音階が作られるまでと数学 を題材にした教材の開発
― 他 教 科 と の 関 連 か ら の 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 ―
筑 波 大 学 大 学 院 修 士 課 程 教 育 研 究 科 佐 藤 暁 子
１ ． は じ め に
２ ． 研 究 目 的 ・ 研 究 方 法 ３ ． 授 業 概 要
３ − １ 教 材 の 開 発 ３ − ２ 授 業 環 境 ３ − ３ 授 業 展 開 ４ ． 結 果 ・ 考 察 5． お わ り に
要 約
本 稿 は 、 数 学 指 導 に 音 楽 と 関 連 深 い 教 材 を 導 入 す る こ と に よ っ て 、 生 徒 の 数 学 観 の 変 容 に 有 効 で あ る か ど う か に つ い て 考 察 す る も の で あ る 。 こ こ で は 、 現 在 音 階 を 表 す の に 使 わ れ て い る 平 均 律 や 基 に な っ て い る 音 階 を 作 っ た ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 と 数 学 の つ な が り を 取 り 上 げ る 。 こ れ ら の 事 例 の 中 で 比 例 の 考 え が 活 用 さ れ て き た こ と を 捉 え る こ と に よ っ て 、 生 徒 の 数 学 観 の 変 容 を 検 討 し た 。 そ の 結 果 、 生 徒 は 数 学 を 身 近 な も の と 捉 え 、 日 常 生 活 に 潜 ん で い る 可 能 性 を 認 め 、 数 学 を 学 ぶ 意 義 を 再 認 識 し 有 効 で あ る こ と が 示 さ れ た 。
１ ． は じ め に
平 成 11年 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 の 各 科 目 第 1節 、数学基礎の目標に も 「 数 学 と 人 間 の か か わ り や 社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 に つ い て 理 解 さ せ 、 数 学 に 対 す る 興 味 ・ 関 心 を 高 め る と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 認 識 し 、 数 学 を 活 用 す る 態 度 を 育 て る 。」
と あ る 。 こ の 目 標 内 の 「 社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た す 役 割 」 と 「 興 味 ・ 関 心 」 の 2 点 に 筆 者 は 注 目 し た 。
他 教 科 と の つ な が り を 考 え た 教 材 は 数 多 く 存 在 す る 。 し か し 、 現 代 で の 教 科 間 の つ な が り と い う 視 点 は あ っ て も 数 学 の 考 え 方 が 活 か さ れ て い る 歴 史 的 事 例 を 題 材 に し た も の は 少 な い 。 Ｉ Ｅ Ａ （ 国 際 教 育 到 達度評価学会）の第三回国際数学・理科教育調査の報告(1999 年)に よ る と 、 理 数 離 れ の 進 行 が あ る こ と が 伺 え る 。 し か し 、 数 学 が 人 間 の 営 み の 中 で 活 か さ れ て き た こ と を 学 ぶ 中 で 、も っ と 身 近 に 感 じ 数 学 を 学
ぶ 意 義 を 確 か め て ほ し いという思いがある。そこで、数学が使われて い た 当 時 の 社 会 生 活 を 知 る 上 で 、 礒 田(2001)の 「 そ の 解 釈 、 吟 味 の 対 象 に で き る の は 、 真 正 の 歴 史 資 料 で あ る 一 次 文 献 、 そ し て そ の 時 代 の 道 具 で あ る 」 と い う 立 場 か ら 、 一 次 文 献 の 解 釈 に よ り 吟 味 し て い く こ と の で き る 教 材 を 開 発 し た 。 な お 、 本 事 例 で は 古 代 ギ リ シ ア 数 学 と 音 楽 の つ な が り か ら 現 代 の 楽 器 に 生 き る 数 学 ま で を ま と め て 教 材 化 し た 「History of Mathematics Education」 第 8章.4.2ｂ.Music scales の 事 例 を 参 考 に し た 。
こ の よ う な 立 場 か ら 、数 学 が 生 徒 の 身 近 な と こ ろ で 活 か さ れ て い る 歴 史 的 事 実 を 追 体 験 す る こ と が 有 効 か 否 か 、ま た そ こ か ら 数 学 を 学 ぶ 価 値 を 見 出 す こ と が で き る か 否 か を 明 ら か に し て い っ た 。 そ の 上 で 、 こ の よ う な 教 材 が 生 徒 の 数 学 観 を 変 容 さ せ る の に 有 効 か ど う か 明 ら か に し て い っ た 。
２ ． 研 究 目 的 ・ 研 究 方 法 研 究 目 的 ：
礒 田(2001)の 立 場 か ら 、 音 楽 史 の 中 で 数 学 が 活 か さ れ て き た 事 実 を 、 一 次 文 献 の 解 釈 を 通 し て 追 体 験 を す る こ と に よ り 、生 徒 は 数 学 が 日 常 生 活 と 密 接 に 関 連 し て い る こ と を 捉 え ら れ る か 否 か 、ま た そ こ か ら 数 学 を 学 ぶ 価 値 を 見 出 す こ と が で き る か 否 か を 明 ら か に す る 。 研 究 方 法 ：
