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(1)

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１ ⑴ 与式＝－(３＋６)＝－９

１ ⑵ 与式＝３ａ＋６ｂ－２ａ＋ｂ＝ａ＋７ｂ１ ⑶ 与式＝３(ｘ＋３ｙ)－４(２ｘ－ｙ)

12 ＝３ｘ＋９ｙ－８ｘ＋４ｙ

12 ＝－５ｘ＋13ｙ 12 １ ⑷ 与式＝ｘ²＋２ｘ＋１＋ｘ²－２ｘ－８＝２ｘ²－７

１ ⑸ 与式＝３５＋５－２５＝２５２ ⑴

63ｎ＝３²×７×ｎが整数となるのは，ｎ＝７×ｋ²(ｋは自然数)となるときなので，最小のｎは，ｋ＝１のときのｎ＝７×１²＝７である。

１ ⑵

ｘ－１＝Ａとして，左辺を因数分解すると，

(ｘ－１)²－７(ｘ－１)－８＝Ａ²－７Ａ－８＝Ａ²＋(－８＋１)Ａ＋(－８)×１＝(Ａ－８)(Ａ＋１) Ａを元に戻して，(ｘ－１－８)(ｘ－１＋１)＝ｘ(ｘ－９) よって，ｘ(ｘ－９)＝０より，ｘ＝０，９１ ⑶

ｙ＝12

ｘは２≦ｘ≦４のとき，ｘの値が大きいほどｙの値は小さくなる。

ｙの最小値はｘ＝４のときのｙ＝12

４＝３，ｙの最大値はｘ＝２のときのｙ＝12

２＝６だから，３≦ｙ≦６である。

ｙ＝ａ

ｘ(ａ＜０)は－２≦ｘ≦－１のとき，ｘの値が大きいほどｙの値は

大きくなる。また，３≦ｙ≦６だから，ｘ＝－２のときｙ＝３となる。よって，３＝ａ

－２より，ａ＝－６３ ⑴

資料３より，５×４＝20(通り) すべての場合を樹形図にまとめる。

攻略へのアプローチ

左辺を因数分解して，２次方程式を解く。やや複雑な因数分解の場合，式の一部を別の文字に置きかえるとわかりやすい場合がある。置きかえた文字を最後に元の式に戻すのを忘れないようにしよう。

63ｎ＝ (整数)²となる最小の自然数ｎを求めればよい。

資料１より，63＝３²×７となることを利用する。

資料１

３ )63 ３ )²¹ ７

グラフにかいて考えるとよい。ｙ＝12

ｘは比例定数が正の数，

ｙ＝ａ

ｘは比例定数が負の数なので，それぞれのグラフは資料２のような双曲線になる。ｙ＝12

ｘの２≦ｘ≦４のときのｙの変域から，ｙ＝ａ

ｘが通る点を求める。

資料３

１２２１３１４１５１

３３２２２

４４４３３

５５５５４

十の位一の位十の位一の位十の位一の位十の位一の位十の位一の位

資料２

ｙ

Ｏｘ

－２４

３６

ｙ＝12 ｙ＝ａｘ

ｘ

２

－１

ｙ＝ａｙ＝12 ｘ

ｘ

(2)

⑵

２けたの整数が偶数となるのは，資料４で〇印を付けた８通りだから，求める確率は，８ 20＝２

５ ⑶

２けたの整数が奇数である確率は，１－２５＝３

５である。３５＞２

５より，偶数よりも奇数になりやすい。

４ ⑴ 中学校から図書館までは 30 分かかっているとわかるので，求める道のりは，60×30＝1800(ｍ) ⑵

行きも帰りも 60ｍ/分で歩くと，中学校と図書館の間の道のりに 30 分かかるから，全体の所要時間は 50＋30＝80(分)だとわかる。⑵は図書館で 30 分滞在するので，往復の移動時間は 80－30＝50(分)である。行きにかかる時間は1800

ａ分，帰りにかかる時間は 1800÷１

２ａ＝3600

ａ (分)だから，

1800 ａ＋3600

ａ＝50 ａ＞０より，両辺にａをかけて，1800＋3600＝50ａ 50ａ＝5400 ａ＝108 よって，求める速さは 108ｍ/分である。

「攻略へのアプローチ

□

１」より，往復の移動時間は 50 分だから，ｘ＋２ｘ＝50 ３ｘ＝50 ｘ＝50

３行きにかかる時間は50

３分だから，求める速さは，1800÷50

３＝108(ｍ/分) ５ ⑴

同じ道のりを進むのにかかる時間は，速さに反比例する。帰りの速さは行きの速さの１

２倍だから，帰りにかかる時間は行きにかかる時間の２倍になる。したがって，行きにかかる時間をｘ分とすると，帰りにかかる時間は２ｘ分となる。このことから，移動時間についての方程式をたてる。

