低次の多項式に対し、 具体的に、その Galois 群を計算してみよう

低次の多項式に対し、

具体的に、そのGalois群を計算してみよう

• 既約性判定

(Gauss の補題・Eisensteinの判定法など)

• 有限群・置換群の知識

(置換群のリスト・Sylow の定理

・有限群の表現論など)

• 「根の間の関係式」の候補

(判別式・分解式(解核多項式)など)

R:=K[X] =K[X₁, . . . , X_n] : n 変数多項式環 S_nyR : 変数の置換で作用 (σ(X_i) =X_σ(i)) P(X)∈R に対し、

σP(X) =σ(P)(X) :=P(X_σ(1), . . . , X_σ(n)) G_P:= {σ∈S_n ^σP =P} : P の固定群

S_P:= Ord_Sn(P) ={^σP σ∈S_n} : PのS_n-軌道

分解式・解核多項式(resolvent) G_P={σ∈S_n ^σP=P}

S_P=Ord_Sn(P) ={^σP σ∈S_n} SP ' Sn/GP σP ! σG_P (G-集合の準同型定理) 従って

#S_P= n!

#G_P (Lagrangeの定理!!)

n 次多項式の根から作った有理式 u に対し、

全ての根の置換 n! 個のうち

u を不変にする置換が m 個ならば、

m|n!

であり、u は根の置換により d:= n!

m 個の異なる値を取る。

更にこのとき、

u は係数から作られる d 次多項式の根である。

分解式・解核多項式(resolvent) f(X)∈K[X] : 分離的, degf=n W ={w₁, . . . , w_n} : f の根全体 L:=K(W) =Spl(f/K)

: fのK上の(最小)分解体 ϕ:R−→L

h7−→h(w₁, . . . , w_n)

: 全射環準同型

I=I(f/K) :=Kerϕ とすると、

Gal(f/K) ={σ∈S_n σ(I)⊂I}

P(X)∈R に対し、

ϕ(P) =P(w₁, . . . , w_n)∈L ϕ(P)∈L の K 上の共役は次の形:

σ∈Gal(L/K) =Gal(f/K) に対し、

σ(ϕ(P)) =P(σ(w₁), . . . , σ(w_n))

=P(w_σ(1), . . . , w_σ(n))

=^σP(w₁, . . . , w_n) =ϕ(^σP) しかし、この Gal(f/K) が判らない

分解式・解核多項式(resolvent) とにかく、Gal(f/K)∈Sn なので、

次の形ではある:

σ∈S_n に対し、

ϕ(^σP) =^σP(w1, . . . , wn) =P(w_σ(1), . . . , w_σ(n)) (見た目上 #S_P 個) このうちのどれだけが実際の K 上の共役か ?

P(X)∈R に対し、

R(P;f)(T) := Y

Q∈SP

(T−Q(w₁, . . . , w_n))

= Y

σ∈Sn/GP

(T −^σP(w₁, . . . , w_n))

∈ K[T]

: P に関する f の分解式(resolvent) R(P;f)(T) の K 上の既約分解の様式で

Gal(f/K) を識別する

分解式・解核多項式(resolvent)

R(P;f)(T) の K 上の既約分解の様式 l 1:1

Gal(f/K)\S_n/G_P (両側剰余類分解) 実際には、

G_P が程々の大きさになる P を巧く取って、

Gal(f/K) を選り分けていく

自明な場合:

• P =X₁

G_P= S_n−1, S_P={X₁, . . . , X_n} R(P;f)(T) =

Yn

i=1

(T −wi) =f(T)

• P: 対称式

G_P= S_n, S_P={P}

R(P;f)(T) =T −P(w₁, . . . , w_n)∈K[T]

−→ これでは役に立たない

例: 判別式(discriminant)

∆= Y

1≤i<j≤n

(X_i−X_j)∈R: 差積

∆(f) = Y

1≤i<j≤n

(w_i−w_j)

D(f) =∆(f)² : f の判別式∈K G_∆= A_n, S(∆) ={∆,−∆}

R(∆;f)(T) =T²−D(f)∈K[T]

