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第 1 回 7 月東北大本番レベル模試 （2019 年 7 月 7 日実施)
採点基準 数学（文科系・理科系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（200点満点）
第1問（50点満点）
(1)（配点15点）
内心をIとしたとき，△IBC, ICA, IAB△ △ それぞれの面積を与えられた長さで表して9点 答えに6点
(2)（配点15点）
A
∠ 内の傍接円の中心を
IAとしたとき，△I CA, I AB, I BCA △ A △ A それぞれの面積をrAと 三角形の辺を用いて表して7点
答えに8点 (3)（配点20点）
A B C
, , , r r r r 1 1 1 1
をそれぞれS a b c, , ,で表して10点
正しく証明できて10点
第2問（50点満点）
(1)（配点15点）
すべての取り出し方の総数を求めて3点 X =Yとなる取り出し方の数を求めて9点 答えに3点
(2)（配点20点）
場合分けを行い，適する場合に対してそれぞれ何通りあるかを求めて12点(各4点) 不適である場合をすべて論述できて4点
答えに4点 (3)（配点15点）
(*)の下で4の倍数となる確率を求めて4点 条件付き確率を求める立式と答えに11点
2/4 第3問（50点満点）
(1)（配点10点）
Cとlが異なる2点で交わることを2次方程式が異なる2つの解をもつことと言い換え，判別 式が正となることの説明と立式に7点
答えに3点 (2)（配点20点）
Q,Rのx座標をα β, のように表し，PQ,PRをそれぞれa, ,α βで表して7点 解と係数の関係から，上記のα β, に対してα+β αβ, を求めて3点
答えに10点 (3)（配点20点）
a2についての平方完成の式変形を行って5点 PQ PR⋅ を最大とする
a
の値に2点面積を上記のα β, に対して(β−α)3で表して6点 上記のα β, に対して(β−α)2をaで表して2点 答えに5点
第4問（50点満点）
(1)（配点25点）
CD : HD=(1−s) :s (sは実数)のようにおき，OHをOA,OBで表して5点 CDをOA,OBで表して3点
OH CD• =0よりsをtで表して12点(sの分母が0にならないことの確認がない場合は10点) 答えに5点
(2)（配点25点）
tの範囲を述べて5点 OCD
△ をtと△OABで表して6点 OCD
△ が最大となるときのtの値を求めて7点 途中の計算と答えに7点
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【理系】（300点満点）
第1問（50点満点）
(1)（配点15点）
A( , ),B( , ) α α
2β β
2 のように表し，2本の接線の直交条件から，αβ = −14 を求めて7点 途中の考え方と答えに8点
(2)（配点35点）
APB
△ の外接円の中心座標を上記のα β, で表して5点 点Qのy座標を上記のα β, で表して6点
点Qの軌跡を求めて（答えに）8点 面積を上記のα β, で表して8点 途中の計算と答えに8点
第2問（50点満点）
(1)（配点25点）
すべての場合の数を求めて5点
n≥3のとき，Xn =18となる事象を排反な事象に分割して5点
n≥3のときとn=2のときにXn =18となる確率をそれぞれ求めて10点（各5点）
答えに5点 (2)（配点25点）
Xnが15の倍数になる目の出方について説明できて5点 余事象で考える方針を立てて5点
余事象について，どのような事象かを記述できて8点 途中の計算と答えに7点
第3問（50点満点）
(1)（配点8点）
a=gA b, =gBのようにおき，L=gABとなる根拠を正しく説明できて4点 証明できて4点
(2)（配点20点）
a=5A b, =5Bのようにおいたとき，A B, の不定方程式を導いて8点 上記の不定方程式を満たすA B, の値の組を求めて7点
A B, が互いに素なもので絞り，答えを求めて5点 (3)（配点22点）
(n −n)=( n+ )( n − n− )+
3 3 2
3 3 1 9 3 8 8を導けて7点
anとbnの最大公約数の最大値は8となることを示して5点 n=8k+5としたとき，anとbnをkで表して4点
Lの最小値を求めて3点 答えに3点
4/4 第4問（50点満点）
平面αの方程式をax+by+cz+d =0のようにおき，通る点の条件から
α
の方程式を a d t, ,で表して10点αの法線ベクトルをtを用いて表して10点 Tの座標をtで表して6点
Bからxy平面に下ろした垂線の足をHとしたとき，BTが最小になるのは，HTが最小にな るときであることを述べて5点
HT2の増減を調べ，t = −1で最少であることを述べて10点 BTを最小とするTの座標（答え）に4点
BTの最小値（答え）に5点
第5問（50点満点）
(1)（配点15点）
, ,
a=α+β+γ b=αβ+βγ+γα c=αβγのようにおき，条件(I)よりa b c, , がすべて実数で あることを示して8点
, ,
α β γが実数係数の3次方程式の解であることを述べ，α β γ, , のうち少なくとも 1つは実 数となることを述べて7点
(2)（配点35点）
, cos isin , cos isin ( )
α= −1 β = θ+ θ γ = θ− θ 0<θ <π などと条件にあうように設定して 10点
三角形ABCの面積S( )θ を
θ
で表して8点S( )θ の増減を調べ，S( )θ が最大となる
θ
を求めて10点答えに7点
第6問（50点満点）
(1)（配点10点）
面積，定積分の答えに10点(各5点) (2)（配点40点）
球
B
が動きうる部分の体積を，三角柱の底面からs (0≤ s≤6)の距離にある平面との共通部 分の面積から求めると考え，柱体部分の1≤s ≤5と高さにより変化する0 ≤s≤1 5, ≤s≤ 6 にわけて考える方針を立てて5点柱体部分の1≤ s≤ 5の平面との共通部分の面積を求めて12点
高さにより変化する0 ≤s≤1 5, ≤s≤6の部分の平面との共通部分の面積をt(=1−s)で表 して15点
途中の計算と答えに8点
