( 菫）

(1)

2変数2次関数

z=(A((f)+m),(f)÷厨)+(5, (¥)M)

=(A(¥) , (f))+(A(¥) ,a)+(Aa, (f))+(Ad,d)

＋(5, ( ))十(5,画）

ここで

(A(¥) ,d)=((¥) ,tAd)=((f) ,Ad)

であることを用いると

≧=(A(f) ｡ (f))+2(Ad,(f))+(5# (f))

+(Ad,a)+(b,d)

=(A(f) , (f))+(2Aa+5, (¥))f(AM)+(5,&)

三

｜転置行列．z次澄式･座標の平行移動 7／14

NobLIvLIki丁OgE

2変数2次関数の標準形

（f)=(1)‐

=：≠0すなわちAが正則であるので今‑、

〆

: Y

(

１

1

l

l l

１１２

１−２１

ここでdet(A) ^二＝二

菫）

^３

α=̲A‑'5=−−^→

2 2

４−３

（ (:） ^＝ ¹⁴¹⁶

×

が2Ad+5=6を満たします．このとき

→

(b,d)

−−

ヲ4

3

州一州

Z二＝

≦ >く2−×､｢でY&‑ Ｇ

^{−４２／ＩＬ}

幽之Ｉ午６

︑ 一一一

八ハ﹁も）

三＝＝

2二虻込‑'cY‑TY茎で4'(TSLI‑

(A(W),('I')+ （壱,〔弓)）

＝

NBbL,vLIkiTOSE l 転置行列･2次形式･座標の平行移動 ^8／14

(2)

2次形式の正値性（証明1）

^ー −−−−−一一一一一■■

ノ (AI>o

、一一 Q, ‑>o

二a6‑Qz

9へ

2デ 0 2

+by2‑

）

（ x+一y

^a^C

ax2+2c)<y+b)/2=a

が成立します．

a(

くこ>x=y=0 から

( )≠6今(A(>),(>))>0

11／14 転置行列・2次形式・座標の平行移動

NL｣buv'｣kITQSE

｜言

2次形式の正値性（証明2）

(1)→(2)

ax2+2CX)'+byう｡((;)≠D

においてx=1,y=0とするとa>0が従います．さらに

ax2+2､by2､×+:j,)zfab c' ヨど（( )≠5）（*）

〜−一一 _し

においてx=‑:,y=1とすると8 イ (1)‑( F) ＆

ab‑c2

キご

＞0

a

からdet(A)=ab̲c2>0であることが分かります．

転置行列･2次形式・座標の平行移動 12／14

NDI]'1v' lklTDSE

(3)

2次形式の正値性

￨幽三筈二肯=て｜

えます．このときAの固有多項式

2次の対称行列A

のA(入） A)=入2‑(a+b)入+ab‑C2

は2実根α,6ERを持ちます．またAが定める2次形式 D≦いやef‑cfA8

=(o､‑e.)2"｡

(A(#),(;))=ax2+2>o,+by2

について以下の定理が成立します．ご･1 斗心R̲､‑ (I>。

定理（9(1),(1)}=c｡""

以下は同値です (')(A(;),(;))>0((#)≠"

(2)a>0, det(A)>0

l ')e)(､‑) ，告士＝くし)Gs)G)

(3)α,β＞0 (I)存弓L3、（よいつぁ、？

P1.

P

転置行列・2次形式・座標の平行移動 9／14

NUIJIMIkiTOSE

﹁

2次形式の正値性一応用

０４２１

）

2＝〆1−×､r十、（基一一一 ¥G

3

Ｌ︑Ｊ︲へこ〃卜←Ｏジ

ー２１３−斗

一一

一一１Ａ

ci 'l

これを用いると( )≠6のとき

(A(¥),(f))>

となるので

z(x,Y)>ゞ(x=0,Y‑0)‑;(5,a)=

) ,( ))〉

』

0

） ((:）

=l:)

布−３１２１３

（

^ニニニ

ツ

X2‑X､fTYL>○言二 ○ユー○･Of‑O

^L

2 ￥6

肌､‑ﾒr･YL;:>｡&‑｡｡｡。 ‐−

³ ^坐−３

−

(‑ 気）

〈虻：）言

≦E一三万糸｣ $血

−う

X=､r‑O

10／14 転置行列・2次形式・座標の平行移動

NDhLIvLIklTDSE

(4)

