交流信号と共振回路テキスト

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交流信号と共振回路テキスト

（最終改訂 2016/01/20 ）

実験の目的

直流回路で抵抗に流れる電流とその両端にかかる電圧（電位差）とは比例し、交流回路

（ここでは正弦波交流を扱う）においても電圧と電流は同位相でその比は（0/0で定義されない瞬間を除き）どの瞬間においても一定である。これに対し、インダクタ（コイル）とキャパシタ（コンデンサ）では、抵抗値に相当する電圧と電流の実効値（註参照）の比が周波数により異なり、この性質を利用して周波数により選択を行うフィルタを構成できる。

更に、インダクタとキャパシタでは電圧と電流の位相がπ/2 だけずれ、そのずれの符号が両者で逆であるため、これを組合せることで、工学では最も基本的で重要な現象の一つである共振が起る。

かつては、低周波発振器、電子電圧計、オシロスコープ等の高価な装置を動員して測定したこの現象が、フリーソフトウェアのWaveGene/WaveSpectraを用いることで、PC単独で容易に確認ができ、本課題では、フィルタと共振（ここでは直列共振のみを扱う）を通じて交流回路の基本についての理解を深めることを目的とする。

WaveGene/WaveSpectraは、それぞれ信号生成、スペクトル分析の機能が充実した演算精度も高い極めて有用なソフトウェアである。両者は本課題以外でも情報学実験Ⅰ、Ⅱで活用しており、その操作に慣れることも本課題の趣旨である。

註：実効値とは時間的に一定ではない信号（交流電圧・電流についていう事が多いが、音響での空気中の圧力変化等にも用いる）に対して自乗の平均の平方根をとったもので、その定義通りのroot mean squareの頭字語でrms値ともいう。交流電流の抵抗による消費電力は、その実効値と同じ電圧・電流の直流によるものと同じとなる。正弦波交流では実効値はピーク値（尖頭値）の1/√2である。正弦波交流の電圧と電流の実効値の比を絶対値とし、位相差の情報を加えて抵抗の概念を複素数に拡張したものがインピーダンスである。

注意

本テキストでは実験を行う上で必要な項目について記述しており、交流回路についての詳細については電気回路の教科書に譲る。工学に限らず社会現象に至るまでシステム（系）

を理解する上で、線形近似による電気回路とのアナロジーは極めて有用である。情報学部の教育課程では電気回路はコンピュータ科学科の 2 年後期に選択必修科目として開設しているだけであるが、同科目を履修しない人にも電気回路に関する書籍の一読を推奨する。

ガイダンスでも説明のあった通り、実験実習科目の区分では毎回の作業実態そのものが成績物であり、他人の作業結果を譲り受けることは不正行為に該当する。不正防止のため個人毎に全て結果が異なり他人の作業結果の譲り受けを不可能としている課題（課題④

「LabVIEW による論理回路」）もあるが、本課題で使用する共振回路も結果の異なる複数の種類が用意されており、他人の結果を流用してレポートを作成することはできないことに注意する。

本課題では、PCのサウンド機能を使用するが、Virtual DesktopのTeradici Virtual Audio Driverでは十分な特性が得られないのでLocal PC（Realtek High Definition Audio実装。

総合周波数特性はpp.9-10図12,13を参照）を使用する。ログインで選択するOSを間違えないこと。

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実験ノート以外に用意するもの

USBメモリ（情報学実験のページからsweep0dB.wavをダウンロードして保存しておくこと）

註：興味のある人は、CR、LR 回路の実験用にメモリプレーヤ（音声ファイルを保存して再生できる携帯電話等を含む）。3.5φの3極ステレオプラグ用のアダプタが必要な機種については、これも用意すること。【テキスト末尾の備考p.25「キャパシタとインダクタでの電圧と電流の位相差について」参照】

事前準備

必ず、本テキストに最後まで目を通して、本課題で必要なデータの意味を理解し、全体の作業の流れを把握しておく。WaveGene/WaveSpectraについては、事前にダウンロード・

解凍し、ヘルプファイルに目を通しておく。

使用機器・部品類

共振回路（ブレッドボード上に構成済）1個およびジャンプワイヤ1本

ジャンプワイヤ付3.5φステレオプラグ2個（黄青ワイヤ付、赤白黒ワイヤ付各1個）

情報科学研究教育センターPC Local PCでログインすることに注意。

使用ソフトウェア

WaveGene/WaveSpectra http://efu.jp.net/

http://efu.jp.net/soft/wg/WG150.ZIP （オーディオ帯域信号発生器）

http://efu.jp.net/soft/ws/WS151.ZIP （リアルタイムスペクトラムアナライザ）

表紙交付基準

以下の事項の全ての完成を確認して表紙を交付する。レポート作成については、実験手順中の記述の他、本テキスト末尾の備考p.23「レポート作成について」を参照のこと。

● CR、LR、LCRの各実験でジャンプワイヤを挿した穴の位置【実験ノートで確認する】

● LCRの実験でsweep0dB.wavをWaveGeneで再生してWaveSpectraで録音した音声ファイル【実験ノートで保存したファイル名（拡張子を含む）とファイルサイズ（プロパティで表示されたバイト単位の値）を確認する】

● LCRの実験で、共振周波数の正弦波を WaveGeneで再生した、WaveSpectraで位相差の無いリサジュー図形のキャプチャ画像【この項目のみPCのディスプレイに表示して確認する】

実験手順

０．使用する回路を確認する。

最初に、使用する共振回路のシリアル番号（ブレッドボードの部品面に貼られているラベルに記載されている）、部品の配置位置を実験ノートに記録する。回路で使用されている部品は図1に示すインダクタ（図で黒い円筒形の部品でピン間隔は穴の間隔の3倍に当る 7.62mm）、キャパシタ（図で青い部品）、抵抗（図で薄茶色に帯状のカラーコードが入った

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部品）の3個である。図 1は、回路構成前の説明用のもので、実験では部品をブレッドボードから取り外さないこと。

