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2022 年第 1 回北大本番レベル模試
採点基準 数学（文系・理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（150点満点）
第1問（40点満点）
(1)（配点8点）
直線ABの方程式に4点
答えに4点 (2)（配点12点）
S t( )をtを用いて表して4点
y=S t( )のグラフに8点(不備に対しては1点ずつ減) (3)（配点20点）
2 1 t t
- = 4となるt(場合分けの根拠となるt)を求めて4点
最大値をとる位置の3つの場合分けに4点
上記の3つの場合分けに対してそれぞれ最大値を求めて12点(各4点)
第2問（35点満点）
(1)（配点12点）
bn 1+ をbnを用いて表して4点
{ }bn の一般項を求める計算と答えに8点 (2)（配点23点）
{an}の一般項に3点
n
k 1
k
å
= を求めて4点 n k
k 1
k 3
=
å
⋅ を求める計算と答えに12点 答えに4点
2/4 第3問（35点満点）
(1)（配点7点）
確率を求める計算に3点
答えに4点 (2)（配点15点）
r r1, ,2 r3の 3 つの数の組合せが{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }0 1 2 0 1 3 0 2 3 1 2 3 となる確率をそれぞ れ求めて12点(各3点)
答えに3点 (3)（配点13点）
r r1, ,2 r3のうちいずれか2つが同じ数であり，残りの1つが異なる数である事象をEとしたと き，Eが起こる確率を求めて3点
X1, ,X2 X3がすべて異なる数である事象をFとしたとき，事象EÇFを正しく記述して3点
事象EÇFが起こる確率を求めて3点
答えに4点
第4問（40点満点）
(1)（配点20点)
2つの曲線の方程式を連立して，yを消去し定数を分離した形で表して4点
上記の 3次方程式の解を曲線y=x3 +5x2 +3xと直線y=aの共有点の個数で考える方針に 4点
f x( )=x3 +5x2 +3xとおいて，f x( )の増減を調べて8点
aの値に4点 (2)（配点20点）
2曲線の共有点のx座標を求めて4点
曲線C1とx軸の交点の座標を求めて4点
C1とC2で囲まれた部分のうち，y≧0を満たす部分の面積を求める式を立てて4点
答えに8点
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【理系】（150点満点）
第1問（30点満点）
(1)（配点6点）
AB , AC ,AB
⋅ ACを求めて3点
答えに3点 (2)（配点6点）
n⋅AB =0 n,
⋅AC =0からs t,に関する等式を求めて3点
答えに3点 (3)（配点18点）
四面体ABCDの
ABCを底面とみて，
ABCの重心をGとするとき，高さがGDであること を述べて3点 上記のGの位置ベクトルを求めて2点
点Dの座標を求めて6点
線分GDの長さ，
ABCの面積をそれぞれ求めて4点(各2点) 答えに3点
第2問（30点満点）
(1)（配点4点）
答えに4点 (2)（配点11点）
{ }bn の一般項を求めて8点
答えに3点 (3)（配点15点）
log log log log
n n
n
4 2
a n 3
3 3
= + +
ì ï ï í ï ï î
-æ ö ç ç ÷ çè ø ÷ ÷ ü ï ï ý ï ï þ
まで求められて5点
logan
n を極限が求められる形まで変形できて2点
log lim
n
n 0 n
¥ = を証明して5点
答えに3点
第3問（30点満点）
(1)（配点6点）
x = y = zとなる組( , , )x y z の個数に3点
答えに3点
4/4 (2)（配点12点）
条件を満たすのがx = y = 0またはx = y = zのときであることを述べて3点
x = y = 0のときの組( , , )x y z の個数を求めて3点
x = y = zのときの組( , , )x y z の個数を求めて3点
答えに3点 (3)（配点12点）
xy = yz,yz = zx,zx = xyがいずれも成り立つ組( , , )x y z の個数を求めて3点
xy = yz,yz = zx,zx = xyがいずれも成り立たないx y z, , の条件を求めて3点
xy = yz,yz = zx,zx = xyがいずれも成り立たない組( , , )x y z の個数を求めて3点
答えに3点
第4問（30点満点）
(1)（配点12点）
x + y - x - y- | x - y | = 02 2 の絶対値を外してそれぞれの円の中心と半径がわかる式まで変形
しして6点(各3点)
x + y - x - y- | x - y | = 02 2 の表す図形Eを図示して3点
Dを図示して3点(上記Eの図示がない場合，Dが正しければ6点) (2)（配点18点）
ax+ =y kのようにおいて，Dとこの直線が共有点をもつkの値の範囲を求める方針に3点
aの値によるDとの共有点の位置の場合分けを正しく行えて6点
上記の場合分けにおいてそれぞれ最大値を求めて9点(各3点)
第5問（30点満点）
(1)（配点6点）
f x'( )を求めて2点
{ ( )}f x 2 -{ '( )}f x 2の値を求め，証明できて4点 (2)（配点6点）
点
P
における接線の方程式を求めて3点 答えに3点 (3)（配点18点）
QHの長さを絶対値を外した形で求めて3点
Vをtの式で表して3点
Vをuの式で表して3点
uのとり得る値の範囲を求めて2点
V(または3V)をuの関数とみたときの増減を調べて4点
答えに3点(ただし，uのとり得る値の範囲を求めていないものはここの加点なし)