上 記 の 目 的 を 達 成 す る た め に 、 以 下 の 課 題 を 設 定 し 、 事 前 事 後 ア ン ケ ー ト 、 授 業 テ キ ス ト と 授 業 を 記 録 し た ビ デ オ に 基 づ き 考 察 す る 。 課 題 １ ： 生 徒 が 数 学 の 考 え 方 が 日 常 生 活 に 活 か さ れ て い る こ と を 感 じ 取 れ る か
課 題 ２ ： 課 題 1 に よ っ て 数 学 を 学 ぶ 価 値 を 見 出 せ る か 。 ３ ． 授 業 概 要
３ − １ 教 材 の 開 発
実 際 に 授 業 で は 、ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 の 音 楽 に 対 す る 考 え 方 や 平 均 律 が 作 ら れ て い く 過 程 の 理 解 を 図 る た め に 、 で き る 限 り 原 典 を 用 い た 。 ま ず 、 ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 の 逸 話 に つ い て は 、 ボ エ テ ィ ウ ス 著 「 音 楽 教 程 」 お よ び T．L ヒ ース著（1978、平田寛 大沼正則 菊 池 俊 彦 訳 ）「 復 刻 版 ギ リ シ ア 数 学 史 」 を 、 ギ リ シ ア 時 代 の 音 の 調 和 に つ い て は ア リ ス ト テ レ ス 著 （1968、 戸 塚 七 郎 訳 ）「問題集」を用いた。また、平均律に関しては Giogeffo Zarlino著「Le Harmonic Institutio」 に 載 せ て あ る 図 を 、 そ の 中 で 使 わ れ て い た 器 械
MESOLABIOに つ い て の 理 解 を 図 る た め に Thomas Ivor 著 「Selections, illustrating the History of Greek Mathematics Vol.1」 を 用 い た 。 〈 原 典 利 用 の 解 説 〉
ボ エ テ ィ ウ ス 著 「 音 楽 教 程 」
５ 世 紀 に 音 の 調 和 の 概 念 を 解 明 す る こ と を 目 的 と し て 書 か れ た 。 古 代 ギ リ シ ア の 音 楽 論 を ラ テ ン 語 に 訳 し ボ エ テ ィ ウ ス な り に ま と め た も の で あ る 。 そ し て 、 最 初 の 4巻 で は 2 世 紀 初 頭 の ギ リ シ ア の 学 者 ニ コ マ コ ス の 著 作 を 通 し 、 数 比 例 論 を 中 心 と し た ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 の 理 論 を 要 約 し た と 伝 え ら れ て い る 。 授 業 で は 第 1 巻 10章 の 和 訳 を 用 い た 。
ア リ ス ト テ レ ス 著 「 問 題 集 」
健 康 や 栄 養 、 音 楽 の こ と な ど 、 世 間 で 話 題 に 取 り 上 げ ら れ そ う な こ と を 命 題 の 形 式 で 書 き 、 そ れ を 解 説 し て い る 。 授 業 で は 音 楽 に つ い て 書 か れ て い る 第 3 章 を 用 い た 。
Giogeffo Zarlino 著 「Le Harmonic Institutio」
16 世 紀 に 書 か れ た 音 楽 の 理 論 書 。 音 の 協 和 に つ い て 詳 細 に 述 べ ら れ て い る 。 授 業 で は 第 3 章 の 図 を 用 い た 。
Thomas Ivor 著 「 Selections, illustrating the History of Greek Mathematics Vol.1」
ギ リ シ ア 数 学 に 関 連 し た 著 作 集 で あ る 。 授 業 で は 、 ギ リ シ ア の 三 大 作 図 問 題 の 一 つ 立 方 体 の 倍 積 問 題 に つ い て 記 述 さ れ た 箇 所 を 取 り 上 げ 、そ の 解 決 に 使 わ れ た 器 械 MESOLABIO の 仕 組 み と 比 の 現 れ を 追 っ た 。
３ − ２ 授 業 環 境
対 象 ：国 立 大 学 附 属 高 等 学 校 第 2学 年 5名 （ 選 択 教 科 「 国 際 」 履 修 者 ）
※ 選 択 ク ラ ス の た め 、 数 学 の 履 修 状 況 に 差 異 あ り 。
実 施 日 時 ：第 1･2 時 間 目 11月 17日 （ 土 ）、 第 3･4時 間 目 12月 1日 （ 土 ） 準 備 ：コ ン ピ ュ ー タ （windows）、 作 図 ツ ー ル(Cabri Geometry）、 マ ン ド リ ン （A弦 ３ 本 だ け 張 っ た も の ）、Microsoft Power Point、 ビ デ オ プ ロ ジ ェ ク タ ー 、 事 前 事 後 ア ン ケ ー ト 、 ワ ー ク シ ー ト 、 授 業 資 料 、 ビ デ オ テ ー プ ３ − ３ 授 業 展 開
指 導 目 標 ： 音 階 が 作 ら れ て い る 過 程 に お い て 、 比 例 が 活 用 さ れ て い る 営 み か ら 数 学 の 考 え そ の も の が 日 常 生 活 に 活 か さ れ て い る こ と を 感 じ 取 ら せ る 。
授 業 前 に 数 学 観 の 変 容 を 見 る た め の ア ン ケ ー ト を と っ た 。 1時 間 目