2次形式の正値性（証明3）

邸才皇

齢｡､い ^一十^二酉．

注意

p,qERに対して ↓

い…0,pq>0

p,9>0

(2)今(3)固有多項式のA(J)=f‑(a+b)入+ab‑C2の解と係数の関係

を用いると

α+6=a+b,αβ=ab‑C2>0

であることが分かる. ab>c2>0とa>0からb>0が従う．これから α+6=a+b>0も従う．

へ−，〆､卜＞･ −令呼

^/

ド〉。

o<f>。

Nl,buvukITOSE l 転置行列･2次形式｡座探の平行移動 ^13／14 Ⅱ

2次形式の正値性（証明4）

／鰍'f>｡ [3)a>cノQ6‑e>o

(3)今(2)同様に、

a+b=c',+6>0, ab‑c2=αβ>0

写。 46>c

であることが分かる. ab>c2eOとa+b>0からa,b>0が従う．

注意対称行列の対角化を用いると直接(1)今(3)を示すことができます

(後述)．

((Ka[3)3FI?融耶へも毒{息荊H.f

一

X､2とrn

§{{へ封自生｡‐

一一一

転置行列・2次形式・座標の平行移動 14/14

NobLIvL｣klTOSE

(5)

h

１Ｊ

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影

NobuyukiTOSE

Vo<f

経済数学,May07, 2019

Z次正方行列の逆行列・回転行列・酊蚕射影 1ノ18 Np卜皿P此llFT口5

2次正方行列の積

（::)‑(:鯛)』．‑い)‑(:)‑(麓笙）

A=(司莇)=

に対して u

疹恥ゞ

（2

Ar=(3,")

（譜)+麹(霊)=(:淵:裳)=(票）

=X1

鰹鯰蕊）

AB=(AB]

ユ斑正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 2／18

Ⅱ．L, , ，uⅢ 1 勺

(6)

行列の積の基本性質

x=(RS>2､(I Q'1奇』 ' ､%2 万=(;

×順編二扇?x', x底画(x6) 帝ミ（

^ｌシ

︑１Ｊ９６９０

線型性

）

一９↓６Ｘｊ２＋

杓率

い一一↓泄

十↓句座頂躯いｊ軌十十や＋↓頂↓ａ〃１

１ｑ︑リ︑ｊ入ｐ／Ｉｐ↓ｂ一一

斗叶い低↓句 ↓ｂ一一入α 馴陸︑−ノ＋一僻計偲呵掘ＸいＸＭｘＳＳ″〃ＬＬ

'2次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影} ^3／ユ日

I,｣, h J1IJhl Tpも

行列の積の基本性質(2)

線型性(2)

﹄x可）

にニニンァ

LHs=x(入β)+x(")

=Mx6)+"(x3)

z次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影} ^4ノユB

1I‑hl｣',,ⅡhlTうう［

(7)

’

結合法則(1)

→

2次正方行列x=(3b),Y=(β ),E=(2)に対し X(YE)=(XY)E

ﾉ一新‑鼬 ^'(､エ

LHS=X(c,5+CZa)=c'(X5)+c､Xl)

=(XpX3)5=(XY)で、/会ﾐ、、

>ぐく71)､× ､

忠詮P

^x§〕

2次正方行列の逆行列･回転行列・商交射影 5／1a

｢. ｜ l畠! ￥hlhTp苔

結合法則

結合法則(2)

→

z=(Ed)= (謎） ^とすると

(XY)Z=X(YZ)

LHs=(xY)(53)=((xY)5(xY)3)

=(x(YE)x(Y3))=x(YEY3)

=X(YZ)

2次正方行列の逆行列・回竃行列・直交射影 e／ユB

1.h｣Luuj' ''心！]E

(8)

F1､,､svv"cd砥ﾜ< 、

単位行列(1)

標準単位ベクトル司＝(5ﾉ，

を用いて単位行列

h=(閾亀）

が定義できます． 2列の行列A=(3'gh)に対して

し ^{八‑八X、}

一一

ｊｊｌＯ０１

／Ｊ１︑ｉＩＩ︑

１ｊ ↓鞄↓麺１１

↓ａ↓ａ

ｌく

１

﹃ｅ↓句ＡＡ

＝1．ヨ,＋0．動＝目，

＝0・ヨ,＋1．功＝あ

従って

Ah=(AgiAEa)=(3,gi)=A

' 2次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影} ^7/皿

N1』, ,抑LJHl I輯亀冒

単位行列(2)

T込更＝

﹃氷

(2)=× (;)令穐(Y)

＝…麹亀=(毛)(鳥）&

R2ヨヌ＝

から， 2次正方行列B=(6,b2)に対して

ノ2B=/2(bl62)=(/261 /bb2)=(61b2)=B

￨ z次正方行列の逆行列･回転行列・直交射影 B／1日

「,￨･ P,u l｣￨ィ丁口目

(9)

︑１１ノｂＪ

ａＣ／ｊｌ１︑

Ａとする

(譜)(乳ｌａＣ毛ａｂｄ１１

=IAl･h

二＝＝

⑥

（

^＝ ^{=IAl ･ﾉ2}

(ユゴ）

〜

Aの余因子行列をA= と定めると

1

A.A=A.A=IAl . ﾉ2

2次正方行列の逆行列，回匠行列・直交射影

Ⅱ:』' 1期uL」 ILEE 9／郡

余因子行列(2)

