み と し て 捉 え る こ と を 目 指 す も の で あ る 。 目 的 達 成 の た め に 、 以 下 の 課 題 を 設 定 す る 。
課 題 1：当 時 の 手 紙 や 記 述 を 用 い て 数 学 史 原 典 を 解 釈 を す る こ と に よ り 、 数 学 が 人 間 の 営 み で あ る こ と を 捉 え ら れ る か ど う か 。
課 題 2： 数 学 の 発 展 を 追 体 験 す る こ と で 、 生 徒 が 自 ら の 数 学 を 発 展 的 に 捉 え ら れ る か ど う か 。
(2)研 究 方 法
数 学 史 原 典 を 扱 っ た テ キ ス ト を 開 発 し 、そ れ に 沿 っ て 授 業 を 行 う 。 そ し て 、 事 前 事 後 ア ン ケ ー ト や 授 業 の 感 想 、 ま た 授 業 の 様 子 を 撮 影 し た ビ デ オ に よ り 、 生 徒 の 変 容 を 調 べ る 。
３ ． 授 業 概 要
(1)授 業 環 境
対 象 ： 公 立 高 校 2 年 生 2 ク ラ ス 84 名
実施時期・時間数：平成 13 年 11 月 6,7,8 日 65 分 ×2 時 間 準 備 ： コ ン ピ ュ ー タ Cabri GeometryⅡ Microsoft Power
Point ビ デ オ プ ロ ジ ェ ク タ ー 事 前 ア ン ケ ー ト 事 後 ア ン ケ ー ト ワ ー ク シ ー ト 授 業 資 料
○ 事 前 ・ 事 後 ア ン ケ ー ト に つ い て
授 業 実 施 1 週 間 前 に 、 生 徒 の 数 学 に 対 す る 固 定 的 ・ 発 展 的 な 意 識 を 調 査 す る た め に 簡 単 な ア ン ケ ー ト を 行 っ た 。 そ し て 、 授 業 後 同 じ 内 容 の ア ン ケ ー ト と 授 業 に 対 す る 感 想 を 書 い て も ら っ た 。
(2)教 材 開 発
本 研 究 で は 、 主 に デ カ ル ト の 「 幾 何 学 」「 精 神 指 導 の 法 則 」 を 教 材 に 授 業 を 行 っ た 。 デ カ ル ト の 「 幾 何 学 」 を 教 材 と し て 扱 う 先 行 研 究 は 、 例 え ば 後 藤(1996)5)な ど 、 代 数 と 幾 何 の 統 合 を 図 る こ と を 目 的 に な さ れ て い る も の が 多 い 。 し か し 、 本 研 究 の 実 践 で は 、他 者 の 世 界 に お い て 考 え て み る こ と を 根 幹 に 置 い て い る 解 釈 学 的 営 み(礒田 ， 土田 2001)7)に 基 づ き 、 一 次 文 献 を 用 い て 、実 際 の デ カ ル ト の 手 紙 や 記 述 か ら 当 時 の 数 学 や 考 え 方 を 解 釈 し て い く 。 そ し て 、 デ カ ル ト に よ る 数 学 の 発 展 的 な 創 造 を 追 体 験 す る こ と を 通 し て 、生 徒 自 身 の 数 学 が 発 展 的 に 捉 え ら れ る こ と と 、数 学 が 人 間 の 営 み で あ る こ と の 理 解 を 目 的 に 授 業 を 進 め た 。 ま た 、 原 典 を 用 い る 際 に 、Jahnke(2000)6)は 「 原 典 は そ れ が 書 か れ た 時 代 と 考 え の 文 脈 に つ い て 、詳 し く 深 く 理 解 す る 必 要 が あ る 」 と 述 べ て い る 。 そ こ で 、 デ カ ル ト の 考 え 方 を よ り 発 展 的 に 捉 え ら れ る よ う に す る た め に 、デ カ ル ト 以 前 の 数 学 を 方 程 式 や そ の 表 現 に 注 目 し て ア ラ ビ ア ・ ヨ ー ロ ッ パ(ア ル ・ フ ワ ー リ ズ ミ ー 、 ウ マ ル ・ ハ イ ヤ ー ム 、 カ ル ダ ノ)の 方 程 式 の 分 類 、 ま た 表 現 方 法 の 比 較 の た め に ヴ ィ エ タ の 「OPERA MATHEMATICA」 の 一 部 を 資 料 に 取 り 上 げ た 。
(3)授 業 展 開
指 導 目 標(1 時 間 目)
