プレ高数学科（LaTeX Beamer で汎用PDFプレゼンを作る）

問題

A,B

^が

1

個ずつさいころを投げる。

両方とも奇数なら

A

^の勝ち、

それ以外は

B

^{の勝ちとする。}

3

ゲーム先取で優勝のとき、次の確率を 求めなさい。

⑴

4

^{ゲーム目で}

A

^{の優勝が決まる確率？}

A

優勝が決 まる

= 3

A

^が

2

^勝

1

^敗 で

4

で

A

^が勝つ

というパターンしかない。

4

^{ゲー ム} 目で

A

^の 優勝が決 まる

= 3

^{ゲーム目までで}

A

^が

2

^勝

1

^敗 で

4

^{ゲ ー ム 目}

で

A

^が勝つ

というパターンしかない。

まず

A

が勝つ確率を考える。「両方とも奇数なら

A

の勝ち」と問題文に書かれていた。

さいころの目で奇数は

1, 3, 5

^の

3

^{通りなので} 奇数・奇数となる確率（

A

^{が勝つ確率）は}

3

6 × 3

6 = 1

4

^となる。

A

^{が勝つ確率が}

1

4

^なので、

A

^{が負ける確率は}

3

4

^となる。

※ このような不公平なゲームはすべきではないが、計算練習のため 意図的にこのようにしているので悪しからず

だから

3

^{ゲーム目までで}

A

^が

2

^勝

1

^{敗となる確} 率は、反復試行の公式を使って

3 C 2

( A

^の 勝つ 確率

) 2 (

A

^の 負ける

確率

) 1

だから

3

^{ゲーム目までで}

A

^が

2

^勝

1

^{敗となる確} 率は、反復試行の公式を使って

3 C 2

( 1 4

) 2 ( 3 4

) 1

最初に戻って

4

^{ゲー ム} 目で

A

^の 優勝が決 まる

= 3

^{ゲーム目までで}

A

^が

2

^勝

1

^敗

× 4

_で^{ゲ ー ム 目}

A

_が勝つ

= 3 C 2

( 1 4

) 2 ( 3 4

) 1

× 1

4

3 C 2

( 1 4

) 2 ( 3 4

) 1

× 1 4

= 3 × 2

2 × 1 × 1

4 × 1

4 × 3

4 × 1 4

= 9

⑵

A

^{が優勝する確率？}

というパターンがある。（この

3

^{つは同時には起} こらないので、たし算することになる）

【

4

ゲーム目で優勝】はさっき計算したので

9

256

A

^が優勝

する

= 3

^ゲーム

目で優勝

+ 4

^{ゲー ム}

目で優勝

+ 5

^ゲーム

目で優勝

というパターンがある。（この

3

^{つは同時には起} こらないので、たし算することになる）

9

A

^が【

3

ゲーム目で優勝】のパターンは

3

^連勝す ればよい。

A

^{が勝つ確率は}

1

4

^なので

3

^{ゲー ム}

目で優勝

= 1

^{ゲー ム}

目勝つ

× 2

_目勝つ^{ゲー ム}

× 3

_目勝つ^ゲーム

= 1

4 × 1

4 × 1

4

1

【

5

ゲーム目で優勝】のパターンは

5

^{ゲー ム}

目で優勝

= 4

^{ゲーム目までで}

A

^が

2

^勝

2

^敗

× 5

_で^{ゲ ー ム 目}

A

_が勝つ

= 4 C 2

( 1 4

) 2 ( 3 4

) 2

× 1 4

= 27

512

一旦 停止

最初に戻って

A

^が優勝

する

= 3

^ゲーム

目で優勝

+ 4

^{ゲー ム}

目で優勝

+ 5

^ゲーム

目で優勝

= 1

64 + 9

256 + 27 512

= 53