R(∆;f)(T) : K 上可約⇐⇒Gal(f/K)⊂A_n

f∈K[X] : K 上既約、degf=3 のとき、

Gal(f/K) は D(f) で識別可能

位数 偶奇 : R(∆;f)(T) の分解 A3 =C3 3 + : (1次)×(1次) S3=D3 6 − : 2 次既約

例: n=4

f∈K[X] : K 上既約、degf=4 P(X) :=X₁X₃+X₂X₄∈R

G_P=h(1 2 3 4),(1 2)(3 4)i 'D₄ S_P=

{X₁X₂+X₃X₄, X₁X₃+X₂X₄, X₁X₄+X₂X₃} R3(f)(T) := R(P;f)(T)∈K[T]

位数 偶奇 R₃(f) の分解 C₄ 4 − (1次)×(2次)

V₄ 4 + (1次)×(1次)×(1次) D₄ 8 − (1次)×(2次)

A₄ 12 + 3 次既約

S₄ 24 − 3 次既約

C₄ or D₄ を除いて、

D(f) と R₃(f) とで識別可能

判別式・分解式の具体的な計算

根の対称式

−→ 基本対称式(= f の係数)で書ける

−→ 実演へ

f(X) =X⁴+pX²+qX+r=0 補助変数 t を導入して、

(X²+t)²= (2t−p)X²−qX+ (t²−r) の右辺が完全平方になる

m

q²−4(2t−p)(t²−r) =0 これは t の 3 次方程式

−→ この t を用いて解く

4 次方程式のFerrariの解法(回想) g(t) =q²−4(2t−p)(t²−r)

:3 次分解式(解核多項式,resolvent)

T :=2t とおいて、

R(T) : = −g µT

2

¶

=T³−pT²−4rT − (q²−4pr)

f∈K[X] : K 上既約、degf=4 P(X) :=X1X3+X2X4∈R

GP=h(1 2 3 4),(1 2)(3 4)i 'D4

S_P=

{X₁X₂+X₃X₄, X₁X₃+X₂X₄, X₁X₄+X₂X₃} R₃(f)(T) := R(P;f)(T)∈K[T]

: Cardano-Ferrariの分解式

位数 偶奇 R₃(f) の分解 C₄ 4 − (1次)×(2次)

V₄ 4 + (1次)×(1次)×(1次) D4 8 − (1次)×(2次)

A4 12 + 3 次既約

S4 24 − 3 次既約

C4 or D4 を除いて、

D(f) と R3(f) とで識別可能 実は、D(f) =D(R₃(f)) なので、

Gal(f/K) =C₄, D₄ のとき K(p

D(f)) = Spl(R₃(f)/K)

C₄ 4 − (1次)×(2次)

V₄ 4 + (1次)×(1次)×(1次) D4 8 − (1次)×(2次)

A4 12 + 3 次既約

S4 24 − 3 次既約

C4 or D4 を除いて、

D(f) と R3(f) とで識別可能 実は、D(f) =D(R₃(f)) なので、

Gal(f/K) =C₄, D₄ のとき K(p

D(f)) = Spl(R₃(f)/K)

例: n=4

f(X) =X⁴+pX²+qX+r のとき、

R3(f)(T) =T³−pT²−4rT− (q²−4pr) (Cardano-Ferrariの分解式) 特に、q=0 (複二次式) のときは、

R₃(f)(T) =T³−pT²−4rT +4pr

= (T −p)(T²−4r)

−→ Gal(f/K)⊂D₄

f(X) =X⁴+pX²+qX+r のとき、

R3(f)(T) =T³−pT²−4rT− (q²−4pr) (Cardano-Ferrariの分解式) 特に、q=0 (複二次式) のときは、

R₃(f)(T) =T³−pT²−4rT +4pr

= (T −p)(T²−4r)

−→ Gal(f/K)⊂D₄

例: n=4

f(X) =X⁴+pX²+qX+r のとき、

R3(f)(T) =T³−pT²−4rT− (q²−4pr) (Cardano-Ferrariの分解式) 特に、q=0 (複二次式) のときは、

R₃(f)(T) =T³−pT²−4rT +4pr

= (T −p)(T²−4r)

−→ Gal(f/K)⊂D₄

f∈K[X] : K 上既約、degf=5

P(X) := (X₁X₂+X₂X₃+X₃X₄+X₄X₅+X₅X₁)

−(X₁X₃+X₂X₄+X₃X₅+X₄X₁+X₅X₂) G_P=h(1 2 3 4 5),(2 5)(3 4)i 'D₅

G_P² =h(1 2 3 4 5),(2 3 5 4)i 'F_5,4 R₆(f)(T) := R(P²;f)(T)∈K[T]

: Cayley-Weberの分解式