・ デ カ ル ト 以 前 の ア ラ ビ ア ・ ヨ ー ロ ッ パ の 方 程 式 表 現 を 把 握 す る 。
・ デ カ ル ト の 考 え 方 を 解 釈 し て 、 次 元 の 制 約 が 解 除 さ れ た こ と を 理 解 す る 。
【 デ カ ル ト 以 前 の 数 学 と デ カ ル ト の 線 分 に よ る 演 算 】(1 時 間)
① 導 入
「 幾 何 学 」 を 積 極 的 に 解 釈 さ せ る た め に 、 上 の よ う な デ カ ル ト の 思 い が 書 か れ て い る 、 ベ ー ク マ ン あ て の 手 紙 を 読 ん だ 。
授 業 者 は 、 二 重 下 線 「 或 る ま っ た く 新 し い 学 問 」 に つ い て 強 調 し 、 デ カ ル ト の 行 っ た こ と に 興 味 を も た せ た 。 そ し て 、 当 時 の 数 学 を よ り よ く 理 解 す る た め に 、 下 線 部 「 任 意 の 種 類 の 量 」「 す べ て の 問 題 」 を 問 題 視 さ せ た 上 で 、 デ カ ル ト 以 前 に 行 わ れ て い た 数 学 に 目 を 向 け さ せ た 。
② デ カ ル ト 以 前 の 数 学
テ キ ス ト に 資 料 と し て 載 せ た 、 ア ラ ビ ア の ア ル ・ フ ワ ー リ ズ ミ ー 、 ウ マ ル ・ ハ イ ヤ ー ム 、 ヨ ー ロ ッ パ の カ ル ダ ノ 、 ヴ ィ エ タ の 方 程 式 の 分 類 や 式 表 現 を 通 し て 、 以 下 の こ と を 理 解 さ せ た 。 ・ 方 程 式 の 分 類 が 多 く な さ れ て い た こ と 。
・ 方 程 式 が 現 代 の よ う な 記 号 で は な く 言 葉 で 表 さ れ 、 ま た 2 乗 3 乗 に 対 し て は 面 積 ・ 体 積 と い う よ う な 次 元 に と ら わ れ て い た こ と 。
「 ぼ く は 、 連 続 量 で あ れ 非 連 続 量 で あ れ 、任 意 の 種 類 の 量 に つ い て 提 出 さ れ う る す べ て の 問 題 を 一 般 的 に 解 く こ と を 可 能 に す る よ う な 、或 る ま っ た く 新 し い 学 問 を 作 り 出 し た い と 思 う 。 そ れ も 、 各 問 題 を そ の 本 性 に 応 じ て 解 く の だ 。 算 術 に お い て 、 或 る 問 題 は 有 理 数 に よ っ て 解 か れ 、 或 る も の は た だ 根 数(第 3 巻 注 14 を 参 照)に よ っ て 解 か れ 、 ま た 或 る も の は 想 像 は さ れ る が 解 か れ な い の と 同 様 に 、 連 続 量 に お い て も 、 或 る 問 題 は 直 線 か 円 周 の み に よ っ て 解 か れ 、 或 る も の は 、 た だ ひ と つ の 運 動 に よ っ て 生 じ 新 し い コ ン パ ス に よ っ て 描 か れ う る 他 の 曲 線 を 用 い な け れ ば 解 か れ ず 、 − こ の コ ン パ ス も 円 を 描 く 普 通 の コ ン パ ス に 劣 ら ず 正 確 で 幾 何 学 的 で あ る と ぼ く は 考 え る の だ − ま た 或 る も の は 、 有 名 な 円 積 線 の よ う に 、 互 い に 関 連 の な い 別 々 の 運 動 に よ っ て 生 じ 単 に 想 像 的 で あ る に す ぎ な い 曲 線 を 用 い な け れ ば 解 か れ な い と い う こ と を 、 ぼ く は 証 明 し た い と 思 う 。 そ し て 、 少 な く と も こ れ ら の 線 に よ っ て 解 か れ な い よ う な も の は 想 像 し 得 な い と ぼ く は 考 え る 。 し か し ぼ く は 、 ど の 問 題 は か く か く の 仕 方 で 解 か れ 、 他 の 仕 方 で は 解 か れ な い 、 と い う こ と を 証 明 す る よ う に な り た い の だ 。 こ う す れ ば 、 幾 何 学 中 に も は や 発 見 す べ き も の は ほ と ん ど 残 ら な い は ず だ 。 こ れ は 際 限 の な い 仕 事 で あ り 、 ひ と り の 人 間 に で き る こ と で は な い 。 途 方 も な く 野 心 的 な こ と だ 。 し か し ぼ く は 、 何 か 或 る 光 が こ の 学 問 の 暗 い 渾 沌 を 貫 い て 輝 く の を 観 た の だ 。 こ の 助 け に よ っ て 、 最 も 暗 い 闇 を も 散 ら す こ と が で き る と ぼ く は 考 え る の だ 」(AT，X，p．