ピ ュ タ ゴ ラ ス が 音 の 調 和 を 発 見 し た 逸 話 か ら 、ギ リ シ ア 時 代 の 音 楽 と 数 に 対 す る 考 え 方 を 追 体 験 さ せ る 。
§ ２ ． ギ リ シ ャ 時 代 の 美 し い 比 例 関 係
ピ ュ タ ゴ ラ ス の 時 代 に は 三 つ の 比 例 ， す な わ ち 算 術 的 比 例 と 幾 何 学 的 比 例 ， 調 和 的 比 例 と が あ っ た と い わ れ る 。3項 が あ っ て ， 第 1項 の 第 2項 よ り 超 え る 量 が 第 2項 の 第 3項 よ り 超 え る 量 と 同 一 で あ る と き ， 算 術 的 比 例 が 存 在 す る 。 ま た ， 第 1項 と 第 2項 の 比 が 第 2項 と 第 3 項 の 比 に 斉 し い と き 幾 何 的 比 例 が 存 在 す る 。 わ れ わ れ が 調 和 的 比 例 と 呼 ん で い る も の は ，3 項 が あ っ て ， 第1項 が 第 2項 よ り 第 1項 の 幾 分 の 1か だ け 超 え ， 第2項 が 第3項 よ り 第 3項 の 同 数 分 の 1だ け 超 え る と き ， 存 在 す る 。
(授 業 資 料 よ り)
ギ リ シ ア 時 代 の 人 々 の 暮 ら し を 想 像 し や す い よ う 、ギ リ シ ア の 遺 跡 で 当 時 の 生 活 を 再 現 し た ビ デ オ を 見 せ た 。 こ こ で 、 ギ リ シ ア 時 代 で も ピ ュ タ ゴ ラ ス の 活 躍 し た 紀 元 前 5 世 紀 の 部 分 だ け を 見 せ る こ と に す る 。
次 に 、 ボ エ テ ィ ウ ス 著 「 音 楽 教 程 」（以下、
原 典 ① と す る ） の 和 訳 中 の ピ ュ タ ゴ ラ ス の 逸 話 を パ ワ ー ポ イ ン ト に よ っ て 紹 介 し 、 ハ ン マ ー の 重 さ の 比 が 6：9：12，6：8：12の と き ， 打 つ 音 は 協 和 す る こ と を 見 つ け た 過 程 を 追 わ せ た 。 ま た 、 当 時 ギ リ シ ア で き れ い だ と さ れ た 「3 つ の 数 の 比 例 関 係 」 の う ち 代 表 的 な も の を 3つ 取 り 上 げ 、 数 と 音 の 調 和 の 関 係 に つ い て 探 っ て い っ た 。
3つ の 比 例 関 係 と は 、 算 術 的 （ 等 差 ）・ 幾 何 的（等比）・調和的比例の３つである。これら 3つ の 数 の 関 係 を 把 握 し や す く す る た め に 、T.L.ヒ ー ス 著 （1978、 平 田 寛 大沼正則 菊 池 俊 彦 訳 ）「復刻版 ギ リ シ ア 数 学 史 」（以下、原典② と す る ） か ら 解 釈 さ せ 、 ワ ー ク シ ー ト に 書 か せ た 。（ 図 ① ） そ の 際 、 文 字 を 用 い て 代 数 的 に 表 現 す る 生 徒 と 、具 体 的 な 数 の 例 を 見 つ け る 生 徒 が 見 ら れ た 。 な お 、 解 説 の 際 は 、 パ ワ ー ポ イ ン ト を 効 果 的 に 用 い た り 、 具 体 的 な 数 の 例 を 用 い た り し て 理 解 し や す い よ う に 配 慮 し た 。
ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 が ど の よ う に 物 事 を 捉 え て い た の か を 感 じ 取 ら せ る た め 、 著 物 か ら 以 下 の 三 点 に ま と め 説 明 し た 。
① 数 が 万 物 の 根 本 原 理 で あ り 、 原 形 で あ り 万 物 は 数 の 関 係 に 従 っ て 秩 序 あ る 宇 宙 を 作 る 。
② 感 覚 ・ 知 覚 の 弱 さ の た め に 、 我 々 は 心 理 を 判 別 で き な い 。
③ 実 際 認 識 さ れ る も の は す べ て 数 を も つ 。 な ぜ な ら 、 数 と い う も の な く し て は 何 一 つ 心 で 把 握 す る こ と も 認 識 す る こ と も で 不 可 能 だ か ら で あ る つ ま り 、彼 ら は す べ て の も の を 数 で 捉 え よ う と し て い た こ と を 説 明 し 図 ①
た 。 そ の 上 で 、 重 さ の 比 が き れ い な ３ つ の 比 例 関 係 に あ る と き 、 ハ ン マ ー の 音 も き れ い に 協 和 す る こ と を 発 見 し た 。
ま た 、 ピ ュ タ ゴ ラ ス は 、 こ の こ と が ハ ン マ ー の 重 さ だ け で な く 、 音 楽 す べ て に お い て 適 用 で き る の で は な い か と 考 え 、弦の長さの比を考察し て い っ た こ と を 紹 介 し 、 次 時 に 期 待 を 持 た せ た 。
2時 間 目
き れ い に 響 く ３ つ の 音 は 、 弦 の 長 さ の 比 が 調 和 的 ・ 算 術 的 ・ 幾 何 的 比 例 の 関 係 に あ る こ と を 体 験 す る 。
パ ワ ー ポ イ ン ト を 使 用 し て 1時間目の復習をした。このとき、前時との つ な が り を 考 え 、 以 下 の 2点 に つ い て 生 徒 に 把 握 さ せ る よ う 留 意 し た 。
