解析学B演習問題 (No. 5)

解析学 B 演習問題 (No. 5)

18/May/2005

1

^{z =x+iy} とする。つぎの関数が正則かどうか調べよ。正則である場合は、f⁰(z)を z の式で表せ。

(1) f(z) = x(x²−3y²) +iy(3x²−y²) (2) f(z) = sinhz

2

u(x, y) = 2x³ −6xy²+x² −y² −1 を実部にもつような正則関数 f(z) をすべて求 めよ。

板書用問題

18.

z =x+iy とする。つぎの関数が (適当な領域で) 正則かどうか調べよ。正則であ る場合は、f⁰(z)を z の式で表せ。

(1) f(z) = (x²−y²−3x+2)+i(2xy−3y) (2) f(z) = zlog|z| (3) f(z) = coshz

19.

つぎの関数を実部にもつような正則関数 f(z) をすべて求めよ。

(1) u(x, y) = (x−y)(x²+ 4xy+y²) (2) u(x, y) = sinxcoshy (3) u(x, y) = 2 sinx

e^y +e^−y −2 cosx

20.

f(z) =u(x, y) +iv(x, y),z =x+iy (u, vは実数値関数) と表したとき、f(z)が正 則かつ、u(x, y)−v(x, y) = (x−y)(x²+ 4xy+y²) を満たすとき、u と v を求めよ。

21.

f(z)が領域 D で正則かつ f⁰(z) = 0 (∀z ∈D) をみたしているとする。a∈D と し、V ={z ∈D|f(z) = f(a)} とおく。

(1) V は D の開集合であることを示せ。

(2) V =D、すなわち f は定数であることを示せ。

22.

f(z)を Cで定義された連続関数で、z = 0 で微分可能かつf⁰(0) = 1, f(z+w) = f(z)f(w) (z, w∈C) を満たすものとする。

(1) f(0) の値を求めよ。

(2) f(z) は正則であることを示し、f⁰(z)を必要ならば z,f(z)を用いて表せ。

(3) f(z) = e^z を示せ。

23.

f(z) =u(r, θ) +iv(r, θ), z =r(cosθ+isinθ) (u, vは実数値関数) と表す。

(1) Cauchy-Riemann 方程式は

∂u

∂r = 1 r

∂v

∂θ, ∂u

∂θ =−r∂v

∂r

となることを示せ。

(2) f(z) が正則なとき、zf⁰(z) = r (∂u

∂r +i∂v

∂r )

= ∂v

∂θ −i∂u

∂θ が成り立つことを示せ。

24.

f(z) =R(cos Θ +isin Θ), z =x+iy と表す。

(1) Cauchy-Riemann 方程式は

∂R

∂x =R∂Θ

∂y, ∂R

∂y =−R∂Θ

∂x

となることを示せ。

(2) f(z) が正則なとき、f⁰(z) f(z) = 1

R

∂R

∂x +i∂Θ

∂x = ∂Θ

∂y − i R

∂R

∂y が成り立つことを示せ。

25.

f(z) =R(cos Θ +isin Θ), z =r(cosθ+isinθ) と表す。

(1) Cauchy-Riemann 方程式は

∂R

∂r = R r

∂Θ

∂θ, ∂R

∂θ =−rR∂Θ

∂r

となることを示せ。

(2) f(z) が正則なとき、zf⁰(z) f(z) = r

(1 R

∂R

∂r +i∂Θ

∂r )

= ∂Θ

∂θ − i R

∂R

∂θ が成り立つことを 示せ。

26.

D を領域とする。正則関数 f(z)が D上で f(z)6= 0 かつ arg(f(z)) =定数 をみた しているならば、f(z) は D 上で定数であることを示せ。

✎ ヒント：演習問題 24

27.

f(z) = log|z|+iargz は領域 D= {z ∈C :z 6= 0, −π < argz < π} において正 則であることを示し、f⁰(z) を求めよ。

✎ ヒント：演習問題 23

解析学 B 演習問題 (No. 5) 解答

18/May/2005

1

^{(1) u(x, y) =x(x2}−3y²), v(x, y) =y(3x²−y²)とおくと、u, v は C¹級の関数で、

ux(x, y) = 3x²−3y², uy(x, y) =−6xy, vx(x, y) = 6xy, vy(x, y) = 3x²−3y². よって、u, v はCauchy-Riemann方程式 u_x=v_y,u_y =−v_x をみたすので、f は正則であ る。演習問題No.4 より，f⁰(z) = u_x(x, y) +iv_x(x, y) = 3(x²−y²) + 6ixy= 3z².