156−158)。
1619年 3月 26 日 デ カ ル ト が オ ラ ン ダ の 物 理 学 者 ベ ー ク マ ン に あ て た 手 紙
デ カ ル ト 以 前 の 数 学 は 、 生 徒 た ち に と っ て 普 段 と か け 離 れ た も の で あ り 、 大 変 印 象 的 で あ っ た こ と が 伺 え た 。
◎ 生 徒 の 感 想 よ り
・ 式 の な い 数 学 が あ っ た な ん て 初 め て 知 っ た し 、 と て も 驚 い た ！
・ 文 字 が 多 く わ か り づ ら い と こ ろ が あ っ た 。 で も 、 考 え た 人 た ち は す ご い と 思 っ た 。
③ 「 幾 何 学 」 第 1 巻 線 分 に よ る 加 減 乗 除 、 平 方 根 の 抽 出 加 法 減 法 に つ い て は パ ワ ー ポ イ ン ト で 説 明 し た 。 〈 乗 法 に つ い て 〉
上 の 原 典 日 本 語 訳 を 解 釈 し 、BE が AB と DB の 積 に な っ て い る こ と を 証 明 さ せ た 。 そ の 際 、 ヒ ン ト と し て 単 位 AB=1 を 提 示 し た 。
≪ 問 題 に 取 り 組 む ≫ ≪ 発 表 ≫
最 初 は 多 く の 生 徒 が 戸 惑 っ て い た が 、 相 似 と い う こ と に 気 が つ く と 証 明 自 体 は ス ム ー ズ に 取 り 組 め て い た 。 今 ま で 、 線 分 と 線 分 の 掛 け 算 は 面 積 で あ る と 考 え ら れ て い た も の が 、ま た 線 分 で 表 す こ と が で き る と い う 大 き な 発 見 に 、 多 数 の 生 徒 が 驚 き を 示 し て い た 。
〈 除 法 に つ い て 〉
同 様 の 方 法 で あ る た め 、 授 業 者 が ホ ワ イ ト ボ ー ド で 説 明 し た 。 〈 平 方 根 の 抽 出 に つ い て 〉
ま ず 、 予 備 知 識 と し て ユ ー ク リ ッ ド 「 原 論 」 第 2 巻 命 題 14 の 比 例 中 項 を 現 代 的 な 方 法 で 証 明 し た 。2 つ の 線 分 の 比 例 中 項 が 、 円 と 直 線 だ け を 用 い て 表 せ る こ と に 、生 徒 は 歓 声 を 上 げ て い た 。 デ カ ル ト の 方 法 は 、 一 方 を 単 位 1 と 置 く こ と に よ り 、1 つ の 線 分 の 比 例 中 項 を 求 め る こ と が で き る 。線 分 に よ る 演 算 を 通 し て 、 生 徒 か ら 次 の よ う な 驚 き が 伺 え る 感 想 を 得 た 。
◎ 生 徒 の 感 想 よ り
・ 1 を 利 用 し た の は す ば ら し い 。
・ 今 で こ そ 当 た り 前 だ が 、 当 時 の 世 界 で は す ご い 発 見 だ っ た の だ ろ う 。 ・ 頭 の 使 い 方 に び っ く り し た 。 先 入 観 を も っ て 考 え た ら わ か ら な い 。 ・ 世 間 で 言 う 常 識 を 変 え て し ま っ た こ と が す ご い と 思 い ま し た 。
指 導 目 標(2 時 間 目)
・ デ カ ル ト の 方 法 で 、 円 と 直 線 を 用 い て 方 程 式 を 解 く 。
・ デ カ ル ト に よ る 曲 線 の 新 し い 分 類 を 把 握 し 、曲線から方程式 を 導 く 。
【 円 と 直 線 に よ る 方 程 式 の 解 法 と 、 曲 線 か ら 方 程 式 を 求 め る こ と(2 時 間 目)
