計算幾何学

培訓- 8 計算幾何学

計算幾何学

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November 30, 2013

1 計算幾何

計算幾何是一個非常大的分類，最出名的運用就是現在看到的很多 3D 圖形製 作、遊戲引擎等。在高中的算法競賽也是一種題型(隨然近年來越來越少見，尤其是 IOI)。

以下我們通常只討論二維平面的計算幾何。

1.1 浮點數誤差 (EPS)

在平面幾何的運算中，並沒有什麼理由限制座標必需為整數，因此常常牽涉到浮 點數的運算。

浮點數一般使用 double 或 long double 型別來儲存，其精確度有一定的上限 值。因此不可避免地，在浮點數的四則運算當中，會產生一些誤差。例如電腦可能 計算 1.0 + 1.0 = 1.99999999999999999，而這時電腦會認為1.0 + 1.0̸= 2.0，導致程 式出現問題。

因此在比對兩數值是否相等時，應容許一些很小的誤差。例如令 EP S = 10⁻¹⁰， 而兩數差的絕對值 ≤EP S 時，判斷兩數相等，如此即可解決大部份誤差問題。

1.2 內積

向量⃗a 與⃗b的內積寫作⃗a·⃗b。即

⃗a·⃗b =x_ax_b+y_ay_b =|⃗a||⃗b|cosθ θ 是這兩個向量的夾角。

I

1.3 平面上的外積 計算幾何学

1.3 平面上的外積

向量⃗a 與⃗b的外積寫作⃗a×⃗b。即

⃗a×⃗b=x_ay_b−y_ax_b =|⃗a||⃗b|sinθ

這個值的絕對值相當於這兩個向量圍出來的平行四邊形面積，另外若⃗b在⃗a 的逆 時針方向(即左邊)，那麼⃗a×⃗b >0。外積的正負號，可以用來判斷兩向量之類的順 逆時針關係。

1.4 判斷線段相交

給定兩線段 P₁P₂, Q₁Q₂ 四個端點 P₁, P₂, Q₁, Q₂ 的座標，判斷這兩線段是否相交。

方法有兩個，

1. 可直接求出兩直線方程式，找出交點，再判斷是否在兩線段範圍內。(誤差大，

麻煩)

2. 跨立檢驗：若 P₁, P₂ 在 Q₁Q₂ 異側，且 Q₁, Q₂ 在 P₁P₂ 異側，則此兩線段相 交。即判斷下列兩式是否皆成立：

(−−→

P₁P₂×−−−→

P₁Q₁)(−−→

P₁P₂×−−−→

P₁Q₂)<0 (−−−→

Q₁Q₂×−−−→

Q₁P₁)(−−−→

Q₁Q₂×−−−→

Q₁P₂)<0

1.5 多邊形面積計算

給定一無邊相交的多邊形 P₁, P₂, P₃, , , P_n，可計算此多邊形面積：(為了方便，令 P_n+1 =P₁)

1 2|

∑n

1

−−→OP_k×−−−−→

OP_k+1|

將四邊形分割成許多三角形 (面積可為負) 即可導出此式。時間複雜度顯然為 O(n)。

1.6 點在多邊形內部

給定一個點 A 和n 多邊形P₁, P₂, , , P_n，判斷 A 是否在多邊形內

II

1.7 凸包 計算幾何学

由 A 點往外作射線，若此射線交多邊形的邊奇數次，則 A 在多邊形內;若交偶數 次，則 A 在多邊形外 (需先判掉 A 在頂點或邊上的狀況)。射線方向儘量隨機，以 避免剛好交到頂點等例外狀況。

若該多邊形是凸多邊形且 A 在多邊形內，而多邊形點的順序正好是由 A 為參考 點的極角排序。因此，所有的−−→

APk×−−−−→

APk+1 皆同號。這些外積中，若有異號代表 A 在凸多邊形外；若有一個0，代表 A 在某一條邊上；若有兩個0，代表 A 在某一頂 點上。

1.7 凸包

對於一個點集，找出其中一些點，使得點集中的所有點，都在由這些選中的點所 圍成的凸多邊形之內或邊界上。

算法 將凸包分成上下兩部份分開求。

首先將所有點依 x 座標排序，x 座標相同時照 y 座標排序。排序完後的第一個點

(最左，最下) 和最後一個點 (最右，最上) 都必在凸包上。先從第一個點(最左，最

下) 開始求上半部的凸包。開一個stack 存放屬於上半部凸包的點。首先把排序前 2 個點丟進去。隨時考慮 stack 中倒數 2 個點 A, B(B 為最後一個點) 以及排序中 的下一個點C。如果 A−B−C為一逆時針轉動，則表明 B 不在凸包上，故把B 刪 掉。若stack 剩不到 2 個點或A−B−C 為一順時針轉動，則將C 放進 stack中，