公式

A,BEM2(R),入,/LERに対して

（入A)B=A(入B)=MAB) 入("A)=(入")A

((1)）

A穴三倉A= IA1 ･T

を用いると

L

(向風)=(丙入）

c≠0 ならば

￨A￨= ^A、 ^･A=h ^g̲

注意

入A=(入31入あ）

へ

Ⅱ■■■■■■■■■■

ユロ／1日回転行列・直交射影

〜）

AA

I,'跡11別Mll卜T●王 l l z次正方行列⑪逆行列

Lぅ

^̲L

IAI

（

^ミI

11

ｚ

−１

一一

(10)

公式の証明(1)

→ (2）

(1)はb= ^{ER2に対して}

i

(JIA)5=A(JI5)=A(AB)

1

をまず示す．

(AA)6=(入司入あ)6=6,(入司)+b2(入弱）

=A(b,3i+b2")=A(AB)

従って

(入A)B=((入A)5,(AA)Bi)=(A(入5i)A(入ら))

､)I5Mi)=A(JIB)

11／'8 1

￨2次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影}

I」，IIL山Mk 1Eg

公式の証明(2)

入(AB)=入(AblAb2)=(入(Ab,)A(Ab2))

=(A(入5,)A(入昆))､A5M)

(2)を示すには

=A(AB)

［

^入("5） ^＝(入")b^→

1

を用います．

Z次正方行列の逆行列・回転ﾘﾗ刑l ・国交射影 12ノ配

「｜』11 1., 1｣H｜

(11)

正則行列(1)‑定義

正則行列

AEM2(R)が正則とは

AX=XA=ji

を満たすxEM2(R)が存在するときである．

」

注意（逆行列の一意性）

AX=XA=ら, AY=YA=&

とすると

X=Xﾉ2=X(AY)Q(XA)Y=/2Y=Y

とX=Yが従う．存在すれば一意的に定まるこの行列をAの逆行列と呼

んでA‑1と記します. ((*)において結合則を用いています.)

' 2次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影} ^13／ZB

N回l卜』L1 Ⅱ刑｜『L,弓E

正則行列(2)

定理

A=(::)EM2(R)とします. ￨A￨≠0ならばAは正則で

（ユす）

A‑'=4

￨AI

1

注意

r2(1)=

^一一

／︐しへ一

^{訓丸Ｕ弐八ｎ} ^{︑１ノ﹁・}

(1)￨A￨≠0→(2)Aは正則

g(3) (A(7)=6→(;)=6） _一一〜¹¹

〜I

A'A(1'

﹃︒﹃○

一一

A(1) ^{〆‑,‑』}(L)

＝

'4/18 / I￨lg'』』』Muk. 「 E 2次正方行列の逆行列回転行列・直交射影

Lぅ [3) x.二一−

¹

￨洲｜＝。

IAI

Ｉ

ユい

＄

^ご

'231＝。

(12)

(!) IA‑(圭・弓〔ぅ〉い(い=ご

/、−ﾉToe冬sl,｡‑&Aﾉ､"､

﹁︽

=今（吾））

正則行列(3)

／、

(3)→(1)の対偶

→ →

￨A￨=0→ヨ( )≠0 A(7)=0

、ノ

IAIののとき

色（: :)(1'ず)'(愚 5厳｡鋤9 層)‑(: :) ｜

から

ハ(ﾕ)=d. (ず)=

となる．

≠｡Vc≠'‑(4)≠6, b≠｡Va≠0‑(ル，

N山｣JqJukir凸豊E 2次正方行列の逆行列･回転行列･直交射影 15/'8

.十L今域､巳 A=(:3) 二。と乏侭脈､

iJ[1)=w￨≦対しA(1)=3

正則行列(4)

これに当てはまらない場合はa=6=c==d=0,すなわちA=02となる．このときは明らか：

v(>)≠5o,(;)

^＝0^→

A3×3q

零ぞ ^<二（

い〕

W3cl.

l>

〆

(1) IA￨≠0<､2)Aは正則

‑(3) (A(7)=5→(7)= 可

ノ

、

ｪ6ノュ3 ユ次正方行列の逆行列 ^{回転行列・亜交射膨}

I1IHI1 lr･』叩 Tm狂

(13)

回転行列

(粥訓)(無￨謝）

(詩鰯干鯛咄:1M駕二縦謝）

二＝＝

(謡鯏,そ:即鯛)）

=

特に

11

R･〈

' 2次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影} ^17ノ網

'1 ，｜ ⅡA rOS

ｓｅ

︽易蜘

（）

︺計

一一斗

回転行列(2)

（辮（

姉:＝ ①

）

とすると e

恥,恥2＝肺,+82

特に

彫R̲O=R̲ORD=Ro=/2 から恥は正則で

町'＝二R‑8

ｴ8ノ1日

￨ユ次正方行列の逆行列 ^{回転行列・直交射影}

1.』｜山Ⅱト 1

(14)

−

4 皇XF 、杢之韮； ′<"(I A(ゞ殉しL A−Iそ

f6I'$

い）＝（里う (2) A= （い）

^（3）

ﾊミ (?；）

面馴了ﾍﾍｮ※3 !=>J,L(勒誕州

（獺y､》(』《､〕(；

合（(）

00l

（雷，郷）（｡。

（等）

）

ol I。

。｡