① 「 幾 何 学 」 第 1 巻 平 面 的 な 問 題
≪テキスト１≫ ≪テキスト2≫
授業者はまず、表記に対して原典(テキスト1、2)を見せて、前時に 取 り扱ったデカルト以 前 の 数 学 と比較することによりその発達を 把握 させた。また、この平面的な問題を理解する上で、方 べ き の 定 理 を 補 助 定 理 と し て 説 明 し 、 ま た 当 時 の 考 え 方 と し て、方程式を解 く と い う こ と は そ の 方 程 式 を 満 た す よ う な 線 分 を 求 め る こ と で あ る と い う こ と を 注 意 し た 。 生 徒 は 、 ワ ー ク シ ー ト ① を 取 り 組 み 、 そ の 内 容 を 把 握 し た 。
≪ 発 表 ≫
② 「 幾 何 学 」 第 2 巻 曲 線 の 性 質 に つ い て
上 の よ う な デ カ ル ト の 記 述 か ら 、 当 時 の 曲 線 の 分 け 方 と そ れ に 対 す る デ カ ル ト の 批 判 を 把 握 し た 。 そ し て 、「 で は デ カ ル ト は ど の よ う に 曲 線 を 分 類 し た の か 」 と い う 問 い か け を し 、 疑 問 視 さ せ た 上 で 続 き の 記 述 か ら そ れ を 読 み 取 っ た 。
実 際 に 、 ≪ 図 １ ≫ の よ う な 機 械 で 描 か れ た 曲 線 に つ い て 、 そ の 方 程 式 と そ れ が 第 何 類 で ど ん な 曲 線 で あ る の か を デ カ ル ト の 方 法 で 導 き 出 す 。 ま ず 、 こ の 機 械 の 定 義 に 沿 っ て 作 図 ツ ー ル Cabri GeometryⅡ で 同 じ も の を 作 成 し 、 生 徒 一 人 一 人 に 提 示 す る 。 ≪ 図 2≫
≪ コ ン ピ ュ ー タ に 取 り 組 む ≫ ≪ 図 １ ≫
ま ず 、GL を 動 か し 、KN と の 交 点 C が 描 く 軌 跡 を 予 想 さ せ た 。
[す べ て の 曲 線 を い く つ か の 類 に 分 け 、 そ の す べ て の 点 が 直 線 の 点 に た い し て も つ 関 係 を 知 る 方 法]
次 々 と 複 雑 さ を 増 し て 限 り な く 進 む 曲 線 を 描 き ま た 考 え る 手 段 は 、 ほ か に も い く つ か 示 す こ と が で き る 。 し か し 、 自 然 の な か に あ る す べ て の 曲 線 を 包 括 し 、 そ れ ら を 順 序 正 し く い く つ か の 類 に 分 け る た め に は 、 次 の よ う に 述 べ る の が 最 も よ い と 私 は 考 え る の で あ る 。 幾 何 学 的 と 名 づ け う る 線 、 す な わ ち 、 何 ら か の 的 確 で 精 密 な 計 測 を 受 け う る 線 の す べ て の 点 は 、 必 ず 、 ひ と つ の 直 線 の す べ て の 点 に た い し て 或 る 関 係 を も ち 、 こ の 関 係 は 線 の す べ て の 点 に 関 し て 同 一 の 方 程 式 に よ っ て 表 さ れ う る 。 そ し て 、 こ の 方 程 式 が 2 個 の 未 定 量 に よ る 矩 形 あ る い は 同 一 の 未 定 量 に よ る 正 方 形 ま で し か の ぼ ら な い と き 、 曲 線 は 第 1 の 最 も 単 純 な 類 に 属 し 、 そ こ に 含 ま れ る も の は 円 と 放 物 線 と 双 曲 線 と 楕 円 し か な い 。 し か し 、 方 程 式 が 2 個 の 未 定 量 − と い う の は 、 こ こ で は 1 点 と 他 の 点 と の 関 係 を 証 明 す る の に 2 個 の 未 定 量 が 必 要 だ か ら で あ る が − の 双 方 ま た は 一 方 の 第 3 な い し 第 4 次 元 ま で の ぼ る と き は 、 曲 線 は 第 2 類 に 属 す る 。 方 程 式 が 第 5 な い し 第 6 次 元 ま で の ぼ る と き は 、 線 は 第 3類 に 属 し 、 以 下 同 様 に ど こ ま で も 進 む 。
