基礎数学A 第１回
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１章 数列
1.1数列とは 1) 数列の例
数列とは数字の並びです。以下の例を見て下さい。
1 3 5 7 9 11 13
1024 512 256 128 64 1 3 2 5 7 2 9 3 4 4 7 7 0 1 5 8 4
, , , , , , ,
, , , , , ,
. , . , . , . , . , . , . , . ,
最初の例は次第に数が増えてますから、増加数列、次の例は数が減っていますから減少数列、
最後の例は増加数列でも減少数列でもありません。数列で有限個のものを有限数列、無限個 のものを無限数列といいます。特に２番目の例は１で終わっていますので有限数列です。
これらの数列は記号を用いて
a a a a
1,
2,
3,
4, , a
n,
のように書くこともあります。a
1 のことを特に数列の初項、a
n のことを第 n 項といいます。2) 等差数列
等差数列は隣り合った２つの項の差がいつも一定であるような数列です。この一定の差 を公差といいます。例えば最初に例に出た数列
1 3 5 7 9 , , , , ,
は初項が1
、公差が2
の等 差数列です。問題
以下の等差数列の初項と公差を求めよ。
1)
2 5 8 11 14 17 20 , , , , , , ,
2)100 90 80 70 60 50 , , , , ,
3)1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 . , . , . , . , . , . ,
4)0 , 1 3 , 2 3 , 1 , 4 3 , 5 3 ,
解答1) 初項2 公差3 2) 初項100 公差 –10
3) 初項1.2 公差0.2 4) 初項0 公差
1 3
さて、以下の数列を考えてみます。
a a , + d a , + 2 d a , + 3 d a , + 4 d ,
これは初項
a
公差d
の等差数列ですが、この場合の第n
項はどんな式になるでしょう。分か り易いように各項に番号を付けてみます。a a d a d a d a n d
, , , , , (
n)
1
+
2+
32 +
43 + − 1
この番号の付け方を見ると容易に
a
n= + a ( n − 1 ) d
であることが分かります。このことか ら以下の公式を得ます。基礎数学A 第１回
2 公式
初項
a
公差d
の等差数列の第n
項a
n は以下の式で与えられる。a
n= + a ( n − 1 ) d
3) 等比数列
等比数列は隣り合った２つの項の比がいつも一定であるような数列です。この一定の比 を公比といいます。例えば1.1.1の例に出た数列
1024 512 256 128 64 , , , , , , 1
は初項が1024
、公比が1/2
の等比数列です。問題
以下の等比数列の初項と公比を求めよ。
1)
1, 2, 4, 8, 16, 32,
2)1 , − 1 2 1 4 , , − 1 8 1 16 , ,
3)0 01 0 05 0 25 1 25 . , . , . , . ,
4)3 , − 1 , 0 . 3 , − 0 . 09 , 0 . 027 ,
解答1) 初項1 公比2 2) 初項1 公比 -1/2
3) 初項0.01 公比5 4) 初項3 公比 -0.3
さて、以下の数列を考えてみます。
a ar ar ar ar , ,
2,
3,
4,
これは初項
a
公比r
の等比数列ですが、この場合の第n
項は前問と同様にして、a
n= a r
n−1 であることが分かります。このことから以下の公式を得ます。公式
初項
a
公比r
の等比数列の第n
項a
n は以下の式で与えられる。a
n= a r
n−1演習
１）以下の等差数列の初項と公差を求めよ。
5, 8, 11, 14, 17, ･････ 初項［ ］ 公差［ ］
①初項 5 公差 2 ②初項 5 公差 3 ③初項4 公差 3
２）初項 90、公差 -10 の等差数列の初項から4項目までを書け。
［ ］，［ ］，［ ］、［ ］
① 90, 100, 110, 120 ② 90, 85, 80, 75 ③ 90, 80, 70, 60
基礎数学A 第１回
3 ３）以下の等比数列の初項と公比を求めよ。
1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ･････ 初項［ ］公比［ ］
①初項 1 公比 1/3 ②初項 1 公比 -1/3 ③初項1 公比 -3
４）初項 8、公比 3 の等比数列の初項から4項目までを書け。
［ ］，［ ］，［ ］、［ ］
① 8, -24, 72, -216 ② 8, 16, 32, 64 ③ 8, 24, 72, 216
