閉リーマン面上の正則円板束の ベルグマン核について

閉リーマン面上の正則円板束の ベルグマン核について

足立真訓

東京理大・理工

2017年3月7日

閉 Riemann 面上の正則円板束

Σ: 種数2以上の閉Riemann面.

一意化Σ =D/Γを固定. Γ ↷ D⊂CP¹に作用を拡張. 対角作用Γ ↷ D×CP¹による商X :=D×CP¹/Γ.

D:={z ∈C| |z|<1}, D^∗ :=CP¹\D, S¹ :=∂D. Ω :=D×D/Γ, Ω^′ :=D×D^∗/Γ, M :=D×S¹/Γ.

X = Ω⊔M⊔Ω^′と分解. Ω, Ω^′ の関数論的性質を調べたい. 第一射影によりX は正則CP¹束, Ω,Ω^′は正則D束, MはS¹束. X, Ω, Ω^′は平坦束でもある. つまり,

水平な円板D× {t} (t∈CP¹)の族がX 上に正則葉層を定める. 特に, Mは正則葉層の安定集合となる (Levi平坦実超曲面).

一般的な問題

X: 複素多様体, Ω⋐X: 相対コンパクト領域.

∂Ω: 滑らか, Levi平坦 (i.e. Xの複素超曲面による葉層を持つ) Ω上の正則関数の振る舞いを, ∂Ωの葉層の振る舞いから説明せよ.

∂ΩがLevi平坦 ⇐⇒ ∂Ωが“擬凸”かつ“擬凹”.

∂Ωが“強擬凸”の時, 状況は大変よく理解されている.

▶ 例. X =Cⁿ,Ω: 単位球体.

▶ ΩはStein空間の改変.

▶ 有界正則関数の空間は無限次元.

▶ Bergman核(L²正則関数の空間の再生核)の境界挙動.

ΩはSteinか? (非)Liouville性? Bergman核の境界挙動?

cf. 予想「CP²上の特異正則葉層において, どの葉の閉包も葉層の特 異点を含む. 特にLevi平坦実超曲面をなす安定集合を持たない.」

既知の事実 1

Ω / Ω^′はStein空間の改変 / Stein多様体. (Diederich–大沢 ’85) Proof.

▶ Ω =D×D/(z,w)∼(γz, γw), γ∈Γ. δ:= 1− w−z

1−zw

². φ:=−logδ.

φは proper な多重劣調和関数で,D:={(z,z)|z ∈D}/Γ≃Σを除き,強 多重劣調和. Grauertの定理より,ΩはStein空間の改変.

▶ Ω^′≃D×D/(z,w^′)∼(γz, γw^′), γ ∈Γ. δ^′:= 1− w−z

1−zw

². φ:=−logδ^′. φはproperな強多重劣調和関数. Grauertの定理より,Ω^′はStein多様体.

注 Ω^′はtotally real 部分多様体D^′ :={(z,z)|z ∈D}/Γ≈Σを含み, その複素化 (Grauert tube) となっている.

既知の事実 2

Ω, Ω^′はLiouville. (E. Hopf のエルゴード性定理 ’36 の系) Proof.

▶ f をΩまたはΩ^′上の有界正則関数とする.

▶ Fatou の定理から,f はM上に境界値を持ち,f はMの葉層に沿って正則

であり,特にその実部・虚部は調和.

▶ MはΣの単位接束となめらかに同型で,Mの葉層はΣ上のPoincar´e計量 に関する測地流の不安定葉層と同型.

▶ 測地流のエルゴード性から,葉層に沿う有界調和関数はa.e. で定数.

▶ したがって,f は定数.

Ωにおける別証明に後で触れる. ₃F₂の性質に帰着される.

主結果

問題 (大沢, 三松)

ΩやΩ^′上の正則関数を具体的に書き下し, 定量的な性質を調べよ. O(Ω)≃ {f ∈ O(D×D)|f(z,w) =f(γz, γw), γ∈Γ}.

O(Ω^′)≃ {f ∈ O(D×D)|f(z,w) =f(γz, γw), γ∈Γ}. (大沢) ∑

γ∈Γ(γ(z)−γ(w))ⁿ∈ O(Ω)for n ≥2.

主結果 (A.)