図1 ブレッドボードと回路部品（本図は説明用であり、取り外さないこと）

ブレッドボードは図 2 右に示す様に上段、下段のそれぞれで各列が縦に電気的につながっており表面の各穴に部品、ジャンプワイヤを挿して回路を構成するものである。黒と赤の行はそれぞれ横に電気的につながっており、電源供給、接地（GND）用に使用される。

隣接する穴の間隔は2.54mm（1/10 inch）で、f行とg行の間隔はその3倍である。

本実験で使用する回路では、3個の部品が直列に接続され、図2の例では、インダクタが f10とg10、キャパシタがj10とj12、抵抗がi12とi17に挿されている。この例は説明用の個体でシリアル番号を記載したラベルは貼られていない。

図2 共振回路の配置されたブレッドボード（左：部品面、右：裏面）

共振回路をPCに接続するための信号の入出力には図3に示すジャンプワイヤ付3.5φステレオプラグ2個を使用する。3.5φプラグには、2、3、4極のものがあり、3、4極では信号の割当の異なる規格が混在するので注意を要する。ここで使用しているものは一般的な3 極（先端から順にT:tip、R:ring、S:sleeveという）ステレオプラグで先端から順に左、右、

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GND（オーディオではケーブルの色としてそれぞれ白、赤、黒を用いる）である。図3右側のプラグはモノラルとして使用し（ここでは、黄がtip、青がsleeveに接続されている）、

PCのサウンドカードの左チャンネルの信号のみを伝送する。

図3 ジャンプワイヤ付3.5φ3極プラグ（左：PC入力用、右：PC出力用）

以下の作業では、CR、LR（以上、フィルタ）、LCR（直列共振）のそれぞれでブレッドボード上にジャンプワイヤを挿す穴の位置（挿さない場合はその旨）を実験ノートに記録する。

１．PCのサウンドカードの標本化周波数・ビット深度を設定する。

注意

サウンドカードの設定はPCをログオフした場合にはリセットされるので、実験の途中でログインし直した場合には再度本節の作業を行うこと。

WaveGene/WaveSectraの既定では標本化周波数44100Hz、ビット深度16ビットの CD 音質の設定で、本実験で使用する信号 sweep0dB.wav もこれに合せて作られている。

Windows7のオーディオエンジンでは標本化周波数変換の十分な対応がされておらず（変換精度はごく初期のDACレベル）、PCのサウンド機能を使用する上でアプリケーション（ここではWaveGene/WaveSpectra）とサウンドカードの再生・録音の標本化周波数・ビット深度を合せる必要がある。

図4 再生の「既定の形式」をCD音質に設定する。

コントロールパネル→個人設定→サウンド→再生→スピーカーのプロパティ→詳細で既

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定の形式を「16ビット，44100 Hz（CDの音質）」に変更する（図4、ログイン時の既定は

「24ビット、48000 Hz（スタジオの音質）」）。録音側は、マイク（PCのマイクロホン入力端子にプラグを挿していない状態では認識されない）のプロパティの既定の形式は既定で

「2チャネル、16ビット、44100 Hz（CDの音質）」であり変更の必要は無い。

２．WaveGene/WaveSpectraを用いてPCのサウンドカードの再生・録音レベルを調節する。

注意

本節で調節・設定した再生、録音のレベルは、ログインし直した場合（設定はリセットされる）に同じ条件で実験作業を再開できる様に必ずその場で実験ノートに記録すること。

PC前面のピンクの音声入力ジャック（上側でマイクロホンの絵が書かれている）に赤白黒の3本のジャンプワイヤが付いた3.5φステレオプラグを挿し【音声入力ジャックに何も接続されていない状態ではコントロールパネル→個人設定→サウンドの録音で「マイク」

が認識されない】、黒の音声出力ジャック（下側でヘッドホンの絵が書かれている）に黄青の2本のジャンプワイヤが付いた3.5φステレオプラグを挿す（図5左）。

次節以降の作業に先立ち、回路に供給する信号電圧のレベル調節（ここでは、電圧の値そのものは測定せず、PCのサウンドカードの出力を歪の無い状態で実験が行える電圧に設定する）を行う。両プラグの青と黒のジャンプワイヤをブレッドボードの黒の行、黄、白、

赤のジャンプワイヤをブレッドボードの赤の行に挿して、PC の入出力端子間を直結する

（図5右）。

図5 ブレッドボードとPCの接続（左：PC側右：ブレッドボード側レベル調節時）

WaveGeneを開くと、WG150.ZIPを解凍して最初の実行で設定ファイル（WG.INI）が無い初期状態では図6の様な画面となる（Helpファイル参照を促すウィンドウはOKをクリックしてHelp 画面もそのまま閉じる）。このウィンドウは横幅が固定され、縦にのみ広げられる（次節以降の説明では、縦に画面一杯に広げた例で示す）。続いて、WaveSpectra を開く。WS151.ZIP を解凍して最初の実行で設定ファイル（WS.INI）が無い初期状態では、ヘルプ画面と共に「WaveSpectra - 描画方法自動設定」のウィンドウが開くが、そのまま閉じる。Waveメニューの設定で「リサジュー（X-Y）」を「別ｳｨﾝﾄﾞｳで表示」にチェックを入れ、「縦軸(Amplitude)」の倍率を「x1」に、レベルメーターの「表示（横）」を選ぶ

（図7）。Spectrumメニューで、レンジを「80dB」に、「横軸(Frequency)」を「リニア」

にした後、「測定ﾓｰﾄﾞ」（ボタン）をクリックして「測定ﾓｰﾄﾞ」にする（図8）。

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図6 WaveGeneを最初に起動した画面

図7 WaveSpectraのWaveメニューの設定

図8 WaveSpectraのSpectrumメニューを設定し、「測定ﾓｰﾄﾞ」をクリックする。

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WaveSpectra のウィンドウは縦横に広げられるので、リサジューとレベルメーターのサイズと共に適当なサイズに設定する。以下の説明では、WaveGeneとWaveSpectraの両画面でデスクトップが一杯となる例で示している。