① ギ リ シ ア 時 代 の ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 は す べ て の も の を 数 に よ っ て 捉 え よ う と し て い た こ と 。
② ハ ン マ ー の 重 さ の 比 が 美 し い 比 例 関 係 、、す な わ ち 6：8：12 ま た は 6：9：
12の と き 、 そ の 打 つ 音 は 協 和 す る こ と
こ れ ら を 踏 ま え て ピ ュ タ ゴ ラ ス は 、 弦 の 長 さ の 比 が き れ い な 数 の 比 （ つ ま り 、 こ こ で は 、6：8：12、6：9：12） で 表 さ れ る と き 、 奏 で る 音 も き れ い に 調 和 す る の で は な い か と 考 察 を 進 め て い っ た こ と を 原 典 ① の 解 釈 に よ り 読 み 取 ら せ た 。
実 際 に 弦 楽 器 （ マ ン ド リ ン ） を 用 い て 実 験 さ せ た 。 な お 、 こ こ で は 同 じ 太 さ の 弦 を 3 本 だ け 張 っ て お く 。
〈 生 徒 の 活 動 の 記 録 〉
１ ． 前 述 の 長 さ の 比 を と る た め 、 ど の 長 さ の 比 を 基 準 の 長 さ、つまり 6 の 長 さ に と る か 意 見 を 出 し 合 った。
（ 写 真 ② ） 楽 器 の し く み を 考 察 し た 結 果 、 最 長 の 長 さ を 開 放 弦（ 指 で 押 さ え な い 状 態 ）に と る こ と を 決 め た 。 ２ ． １ で 決 め た 長 さ を 測 り 、 比 の ほ か の 長 さ を 計 算 に よ っ て 算 出 し た 。 こ こ で 、 こ の 長 さ の 弦 を と る に は 指 で フ レ ッ ト （ 指 板 ） を お さ え 、 は じ く ほ う の 長 さ を 短 く す れ ば よ い こ と に 気 づ い た 。（ 写 真 ③ ）
３ ． 上 の よ う に し て 求 め た 3 つ の 長 さ に な る よ う 弦 を 指 で 押 さ え 、 弦 を 弾 い た 。（写真④）音の高さの違いに 気 づ か せ る た め 大 き な 音 が で る よ う ピ ッ ク に よ っ て 弦 を 弾 く よ う 助 言 し た 。
４ ． 弾 い た 音 が き れ い に 響 い て い る か 、 耳 を そ ば だ て
写 真 ②
写 真 ③
写 真 ④
て 聞 き 取 ろ う と す る 。（写真⑤）ところが、うまく弾け ず 生 徒 は 和 音 と し て 聞 き 取 れ な か っ た 。
５ ． 試 行 錯 誤 の 末 、 弦 を 弾 い て い た 生 徒 が 次 のことに 気 づ い た 。（ 長 さ の 比 を 6：8：12に と っ た と き ）
生 徒 A：「 ド ソ ド に 聞 こ え る ！ 」 生 徒 B〜E：「 え っ ？ ド ？ 」
「 踏 み 切 り の 音 に し か 聞 こ え な い よ 」 生 徒 A：（ 弦 を 弾 き な が ら ）「 聞 こ え な い ？ 」 生 徒 B〜E：「 言 わ れ て み れ ば ・ ・ ・ 」
「 あ 、 ほ ん と だ ！ 」
（ 生 徒 Aは エ レ ク ト ー ン を 習 っ て い た 経 験 あ り ）
生 徒 A に は 現 代 的 な 和 音 と し て 聞 き 取 れ た よ う で あ っ た 。
同 時 に 、6：12の 比 に と っ た 長 さ の 弦 は オ ク タ ー ブ の 関 係 に あ る1こ と も 合 わ せ て 見 つ け た 。同 様 に 弦 の 長 さ の 比 を 6：9：12に 取 っ た と き 奏 で た音の響きが、現代の音で「ド
ラ ド 」 で あ る こ と に 気 づ い た 。
こ こ で 、 生 徒 Aは 弦 の 長 さ と 音 の 高 さ の 幅 （ 度 数 ） に 、 関 係 が あ る の で は な い か と 予 想 し 、そ れ ら を 明 ら か に す る よ う 指 折 り 音 名 を 辿 っ て い っ た 。（ 写 真 ⑥ ） そ し て 、 生 徒 た ち は 、 原 典 ① （ 前 掲 ） の 記 述 と 同 様 に 、 長 さ が ２ ： １ の と き は 8度（オクターブ）、３：２のときは 5度（低いドとソの関係）、４ ： ３ の と き は 4 度 （ 低 い ド と ラ の 関 係 ） で あ る こ と を 発 見 し た 。
こ の 実 験 を 活 か し 、 ア リ ス ト テ レ ス 著
「 問 題 集 」 第 2 章 音 楽 に つ い て （以下、
原 典 ③ と す る ） に あ る 問 の 解 釈 を 行 っ た 。（図③ 、 写 真 ⑦ ） た だ し 、 生 徒 に と っ て 原 典 ③ 中 の 8:12の 2倍 2と い う 表 現 の 解 釈 が 困 難 で あ る こ と が 伺 え た た め 、1つ 目 の 問 の み ヒ ン ト を 与 え た 。
1 ６ の 弦 に 対 し 、12の 弦 は 1オ ク タ ー ブ 高 い 音 を 奏 で る 。 説 明 の 際 、 音 楽 の 話 に 立 ち 入 り 過 ぎ な い よ う 留 意 し た 。 2 2 倍 と は 比 を 2回 取 る こ と で あ り 、 8:12の 2倍 と は 、 基 準 と す る 量 １ に 対 し 、 そ の 比 の 値 の 二 乗 を か け る 、 す な わ ち 1×8/12×8/12＝4/9を と る こ と で あ る 。
写 真 ⑤
写 真 ⑥
写 真 ⑦
