超ナビ

(1)

１ ⑴ 与式＝12－２＝10

１ ⑵ 与式＝３ｘ＋15ｙ－14ｘ＋12ｙ＝－11ｘ＋27ｙ１ ⑶ 与式＝９ａ²ｂ× ２

３ａｂ×ｂ＝６ａｂ１ ⑷ 与式＝( ７)²－(２３)²＝７－12＝－５１ ⑸ 与式＝12 ６

６－４６＝２６－４６＝－２６２ ⑴

与式＝ａ²＋{５＋(－３)}ａ＋５×(－３)＝(ａ＋５)(ａ－３) １ ⑵

２次方程式の解の公式より，ｘ＝－５± ５²－４×２×１

２×２＝－５± 25－８

４＝－５± 17 ４１ ⑶

ｙ＝ａ

ｘにｘ＝－４，ｙ＝６を代入すると，６＝ａ

－４よりａ＝－24 となる。ｙ＝－24

ｘにｘ＝３を代入すると，ｙ＝－24

３＝－８となるから，求める数は－８である。

１ ⑷

大小２個のさいころの目の出方は全部で６×６＝36(通り)ある。ｎは最大で６×６＝36 であり，36 以下の平方数は，１²＝１，２²＝４，３²＝９，

４²＝16，５²＝25，６²＝36である。ｎがこれらの値になる出方は，資料１の○印の８通りある。よって，求める確率は，８

36＝２９３

かけると－15，足すと２になる２数を探す。かけると－15 になる２つの整数の組み合わせは限られるので，そちらを先に探すのがポイントである。

攻略へのアプローチ

ｘ²の係数が１ではない２次方程式を解くときは，２次方程式の解の公式を利用する。

２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は，ｘ＝－ｂ± ｂ²－４ａｃ２ａ

ｎが自然数となるのは，ｎが平方数(自然数を２乗してできる数)のときである。

攻略へのアプローチ反比例の式はｙ＝ａ

ｘまたはｘｙ＝ａ(ａは比例定数)と表せる。このどちらかの式にｘとｙの値を代入すると，比例定数ａが求められる。

線分ＡＢは円Ｐの弦であり，円の中心は弦の垂直二等分線上にある。

したがって，線分ＡＢの垂直二等分線と辺ＢＣの交点をＰとする(資料２参照)。

資料１

小１２３４５６

大

１ ○ ○ ２ ○ ３ ○ ４ ○ ○

５ ○

６ ○

資料２

ＣＡ

ＢＰ

(2)

４「いろいろな関数」という分類の問題である。「いろいろな関数」の問題では，重さと郵便料金との関係や，鉄道・タクシー・バスなどの乗車距離と料金との関係が扱われることが多い。「●はその点を含むことを，○はその点を含まないことを」表すのはグラフのルールとして決まっていることなので，問題にそのことが書いていなくてもわかるようになろう。

⑴ ●と○の違いに注意してグラフをかくと，資料３のようになる。

⑵ 関数の定義をしっかりと覚えておくこと。「ｘの値が１つに決まるとｙの値が１つに決まるとき，ｙはｘの関数である」という定義と照らし合わせて考えると，比例・反比例や１次関数では，ｙはｘの関数であると同時にｘはｙの関数であるが，関数ｙ＝ａｘ²やこの問題の関数では，ｙはｘの関数であるがｘはｙの関数ではないとわかる(ｙの値が決まってもｘの値が１つには決まらない)。

⑶

送り方Ａだと，40÷７＝５余り５より，_㋐パンフレットが７部入った小さい封筒５つと，_㋑パンフレットが５部入った小さい封筒１つに分けられる。表１，２より，㋐は１つ 47ｇだから 92 円，㋑は１つ 35ｇだから 92 円なので，送り方Ａの料金は，92×５＋92＝552(円)である。

また，表２からパンフレットは１部６ｇとわかるので，大きい封筒の重さは 19－６＝13(ｇ)とわかる。したがって，大きい封筒にパンフレットを 40 部入れると，13＋６×40＝253(ｇ)になるので，送り方Ｂの料金は380円である。