並從排序中移除。一直重覆此動作，直到排序被清空，此時 stack中的點就是上半 部的凸包。以相同的方式從最後一個點開始，求出下半部的凸包，再合併後可得到 完整的凸包。

時間複雜度為 O(n)(若所有點已經排序好了)。

1.8 Exercises!!!

1. Ch特別篇 -6. 我不是妹控(STEP5 0052)

給你 N 個紅點跟 M 個黑點，問最少有幾個黑點在可由紅點所組成的多邊形 外。(N, M ≤1000)

2. 古代巨塔之謎 (NPSC 2012 高中組決賽)

平面上 N 個點，輸出能包住這些點的最小矩形面積。

III

2.解題技巧 1 計算幾何学

2 解題技巧 1

以下將介紹一些解題時好用的技巧，為了好理解及清楚說明在實務上的做法，每 個技巧將會用一兩個例題來講解。

2.1 Meet in the middle

HOJ 132 給你最多 30 個物品，每個物品有價值 c(−10⁹ ≤ c ≤ 10⁹)，問是否存 在一個集合S 滿足 ∑

i∈Sci = 0。

很簡單的想法是 O(2ⁿ) 爆搜，然後亂剪枝。但這實在不是很營養的辦法，那所以 有沒有複雜度合理一點的算法呢?

不難發現任何一個集合都是從前 15 個物品中找一些、後 15 個找一些，然後合 併出來。所以我們可以把前15 個跟後 15 個的所有子集合 (2¹5 + 2¹5) 算出來，然 後對於前半的每種子集合，搜尋看說後半的每種子集合中是否有集合跟他加起來是 0的，這明顯把後半每個子集合的權重都丟到平衡樹裡，就可以 O(lgn) 的時間完成 搜尋。

這樣子的時間複雜度是 O(2ⁿ² ×2 + 2ⁿ² ×lg2ⁿ²)，這最大也就500000左右而已，相 當理性的計算量。

Exercises!!

1. Balanced Cow Subset (USACO open 2012 gold)

給你 n(≤ 20) 隻乳牛，每隻乳牛有他的產乳量 m_i，你現在要把這些乳牛分成 黑牛、棕牛和白牛，滿足黑牛的總產乳量= 棕牛的產乳量，問有幾種" 把牛分 到白牛的方法"。

2.2 啟發式合併

HOJ 191 給你一顆有根樹(100000個節點)，某些葉子上有重量為 w_i 的寶藏，對 於每個非葉節點輸出它的有寶藏的葉子小孩們重量差距最小是多少。

第一眼應該會想到一個解法，對於每個節點把她所有寶藏葉子小孩排序好，然後 掃過去計算答案。但這複雜度是很不妙的O(N²)。

IV

2.2 啟發式合併 計算幾何学

那這時應該可以想到了一個優化，對於一個節點，你要計算的其實只是他各個寶 藏葉子小孩對其他顆子樹的最小差距，也就是找他在某顆子樹的lower bound 或 是upper bound 跟他的差距取min。

不意外的話你現在有一個做法是這樣:

對於一個點依序把每顆子樹的所有寶藏小孩加進自己的集合，但加進去之前不忘更 新這個點的答案。

為了方便取 upper bound 跟lower bound 所以會用平衡樹當作自己的" 集合"

的資料結構，所以複雜度會變成O(N²lgN)，更不妙了。

那到底怎麼辦 OAOOO。

走投無路的你開始胡思亂想了。如果我每次合併平衡樹的時候是由小顆的一個一 個點加進大顆的樹，那複雜度應該會好一點吧....

到底會好到多少呢? 你發現你的複雜度其實就是"N× 插入的次數 × 插入一次的 時間"，所以每個寶藏小孩插入別人的次數是多少呢? 因為每次都是由小的插到大 的，所以假如這次某隻寶藏小孩所在平衡樹的大小是 x，那插入後所在的平衡數大

小至少是2x，而且如果這隻寶藏小孩所在的平衡數大小就是 N 的話，那他在也不

會去插入任何人了(因為他已經在最大的平衡樹裡了)，所以他只會待過lgN 顆平衡 樹。所以總複雜度就變成了O(N lg²N)，真是神奇。

Exercises!!

1. Tree rotations (POI XVIII)

給你一顆二元樹，滿足每個非葉節點都有兩個小孩，每個葉子都有一個 1 ∼n 的數字且互不相同，讓 S 為所有葉子以前序表示法排列而成的序列，你現在 可以對這棵二元樹任一個非葉節點對調他的左子樹跟右子樹，問你最小要調換 幾次才能使新的 S 的逆序數對數最少。

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