≪ 図 2≫
T： 定 木 GL を 動 か し て 、 点 C が ど ん な 曲 線
を 描 く の か 予 想 し て み よ う 。 S1： 放 物 線 ？
S2： で も ち ょ っ と 微 妙 。
T：そうだね 。放 物 線 と は ち ょ っ と 違 う か も 。 で は 、 こ れ が ど ん な 曲 線 な の か 、 デ カ ル ト の よ う に 方 程 式 を 導 い て 調 べ て み よ う 。
生 徒 は 、 一 般 的 な 双 曲 線 に つ い て は 未 習 で あ る た め 、 放 物 線 の よ う だ が そ う で は な い と い う 見 解 を し て い た 。 そ こ で 、 双 曲 線 の 方 程 式 が 未 習 で あ る こ と も 含 め 、 実 際 に 式 は 複 雑 で 曲 線 の 種 類 が 判 断 し に く い の で 、 生 徒 に は ワ ー ク シ ー ト ③ の よ う に 少 し 形 を 変 え て 直 角 双 曲 線 に な る よ う な も の を 考 え て も ら っ た 。
≪ 発 表 ≫
生 徒 た ち は 、 曲 線 か ら 方 程 式 を 導 い た こ と に つ い て 結 構 印象 的 だ っ た よ う で あ る 。 普 段 、 関 数 領 域 に お い て は 方 程 式 を も と に し て 曲 線 を 学 ん で い く か ら で あ る と 思 わ れ る 。 ま た 、 こ の 生 徒 た ち は 数 学 で コ ン ピ ュ ー タ を 使 う こ と が 初 め て で 、 大 変 興 味 を も っ て 活 動 し て い る 姿 が 見 ら れ た 。
４ ． 考 察
事 前 事 後 ア ン ケ ー ト を も と に 課 題 1 課 題 ２ に 答 え 、本 研 究 の 目 的 が 果 せ た か ど う か 検 討 し て い く 。
課 題 1： 当 時 の 手 紙 や 記 述 を 用 い て 数 学 史 原 典 を 解 釈 す る こ と に よ り 、 数 学 が 人 間 の 営 み で あ る こ と を 捉 え ら れ る か ど う か 。 そ の 人 本 人 の 言 葉 と い う の は 、 非 常 に 説 得 力 が 強 い も の で あ る 。 デ カ ル ト の 手 紙 や 記 述 を 扱 う こ と に よ っ て 、 生 徒 は デ カ ル ト の 考 え や や ろ う と し た こ と を 直 接 的 に 受 け 入 れ る こ と が で き た 。
〈 生 徒 の 感 想 よ り 〉
・ 頭 の 使 い 方 に び っ く り し た 。 先 入 観 を 持 っ て 考 え た ら わ か ら な い 。 だ か ら デ カ ル ト は 、 先 入 観 を 持 た ず に 考 え た ん だ と 思 う 。
・ 自 分 よ り 前 の 人 々 の 言 っ て き た こ と を 否 定 し 、 そ し て 新 し く 考 え を 生 み 出 す 。 こ れ は 、 本 当 に す ご い と 思 っ た 。
・ 理 屈 が す ご か っ た 。 視 点 が 自 分 と は 全 然 違 っ て い た 。
・ 頭 が や わ ら か い 人 だ な と 思 っ た 。
ま た 、 上 の 感 想 も 含 め 、 全 体 を 通 し て数 学 が 人 間 の 営 み で あ る と い う こ と を 感 想 に も っ た 生 徒 が 何 人 か 見 ら れ た 。
・ 数 学 は 、 長 い 時 間 を か け て 多 く の 人 た ち に よ っ て 作 ら れ て い た こ と を 感 じ た 。
・ 今 ご く 当 た り 前 の よ う に 使 わ れ て い る 公 式 は 、 先 人 の 惜 し み な い 努 力 に よ っ て 確 立 さ れ て き た こ と を 痛 切 に 感 じ た 。
・ 今 ま で 幾 つ か の グ ラ フ の 式 を 習 っ た け ど 、 昔 の 人 が い ろ い ろ と 苦 労 し て 考 え を 使 っ て い る の が す ご い と 思 っ た 。