よって，送り方Ｂの方が，552－380＝172(円)安い。

５ ⑴

バスは 20 秒後までに 120ｍ進んだから，平均の速さは，120÷20＝６(ｍ/秒)

⑵

ｘ＝15 のときまでにバスは３

10×15²＝135

２(ｍ)進み，英太さんもこのとき同じ地点にいる。したがって，英太さんの速さは135

２÷15＝９

２(ｍ/秒)なので，ｘ＝20 のとき９

２×20＝90(ｍ)進んでいる。

よって，ｘ＝20 のとき，バスと英太さんは 120－90＝30(ｍ)離れている。

送り方Ｂの料金を計算するときは，封筒の重さとパンフレットの重さを分けて考える。

(平均の速さ)＝(進んだ道のりの合計)÷(かかった時間の合計)である。

バスの速さは出発してから 20 秒後までに変化している(次第に速くなっている)。移動の途中で速さが変化していても，ある時点からある時点までの速さがおよそどのくらいかを表したものが，平均の速さである。

まず英太さんの速さを求めてから，20 秒後に英太さんがいる地点を求める。

資料３

100

100 200 300 400 500 300

200 350 ｙ

250

150

50

0 0 ｘ

(3)

⑶

バスが出発してから 20 秒後までに教子さんは３×(10＋20)＝90(ｍ)進むから，この時点で教子さんとバスは 600－120－90＝390(ｍ)離れている。したがって，ｔ秒間で教子さんとバスが進む道のりの合計は390ｍである。出発してから 20 秒後以降のバスの速さは，(600－120)÷(60－20)＝12(ｍ/秒) だから，３ｔ＋12ｔ＝390となり，ｔ＝26 となる。よって，求める時間は，20＋26＝46(秒後)

20≦ｘ≦60 の範囲においてバスのグラフの式はｙ＝ａｘ＋ｂであり，点(20，120)を通るから，

120＝20ａ＋ｂ，点(60，600)を通るから，

600＝60ａ＋ｂが成り立つ。これらを連立方程式として解くと，ａ＝12，ｂ＝－120 となるから，バスのグラフの式は，ｙ＝12ｘ－120…①である。

教子さんについても，バスがＰ地点を出発してからｘ秒後のＰ地点からの道のりをｙｍとすると，速さが３ｍ/秒だからグラフの式はｙ＝－３ｘ＋ｃと表すこ

とができる。ｘ＝０のときｙ＝600－３×10＝570 となるから，教子さんのグラフの式は，

ｙ＝－３ｘ＋570…②である。

①，②を連立させてｙを消去すると，12ｘ－120＝－３ｘ＋570 15ｘ＝690 ｘ＝46 ｘ＝46 は 20≦ｘ≦60 を満たすから，求める時間は 46 秒後である。

６ ⑴

ＡＢ＝ＢＤ²－ＡＤ²＝ 13²－12²＝５(㎝) これより，ＡＥ＝５－２＝３(㎝)

また，長方形の２本の対角線は互いの中点で交わるから，ＧはＡＣの中点である。このこととＡＢ//ＧＨより，△ＡＥＣにおいて中点連結定理を利用できるので，ＧＨ＝１

２ＡＥ＝３２(㎝)

△ＢＥＦと△ＧＨＦの相似比はＢＥ：ＧＨ＝２：３

２＝４：３だから，ＥＦ：ＦＨ＝４：３

バスの速さが出発の 20 秒後から一定になるので，バスが出発してから 20 秒後の教子さんの位置をまず調べる。そこからｔ秒後に教子さんとバスがすれちがうものとし，ｔについての方程式を立てて解く。