問. 8：12 の2倍 、 あ る い は 9：12 の 2 倍 は 調 和 し な い が 、8：12 の 2 倍 は 調 和 す る の は な ぜ か 。
図 ③
こ れ を ワ ー ク シ ー ト 上 で 考 察 さ せ 、さ ら に ギ リ シ ア 時 代 の 3つ の 比 例 関 係 （ 算 術 的 ・ 幾 何 的 ・ 調 和 的 比 例 ） に 該 当 す る か ど う か も 検 討 さ せ た 。 こ こ で は 、 も と に す る 長 さ を 1と し 、 な が さ を ま ず 分 数 の 比 に よ っ て 表 現 し て い る が 、 分 母 の 最 小 公 倍 数 を 乗 じ る こ と に よ り 、 整 数 の 比 と し て 見 直 す よ う 補 足 説 明 し た 。そ し て 、パ ワ ー ポ イ ン ト に よ っ て 著 者 の 解 釈 を 示 し た 。
以 上 の 活 動 に よ り 、長 さ の 比 が 当 時 美 し い と さ れ た ３ つ の 比 例 関 係 に あ る 3 本 の 弦 は 、 協 和 音 を 奏 で る こ と を 体 験 と し て 会 得 さ せ た 。
ま た 、 授 業 の 最 後 に は 授 業 後 の 感 想 を 書 い て も ら っ た 。 3時 間 目
新 し い 音 階 の 歴 史 と 、 比 例 中 項 の 考 え を 利 用 し て 現 在 の 音 階 が 考 え 出 さ れ た こ と を 知 る 。
パ ワ ー ポ イ ン ト を 利 用 し て 、1･2時 間 目 の 復 習 を し た 。 こ こ で 生 徒 に 音 の 響 き を 聞 く 中 で 数 比 例 の 関 係 を 見 出 し た こ と を 印 象 付 け る た め 、以 下 の ４ 点 を 確 認 し た 。
１ ． ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 で は 「 万 物 の 根 源 は す べ て 数 で あ る 」 と 考 え ら れ て い た こ と
２ ． ハ ン マ ー の 重 さ の 比 が ６ ： ８ ： １ ２ ま た は ６ ： ９ ： １ ２ の と き 打 つ 音 は 協 和 す る こ と
３ ． ギ リ シ ア 時 代 に は 、 算 術 的 ・ 幾 何 的 ・ 調 和 的 比 例 と い う ３ つ の 美 し い 比 例 関 係 が あ っ た こ と
４ ． き れ い に 響 き 合 う ハ ン マ ー や 弦 で は 、 そ れ ぞ れ 重 さ や 長 さ の 比 が ３ つ の 比 例 関 係 （ 算 術 的 ・ 幾 何 的 ・ 調 和 的 比 例 ） で 表 さ れ る こ と
自 然 現 象 か ら 見 出 し た 協 和 の 関 係3を 活 か し て 、ピ ュ タ ゴ ラ ス 学 派 は 音 階（ピ ュ タ ゴ ラ ス 音 階 ） を 作 っ た こ と を 知 ら せ る 。 た だ し 、 こ こ で は 、 現 在 使 用 さ れ て い る 音 階 （ 平 均 律 ） の 形 成 過 程 を 追 う こ と に 重 点 を 置 く た め 、 詳 細 に は 立 ち 入 ら な い よ う に し た 。 ま た 、 今 か ら 1500年 以 上 も 前 に 作 ら れ た ピ ュ タ ゴ ラ ス 音 階 が 長 い間 使 わ れ て い た が 、14 世 紀 の 教 会 音 楽 の 発 達 に 伴 っ て 、 複 雑 な 和 音 を 奏 で る 必 要 に 迫 ら れ て 、新 し い 音 階 が 作 ら れ る よ う に な っ た こ と を 授 業 資 料 の 略 史 で 追 っ た 。 こ の と き 、 試 行 錯 誤 の 積 み 重 ね に よ り 、 現 在 も 使 わ れ て い る 平 均 律 が 作 ら れ て い っ た こ と を 感 じ 取 ら せ た 。 ギ リ シ ア 以 降 も 、 長 さ が 調 和 的 ・ 算 術 的 ・ 幾 何 的 比 例 の 関 係 に あ る 音 を 基 に し て 音 階 が 考 え ら れ て い た こ と を 教 材 か ら 読 み 取 ら
3音 階 を 作 る の に 活 か さ れ た の は 、 弦 の 長 さ の 比 が ３ ： ２ の と き 、5度 の 響 き の 異 な る 音 が 生 じ る 関 係 で あ る 。 図 ⑤
せ る 。 ま た 、 そ の 音 階 が 長 い 間 使 わ れ て い て い た が 、14 世 紀 の 教 会 音 楽 の 発 達 に 伴 っ て 新 し い 音 階 を 作 ら れ る よ う に な っ た こ と を 略 史 で 追 う 。 ま た 、 新 し い音階は、従 来 の 音 階 が 自 然 な 音 の 響 き に 着 目 し た の に 対 し 、1オ ク タ ー ブ を 機 械 的 に 等 分 し て 音 程 を 決 め て い く も の で あ り 、「 隣 り 合 う 二 つ の 音 を 奏 で る 弦 の 長 さ の 比 が 一 定 」に な る よ う に 取 る こ と を 授 業 資 料 に よ っ て 伝 え た 。な お 、 こ の こ と は 言 葉 で は 伝 わ り に く い た め 、 次 の よ う な 式 を 用 い て 理 解 を 図 っ た 。
１ オ ク タ ー ブ 中 で 低 い 音 を 奏 で る 弦 の 長 さ か ら 順 に a,b,c… …k,l と す る と 2：a=a：b=b：c=… …=k：l=l：1 と 表 せ る 。