(2) 定義より，

f(z) = sinhz = e^z−e^−z

2 = e^x−e^−x

2 cosy−ie^x+e^−x 2 siny.

u(x, y) = e^x−e^−x

2 cosy, v(x, y) = −e^x+e^−x

2 siny とおくと、

u_x(x, y) = e^x+e^−x

2 cosy, u_y(x, y) =−e^x−e^−x 2 siny, v_x(x, y) =−e^x−e^−x

2 siny, v_y(x, y) = −e^x+e^−x 2 cosy.

よって、u, v はCauchy-Riemann方程式 をみたさないので、f は正則でない。

2

^{v(x, y) =}=f(z)とおく。f(z) =u(x, y) +iv(x, y) と表される正則関数を求める。u, v は Cauchy-Riemann方程式をみたすので、

v_x(x, y) =−u_y(x, y) = 12xy+ 2y, (1) v_y(x, y) =u_x(x, y) = 6x²−6y²+ 2x (2) が成立つ。(2)より、v(x, y) = 6x²y−2y³+2xy+ϕ(x)と書ける。但し，ϕ(x)は変数がxのみ の実数値関数。これを(1)に代入すると、12xy+2y+ϕ⁰(x) = 12xy+2yとなり、ϕ⁰(x) = 0、

すなわちϕ(x) = C (Cは実数定数)を得る。従って、v(x, y) = 6x²y−2y³+ 2xy+C と なるので、求める f は、

f(z) = (2x³−6xy²+x² −y²−1) +i(6x²y−2y³+ 2xy+C) = 2z³+z²−1 +iC.

ただし、C は実数定数。

感想.

1

^{(1)はよく出来ていた。f0(z) を z の式で表すには、x = (z + ¯z)/2, y =}

(z−z)/2i¯ を代入して整理すればよい。

(2)は、sinh ¯z の実部、虚部を正しく計算できた人はだいたい正解していた。せっかく正

しくf(z)を変形したにもかかわらず、v(x, y) = e^x+e^−x

2 sinyやv(x, y) = (e^x+e^−x) siny としてしまい、「f は正則」とした答案も複数あった。それから、これは間違いでもなんで もないのだが、cos(−y), sin(−y) としたまま、最後まで計算している答案が複数あった。

cos(−y) = cosy, sin(−y) = −siny としておいた方が後の計算が簡単なように思うのだ が、そうでもないのだろうか。

2

^{もよく出来ていた。}

解答例の(1)より、v(x, y) = 6x²y+ 2xy+ψ(y)、(2)より、v(x, y) = 6x²y−2y³+ 2xy+ϕ(x). 但し、ψ(y)は変数がyのみの実数値関数、ϕ(x)は変数がxのみの実 数値関数。この2式を比べて、ϕ(x) = 2y³+ψ(y). よって、ϕ(x) = 2y³+ψ(y) =C (C は実数定数)と書ける。

としてもよい。C を単に定数と書いた答案もあったが、C が実数でない場合は、答えが 正しくないので、C が実数であることを明記しておかなければいけない。また、ϕ(x) を 整式や多項式と書いた答案もあったが、yで偏微分して消えれば良いだけなので、整式と は限らない。

解説. 演習問題 No.4 で扱ったように、正則関数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) に対して、

f⁰(z) = u_x(x, y) +iv_x(x, y) = v_y(x, y)−iu_y(x, y) が成立つ。実部、虚部を比較する事 により、Cauchy-Riemann方程式、ux = v_y, u_y = −v_x が得られる。逆に、C¹ 級の関数 u, v がCauchy-Riemann方程式を満たせば、f(z) = u(x, y) +iv(x, y) で定義される関数 f は正則となる。従って、f が正則かどうかを調べるためには、f の実部uと虚部v が

Cauchy-Riemann方程式を満たすかどうかチェックすればよいことになる。演習問題No.3

のように、極限 lim

z→z0

f(z)−f(z0)

z−z₀ が存在するかどうかを調べることと比べれば、随分と チェックし易くなったことに注意しよう。

z, ¯z は独立変数ではないが、形式的に合成関数の微分法を適用して、z, ¯z に関する

“偏微分”を

∂

∂z := 1 2

( ∂

∂x −i ∂

∂y )

, ∂

∂z¯ := 1 2

( ∂

∂x +i ∂

∂y )

と定義する。この記号を用いると、f(z) = u(x, y) +iv(x, y) としたとき、

f が正則 ⇐⇒ u, v がCauchy-Riemann方程式をみたす⇐⇒ ∂f

∂z¯ = 0 が成立つことや、f が正則 =⇒f⁰(z) = ∂f

∂z および ∂z

∂z¯ = ∂z¯

∂z = 0、 ∂z

∂z = ∂z¯

∂z¯= 1 が成立 つこともすぐにチェックできる。暇なときにでも確認しておいてください。