WaveGeneでWave1（Wave2～Wave8の他のWaveを指定してもよいが、図6に示す通り、初期状態ではWave1が「ｻｲﾝ波」で他は「OFF」、出力もWave1は「L+R」で他は「OFF」

となっているので作業手順の少ない Wave1 を選ぶ）の波形メニューが「ｻｲﾝ波」となっていることを確認し、振幅0dB（既定では-10dB：dBについては註参照）を選び、再生ボタン（►）をクリックする。コントロールパネル→個人設定→サウンドの録音→マイクのプロパティ→レベルを「マイク100 マイクブースト 0.0dB」に設定して、WaveSpectraの録音ボタン（●）をクリックして録音状態にする。PC の音声入力ジャックに 3.5φ3 極プラグを挿入しない状態でWaveSpectraを開いた場合、録音ボタンをクリックすると「録音できません（No Wave Input device）」と表示されるので、一度WaveSpectraを閉じて開き直す。WaveSpectraの録音時の既定では波形、スペクトル、歪率等の計測結果（「測定ﾓｰﾄﾞ」

が押された状態のとき）が表示されるだけでファイルには保存されない（ファイル保存についてはp.17図24参照）。観測するチャンネルはL/Rボタン（押下で表示が、と変化する）で切替える。

コントロールパネル→個人設定→サウンドの再生→スピーカーのプロパティ→レベル、

またはタスクバー右端のスピーカーアイコンを開いて再生音量を調節する（図 9）。スペクトル画面に1kHz以外の応答が目立たない（図8の80dBレンジ設定では画面に現れない）

範囲でWaveSpectraのレベルメーターの表示がなるべく0dBに近い値となる様にし、「スピーカーのプロパティ」のレベル（図の例では45であるが、この値は個々のPCにより異なる）およびWaveSpectraのレベルメーターの読みを実験ノートに記録する（PrtScでキャプチャを取ること）。スペクトル画面で縦軸の左に表示されている「THD, +N」（註参照）

の値は、この例ではそれぞれ0.00440%、0.03768%である。本実験の目的にはTHD+Nが 0.1%未満であれば十分である。

図9 WaveGeneで0dB正弦波を再生し、コントロールパネルで再生レベルを調節する。

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註：dB（decibel：デシベル）とは、パワーの基準値に対する比の常用対数を 10 倍したもので、電圧、電流、圧力変化等の振幅の場合にはその自乗がパワーとなるため比の常用対数の20倍となる。WaveGene/WaveSpectraでは、スペクトルの成分は最大振幅の正弦波、

rms値は既定では最大振幅の矩形波のパワーを基準値としている。2¹⁰がほぼ10³に等しいことで明らかな通り、2の常用対数はほぼ0.3、すなわちパワーは2倍でほぼ3dB（振幅ならば6dB）の違いとなる。「3dB落ち」、「6dB/Octaveのフィルタ」等と書かれていれば、

整数の3や6ではなくそれぞれ10log102、20log102を意味することに注意する。デシベルについては課題⑦「正弦波合成と音声ディザ」で改めて学修する。

註：THD（total harmonic distortion：全高調波歪）は全ての高調波の電圧実効値の自乗和の平方根と基本波の電圧実効値の比（全ての高調波のパワーの和と基本波のパワーの比の平方根）を百分率で表したもの、THD+N（total harmonic distortion plus noise：全高調波歪＋ノイズ）は高調波と直流以外のノイズを算入したものである。

注意

前節に述べた標本化周波数とビット深度の設定が正しくできていない場合には、図 9 と同じ再生レベルで図 10 の様に 1kHz 以外の応答が無視できないレベルで残るが、これが Windows7のオーディオエンジンの標本化周波数変換の精度である。「THD, +N」の値は、

それぞれ0.00544%、0.22755%とTHDの値が図9とそれ程違わないことから分る様に、変換過程で発生している余計な応答は基本波の周波数の整数倍ではない。THDの値が小さいからと言って応答が正しい訳ではなくTHD+Nの値に注意する必要がある。

図10 再生の「既定の形式」がログイン時の既定の設定の場合

WaveGeneの波形を、（既定の設定では）上限22.05kHzまで単位周波数当りのパワーが周波数によらない「ﾎﾜｲﾄﾉｲｽﾞ」に切替え、再生して、ピーク（Peakをクリック）、平均（Avg:

右の「平均回数」のプルダウンメニューからここでは40分析区間の平均を指定）の表示を追加（図11）すると図12の赤のカーブ（ピーク）が示す様にほぼ19kHzまで平坦な再生・

録音の総合特性を見ることができる。ここでもレベルメーターの読みを実験ノートに記録

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しておく（PrtScでキャプチャを取ること）。「ﾎﾜｲﾄﾉｲｽﾞ」についても情報学実験Ⅰ課題⑦「正弦波合成と音声ディザ」で改めて学修する。

図11 ピーク表示、平均表示の設定

図12 Local PC内蔵サウンドカードの再生・録音の総合特性

再生・録音の総合特性をより正確に見るには、WaveGene/WaveSpectraの設定を次の様に変更する。WaveGeneの波形で「ﾊﾟﾙｽ」（離散化されていない場合のδ関数に相当し、全ての周波数成分を等しく含む）を選び、周波数設定バーの「Hz」を右クリックして「Sample 数(周期)(S)」に変更し、FFTの分析区間と同じ4096を選び（4096/44100秒に1パルス）、

WaveSpectraのFFTメニューの設定で窓関数を「なし(矩形)」（分析区間と周期とが一致する信号では分析誤差を生じない）にする。パルスが波形画面に表示される様に WaveGene では位相を設定し、WaveSpectraではWaveメニューで横軸を倍率x1に設定している（図 13）。

図13は説明用であり、本課題では図13の画面を表示するための作業をする必要はない。

図13ではWaveGeneで生成する正極性のパルスがWaveSpectraの波形画面では負極性で表示されているが、これは内蔵サウンドカードの再生側の問題で（PCの出力端子に極性の正しいアンプとスピーカーを接続した場合、本来スピーカーのコーンが手前に動くべき信号で奥に引っ込むことになるが、本課題の実験には影響しない）、録音側の極性は正しい。