つ ま り 、 こ れ ら の 長 さ を 求 め る に は 、 上 式 の 12 個 の 比 例 中 項 を 求 め れ ば よ い こ と を 説 明 し た4。こ れ を 累 乗 根 が 存 在 しなかった 16 世 紀 当 時 、 幾 何 的 方 法 に よ り 長 さ を 求 め よ う と し た 人 が い る こ と を 紹 介 し た 。 彼 の 名 は 、16世 紀 の イ タ リ ア 人 Giogeffo Zarlino。 そ の 著 物「Le Institutioni Harmoniche」（ 以 下 、 原 典 ④ と す る ） の 図 を 利 用 し （ 図 ⑤ ） 比 例 中 項 が ど こ に 現 れ る か 予 想 さ せ 、 な ぜ 比 例 中 項 に な る の か そ の 理 由 に つ い て も 考 え さ せ た 。 さ ら に 、Zarlino が 12個 の 比 例 中 項 を 幾 何 的 に 表 現 す る 際 に 用 い た 「MESOLABIO」 の 図 に お い て 、 比 例 中 項 が ど こ に 現 れ る の か を 予 想 さ せ 、 次 時 に 期 待 を 持 た せ た 。（ 写 真 ⑧ ）
4 時 間 目
平 均 律 を 生 み 出 す 際 に 比 例 中 項 が ど の よ う に 活 か さ れ て い た か を Zarlino、 の 原 典 を 解 釈 し 、 現 在 使 わ れ て い る 音 階 や 弦 楽 器 の 構 造 に も 比 例 の 考 え が 使 わ れ て い る こ と を 知 っ て 数 学 が 身 近 に 感 じ ら れ る よ う に す る 。
前 時 の 最 後 に 予 想 し た こ と を 発 表 さ せ る 。 そ し て 、
「MESOLABIO」がいつ使われたものであるか、またどのような
動 き な の か を Cabri GeometryⅡ や イ タ リ ア の 歴 史 博 物 館 の ホ ー ム ペ ー ジ5を 利 用 し て 理 解 さ せ る よ う に し た 。 こ の と き 、 実 際 に パ ソ コ ン 上 で ホ ー ム ペ ー ジ 中 の 図 形 （ 写 真 ⑦ ⑧ ） を 見 た り 操 作 さ せ た り し た 。その上で、Thomas Ivor著「Selections, illustrating the History of Greek Mathematics Vol.1」（ 以 下 、 原 典 ⑤ と す る ） の 中
4 こ こ で 、 比 例 中 項 と は a：b=b：cの 関 係 に あ る と き の bで あ る こ と を 補 足 し た 。 5 http://www.museo.unimo.it/theatrum /macchine/141sch.htm
写 真 ⑦
写 真 ⑧
写 真 ⑧
に 、 比 例 中 項 が 現 れ る こ と の 代 数 的 な 証 明 を 解 釈 さ せ た 。
こ こ で は 、自力で解 釈 で き る よ う に 、数 学 の 専 門 用 語 の み 和 訳 を ワ ー ク シ ー ト （ 図
⑦）に載せたり、平行 線 の 性 質 に つ い て 補 足 説 明 し た り し て 配 慮した。そして、口頭 で 、こ の 考 え 方 を 活 か し て 音 階 が 作 ら れ て い っ た こ と を 紹 介 し 、 興 味 の あ る 人 は そ の 続 き を 調 べ て み る よ う 提 案 し 終 え た 。
ま た 授 業 終 了 後 、 数 学 観 の 変 容 を 見 る た め に 、 事 後 ア ン ケ ー ト と 感 想 を 書 い て も ら っ た 。
４ ． 結 果 ・ 考 察
今 回 の 研 究 の 課 題 は 、「 音 楽 史 を 利 用 し た 数 学 史 教 材 を 解 釈 ・ 追 体 験 す る こ と に よ り 、生 徒 は 数 学 が 日 常 生 活 と 密 接 に 関 連 し て い る こ と を 捉 え ら れ 数 学 観 が 変 容 す る か 。ま た そ こ か ら 数 学 を 学 ぶ 価 値 を 見 出 す こ と が で き る か ど う か を 明 ら か に す る 」 で あ っ た 。 こ の こ と は 、 事 前 事 後 ア ン ケ ー ト か ら 読 み 取 れ る 。
課 題 １ ： 生 徒 は 、 数 学 が 日 常 の 身 近 な と こ ろ で 関 連 し て い て い る こ と を 捉 え 、 数 学 観 が 変 容 す る か 。
事 前 ア ン ケ ー ト に お い て も 、 数 学 と 他 教 科 の 結 び つ き を 取 り 上 げ て い る 生 徒 は 多 か っ た 。 そ の 科 目 と は
生徒Ａ：政 治 経 済 現 代 社 会 日 本 史 地 理 世 界 史 英 語 生徒Ｂ：物 理 化 学 生 物 体 育
生徒Ｃ：物 理 生徒Ｄ：物 理
生徒Ｅ：化 学 物 理 生 物 （すべて事前アンケートより。生徒の記述をそのまま抜粋）
で あ る 。 し か し 、 上 記 の 授 業 場 面 を 想 起 し て み る と 、 デ ー タ や 数 値 の 処 理 を す る 際 に 「 計 算 手 段 と し て 」 数 学 を 用 い て い る と 考 え ら れ る 。 つ ま り 、 数 学
図 ⑦
の 考 え 方 自 体 を 用 い て い る も の は な い と 考 え て い る よ う で あ る 。
と こ ろ が 、 事 後 ア ン ケ ー ト や 、 授 業 中 の 感 想 に は 次 の よ う な も の が あ っ た 。
生徒Ａ：音楽と数学が結びついているとは思わなかった。主に理系科目だけにつながっていると 思っていたのでちょっと身近に感じた。音 楽 と結びついていることにすごく驚きました。音楽は好き なのに・・・（涙 ）