・ い ろ ん な 人 が い ろ ん な 見 方 で と ら え て 進 化 し た こ と が す ご い 。
・ 自 分 た ち が 今 簡 単 に 公 式 を 使 っ て 問 題 を 解 く こ と が で き る の は 、 昔 の 人 の 苦 労 の お か げ な ん だ な あ と 思 っ た 。
こ の 授 業 実 践 で は 、 デ カ ル ト 以 前 の 数 学 者 に も 3 の(3)② で 述 べ た よ う に 、 方 程 式 の 分 類 ・ 式 表 現 な ど を も と に 、 方 程 式 が 次 元 に と ら わ れ て い た こ と に つ い て 触 れ た 。 そ し て そ の 後 は 、 主 に
「 デ カ ル ト 」 と い う 1 人 の 数 学 者 に つ い て そ の 考 え や 発 見 を 取 り 扱 っ た 。 生 徒 は ， デ カ ル ト 以 前 の 数 学 者 や デ カ ル ト の 考 え や 発 見 を 通 じ て 、 今 習 っ て い る 数 学 の 全 て が 、 多 く の 人 々 に よ っ て 培 わ れ て き た こ と を 感 じ 取 り 、 上 の よ う な 感 想 を も つ こ と が で き た と 思 わ れ る 。
課 題 2： 数 学 の 発 展 を 追 体 験 す る こ と で 、 生 徒 が 自 ら の 数 学 を 発 展 的 に 捉 え ら れ る か ど う か 。
授 業 で は 、 デ カ ル ト が そ れ 以 前 の 数 学 を 否 定 し 、 今 に つ な が る よ
う な 大 き な 発 展 を と げ た 一 場 面 を 見 て き た 。こ の 発 展 を 追 体 験 す る こ と に よ り 、 生 徒 か ら 次 の よ う な 感 想 が 得 ら れ た 。
〈 生 徒 の 感 想 よ り 〉
・ 今 回 の 2日 間 で 、 数 学 に 大 切 な こ と は 発 想 の 転 換 と 向 上 心 だ と 思 っ た そ し て 、 数 学 ほ ど 発 展 の 余 地 が あ る 学 問 は な い と 思 う 。
・ デ カ ル ト は ホ ン ト に す ご い と 思 う 。 自 分 も 新 し い 発 見 が も し か し た ら で き る の か も し れ な い か な と 思 え た し 、 デ カ ル ト 以 外 に も い ろ い ろ な こ と を 発 見 し た 人 の こ と も 知 り た く な っ た 。
・ 数 学 か ら い ろ い ろ な 発 想 が 生 ま れ る こ と を 知 っ た 。
・ も う こ れ 以 上 新 し い 公 式 、 解 き 方 、 発 見 は な い だ ろ う と 感 じ た が 、 デ カ ル ト の こ と を や っ て い る と 、な に か 新 し い 発 見 が 見 つ か っ て き そ う な 感 じ が し た 。
デ カ ル ト の 考 え に つ い て 、 そ の 偉 大 さ を 述 べ た 生 徒 は 大 多 数 い た が 、 そ の 中 で 数 学 に お け る 「 発 想 の 転 換 」 と い う 点 で 大 き な 影 響 を 受 け た 生 徒 が 、 感 想 か ら 20 名 ほ ど 見 受 け ら れ た 。 今 ま で や り 方 だ け に と ら わ れ て い た 生 徒 と 、 数 学 を 固 定 的 に 捉 え て い た 生 徒 も 、 数 学 の 考 え 方 が無 限 で あ る と い う よ う な 感 想 を 書 い て い た 。
ま た 、 事 前 事 後 ア ン ケ ー ト よ り 、 授 業 の 前 後 の 統 計 的 な デ ー タ か ら も 、 生 徒 た ち の 数 学 に 対 す る 変 容 が 伺 え た 。
以 下 に そ の 結 果 を 示 す 。
数 学 の 問 題 を 解 く の に 新 し い 考 え が 入 る 余 地 は ほ と ん ど な い
賛 成 ど ち ら と も 反 対
事 前 23.3% 41.6% 35.1%
事 後 27.3% 19.7% 53.0%
数 学 で は 絶 え ず 新 発 見 が 行 わ れ て い る 賛 成 ど ち ら で も 反 対
事 前 77.9% 18.1% 3.8%