□

^１

∠ＢＡＤ＝90°だから，三平方の定理より，ＡＢ＝ＢＤ²－ＡＤ²

また，ＡＢ//ＧＨより△ＢＥＦ∽△ＧＨＦが成り立ち，ＥＦ：ＦＨはその相似比と等しい。

15 20 60 ｘ 600

120 ｙ

Ｏ

教子さん

バス

①

② 資料４

教子さんとバスがすれちがうのは 20≦ｘ≦60 の範囲であることを確認したあとは，教子さんのグラフとバスのグラフの式をそれぞれ求め，２つのグラフの交点のｘ座標を求めればよい(資料４参照)。

□

２

(4)

⑵

△ＡＥＣ＝１

２×ＡＥ×ＡＤ＝１

２×３×12＝18(㎠)

△ＡＥＩと△ＣＤＩの相似比がＡＥ：ＣＤ＝３：５だから，

ＡＩ：ＣＩ＝３：５より，ＩＣ：ＡＣ＝５：８である。

これより，△ＩＥＣ＝△ＡＥＣ×ＩＣ

ＡＣ＝18×５８＝45

４(㎠)

⑴よりＥＦ：ＦＨ＝４：３だから，ＥＦ：ＥＨ＝４：７

これとＥＨ：ＨＣ＝１：１より，ＥＦ：ＥＣ＝４：(７×２)＝２：７だから，ＦＣ：ＥＣ＝５：７また，ＧＣ：ＡＣ＝１：２だから，△ＧＦＣ＝△ＡＥＣ×ＦＣ

ＥＣ×ＧＣ

ＡＣ＝18×５７×１

２＝45 ７(㎠) よって，四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＩＥＣ－△ＧＦＣ＝45

４－45 ７＝135

28(㎠)

△ＢＥＤ＝１

２×ＢＥ×ＡＤ＝１

２×２×12＝12(㎠)

△ＢＥＦと△ＤＣＦの相似比がＢＥ：ＤＣ＝２：５だから，

ＢＦ：ＤＦ＝２：５より，ＦＤ：ＢＤ＝５：７である。

これより，△ＥＦＤ＝△ＢＥＤ×ＦＤ

ＢＤ＝12×５７＝60

７(㎠)

△ＡＥＩと△ＣＤＩの相似比がＡＥ：ＣＤ＝３：５だから，

ＥＩ：ＤＩ＝３：５より，ＩＤ：ＥＤ＝５：８である。

また，ＧＤ：ＢＤ＝１：２だから，△ＩＧＤ＝△ＢＥＤ×ＩＤＥＤ×ＧＤ

ＢＤ＝12×５８×１

２＝15 ４(㎠) よって，四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＥＦＤ－△ＩＧＤ＝60

７－15 ４＝135

28(㎠) ７ ⑴

立方体の体積は，10×10×10＝1000(㎤)

立方体の体積から，三角すいＡＢＤＥの体積を引けばよい。

資料７

Ａ３㎝

ＢＣ

Ｉ

ＨＧＦＥ

Ｄ

５㎝

２㎝

12 ㎝

四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＥＦＤ－△ＩＧＤで求めることができる。その際，ＡＢ//ＤＣより，△ＡＥＩ∽△ＣＤＩと△ＢＥＦ∽△ＤＣＦが成り立つことを利用する(資料７参照)。

□

^２

四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＩＥＣ－△ＧＦＣで求めることができる。その際，ＡＢ//ＤＣより，△ＡＥＩ∽△ＣＤＩが成り立つことを利用する(資料６参照)。

□

^１

四角形ＥＦＧＩを含む大きい三角形の面積からいくつかの小さい三角形の面積を引くことで，四角形ＥＦＧＩの面積を求める。

資料５の計算を使うことで，それぞれの三角形の面積を手際よく計算できる。

１つの角を共有する三角形の面積

右図のように△ＰＱＲと△ＰＳＴが１つの角を共有するとき，△ＰＳＴの面積は，

△ＰＳＴ＝△ＰＱＲ×ＰＳＰＱ×ＰＴ

ＰＲで求められる。

ＲＴ

ＳＱ

Ｐ

資料５

資料６

Ａ３㎝

ＢＣ

Ｉ

ＨＧＦＥ

Ｄ

５㎝

２㎝

12 ㎝

(5)