∃I:

⊕∞ n=0

H⁰(Σ,K_Σ^⊗n),→ O(Ω), ∃I^′:

⊕∞ n=0

Ker(∆−λnI),→ O(Ω^′) ここで, ∆をΣ上のPoincar´e計量に関するLaplacianとして,

H⁰(Σ,K_Σ^⊗n) :={Σ上の正則n次微分ψ=ψ(τ)(dτ)^⊗n}, Ker(∆−λ_nI) :={f : Σ→C|∆f =λ_nf}.

主結果続き

I:

⊕∞ n=0

H⁰(Σ,K_Σ^⊗n),→ O(Ω), I^′:

⊕∞ n=0

Ker(∆−λ_nI),→ O(Ω^′) の像は広義一様収束位相で稠密であり, さらにα >−1に対し,

∫

Ω

|I(ψ)|²δ^αdV <∞,

∫

Ω^′

|I^′(f)|²δ^′αdV <∞,

の意味で重み付き二乗可積分. ここでdV はX 上の(任意の)体積形式. 主結果の系として, Ωにおける重み付きBergman核の級数表示が得 られる. 漸近展開はまだできていない.

証明の概略

I: ⊕_∞

n=0H⁰(Σ,K_Σ^⊗n),→ O(Ω)をψ∈H⁰(Σ,K_Σ^⊗n), n ≥1に対し, I(ψ)(z,w) :=

∫ _w

z

1 B(n,n)

((w −τ)(τ−z) (w −z)dτ

)_⊗(n−1)

ψ(τ)(dτ)^⊗n で定める. ψ=ψ(τ)(dτ)^⊗nは不変被覆Dτ 上で表示している. 複比の性 質から, well-defined である.

I^′: ⊕_∞

n=0Ker(∆−λ_nI),→ O(Ω^′) は与えられた関数f ∈Ker(∆−λ_nI) をD^′上の実解析的関数とみなし, D×Dへ解析接続して定める. 一般論 から well-defined であることが従う. (cf. Kr¨otz–Schlichtkrull, ’09) Ωの側について, I で作られる正則関数の可積分性の証明を説明する.

可積分性の証明の概略

I は, 次の抽象的構成の結果として得られた: ψ∈H⁰(Σ,K_Σ^⊗n)を同型 K_Σ ≃T_Σ^∗ ≃T_D^∗ ≃N_D/Ω^∗ , D={(z,z)|z ∈D}/Γ⊂Ω, を利用して, D ⊂Ωに沿う正則関数のn次のジェットとみなし, この ジェットをL²ノルムが最小となるようにΩ上に拡張する.

第1段 (方程式の導出) Dz×Dw 上の非正則な座標(z,t)を

t := (w −z)(1−zw)⁻¹で定める. f =f(z,w)∈ O(Ω)^Γをtを用いて展 開f =∑_∞

n=0fn(z)tⁿすると, 係数{fn}は次を満たす:

∂fn

∂z + nz

1− |z|²fn+ n−1

1− |z|²fn−1= 0.

φ_n:=f_n(z) (√

2dz 1−|z|²

)_⊗n

∈C^(0,0)(Σ,K_Σⁿ)とおけば, {φ_n}は方程式

∂φ0 = 0, ∂φn=−n−1

√2 φn−1⊗ω (n≥1)

可積分性の証明の概略 ( 続 )

第2段. ψ∈H⁰(Σ,K_Σ^⊗N)に対し, φ_n:= 0 (n<N), φ_N :=ψと定める.

∂φ_n=−n−1

√2 φ_n−1⊗ω

のL²ノルム最小解を順次取り, 帰納的にφ_n (n>N)を定める. ラプラシ アンの固有関数分解を利用すると, φnの次の表示が得られる:

φ_N+m=∂^∗_N+mG_N+m⁽¹⁾ (

−N+m−1

√2 φ_N+m−1⊗ω )

=−

√2(N+m−1)

m(2N+m−1)∂^∗_N+m(φ_N+m−1⊗ω)

ここで ∂^∗_nは∂:C^(0,0)(Σ,K_Σ^⊗n)→C^(0,1)(Σ,K_Σ^⊗n)の形式的随伴, Gn⁽¹⁾は C^(0,1)(Σ,K_Σ^⊗n)上のGreen作用素.

可積分性の証明の概略 ( 続 )

第3段. 形式解f =∑_∞

n=0f_n(z)tⁿ, φ_n=f_n(z) (√

1−|z|2dz²

)_⊗n

のL²_α(Ω), α >−1, での収束は,

∥f∥²_α=π

∑∞ n=0

∥φn∥² Γ(n+ 1) Γ(n+α+ 2)

=π

∑∞ m=0

∥φ_N+m∥² Γ(N+m+ 1) Γ(N+m+α+ 2)

=π∥ψ∥²∑^∞

m=0

Γ(N+m+ 1) Γ(N+m+α+ 2)

(2N−1)!