事 後 89.4% 9.9% 1.5%
数学の問題を解くのに新しい考えが入る余地 はほとんどない
0% 50% 100%
事後
事前 賛成
どちらとも 反対
数学では絶えず新発見が行われている
0% 50% 100%
事後
事前 賛成
どちらとも 反対
ま ず 、「 数 学 の 問 題 を 解 く の に 新 し い 考 え が 入 る 余 地 は ほ と ん ど な い 」 に つ い て 、 賛 成 が 少 し 増 え て は い る が 、 事 前 と 比 べ て 事 後 ア ン ケ ー ト で は 「 ど ち ら と も い え な い 」 が 大 幅 に 減 り 、 半 数 以 上 の 生 徒 が「 反 対 」と い う 意 見 を も つ こ と が で き た 。ま た 、「 数 学 で は 絶 え ず 新 発 見 が 行 わ れ て い る 」 と い う 質 問 に 対 し て は 、 事 前 で も 多 く の 生 徒 が 賛 成 で あ っ た が 、 事 後 に は お よ そ 9 割 の 生 徒 が 賛 成 意 見 を も つ こ と が で き た 。 こ れ は 、 デ カ ル ト 以 前 の 数 学 と デ カ ル ト の 新 し い 考 え と を 比 較 し て 、 発 展 の 場 面 を 追 体 験 し た こ と に よ る 効 果 で は な い か と 思 わ れ る 。 そ して こ の 結 果 は 、 生 徒 自 身 が 数 学 と い う も の を 固 定 的 に 考 え る の で は な く 、 よ り 発 展 的 な 見 方 で 考 え る よ う に な っ た と い う こ と を 示 し て い る 。
以 上 の こ と よ り 、 生 徒 は 歴 史 的 な 数 学 の 発 展 を 追 体 験 す る こ と に よ っ て 、 数 学 の 奥 深 さ 、 発 想 の 転 換 の す ば ら し さ を 感 じ 、 数 学 に 対 す る 固 定 的 な 概 念 を 、 発 展 的 に 捉 え ら れ る よ う に な っ た と い え る 。
５ ． 終 わ り に
本 研 究 で は 、 数 学 史 原 典 を 用 い た 授 業 が 、 生 徒 に 数 学 観 の 変 容 を 促 す こ と が で き る か ど う か を 目 的 に 、 主 に デ カ ル ト の 「 幾 何 学 」 を 教 材 と し て 授 業 実 践 を 行 っ た 。 そ し て 、 そ の 中 で も 数 学 を 人 間 の 営 み と し て 捉 え ら れ る か ど う か 、 生 徒 が 自 ら の 数 学 を 発 展 的 に 捉 え ら れ る か ど う か に 焦 点 を 当 て て き た 。 そ の た め に 、 解 釈 学 的 営 み の 視 点 か ら そ の 人 本 人 の 言 葉 を 取 り 上 げ て 解 釈 し 、 数 学 が 発 展 す る ま さ に そ の と き を 追 体 験 す る と い う 立 場 で 授 業 実 践 を し た 結 果 、 多 数 の 生 徒 か ら 数 学 観 に お け る 変 容 が 伺 え る よ う な 反 応 が 得 ら れ た 。 中 に は 、 数 学 に 対 す る 興 味 ・ 関 心 が 増 し た 生 徒 、 も っ と い ろ い ろ な 数 学 者 に つ い て 知 り た い と い う 感 想 を も つ 生 徒 も い た 。 ま た 、 自 ら 数 学 史 を 学 ぶ こ と が 有 意 義 で あ る と 述 べ て い た 生 徒 も 見 ら れ た 。 こ の 授 業 を 通 し て 、 本 研 究 に お け る 課 題 は 達 成 さ れ 、 そ し て ま た 、 数 学 史 を 取 り 入 れ た 授 業 の 有 用 性 と い う も の も 、 実 践 的 な 立 場 か ら 見 出 せ た の で は な い だ ろ う か 。
謝 辞
研 究 授 業 の 実 施 に 際 し ま し て 、埼 玉 県 立 春 日 部 高 等 学 校 の 今 西 善 徳 先 生 、 片 野 秀 樹 先 生 、 福 住 譲 先 生 を 始 め 、 数 学 科 の 先 生 方 に は 多 大 な る ご 協 力 と 共 に 、貴 重 な ご 意 見 ・ ご 指 導 を い た だ き ま し た 。 厚 く 御 礼 申 し 上 げ ま す 。