△ＡＢＤ＝１

２×10×10＝50(㎠)だから，三角すいＡＢＤＥの体積は，１

３×50×10＝500 ３(㎤) よって，図１の立体の体積は，1000－500

３＝2500 ３ (㎤)

⑵

△ＡＢＤは直角二等辺三角形だから，ＢＤ＝２ＡＢ＝10 ２(㎝) １辺が10 ２㎝の正三角形の高さは，10 ２× ３

２＝５６(㎝)だから，１辺が10 ２㎝の正三角形の面積は，１

２×10 ２×５６＝50 ３(㎠)

よって，図２の立体の表面積は，50 ３×４＝200 ３(㎠) ⑶

４点Ｊ，Ｋ，Ｌ，Ｍはすべて，元の立方体の面のちょうど真ん中の点(対角線の交点)だから，四角形ＪＫＬＭは正方形である。正方形の面積はひし形と同様に，

１

２×(対角線)×(対角線)で求められ，ＪＬ＝ＫＭ＝10 ㎝だから，Ｓ＝１

２×10×10＝50(㎠)

ＩＮ＝10 ㎝だから，図３の立体の体積は，

１

３×Ｓ×ＩＮ＝１

３×50×10＝500 ３(㎤)

資料９のように，元の立方体を重ねてイメージすると考えやすい。図３の立体は，合同な２つの四角すいＩ‐ＪＫＬＭとＮ‐ＪＫＬＭをあわせた立体である。四角形ＪＫＬＭの面積をＳ，

ＩＮと四角形ＪＫＬＭの交点をＯとすると，図３の立体の体積は，

１

３×Ｓ×ＩＯ＋１

３×Ｓ×ＮＯ＝１

３×Ｓ×(ＩＯ＋ＮＯ)＝１

３×Ｓ×ＩＮで求められる。

このように，底面が合同な２つの角すいをあわせた立体の体積は，１

３×(底面積)×(高さの和)で求めることができる。

□

^１

資料９

Ａ

ＣＢ

Ｉ

ＨＧ

ＥＦ

Ｄ

Ｊ

Ｋ

ＬＭ

Ｎ

Ｏ

図２の立体の辺はすべて，元の立方体の面の対角線と長さが等しい。

したがって，図２の立体の面はすべて正三角形である。

資料８のように，正三角形の１辺の長さと高さの比は２：３と決まっているので，正三角形の面積は１辺の長ささえわかれば求めることができる。

資料８

１３２

(6)

三角すいＥ‐ＤＢＧは，元の立方体から三角すいＡＢＤＥと合同な４つの三角すいを取り除いてできた立体なので，⑴より，三角すいＥ‐ＤＢＧの体積は，1000－500

３×４＝1000 ３ (㎤) 三角すいＥ‐ＪＫＮは，三角すいＥ‐ＤＢＧの各辺を１

２倍に縮小した立体だから，

三角すいＥ‐ＪＫＮと三角すいＥ‐ＤＢＧは相似であり，相似比は１：２である。

したがって，体積比は１³：２³＝１：８だから，図３の立体をつくるときに取り除いた４つの三角すいの体積の合計と三角すいＥ‐ＤＢＧの体積比は，(１×４)：８＝１：２である。

よって，三角すいＥ‐ＤＢＧと図３の立体の体積比は２：１だから，図３の立体の体積は，

1000 ３ ×１

２＝500 ３(㎤)

図２の立体(三角すいＥ‐ＤＢＧ)と，図３の立体をつくるときに取り除いた合同な４つの三角すいは相似であることを利用して，三角すいＥ‐ＤＢＧと図３の立体の体積比を求める。あとは三角すいＥ‐ＤＢＧの体積がわかれば，図３の立体の体積を求められる。

「攻略へのアプローチ

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^１」より考え方も計算も複雑なので，できれば「攻略へのアプローチ

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^１」の方法で解きたい問題である。

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^２

超 ナ ビ

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