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図13 Local PC内蔵サウンドカードの再生・録音の総合特性

WaveSpectraのSpectrumのメニューで、「横軸(Frequency)」を「リニア」から「Log」

に変更する。WaveGeneの再生を停止して（■をクリック）Wave1の波形メニューで「ﾕｰｻﾞｰ波形」を選び、「ﾕｰｻﾞｰ波形登録」でsweep0dB.wavを開く（図14。註参照）。

図14 「ﾕｰｻﾞｰ波形」の「ﾕｰｻﾞｰ波形登録」でsweep0dB.wavを開く。

註：音声ファイルsweep0dB.wav は、後期の情報学実験Ⅱ課題②「オシロスコープと信号処理」の前半のオシロスコープ編で使用する高速スイープ信号と同じく正弦波（正確には正弦波ではないが）の周波数瞬時値を20Hzから20kHzまで200msで指数関数的に変化させ50msの無音部分を加えた250ms毎に繰返すもので、短時間に音響機器の周波数特性を測定することができる。本課題ではオシロスコープでの計測を目的とはしていないので、

トリガー用の第1波のブーストが無く最大振幅の0dBで記録されている。

WaveGeneの再生ボタン（►）をクリックし、sweep0dB.wavを再生しWaveSpectraを録音の状態にしてピーク表示（操作は図11参照）にする（図15）。図15では「Spectrum」

メニューでレンジを40dBにして見やすくしている。スペクトルのピーク（註に示す通り、

250msを周期として変化する信号であり、250ms間の各周波数応答の最大値）が赤で表示される。100Hzで-10dB、1kHzで-20dB、10kHz で-30dB と-10dB/decadeで周波数と共に応答が低下している様に見えるが、この信号は周波数瞬時値が時間と共に指数関数的に増加する（200msで1000倍。20msでほぼ2倍）ため、周波数の幅を固定して単位時間に含まれるパワーを求めると周波数に反比例するためであり、実際の応答特性は図12、13 で見た通り平坦である。

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図15 sweep0dB.wavを再生してWaveSpectraでのピーク表示で観察する。

注意

以下の作業では、再生・録音のレベルを一切変更しないこと。使用しているインダクタ、

キャパシタには非線形特性があり、特に本実験で使用している積層セラミックの小型キャパシタは電圧と共に容量が低下し、これに伴う共振周波数の変化が無視できないためである。

課題の趣旨からはCR、LR、LCRの順序でデータを取って頂きたいが、作業の進捗状況を見て、LCR回路の作業を優先してもよい。LCR 回路に sweep0dB.wav の信号を加え、

これを WaveSpectra で音声ファイルに保存したものがあれば備考 p.23の「画像合成について」に示す手順でデータを取ることで共振現象について一応の考察をすることが可能なので、この項目だけは必ずクリアすること。

３．CR回路を構成して高域通過のフィルタ動作を確認する。

ブレッドボード上でインダクタの両端をジャンプワイヤで短絡させ（図 2 の例では上段 10列と下段10列）、CR回路を構成する。ブレッドボード上でCRの部分のみを使用してもよいが、以下の作業を通してブレッドボードとPCの入出力端子との結線を共通にするためである。

PCの音声出力より：

黄ジャンプワイヤ→インダクタの開放側（図2の例では上段10列）

青ジャンプワイヤ→抵抗の開放端（図2の例では下段17列）

PCの音声入力へ：

白ジャンプワイヤ→インダクタの開放側（図2の例では上段10列）

赤ジャンプワイヤ→キャパシタと抵抗の接続部（図2の例では下段12列）

黒ジャンプワイヤ→抵抗の開放端（図2の例では下段17列）

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WaveGeneでsweep0dB.wavを再生してWaveSpectraを録音状態にし、L/Rボタン（押下で表示が、と変化する）で観測するチャンネルを切替えて、左右両チャンネルのそれぞれについて画面をキャプチャする（図16、17）。左チャンネルが回路全体への入力電圧、

右チャンネルが抵抗両端の電位差（回路に流れる電流に比例）を示す。

図16 回路全体への入力電圧

図17 抵抗両端の電位差

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図18 図16、17のピークを重ねたもの

図18は、図 16と図17のピークを画像処理で重ねたもので（備考p.23「画像合成について」参照）、周波数が高くなると抵抗両端の電位差は入力電圧に近づき（キャパシタによる電圧降下が小さくなり）、回路全体は高域通過のハイパスフィルタとなっていることを示している。図18は説明用であり、実験中に図18の画像を合成する必要はない。図22（p.15）、

図27（p.19）についても同様である。抵抗両端の電位差が入力電圧より 3dB（ここでも3 は10log102を意味する）低くなる周波数（註参照）が遮断周波数（カットオフ周波数）で、

画素座標からおおよその値は読取ることができる（図9、12、15ではPCのサウンドカード入力に左右のレベル差は無いが、レベル差がある場合には、その分を考慮する）。CR 回路の遮断周波数はキャパシタの静電容量をC 、抵抗の抵抗値をRとするとき、1/(2πC R ) で与えられる。

註：遮断周波数ではキャパシタ（次節のLR回路ではインダクタ）両端と抵抗両端の電位差

（実効値）が等しくなる。両者の位相はπ/2 異なるので、回路全体への入力電圧は抵抗両端の電位差の2倍ではなく√2倍となり、レベル差は6dBではなく3dBとなる。また、遮断周波数では、回路全体への入力電圧と回路を流れる電流（抵抗両端の電位差に比例）との位相差はπ/4となる。