註 1 本 研 究 は 、 筑 波 大 学 学 内 プ ロ ジ ェ ク ト 研 究 （ 助 成 研 究 Ｂ ： 研 究 代 表 者 礒 田 正 美 ）
「 イ ン タ ー ネ ッ ト 上 の 数 学 博 物 館 の 開 発 ・ 評 価 研 究 」 の 一 貫 と し て 行 わ れ た 。
註 2 授 業 の 詳 細 、 並 び に 資 料 は 次 に 掲 示 し て い る 。
http://www.mathedu-jp.org
参 考 ・ 引 用 文 献
1） 文 部 省(1999)，高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 数 学 編 理 数 編，p33
2） 国 立 教 育 研 究 所(1991)，数 学 教 育 の 国 際 比 較 − 第 2 回 国 際 数 学 教 育 調 査 最 終 報 告 −
3） 礒 田 正 美(1987)，数 学 学 習 に お け る 数 学 史 の 利 用 に 関 す る 一 考 察， 筑 波 大 学 附 属 駒 場 中 ・ 高 等 学 校 研 究 報 告 第 26 集 ，p167
4） 礒 田 正 美(2001)，文 化 的 営 み と し て の 数 学 教 育 〜 そ の 方 法 と し て の 数 学 史 上 の 一 次 文 献 の 利 用 〜， 教 科 科 学 数 学 教 育 7 月 号 ， 明 治 図 書 ，p107 5） 後 藤 司(1996)，曲 線 の 表 現 史 と 作 図 ツ ー ル を ふ ま え た 解 析 幾 何 教 材 の 刷 新 に
関 す る 一 考 察 〜 ギ リ シ ャ か ら 微 積 分 創 成 期 を ふ ま え て 〜， 平 成 8 年 度 筑 波 大 学 大 学 院 教 育 研 究 科 修 士 論 文
6）Hans Niels Jahnke(2000)，The use of original sources in the mathematics classroom.，
In John Fauvel and Jan van Maanen (eds)， History in Mathematics Education，An ICMI Study，p.291
7）礒田正美、土田知之(2001)，異 文 化 体 験 を 通 じ て の 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 ； 数 学 的 活 動 の 新 た な パ ー ス ペ ク テ ィ ブ
8）David Eugene Smith，Marcia L.Latham(1954)，The geometry of REN? DESCARTES，Dover Publications，p12，p15
9） 原 亨 吉 訳 (1974)，幾 何 学 ，デカルト著 作 集 １，白 水 社 ，pp3-8，pp16-20
上記以外に授業に際して参考にした文献
10） ス チ ュ ア ー ト ・ ホ リ ン グ テ ー ル著 岡 部 恒 治 監 訳(1993)，数 学 を 築 い た 天 才 た ち 上， 講 談 社
11）中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵訳(1996)，ユ ー ク リ ッ ド 原 論， 共 立 出 版
12） 中 村 幸 四 郎(1981)，数 学 史 − 形 成 の 立 場 か ら −， 共 立 出 版 13）鈴 木 孝 典(1987)，中世 の 数学， 共 立 出 版
14）カルダノ，ARTIS MAGN ?
15）FRANCISCI VIETA，OPERA MATHEMATICA 16） デ カ ル ト ，精 神 指 導 の 規 則(野 田 又 夫 訳)， 岩 波 書 店
17）斎 藤 憲 （1997），ユークリッド「原 論 」の 成 立 ：古 代 の 伝 承 と現 代 の 神 話， 東 京 大 学 出 版 会
18）大 出 晁[ほ か]訳 （1977）， 精 神 指 導 の 規 則 ，デ カ ル ト 著 作 集 4，白 水 社 19）礒 田 正 美 （2001），デカルト，教 科 教 育 数 学 教 育 11 月 号 ，明 治 図 書