生徒Ｂ：数学は身近だと思うようになりました。(前からかしらん？）
生徒Ｃ：音楽と数学が結びついていることは意外でとても驚いた。かなり好きな音楽と大嫌いな数 学が結びついているとは何か変なカンジ。でも、日常に数学があるのかもしれないとも思ってきた。
（事後アンケートより。下線は筆者が引いた）
こ れ ら の 記 述 か ら 生 徒 た ち は 今 ま で 、 数 学 を 自 分 と は 疎 遠 な 学 問 だ と 感 じ て い た が 授 業 で こ の よ う な 話 題 に 触 れ る こ と に よ り 身 近 に 感 じ ら れ る よ う に な っ た と 考 え ら れ る 。 多 く の 生 徒 は 、 こ の よ う な 音 楽 と 数 学 の 意 外 な 結 び つ き に 戸 惑 い を 隠 せ な い よ う で あ っ た 。
特 に 、 生 徒 Ｃ に お い て は 、 こ の 記 述 か ら 身 近 な と こ ろ に 数 学 が 潜 ん で い る 可 能 性 を 認 め て い る と 考 察 で き る 。 つ ま り 、「 計 算 手 段 」 と し て の 数 学 か ら 、 考 え そ の も の が 構 造 に 活 用 さ れ て い る と い う 、 原 理 と し て 他 教 科 に 生 か さ れ て い る 数 学 へ と 数 学 観 を 変 容 さ せ る こ と も で き た と 考 察 す る こ と が で き る 。 課 題 ２ ： 課 題 1 に よ っ て 数 学 を 学 ぶ 価 値 を 見 出 せ る か 。
授 業 後 の 感 想 に は 以 下 の よ う な も の が あ っ た 。
生 徒 B ： いろいろな学問に必要ナンダナァ。右脳系と左脳系で数学が音楽にも結びついてい ると知ってびっくりした。数学ってやっぱり必要なのかもと思うようになった。
生 徒 D ： とても楽しかったです。（＾＾）ただ計算だけではないんだなと実感しました 。昔の人たち はすごいなーと思いました !
授 業 前 生 徒 は 、 数 学 は 理 系 科 目 に の み 計 算 手 段 と し て 活 用 さ れ る も の だ と 思 っ て い た こ と が 伺 え る 。 と こ ろ が 日 常 生 活 に 潜 む 数 学 の 歴 史 的 事 実 を 教 材 に 用 い て 、 生 徒 自 身 に 体 験 さ せ る こ と を 重 視 し た た め 、 計 算 を 使 わ な い 文 系 科 目 に も 考 え 方 が 活 用 さ れ て い る こ と 、 ま た 先 人 た ち の 知 恵 を 認 め た う え で 数 学 を 学 ぶ 必 要 性 を 感 じ ら れ る よ う に な っ た と 考 察 し て よ い だ ろ う 。
5． お わ り に
こ の 研 究 で は 、 音 楽 史 を 利 用 し た 数 学 史 教 材 を 解 釈 ・ 追 体 験 す る こ と に よ り 、① 生 徒 は 数 学 が 日 常 生 活 と 密 接 に 関 連 し て い る こ と を 捉 え ら れ 数 学 観 が 変 容 す る か ② ま た そ こ か ら 数 学 を 学 ぶ 価 値 を 見 出 す こ と が で き る か 否 か を 考 え て き た 。 礒 田(2002)も い っ て い る よ う に 、「 数 学 観 は 、 身 体 の ご と く 成 長 す る も の で は な く、経験によって変容するものである。我々の
役 割 は 、 生 徒 の 心 を 育 て る べ く 、 そ の 経 験 を 我 々 の 信 ず る 数 学 の 文 化 体 験 と い う 形 で 実 現 し て い く こ と に あ る 。 求 め ら れ る べ き こ と は 、 我 々 自 身 が 数 学 的 活 動 を す る こ と で あ り 、そ の 活 動 を 生 徒 自 身 が 自 ら の 文 化 的 営 み と し て 実 践 で き る よ う に 展 開 す る こ と で あ る 。 そ の 際 、 我 々 の 狙 い は 、 生 徒 が 既 習 を 生 か し つ つ こ れ ま で に な い 未 知 の 、新 た な 体 験 を す る こ と で あ り 、 生 徒 が 振 り 返 っ て 、体 験 を 通 じ て 進 化 し た 自 分 と そ れ ま で の 自 分 を 対 比 し て 、 自 ら の 学 び の よ さ と さ ら な る 発 展 、 成 長 へ の 抱 負 を 教 訓 （ よ さ ） と し て 語 れ る こ と に あ る 」。 こ の よ う に 、 身 近 な 事 象 と 数 学 の 結 び つ き を 体 験 す る こ と に よ り 数 学 観 を 変 容 さ せ た 生 徒 は 、数 学 を 学 ぶ 価 値 も 見 出 す こ と が で き る と わ か っ た 。
し か し 、 授 業 者 の 力 量 不 足 の せ い か 、 次 の よ う な 生 徒 の 記 述 も 見 ら れ た 。 生徒Ｅ：どんなにこのようなことを考え出したとしてもすごいとは思えませんでした。
興味関心が私にはないのです。