図19は、WaveGeneで「ｻｲﾝ波」を選び、両チャンネルのレベル差が3.0dBとなる周波数の正弦波を再生した例で、リサジュー図形は回路への入力電圧と抵抗の両端の電位差（すなわち回路全体を流れる電流に比例）とに位相の差があることを示している。キャパシタの両端の電位差とキャパシタを流れる電流との位相差はπ/2 であるが、これに抵抗両端の電位差（回路全体を流れる電流と同位相）を加算した全体の電圧と電流の位相差は、この周波数ではほぼπ/4（サウンドカードの入力インピーダンスが十分大きければレベル差が 10log102となる周波数で正確にπ/4となる）となっている。図19は説明用であり、CR回路の課題では「ｻｲﾝ波」を再生する作業を行う必要はない。

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図19 4300Hz正弦波に対するCR回路の応答

４．LR回路を構成して低域通過のフィルタ動作を確認する。

ブレッドボードでインダクタの両端を短絡していたジャンプワイヤを外し、今度はキャパシタの両端をジャンプワイヤで短絡させ（図2の例では下段10列と下段12列）、LR 回路を構成する。

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CR回路と同様に、WaveGeneでsweep0dB.wavを再生してWaveSpectraを録音状態にし、左右両チャンネルのそれぞれについて画面をキャプチャする（図 20、21）。左チャンネルが回路全体への入力電圧、右チャンネルが抵抗両端の電位差（回路に流れる電流に比例）を示す。

図20、21を合成した図22では、周波数が低くなると抵抗両端の電位差は入力電圧に近づき（インダクタによる電圧降下が小さくなり）、回路全体は低域通過のローパスフィルタとなっていることを示している。図18と異なり、2本のカーブは近づいても最後まで同じ間隔（縦軸は対数値であり比が一定）で離れたままである。これはインダクタの中味が巻

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線コイルで、直流に対しても抵抗がある（本実験で使用しているインダクタの直流抵抗は約0.9Ωで、LCR回路で使用している抵抗の10Ωに対して無視し得る値ではない）ためである。CR回路と同様に抵抗両端の電位差が入力電圧より3dB（ここでも3は10log102を意味する）低くなる周波数（p.13註参照）が遮断周波数（カットオフ周波数）で、CR回路と同様に画素座標からおおよその値は読取ることができる（サウンドカードの入力に左右のレベル差がある場合には、その分を考慮する）。LR 回路の遮断周波数はインダクタのインダクタンス（誘導）をL 、抵抗の抵抗値をRとするとき、R /(2πL )で与えられる。

図23は、WaveGeneで「ｻｲﾝ波」を選び、両チャンネルのレベル差が3.0dBとなる周波数の正弦波を再生した例で、リサジュー図形は回路への入力電圧と抵抗の両端の電位差（すなわち回路全体を流れる電流に比例）とに位相の差があることを示している。キャパシタと同様にインダクタの両端の電位差とインダクタを流れる電流との位相差はπ/2であるが、

これに抵抗両端の電位差（回路全体を流れる電流と同位相）を加算した全体の電圧と電流の位相差は、この周波数ではほぼπ/4（サウンドカードの入力インピーダンスが十分大きい場合でも、インダクタの直流抵抗のためレベル差が10log102となる周波数で正確にπ/4とはならない）となっている。図23は説明用であり、LR回路の課題では「ｻｲﾝ波」を再生する作業を行う必要はない。

図23 1480Hz正弦波に対するLR回路の応答

５．LCR回路を構成して共振現象を確認する。

CR回路、LR回路では、キャパシタとインダクタを流れる電流と各素子の両端の電位差との間にはπ/2 の位相差があり（メモリプレーヤがあれば確認できる。備考 p.25「キャパシタとインダクタでの電圧と電流の位相差について」参照）、位相差の符号は両者で逆であるため、キャパシタとインダクタが直列になっている場合には、両者の電位差にはπの位相差、すなわち逆符号の正弦波となる。周波数に関らず同じ実効値の正弦波交流が流れて

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いるとき、キャパシタでは両端の電位差（実効値）は周波数に反比例し、一方インダクタでは周波数に比例する。したがって、素子両端の電位差の実効値が両者で等しくなる（位相差がπなので和は0）周波数が存在し、この周波数ではキャパシタとインダクタを直列にした全体では見かけ上電圧降下が無くなる。これに抵抗が直列に接続されていれば、入力電圧が全て抵抗にかかることになり、この現象が共振（この例は直列共振）でこのときの周波数が共振周波数である。周波数に関らず回路全体に同じ実効値の電圧がかかっているとすれば、共振周波数では流れる電流の実効値が最大となる。CR回路、LR回路それぞれの遮断周波数の積の平方根（インダクタのインダクタンスLとキャパシタの静電容量Cの積の平方根の逆数を2πで割ったもの）が共振周波数となる。

ブレッドボード上でキャパシタの両端を短絡していたジャンプワイヤを外し、LCR 回路として使用する。

注意

LCR 回路においても CR/LR 回路と同様に、WaveGene で sweep0dB.wav を再生して WaveSpectraを録音状態にして、スペクトルを観察するが、本節では他の作業に先立ち「音声ファイル」として保存する。このファイルがあれば、他のデータの取得に失敗したとしても、備考 p.23「画像合成について」に示す様に共振現象についてある程度の考察が可能になる。

WaveSpectraの再生/録音メニューで、「ﾌｧｲﾙへの録音」の項目で、「ﾌｧｲﾙへ同時録音する」

にチェックを入れ（図24 左）、「設定」をクリックし、WaveGeneでsweep0dB.wav を再生状態にする。WaveSpectraの録音ボタンをクリックして録音状態にすると、「Waveﾌｧｲﾙの保存」のウィンドウが開くので（図24右）保存するファイル名を入力して「保存(S)」をクリックする。30 秒～1 分経過したら停止ボタンをクリックし、保存先のフォルダを開きファイルが正しく生成・保存されたかを確認する。確認ができたら、WaveSpectraの再生/