□

２

資料３でかいた樹形図を利用し，偶数になる場合が何通りあるか数える。

一の位が偶数である整数は偶数である。

行きの速さをａｍ/分とすると，帰りの速さは行きの速さの１２倍の１

２ａｍ/分となる。このことから，移動時間についての方程式をたてる。

□

１

(２けたの整数が奇数である確率)＝１－(２けたの整数が偶数である確率)で求められる。

図形の証明問題を解くときは，正確な図をかくことが重要である。問題に図があるときは，資料５のように，与えられた条件 (仮定)と自分がすでに示した内容を表す記号をかき入れながら，考えるとよい。

また，三角形の相似を証明する問題は，２組の角がそれぞれ等しいことを示すものがほとんどである。この問題の場合，長さが等しい弧に対する円周角は等しいこと，大きさが等しい円周角に対する弧の長さは等しいことを利用する。証明の書き方には一定の型があるので，よく練習して慣れておこう。

資料５

Ａ

Ｂ

ＣＤ

ＦＥＯ

資料４

１２〇２１３１４１５１３３２〇２〇２〇４〇４〇４〇３３

５５５５４〇

十の位一の位十の位一の位十の位一の位十の位一の位十の位一の位

(3)

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⑵

△ＣＢＤにおいて，∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢだから，ＤＣ＝ＢＣ＝３㎝

△ＤＥＣにおいても同様だから，ＤＥ＝ＤＣ＝３㎝

△ＢＣＦ∽△ＡＤＥより，ＣＦ＝１

２ＤＥ＝３２(㎝) ＡＣ＝ＡＤ＝６㎝だから，ＡＦ＝６－３

２＝９２(㎝)

△ＢＣＦ∽△ＡＤＦより，ＢＦ＝１

２ＡＦ＝９４(㎝)

□

１から，ＤＣ＝３㎝

△ＡＣＤ∽△ＤＦＣより，ＡＤ：ＤＣ＝ＣＤ：ＦＣ６：３＝３：ＦＣＦＣ＝３×３６＝３

２(㎝) このあとの求め方は「攻略へのアプローチ

□

^１」と同じである。

６ ⑴

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＡ(－６，18)の座標を代入すると，18＝－６ｍ＋ｎ…㋐

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＢ(４，８)の座標を代入すると，８＝４ｍ＋ｎ…㋑

㋑－㋐でｎを消去すると，８－18＝４ｍ＋６ｍ－10＝10ｍｍ＝－１

㋑にｍ＝－１を代入すると，８＝－４＋ｎｎ＝12 よって，求める式は，ｙ＝－ｘ＋12

Ａ(－６，18)，Ｂ(４，８)だから，直線ℓの傾きは，８－18

４－(－６)＝－１である。

したがって，直線 ℓ の式をｙ＝－ｘ＋ｎとおいてＡ(－６，18)の座標を代入すると，

18＝－(－６)＋ｎよりｎ＝12 となるから，直線 ℓ の式はｙ＝－ｘ＋12 である。

なお，直線 ℓ の傾きが－１とわかったあとは以下のように考えることもできる。

直線 ℓ 上ではｘが１増えるとｙは１減るから，Ａ(－６，18)からｘが６増えて０になると，

ｙは６減って 18－６＝12になるので，直線 ℓ は点(０，12)を通る。

よって，直線 ℓ の切片は12だから，直線 ℓ の式はｙ＝－ｘ＋12である。

資料５より，△ＡＣＤ∽△ＤＦＣ，△ＢＣＦ∽△ＡＤＦであることから，ＢＦの長さを求める。

□

２

直線の式はｙ＝ｍｘ＋ｎと表せる(ｍ，ｎは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ａ，Ｂの座標をそれぞれｙ＝ｍｘ＋ｎに代入することでｍとｎの連立方程式ができるので，

それを解けばよい。

□

１

２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)を通る直線の傾きはこの２点間の変化の割合と等しいから，

(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｙ₂－ｙ₁

ｘ₂－ｘ₁で求められる。傾きとその直線上の１点の座標から，直線の切片を求めることができる。

□

２

資料５より，△ＢＣＦ∽△ＡＤＥ，△ＢＣＦ∽△ＡＤＦで相似比は共にＢＣ：ＡＤ＝３：６＝

１：２だから，ＡＥまたはＡＦの長さがわかれば，ＢＦの長さを求められる。

□

１

(4)