{(N−1)!}²

{(N+m−1)!}² m!(2N+m−1)!

=π∥ψ∥² Γ(N+ 1) Γ(N+ 2 +α)³F₂

( N+ 1,N,N 2N,N+ 2 +α; 1

)

<∞.

から従う. f の正則性も同様の計算から従う. なお, α=−1では収束し ないことから, ΩのLiouville性が従う.

可積分性の証明の概略 ( 終 )

第4段.

∑∞ n=0

fn(z)tⁿ=

∫ _w

z

1 B(N,N)

((w −τ)(τ−z) (w −z)dτ

)_⊗(N−1)

ψ(τ)(dτ)^⊗N を示すには, {0} ×D上で直接計算すれば十分:

∑∞ n=0

fn(0)tⁿ= (2N−1)!

(N−1)!

∑∞ m=0

(N+m−1)!

(2N+m−1)!

1 m!

∂^mψ

∂z^m(0)t^N+m

= (2N−1)!

(N−1)!t^N

∫ ₁

0

dt_N. . .

∫ _t3

0

dt₂

∫ _t2

0

t₁^N−1ψ(tt₁)dt₁

= (2N−1)!

(N−1)!t^N

∫ ₁

0

t₁^N−1(1−t1)^N−1

(N−1)! ψ(tt1)dt1

=

∫ _t

0

1 B(N,N)

((t−τ)τ t

)(N−1)

ψ(τ)dτ.

Bergman 空間

Ω⋐X: 複素多様体内の相対コンパクト領域, dV: 体積形式に対し,

Bergman空間を次で定める:

A²(Ω) :={f: Ω→C正則| ⟨f,f⟩<∞},

⟨f,g⟩:=

∫

f g dV.

さらにδ:X →R, Ω ={δ >0}, dδ̸= 0 on ∂Ω を用いて, 重み付きBergman空間, Hardy 空間を次で定める:

A²_α(Ω) :={f : Ω→C正則 | ⟨f,f⟩α<∞},

⟨f,g⟩α:=

{∫ f gδ^αdV/Γ(α+ 1) for α >−1.

lim_α↘−1∥f∥²α for α=−1.

Hardy 空間は正則関数の境界値の空間とみなせる.

Bergman 核

A²_αの再生核B_αを(重み付き)Bergman 核, Sz˝ego核と呼ぶ:

f(z) = 1 Γ(α+ 1)

∫

Ω

B_α(z,w)f(w)δ^αdV for any f ∈A²_α. A²_αの正規直交基底e₁,e₂, . . . を1つ取ると,

B_α(z,w) =

∑∞ j=1

e_j(z)e_j(w).

例: X =Cⁿ, Ω ={z ∈Cⁿ| ∥z∥<1} (単位球体)のとき, δ = 1− ∥z∥², dV: Lebesgue 測度と取れば,

Bα(z,w) = Γ(n+α+ 1) πⁿ

( 1 1−zw

)_n+α+1 .

Bergman 核を利用して双正則不変量が構成できる. 歴史的にも

Riemann の写像定理の解析から導入された概念である.

Bergman 核の級数表示

主結果の系

体積形式dV = _|1−⁴_zw|4 i

2dz∧d z∧₂ⁱdw∧d wに関するΩのBergman核は B_α((z,w); (z^′,w^′)) = Γ(α+ 2)

π²(4g −4)+ 1

π

∑∞ n=1

1 cn,α

1 B(n,n)²

∫

τ∈zw

∫

τ^′∈z^′w^′

B_n(τ, τ^′)(dτ ⊗dτ^′)^⊗n ([w, τ,z]⊗[w^′, τ^′,z^′])^⊗(n−1). ただし, gはΣの種数, B_n(τ, τ^′)(dτ ⊗dτ)^⊗nはΣのn次微分に関する (i.e. H⁰(Σ,K_Σ^⊗n))の) Bergman核であり,

c_n,α= Γ(n+ 1) Γ(n+ 2 +α)³F₂

( n+ 1,n,n 2n,n+ 2 +α; 1

)

,[w, τ,z] = (w −z)dτ (w−τ)(τ −z).