録音メニューで、「ﾌｧｲﾙへの録音」の項目で、「ﾌｧｲﾙへ同時録音する」のチェックを外し、「設定」をクリックする。

図24 ファイルへの同時録音の設定（左）とファイルへの保存（右）

以下、CR/LR 回路での作業と同様に、WaveGene で sweep0dB.wav を再生して WaveSpectraを録音状態にし（ファイルには保存しない）、左右両チャンネルのそれぞれについて画面をキャプチャする（図 25、26）。左チャンネルが回路全体への入力電圧、右チ

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ャンネルが抵抗両端の電位差（回路に流れる電流に比例）を示す。入力電圧の周波数特性を示す図25では、2～3kHz付近でカーブが凹んでいる。PCのサウンドカードの音声出力は負荷によらず一定の電圧（実効値）を負荷に与えられる訳ではなく、ヘッドホン端子の出力インピーダンス（高級DAC、ヘッドホンアンプでは0.2Ω～1Ωであるが、PCのサウンドカードでは50Ω～80Ω）に比べて小さなインピーダンスの負荷（課題の回路では共振点で約 11Ω）に対しては、供給できる電圧は小さな値となる（註を参照）が、本課題で必要な情報は、回路全体への入力電圧と抵抗両端の電位差（何れも実効値）の比であり差ではないので、このことは問題とならない。

註：サウンドカードの信号は交流であるが、例えば1.5Vの電池と50Ωの抵抗が直列になっているモデルを考えて、外部に1kΩの抵抗を接続した場合と10Ωの抵抗を接続した場合の外部抵抗両端の電位差を比較してみなさい。

抵抗両端の電位差の周波数特性を示す図26では、1～2kHz付近がピークに見えるが、図 15 で見た様にスイープ信号を用いているため、本来平坦な特性が-10dB/decade で右下がりに表示されており、これを補正して戻すと（備考 p.27「出力インピーダンスについて」

の図40参照。実験の作業中に補正の画像処理を行う必要はない）ピークは2～3kHzになる。図25、26を合成した図27で2本のカーブが縦軸で見て最も接近した周波数が共振周波数である。

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６．正弦波を再生して、リサジュー図形が直線となる周波数を求める。

本節では、WaveGeneで0dBの正弦波をその周波数を変えながら再生して共振周波数を確認する。WaveSpectraのスペクトルの周波数分解能はFFTメニューの既定である「サンプルデータ数」4096では44100÷4096の約11Hzであり、はじめに「サンプルデータ数」

を32768に変更する（図28左）。リサジュー図形のウィンドウも広げて確認し易くし、必要ならば（リサジュー図形が直線になることを確認する目的では図形全体を枠に入れる必要は無いので）WaveSpectraのWaveメニューで「縦軸(Amplitude)」の倍率：でx1以外

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を選んで拡大する（図28右）。

図28 FFTの分析区間（左）と波形縦軸倍率（右）の変更

WaveGeneのWave1の波形メニューを「ｻｲﾝ波」に変更し、振幅が0dBとなっていることを確認する。周波数の値は整数以外も含め、プルダウンメニューに無い値も直接入力ができるが、分解能の関係から1Hz 未満の設定は無意味である。リサジュー図形が直線となる周波数を探索し（図29、PrtScでキャプチャすること）、このときの両チャンネルのレベルを記録する（図30）。図30の値は、図2の回路での例であり、実験対象の個別の回路（註を参照）でこの周波数に近い値となるとは限らない。

註：インダクタは全員同じ公称値1mHのものを使用しているが、キャパシタは数種類のものが共振回路のシリアル番号とは無関係にランダムに割当てられている

図29 リサジュー図形が直線となる周波数を求める。

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図30 リサジュー図形が直線となる周波数と両チャンネルのレベル

７．正弦波を再生して、両チャンネルのレベル差が共振周波数でのレベル差+3.01dBとなる周波数を求める。

本節の作業は表紙交付基準には含まれていないが、半値幅についてレポートの記述には必ず含めること。実験時間中にデータを得られなった場合は、５節冒頭で保存した音声ファイルを用い備考p.23画像合成についての要領で下記のf1、f２を求めること（p.25図35 参照）。

WaveGene で再生する「ｻｲﾝ波」の周波数を変えながら録音状態のWaveSpectra で左右のチャンネルを交互に切替えて両チャンネルのレベル差を記録し、前節で求めた共振周波数における両チャンネルのレベル差（図30 の例では 1.21dB）に3.01dB（パワー比2：1 に相当するデシベル値）を加えた値（図30 の例では 4.22dB）となる周波数を探索する。

この様な周波数は共振周波数の両側に1個ずつあり、これをf1、f２（f1 < f２）とするとき、

f２－f1 を半値幅（通常、半値全幅full width at half maximum:FWHMを言う）といい、

共振周波数をf０とすればf1×f２＝f０２の関係がある。f０ / (f２－f1 ) は共振のピークの鋭さを示す量で、Q値（quality factor）という（註参照）。

f1、f２の探索では、はじめにレベルメーターの読みで両チャンネルのレベル差が概略で所定の値（図30の例では4.22dB）に近くなる周波数をWaveGeneに設定した後、レベルメーターではなく、測定モードでスペクトル画面左上に表示されるdB値で所定のレベル差となる周波数を正確に求める。p.22 図31、32 にf1、f２における右チャンネル（抵抗両端の電位差）の測定モードでの画面を示すが、左右両チャンネルのそれぞれについて画面をキャプチャしておくこと。

註：Q 値の本来の意味は共振周波数において 1 周期に系に蓄えられるエネルギーと散逸されるエネルギーとの比であるが、本課題で求めたf０ / (f２－f1 ) は厳密にはこの定義の Q 値に等しくはならない。共振周波数の決定とは異なり、f1、f２の探索ではp.18で述べたPC サウンドカードの出力インピーダンスの問題に加えて入力インピーダンスの問題、また p.11の注意で述べたキャパシタの容量変化があるため共振周波数でのレベル差+3.01dBとなる周波数を求めても上記定義の Q値は得られない。サウンドカードの入出力インピーダンスの影響はf1とf２で等しくなり、容量変化の影響のみとなるので前節で求めたf０と本節で求めた f1、f２との間に f1×f２＝f０２の関係はほぼ正確に成り立つ。理想的な回路ではインダクタのインダクタンス（誘導）をL 、キャパシタの静電容量をC 、抵抗の抵抗値をR