①の式はｙ＝１２ｘ²＝１

２×ｘ²で，比例定数が１

２であり，２点Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ－６，４だから，直線ℓの傾きは，１

２×(－６＋４)＝－１である。

このあとの求め方は「攻略へのアプローチ

□

^２」と同じである。

⑵

Ｐのｘ座標をｔとおくと，Ｐは放物線ｙ＝１

２ｘ²上にあるで，ｙ座標はｙ＝１

２ｔ²となる。

よって，Ｐの座標は，Ｐ(ｔ，１

２ｔ²)である。

Ｑは直線ｙ＝－ｘ＋12 上にあり，ｙ座標はＰのｙ座標に等しくｙ＝１

２ｔ²となる。よって，ｘ座標は，

１

２ｔ²＝－ｘ＋12 より，ｘ＝12－１

２ｔ²となる。

⑶

⑵より，Ｑ(12－１

２ｔ²，１

２ｔ²)だから，ＰＱ＝(ＰとＱのｘ座標の差)＝12－１

２ｔ²－ｔＰＲ＝(ＰとＲのｙ座標の差)＝１

２ｔ² ＰＱ＝ＰＲより，12－１

２ｔ²－ｔ＝１

２ｔ² ｔ²＋ｔ－12＝０ (ｔ＋４)(ｔ－３)＝０ｔ＝－４，３Ａ，Ｂのｘ座標より－６≦ｔ≦４だから，ｔ＝－４，３はともに条件に合う。

ｔ＝－４のとき，１

２ｔ²＝１

２×(－４)²＝８，ｔ＝３のとき，１

２ｔ²＝１

２×３²＝９

２なので，

求めるＰの座標は，(－４，８)，(３，９２)

２点間の変化の割合とその２点を通る直線の傾きは等しい。

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘの値がｍからｎまで増加したときの変化の割合は，

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｐｎ²－ｐｍ²

ｎ－ｍ＝ｐ(ｎ²－ｍ²)

ｎ－ｍ＝ｐ(ｎ＋ｍ)(ｎ－ｍ)

ｎ－ｍ＝ｐ(ｍ＋ｎ) と表せることを利用する。

□

^３

Ｑは直線ｙ＝－ｘ＋12 上にあり，ｙ座標はＰのｙ座標に等しいことから，Ｑのｘ座標をｔを用いて表す。

長方形ＰＲＳＱが正方形となるのは，横の辺と縦の辺の長さが等しくなるときだから，

ＰＱ＝ＰＲとなるときである。⑵と同様に，Ｐのｘ座標をｔとして，ＰＱとＰＲをｔの文字式で表し，ｔの方程式を立てて解けばよい。

(5)

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７ ⑴

円Ｐの円周はＡＢ^⌒ の長さに等しく６π㎝，円Ｑの円周はＤＣ^⌒ の長さに等しく４π㎝である。

これより，円Ｐの半径は６π÷２π＝３(㎝)，円Ｑの半径は４π÷２π＝２(㎝)である。

よって，円Ｐ，Ｑの面積の和は，３²π＋２²π＝13π(㎠)である。

⑵

△ＯＡＰと△ＯＤＱの相似比は，ＡＰ：ＤＱ＝３：２

ＯＡ：ＯＤ＝３：２より，ＯＡ：ＤＡ＝３：(３－２)＝３：１だから，ＯＡ＝３ＤＡ＝９(㎝) 三平方の定理より，△ＯＡＰについて，ＯＰ＝ＯＡ²－ＡＰ²＝９²－３²＝６２(㎝) ＯＱ＝２

３ＯＰ＝４２(㎝)だから，求める体積は，

１

３×３²π×６２－１

３×２²π×４２＝18 ２π－16 ２

３ π＝38 ２

３ π(㎤)

底面が円Ｐ，高さがＯＰの円すいを円すいＸ，底面が円Ｑ，高さがＯＱの円すいを円すいＹとする。

円すいＸとＹの相似比はＡＰ：ＤＱ＝３：２だから，体積比は，３³：２³＝27：８である。

よって，円すいＸから円すいＹを取り除いた立体と，円すいＸの体積比は，(27－８)：27＝19：27 なので，求める体積は，円すいＸの体積の19

27倍である。「攻略へのアプローチ

□

^１」より，ＯＰ＝

６２㎝だから，求める体積は，(１

３×３²π×６２)×19

27＝38 ２

３ π(㎤)

円Ｐと円Ｑの面積を求めるために，それぞれの半径を求める。(円周)＝(直径)×(円周率)だから，半径をｒとすると，円周の長さは２πｒと表せる。これを用いて，円Ｐ，Ｑの半径を求める。

相似な立体の体積比は相似比の３乗に等しいことを利用する。

□

^２

組み立ててできる立体について，資料６のように作図できる(ＡとＢ，

ＤとＣはそれぞれ重なる)。この立体の体積は，底面が円Ｐ，高さがＯＰの円すいの体積から，底面が円Ｑ，高さがＯＱの円すいの体積をひいて求めることができる。△ＯＡＰ∽△ＯＤＱから，ＯＰ，ＯＱの長さをそれぞれ求める。

□

^１

Ａ(Ｂ) Ｄ(Ｃ)

Ｏ

ＰＱ

資料６

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