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2020 年第 2 回 8 月京大本番レベル模試 （2020 年 8 月 30 日実施)
採点基準 数学（文系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（150点満点）
第1問（30点満点）
Iが線分ABを見込む角が常に3π
4 となることを述べて4点 Iが線分ABを弦とする円の弧AB上にあることを述べて4点
上記の円の中心をOとするとき， AOB 2
∠ = π を述べ，Iの軌跡を図示して8点
上記のAB上の任意の点Jに対して，線分ABを直径とする円と直線OJとの交点をCのように 定めたとき，Jが三角形ABCの内心となることを示して10点
Iの軌跡Kを求めて2点 曲線Lの長さを求めて2点
※解答解説では「線分ABを固定した場合」を載せておりますが，例えば「点Cを固定した場合」など 視点の異なる別の解答については，以下の基準をもとに採点してあります。
3点A,B,Cの座標設定をして5点
点Iの座標を上記の設定のもとで求めて15点 Lの長さを求めて10点
第2問（30点満点）
経路図を利用する方針に4点
10回の操作後に金貨が11枚となっている場合の数を求めて2点
10回の操作後に金貨が1 3 5 7 9, , , , 枚となっている場合の数を求めて20点(各4点) 答えに4点
2/4 第3問（30点満点）
(1)（配点12点）
A ,B ,C ,D (i i i i i=0 1 2, , ,⋯⋯)の位置ベクトルをai, , ,b ci i diのように設定して2点
0 1
A A を3 1: に内分する点の位置ベクトルを求めて8点 残りの証明に2点
(2)（配点18点）
点Gの位置ベクトルがak +bk +ck +dk
4 であることを示して6点
k k
L = L− 1
1
3 を導いて4点 Snを求めて4点
答えに4点
第4問（30点満点）
a=1のときを示して2点
a≥3のとき，xが偶数であることを示して2点 x+1とx−1が互いに素であることを示して14点
x+1とx−1を互いに素な奇数を用いて，それぞれ3乗の形で表して6点 残りの証明に6点
第5問（30点満点）
(1)（配点10点）
CとEは点Aを共有することを示して2点
AにおけるCとEそれぞれの接線の傾きが等しいことを述べて6点 証明の結論を述べて2点
(2)（配点20点）
CとEの共有点の座標を求めて8点
不等式で与えられた領域を図示し，B( ,0 −1)に対し∠AOB = 2π
3 を述べて6点 Sの計算と答えに6点
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2020 年第 2 回 8 月京大本番レベル模試 （2020 年 8 月 30 日実施)
採点基準 数学（理系）
【共通事項】
３．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ４．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【理系】（200点満点）
第1問（30点満点）
Iが線分ABを見込む角が常に3π
4 となることを述べて4点 Iが線分ABを弦とする円の弧AB上にあることを述べて4点
上記の円の中心をOとするとき， AOB 2
∠ = π を述べ，Iの軌跡を図示して8点
上記のAB上の任意の点Jに対して，線分ABを直径とする円と直線OJとの交点をCのように 定めたとき，Jが三角形ABCの内心となることを示して10点
Iの軌跡Kを求めて2点 曲線Lの長さを求めて2点
※解答解説では「線分ABを固定した場合」を載せておりますが，例えば「点Cを固定した場合」など 視点の異なる別の解答については，以下の基準をもとに採点してあります。
3点A,B,Cの座標設定をして5点
点Iの座標を上記の設定のもとで求めて15点 Lの長さを求めて10点
第2問（30点満点）
経路図を利用する方針に4点
10回の操作後に金貨が11枚となっている場合の数を求めて2点
10回の操作後に金貨が1 3 5 7 9, , , , 枚となっている場合の数を求めて20点(各4点) 答えに4点
4/4 第3問（35点満点）
(1)（配点15点）
lとEの接点をパラメータ表示し，lの方程式を求めて2点 dl を求め，絶対値記号を外して①式まで整理して7点 a2 +b2 ≠0のときのM m, を求めて4点
答えに2点 (2)（配点20点）
M−m=2となる条件をa2 +b2 =1に言い換えて2点 cos cos cos
a b β −α α β
+ = +
2 2
1 8
2 2 2 まで変形して10点 a2 +b2 =1となる条件をcosβ−αcosαcosβ
=0
2 2 2 と言い換えて2点 ,
α βの条件を求めて6点
第4問（35点満点）
aをxで表して4点
上記のxの関数をf x( )とおいたとき，f x'( )を求めて10点 ( )
f x の増減を調べて5点 lim ( ),lim ( )
x x
f x f x
→∞ → −∞
をそれぞれ求めて8点(各4点)
答えに8点
第5問（35点満点）
(1)（配点10点）
( )
n n n n n n n n
A+ B −A B+ = − A B− −A− B
1 1 1 1 を示して5点
答えに5点 (2)（配点25点）
xnをAn，Bnで表して15点 ynをAn，Bnで表して8点 答えに2点
第6問（35点満点）
X5 −31の形の因数分解を示して5点
②の式を導いて10点
31の5乗根を複素数平面に図示し，k=1 2 3 4, , ,に対して③が成り立つことを述べて10点 残りの証明に10点