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とするとき、Q値は、√( L /C ) /R で与えられる。実際の回路部品では、分母のR^は抵抗の抵抗値にインダクタの直流抵抗を加えた値となる。

図31 f1における抵抗両端の電位差

図32 f２における抵抗両端の電位差

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備考

レポート作成について

レポートの作成に当って、以下の項目についての記述を含めること。

● 実験に使用した共振回路で使用しているキャパシタの静電容量の推定。

● 半値幅の考察（p.21参照）

● 図 31、32 をキャプチャできた場合にはf1、f２における左右両チャンネルの位相差【位相差をφとすると、リサジュー図形の楕円形でY 軸切片の値と上端の値との比が sin φ である。】

画像合成について

図18、22、27は回路全体への入力電圧と抵抗両端の電位差の周波数特性を画像処理で重ねたもので、例えば次のフリーソフトを用い以下の手順により簡単に得られる。

IrfanView

http://www.irfanview.info/files/iview441.zip (本体：2015/11/29版)

http://www.irfanview.info/files/irfanview_plugins_441.zip （プラグイン：同）

yimg

http://homepage2.nifty.com/galaxystar/yimg.htm （紹介ページ）

http://homepage2.nifty.com/galaxystar/download/yimg550e.zip （2016/01/01版）

５節で保存した音声ファイルから共振周波数、半値幅を求めるには次の様にする。

● 保存した音声ファイルをWaveSpectraの「Waveﾌｧｲﾙを開く」（ボタン）で開く。

● FFTメニューの「サンプルデータ数」を8192にする。【スイープ信号なので６節で設定した32768の様な大きな値にはできない】

● WaveSpectraのウィンドウサイズを最大にし、波形部分を縦に縮めてスペクトル部分の画面をできるだけ大きくする。

● Peakをクリックしてピーク表示にして、再生ボタンをクリックし、左右両チャンネルの応答を切替えて表示し、それぞれ PrtSc でキャプチャしファイルに保存する（保存せず IrfanViewで直接Edit→Pasteしてもよい）。

● IrfanView で左右両チャンネルのスペクトルのキャプチャ画像を開き、Image→Show channel→Redで赤成分のみ取り出しbmpで（jpgは赤単独画像には不向き）保存する。

● 2枚の画像をyimgのファイル(F)→開く(O)で順に開き、画像合成(C)→画像合成-自動(A) で「加算」にチェックを入れ、合成画像1、合成画像2で開いた画像を指定し、OKをクリックし、ファイル(F)→保存(BMP,JPG,TIF,PPM)(S)で保存する（図33）。

● IrfanViewで開き、共振点付近の領域（図34左の例では縦軸は－20dB～－40dB、横軸は1kHz～4kHz）を指定し、Edit→Crop selection(Cut out)でクロップし保存する。

● IrfanView のカーソルで縦軸横軸のグリッドの画素座標を読取り、Image→ Resize/Resample…（図 34 右）で両軸の値を直読できる画面サイズに変更する。この例では、Preserve aspect ratio[proportional]のチェックを外し、縦軸を25pixels/dB、横軸

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を250pixels/Octaveとなる様に拡大している。

● IrfanViewで拡大した画像を開き、カーソルで画素座標を読取り、2本の曲線の Y座標の差の最小値（このときのX座標が共振周波数を与える）を求める。この例では最小値は 30画素（1.2dBに相当）、X座標は355付近である。

● カーソルで画素座標を読取り、2本の曲線のY座標の差が、最小値に3dB（3.01とするだけの精度は無い）分の75画素を加えた105画素となる点を探索する（図35）。

● カーソルで読取ったグリッドの座標は、X座標10が1kHz、510が4kHz、Y座標は32 が－20dB、532が－40dBとなっている。図35左のf1ではX座標217、右のf２ではX 座標491であり、これを周波数に戻すと、それぞれ2^0.828、2^1.924から1775Hz、3795Hz となる。共振点のX座標はこれから（217＋491）÷ 2 = 354で相当する周波数は2^1.376 で2595Hzとなる。この付近では1画素が約7Hzで、FFTそのものの分解能も8192サンプルでは5Hz強あり、約2600Hzということになる。

図33 サンプルデータ数8192で分析して画面キャプチャしたものを合成

図34 共振点付近をクロップして、画素座標から値を直読できるサイズに変更する。

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図35 カーソルで画素の座標を読み取り、f1（左）f２（右）を探索する。

キャパシタとインダクタでの電圧と電流の位相差について

説明用の図19、23ではCR/LR回路全体への入力電圧と抵抗両端の電位差との位相差を示していた。純粋にキャパシタまたはインダクタ両端の電位差と抵抗両端の電位差（回路全体を流れる電流と同位相）とを測定できれば、両素子では電圧と電流でπ/2 だけ位相がずれていることを観測できるが、残念ながらPCの入出力端子ではGNDが共通であるため、

その様な接続はできない（註参照）。もちろんPCとは独立な信号出力機器（USB接続のヘッドホンアンプでは、ヘッドホン端子のGNDはPCのGNDと共通の場合がふつうであり L、C 両端の電位差を同時に計測することはできない）があれば可能であり、例えば WaveGene で生成した正弦波をファイルに保存し、これをメモリプレーヤに転送して再生すればよい。

註：演習室PCのPC相互のGND 間の抵抗は2～4Ω程度であり、2台のPCを（一方の PCを出力、他方のPCを入力として）用いてもL、C両端の電位差を同時に計測することはできない。本実験では抵抗の開放側をGNDとして抵抗両端の電位差を計測したが、逆に次の様にインダクタの開放端をGNDとしてLC両端の電位差を計測することはできる。

