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第 2 回 10 月東北大本番レベル模試 （2018 年 10 月 21 日実施)
採点基準 数学（文科系・理科系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（200点満点）
第1問（50点満点）
(1)（配点22点）
dA, ,dB dCをそれぞれqとtで表して12点（各4点）
答えに10点 (2)（配点28点）
Dをcosqとtで表し，t 0のときに最小値となることを述べて7点
bの値によって場合分けを行い，それぞれで最小値をとるcos2qの値を示して13点
答えに8点
第2問（50点満点）
(1)（配点28点）
ケーキをx個，プリンをy個のように文字を設定し，代金の関係から立式，整理して4点
x y, の不定方程式とみて整数解をtなどの文字を用いて表して10点
個数の条件から上記のtの値の範囲を限定し，さらにtを求めて6点
答えに8点 (完答) (2)（配点22点）
(1)と同様に立式し，整理して4点
不定方程式の整数解をtなどの文字を用いて表して6点
(1)と同様にtの値の範囲を限定し，これを満たす整数tが存在しないことを述べて12点
第3問（50点満点）
(1)（配点25点）
n回目にはじめて 3 の倍数となるときの(n1回目からの)推移とそれぞれの確率について述 べて11点
P(1)を求めて6点
P2)を求めて8点
2/4 (2)（配点25点）
n3のとき，n回目にはじめて3の倍数になるときのそれぞれの回の目の出方について説明 できて8点
n3に対して，P n )を求めて12点
n1
,
2に対しても上記で求めたP n )が成り立つことを述べて5点第4問（50点満点）
(1)（配点20点）
f x( )の導関数を求め，さらに因数分解を行って5点
f x( )の増減について述べて5点
極大値，極小値に10点 (各5点) (2)（配点30点）
a 1のときのf x( )の最大値を検証して10点
1 a0のときのf x( )の最大値を検証して8点
0aのときのf x( )の最大値を検証して6点
答えに6点
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【理系】（300点満点）
第1問（50点満点）
各次数の係数と解を比較し，4つの等式を立式して20点 (各5点)
pを求めて15点
a b, の満たす2次方程式を求めて5点
4つの解を求めて10点 (完答)
第2問（50点満点）
(1)（配点25点）
nとanの偶奇の対応関係を正しく述べて7点
nが奇数，偶数であるときに場合分けし，それぞれに対してan1とanが互いに素であることを 述べて14点 (各7点)
証明の結論を述べて4点 (2)（配点25点）
a1
,
a2, , , ,a3 a4 a5 a6をそれぞれ7で割った余りについて述べて6点 (各1点) an6とanをそれぞれ7で割った余りが等しいことを述べて9点
答えに10点
第3問（50点満点）
(1)（配点17点）
Aの箱に入っている同じ番号を区別して考えたときの事象の総数を求めて5点
P2)
,
P( )3 を求める説明と答えに12点（各6点）(2)（配点33点）
(i)（配点12点）
xy kとしたときのxy zとなるzの場合の数をkで表して6点
答えに6点 (ii)（配点21点）
x yのとき，xykが奇数か偶数で場合分けを行い，それぞれxy zとなるカードの 選び方が何通りとなるかを導いて12点（各6点）
途中計算と答えに9点
第4問（50点満点）
(1)（配点16点）
点Pが直線AI上，平面OBC上にある条件について求めて2点
※点Qが直線BI，平面OCA上にある条件，点Rが直線CI，平面OAB上にある条件を求め
てもよい。
OP,OQ,OR
をそれぞれa b g, , , , ,
a b c
で表して6点 (各2点)
必要条件を求め，十分性を確認し，答えを求めて8点
4/4 (2)（配点34点）
ABC, PQR が相似であることを述べ，面積比をaで表して6点
四面体OABC,O PQR の底面をそれぞれABC, PQR とみたときの高さの比を求めて8点
W
V をaで表して4点
aの関数W
V の0a 1
3における増減を正しく調べて12点
答えに4点
第5問（50点満点）
(1)（配点21点）
aをzで表し，aが実数であることからzの満たすべき条件z z
z z
4 4
を導いて7点
zの満たすべき条件 (z z
,
z 0 または |z =| 2) を求めて7点 図示できて7点 (2)（配点29点）
極形式を利用して，C1,C2上の点をそれぞれパラメータ表示して14点 (各7点)
C1,C2が同じ曲線であることを説明して7点
x y, が満たす関係式を求めて8点
第6問（50点満点）
(1)（配点15点）
f x( ), ( )f x を求めて3点
f x( )の増減について述べて5点
( ) ( )
,
lim ( ) ,lim ( )x x
f f f x f x
0
1 0 0 を述べて3点 (各1点)
グラフの概形をかいて4点 (2)（配点10点）
Cと
l
の1x aにおける共有点のx座標を求めて3点 pの値の範囲を求めて7点 (3)（配点25点）
S1,S2およびSを求める積分の式を立式して5点
Sをpで微分し，式を整理して7点
d
dpS0となるpの値でSは最小値をとることを述べて5点
途中の計算と答えに8点