こ の 生 徒 は 、数 学 的 に 解 釈 さ せ る 活 動 に 移 っ た 時 点 で 嫌 悪 感 を 授 業 者 に 示 し て い た 。 ま た 、 授 業 中 の 対 話 か ら 数 学 に も 音 楽 に も 苦 手 意 識 を 抱 い て い る こ と が 判 明 し た 。 こ の よ う に 尋 常 で な い 「 数 学 ア レ ル ギー」を持って い る 生 徒 は 多 く 見 ら れ る 。 こ の よ う な 生 徒 も 、 嫌 悪 感 を 乗 り 越 え て 興 味 を 抱けるような話題があれば、数学観を変容させる可能性はある。今後、音 楽 に 限 ら ず 、一 人 で も 多 く の 生 徒 が 興 味 を 抱 け る よ う な 多 様 な 話 題 を 見 つ け る と と も に 、 よ り 多 く の 実 践 例 を 開 発 し て い く 必 要 が あ る と 思 う 。 謝 辞
研 究 授 業 の 実 施 に 際 し て 、御 茶 ノ 水 大 学 附 属 高 等 学 校 の 室 岡 和 彦 先 生 に は 、 貴 重 な ご 意 見 、 ご 協 力 を い た だ き ま し た 。 厚 く 御 礼 申 し 上 げ ま す 。 注 １ ） 本 研 究 は 、 筑 波 大 学 学 内 プ ロ ジ ェ ク ト 研 究 （ 助 成 研 究 Ｂ ： 研 究 代 表
者 礒 田 正 美 ）「 イ ン タ ー ネ ッ ト 上 の 数 学博 物 館 の 開 発 ・ 評 価 研 究 」 の 一 貫 と し て 行 わ れ た 。
注 ２ ） 授 業 の 詳 細 、 並 び に 資 料 は 次 に 掲 示 し て い る 。 http://www.mathedu-jp.org
参 考 ・ 引 用 文 献
【1】 文 部 省 「 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 数 学 編 理 数 編 」 平 成 11年 12月
【2】 瀬 沼 花 子 「 第 16 回 教 育 研 究 公 開 シ ン ポ ジ ウ ム 『 算 数 数 学 の 結 果 か ら 』」 国 立 教 育 研 究 所
【3】 礒 田 正 美 （2001）「 数 学 的 活 動 論 、 そ の 解 釈 学 的 展 開 ； 人 間 の 営 み を 構 想 す る 数 学 教 育 学 へ の パ ー ス ペ ク テ ィ ブ 」 第 34 回 日 本 数 学 教 育 学 会 論 文 発 表 会 論 文 集 、
pp.223-228
【4】 礒 田 正 美 ・ 土 田 知 之 （2001）「 異 文 化 体 験 を 通 じ て の 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 ； 数 学 的 活 動 の 新 た な パ ー ス ペ ク テ ィ ブ 」 第 25 回 日 本 科 学 教 育 学 会 年 会 論 文 集 、 pp.497-498
【5】 礒 田 正 美 編 （2002）「 課 題 学 習 ・ 選 択 数 学 ・ 総 合 学 習 の 教 材 開 発 〜 数 学 す る 心 を 育 て る 」 明 治 図 書 出 版
【6】 山 本 光 男 訳 編(1976)「 初 期 ギ リ シ ア 哲 学 者 断 片 集 」 岩 波 書 店
【7】 ア ル パ ッ ト サ ボ ー （1978、 中 村 幸 四 郎 中 村 清 村田全訳)「 ギ リ シ ア 数 学 の 始 原 」 玉 川 大 学 出 版 部
【8】 T.L.ヒース（ 1978、平田寛 大沼正則 菊 池 俊 彦 訳 ）「 復 刻 版 ギ リ シ ア 数 学 史 」 共 立 出 版
【9】 ア リ ス ト テ レ ス （1968、 戸 塚 七 郎 訳 ）「 問 題 集 」 岩 波 書 店
【10】 大 蔵 康 義(1999)「 音 と 音 楽 の 基 礎 知 識 」 国 書 刊 行 会
【11】 F.V.ハント（1984、平松幸三訳)「 音 の 科 学 文 化 史 ： ピ ュ タ ゴ ラ ス か ら ニ ュ ー ト ン ま で 」 海 青 社
【12】 Giogeffo Zarlino（1558）「Le Institutioni Harmoniche」
【13】 平 凡 社 編 集 部(1998)「 音 楽 大 辞 典 」 平 凡 社
【14】 教 授 資 料 編 集 部 編 「 新 世 界 史 教 授 資 料 『 世 界 史 』 山 川 出 版 、1984
【15】 ク ル ト ザ ッ ク ス 著 （1970、 皆 川 達 夫 ／ 柿 木 吾 郎 共 訳 ）「 音 楽 の 起 源 」 音 楽 之 友 社
【16】 ジ ェ ー ム ス ・ マ ッ キ ノ ン 編 （1996、 上 尾 信 也 監 訳 ）「 西 洋 音 楽 の 曙 」 音 楽 之 友 社
【17】 D.J.グ ラ ウ ド ／C.V.パ リ ス カ 著 （1998、 戸 田 幸 策 ／ 津 上 英 輔 ／ 寺 西 基 之 共 訳 ）
「 グ ラ ウ ド ／ パ リ ス カ 新 西 洋 音 楽 史 」 音 楽 之 友 社
【18】 ボ エ テ ィ ウ ス 著（1989、Friedlein訳 ）「De institutione musica」Yale University Press
【19】 Michel Rodriguez（2000）Historical support for particular subject 「History of Mathematics Education」 §8.4.2.ｂ Music scales ，John Fauvel and Jan van Maanen，The ICMI Study
参 考 VTR
【20】 TBS「 新 世 界 紀 行 失 わ れ た 文 明 編 〜 謎 の エ ー ゲ 海 ： ア ト ラ ン テ ィ ス 幻 想 〜 」 TBSパ ッ ク イ ン ビ デ オ
参 考 URL
【21】 http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine /141sch.html