PCの音声出力より：

青ジャンプワイヤ→インダクタの開放側（図2の例では上段10列）

黄ジャンプワイヤ→抵抗の開放端（図2の例では下段17列）

PCの音声入力へ：

黒ジャンプワイヤ→インダクタの開放側（図2の例では上段10列）

赤ジャンプワイヤ→キャパシタと抵抗の接続部（図2の例では下段12列）

白ジャンプワイヤ→抵抗の開放端（図2の例では下段17列）

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図36は、この接続でLC両端の電位差が共振周波数で減少（インダクタの直流抵抗のため 0 とはならない）する様子を示す。本註は説明用であり、課題では上記の接続による計測作業を行う必要はない。

図36 回路全体への入力電圧（白）とLC両端の電位差（シアン）

図37、38はあるポータブル録音機で1kHzの正弦波を再生してCR回路、LR回路にそれぞれ加えた例で、左チャンネルが抵抗両端の電位差、右チャンネルがキャパシタまたはインダクタ両端の電位差を示している。図37のCR回路では、正しく両座標軸を軸とするきれいな楕円を描いているが、図38のLR回路では楕円の軸は座標軸から少し傾き、しかも少しいびつな形をしている。これは図22で2本の曲線が低域でも一定の間隔を保っていたのと同様、インダクタの直流抵抗の影響である。

図37 CR回路でキャパシタ（右チャンネル）と抵抗両端（左チャンネル）の電位差

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図38 LR回路でインダクタ（右チャンネル）と抵抗両端（左チャンネル）の電位差

出力インピーダンスについて

音声出力の出力インピーダンスが回路のインピーダンス（共振点を含む周波数 20Hz～

20kHz で）に比べて十分小さい場合には、回路全体にかかる電圧（実効値）が一定の定電圧源とみなすことができ、共振周波数においても回路に供給される電圧が減少することなく、抵抗両端の電位差（実効値）は共振周波数で最大となるきれいな曲線を描く。図39は、

あるヘッドホンアンプ（出力インピーダンス0.65Ω）を信号源に用いて、回路への入力（白）、

抵抗両端（赤）、LCの両端（シアン）を合成したもので、（スイープ信号のため、スペクトル画面の表示は-10dB/decade で右下がりとなる）図40は図39 の50Hz から下を切って +10dB/decadeの補正（註を参照）をして本来の特性表示にしたものである。図40が示す通り、周波数を対数で目盛った場合には共振周波数の両側で応答は対称になる。

註：例えば、画素座標を読取って垂直方向傾きの角度を計算してペイントで処理すればよいが、ペイントで指定できる角度は度単位の整数のみであり正確を期すためには画像処理ソフトを用いる。フリーでリムーバブル媒体に置いて実行できるポータブル版のGIMP は以下のURLからダウンロードできる。

http://portableapps.com/apps/graphics_pictures/gimp_portable

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図39 出力インピーダンスが十分小さな場合

図40 画像処理で +10dB/decadeの補正をした例

逆に、出力インピーダンスが回路のインピーダンス（測定範囲の周波数 20Hz～20kHz で）に比べて十分大きい場合には、回路全体に流れる電流が一定の定電流源とみなすことができ、各素子両端の電位差（以下、何れも実効値）もそのインピーダンスに比例する。

図41～47は、入出力共に平衡端子（信号端子がGNDから独立）を持つあるオーディオインタフェースを用いた例で、LCR による共振では、抵抗両端の電位差が一定（スイープ信号によるスペクトル画面の -10dB/decadeを考慮して）で、LCR回路全体にかかる電圧が共振点で最小となる。図41は、LCR回路の各素子両端の電位差と全体にかかる電圧を合成したもので、白（White）がLCR回路全体（whole）への入力、黄（yeLlow）がインダクタL、シアン（Cyan）がキャパシタC、赤（Red）が抵抗Rの各素子両端の電位差を示している。黄とシアンの交わる周波数が共振周波数で（註参照）、黄、シアンのラインが赤のラインと交わる点がそれぞれLRフィルタ、CRフィルタの遮断周波数を示し、2つの遮断周波数の積が共振周波数の自乗になる。

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図41 LCR直列回路の入力と各素子両端の電位差

図42は、図40と同様に図41の50Hzから下を切って +10dB/decadeの補正をして本来の特性表示にしたものである。

図42 図41に＋10dB/decadeの補正をした例

註：インダクタはコイルの巻線が直流に対しても抵抗を持つため、黄とシアンが交わりインダクタ両端の電位差とキャパシタ両端の電位差（実効値）が等しくなる周波数は正確には共振周波数と一致しないが、本課題で用いている部品ではその差は2Hz程度である。

図 43、44 は、このインタフェースによるCR、LR回路における各素子両端の電位差を合成したもので（色と素子の対応は図41と同じ）2本のラインが交わる点がフィルタの遮断周波数である。

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図43 CR回路のキャパシタ、抵抗の両端の電位差

図44 LR回路のインダクタ、抵抗両端の電位差

図41、42、44でインダクタの両端の電位差を示す黄のラインが低域で直線からずれているのは巻線の直流抵抗のためで、キャパシタ、インダクタについてフィルタ回路（CR/LR）

での電位差と共振回路（LCR）での電位差を補色にして重ねると、図45の様にキャパシタでは一致して白のラインになるのに対し、図46のインダクタでは低域の直流抵抗とインピーダンスが同程度となる周波数以下では青（共振回路）と黄（LRフィルタ）のラインに分れている。

また、LCR回路、CR回路、LR回路での抵抗両端の電位差をそれぞれ赤、緑、青の三原色で合成すると図47の様に、低域でLCR回路とCR回路のラインは重なって黄となるが、

キャパシタが入らないLRの青だけがずれている。高域でもインダクタのインピーダンスは 100Ω程度であるのに対し、低域でキャパシタのインピーダンスは 1kΩを超え、もはや定電流源とはみなせないことによる。

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図45 CR回路、LCR回路のキャパシタ両端の電位差を重ねたもの

図46 LR回路、LCR回路のインダクタ両端の電位差を重ねたもの

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図47 CR、LR、LCR回路の抵抗両端の電位差を重ねたもの